Xây dựng một số bài tập song ngữ chương các định luật bảo toàn trong cơ học (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

ĐOÀN THỊ DUNG

XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TẬP SONG NGỮ
CHƯƠNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN
TRONG CƠ HỌC
Chuyên ngành: Vật lý đại cương

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GV.ThS HOÀNG VĂN QUYẾT

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo –
ThS. Hoàng Văn Quyết người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em có
thể hoàn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô đã giảng dạy
em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ
bản trong học tập, nghiên cứu khóa luận cũng như trong công việc sau này.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen
với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những

thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và
các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Đoàn Thị Dung


LỜI CAM ĐOAN
Tôi hoàn thành khóa luận này dưới sự hướng dẫn của của ThS. Hoàng
Văn Quyết và sự lỗ lực của bản thân. Tôi xin cam đoan đây là công trình
nghiên cứu của chúng tôi và không trùng với kết quả nghiên cứu của tác giả
nào đã công bố trước đây. Mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận này đã được ghi rõ
nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Đoàn Thị Dung


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu đề tài........................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2

CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................. 3
1. Động lượng. Định luật bảo toàn động lượng ................................................ 3
1.1. Khái niệm động lượng................................................................................ 3
1.2. Định lý biến thiên động lượng của chất điểm............................................ 3
1.3. Định luật bảo toàn động lượng của hệ cô lập ............................................ 5
1.3.1. Thiết lập................................................................................................... 5
1.3.2. Bảo toàn động lượng theo phương.......................................................... 5
2. Công và công suất ......................................................................................... 5
2.1. Công ........................................................................................................... 5
2.2. Công suất.................................................................................................... 8
3. Động năng ..................................................................................................... 8
4. Thế năng...................................................................................................... 10
4.1. Định nghĩa ................................................................................................ 10
4.2. Tính chất................................................................................................... 10
5. Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng.................................................... 10
6. Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lượng................................. 11
6.1. Định lý về momen động lượng của chất điểm ......................................... 11
6.2. Momen động lượng của một hệ chất điểm............................................... 12
6.2.1. Định nghĩa ............................................................................................ 12


6.2.2. Định lý về momen động lượng của một hệ chất điểm.......................... 13
6.3. Định luật bảo toàn momen động lượng.................................................... 15
6.3.1. Thiết lập................................................................................................. 15
6.3.2. Trường hợp hệ quay xung quanh một trục cố định............................... 15
Kết luận chương 1 ........................................................................................... 17
CHƯƠNG 2. PHÂN DẠNG BÀI TẬP PHẦN CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO
TOÀN TRONG CƠ HỌC............................................................................... 18
1. Từ vựng - vocabulary .................................................................................. 18
2. Phân dạng bài tập bằng song ngữ................................................................ 18

2.1. Bài tập về định luật bảo toàn và biến thiên động lượng .......................... 19
2.1.1. Bài tập mẫu............................................................................................ 19
2.1.2. Bài tập áp dụng...................................................................................... 25
2.2. Công và công suất .................................................................................... 26
2.2.1. Bài tập mẫu............................................................................................ 26
2.2.2. Bài tập áp dụng...................................................................................... 29
2.3. Bài tập về động năng – định lý biến thiên động năng.............................. 32
2.3.1. Bài tập mẫu............................................................................................ 32
2.3.2. Bài tập áp dụng...................................................................................... 34
2.4. Bài tập về định luật bảo toàn cơ năng ...................................................... 37
2.4.1. Bài tập mẫu............................................................................................ 37
2.4.2. Bài tập áp dụng...................................................................................... 40
2.5. Bài tập về định luật bảo toàn và biến thiên momen động lượng ............. 41
2.5.1. Bài tập mẫu............................................................................................ 41
2.5.2. Bài tập áp dụng...................................................................................... 46
Kết luận chương 2 ........................................................................................... 49
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 51


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thế giới đang xảy ra sự bùng nổ tri thức khoa học – công nghệ. Cứ mỗi
giây, mỗi phút trôi qua có hàng nghìn ý tưởng được nảy sinh, hàng trăm phát
minh được ra đời và biết bao sự thay đổi của khoa học – công nghệ đang diễn
ra. Để có thể vươn lên cùng với sự thay đổi của khoa học – công nghệ đó,
chúng ta không những phải học hỏi kinh nghiệm của các nước tiên tiến mà
còn phải biết vận dụng những kinh nghiệm đó một cách sáng tạo, tìm ra con
đường phát triển riêng của đất nước. Trong chiến lược xây dựng và phát triển,
Nhà nước ta luôn xem nhân tố con người có tầm quan trọng đặc biệt quyết

định sự thành công. Để làm được điều đó, chúng ta cần tạo ra bước tiến mới
trong sự nghiệp phát triển giáo dục – đào tạo, không ngừng đổi mới tổ chức,
nội dung nâng cao chất lượng giáo dục sao cho phù hợp nhất nhằm bồi dưỡng
và phát triển nguồn nhân lực đáp ứng yêu cầu của xã hội.
Cùng với sự hội nhập của các nước trên thế giới, sự tiến bộ không ngừng
của khoa học – công nghệ, đã đòi hỏi Đảng và Nhà nước ta phải đổi mới giáo
dục cả về nội dung, phương pháp và hình thức tổ chức giáo dục. Cụ thể trong
việc Bộ giáo dục xuất bản và đưa sách song ngữ vào giảng dạy thay thế cho
sách sử dụng tiếng mẹ đẻ trước đây. Sở giáo dục cho biết sẽ thí điểm đưa sách
này vào các trường phổ thông theo chủ trương nâng cao năng lực tiếng anh
cho học sinh và dự kiến đến năm 2020, sách song ngữ sẽ được đưa vào dạy
đại trà.
Trên thực tế giảng dạy ở trường phổ thông, ta thấy rằng việc lồng ghép
tiếng Anh vào các môn khác nói chung và Vật lý nói riêng là điều cần thiết và
càng trở nên cấp bách hơn bao giờ hết. Không những bổ sung kiến thức
chuyên môn mà còn nâng cao khả năng ngoại ngữ, hướng đến đọc được sách

1


và tài liệu nước ngoài.
Xuất phát từ những nhu cầu thực tế đó của xã hội, tôi sử dụng đề tài
nghiên cứu khoa học theo xu hướng: “Xây dựng một số bài tập song ngữ
chương Các định luật bảo toàn trong cơ học” với mong muốn nghiên cứu
nâng cao chất lượng dạy học vật lý và củng cố kiến thức tiếng Anh chuyên
ngành giúp các em tránh khỏi những bỡ ngỡ trong hình thức dạy học mới.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Phân dạng bài tập phần các định luật bảo toàn trong cơ học bằng song
ngữ
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Các kiến thức phần định luật bảo toàn và tiếng Anh cho
chuyên ngành Vật lý
- Phạm vi: Xét trong Vật lý cổ điển
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng hệ thống từ vựng phần các định luật bảo toàn trong cơ học.
- Trình bày logic khoa học lý thuyết phần các định luật bảo toàn.
- Phân dạng các bài toán bằng song ngữ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, tra cứu và tổng hợp tài liệu
6. Cấu trúc khóa luận
Phần 1. Mở đầu
Phần 2. Nội dung
Phần 3: Kết luận

2


CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Động lượng. Định luật bảo toàn động lượng
1.1. Khái niệm động lượng
Khi một lực �⃗ tác dụng lên một vật trong khoảng thời gian ∆� thì
tích
�⃗ . ∆� được định nghĩa là xung lượng của lực �⃗ trong khoảng thời gian ∆�
ấy.
Giả sử lực �⃗ (không đổi) tác dụng lên một vật khối lượng m đang
chuyển động với vận tốc 1⃗. Trong khoảng thời gian tác dụng ∆�, vận tốc
của
vật biến đổi thành �⃗⃗2⃗ nghĩa là vật đã có gia tốc:

Theo định luật II Niuton:

�⃗⃗2⃗ −
1⃗
∆
�

�⃗
=

��⃗ =
�⃗
�⃗⃗2⃗ −
�⃗ ⃗1⃗
�
= �⃗
∆
�
Suy ra
�

��⃗⃗2⃗ −

= �⃗ ∆�
(1.1)
1⃗

Vế phải của (1.1) chính là xung lượng của lực trong khoảng thời gian
∆�, còn về trái là độ biến thiên của đại lượng �⃗ = ��⃗
Đại lượng �⃗ được gọi là động lượng của một vật
Động lượng của một vật khối lượng m đang chuyển động với vận tốc

�⃗
là đại lượng được xác định bởi công thức:
�⃗ =
��⃗
1.2. Định lý biến thiên động lượng của chất điểm
3


Theo định luật Newton II, nếu một chất điểm khối lượng m chịu tác
dụng của một lực �⃗ (hay của nhiều lực, lực tổng hợp là �⃗ ) thì sẽ có gia tốc �⃗
cho bởi:
�⃗ =
��⃗
Từ biểu thức của gia tốc ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:

4


�
�⃗
�
��
= �⃗
vì m không đổi nên ta có thể viết lại là:
�(��⃗)
= �⃗
��
(1.2)
Vectơ �⃗ = ��⃗ gọi là vectơ động lượng của chất điểm. Vậy biểu
thức

(1.2) có thể viết thành:
��
=
�� ⃗
�
⃗
(1.3)
Định lý 1: Đạo hàm động lượng của một chất điểm đối với thời gian có
giá trị bằng lực (hay tổng hợp các lực) tác dụng lên chất điểm đó.
Từ (1.3) ta suy ra: ��⃗ = �⃗ ��
(1.4)
Tích phân 2 vế của biểu thức (1.4) trong khoảng thời gian từ t 1 đến t2
ứng với sự biến thiên của động lượng từ p1 đến p2 ta được:
�
2

∆�⃗ = �⃗ 1⃗ = ∫ �⃗ ��
⃗2⃗ −
(1.5)
�1

Theo định nghĩa tích phân của lực F theo t từ t 1 đến t2 gọi là xung lượng
của F trong khoảng thời gian đó. Vậy biểu thức (1.5) có thể phát biểu như sau:
Định lý 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một
khoảng thời gian nào đó có giá trị bằng xung lượng của lực (hay tổng hợp
lực) tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó.
Trong trường hợp F không đổi theo thời gian, (1.5) trở thành:
∆�⃗ = �⃗ ∆�

(1.6)

Hay

∆ �⃗

∆
�

=�
(1.7)

Theo (1.7) ta có thể phát biểu: Độ biến thiên động lượng của chất điểm
trong một đơn vị thời gian có giá trị bằng lực tác dụng lên chất điểm đó.


1.3. Định luật bảo toàn động lượng của hệ cô lập
1.3.1. Thiết lập
Đối với một hệ chất điểm chuyển động, ta có định lý về động lượng:
�
(�1
��

1⃗

+ �2 �⃗⃗2⃗ + ⋯ +
�� �⃗⃗
⃗�⃗) = �⃗

trong đó �⃗ là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ (theo định luật Newton

III thì tổng các nội lực tương tác trong hệ bằng 0).
Nếu hệ đang xét là một hệ cô lập (F = 0) thì:
�
(�1 1⃗ + �2 �⃗⃗2⃗ + ⋯ +
��
�� �⃗⃗
⃗�⃗) = 0
Nghĩa là
�1

1⃗

+ �2 �⃗⃗2⃗ + ⋯ +
�� �⃗⃗
⃗�⃗ = �⃗�⃗�⃗�⃗�⃗

(1.8)

Phát biểu: Tổng động lượng của một hệ cô lập là một đại lượng bảo
toàn.
1.3.2. Bảo toàn động lượng theo phương
Trong trường hợp một hệ chất điểm không cô lập nghĩa là �⃗ ≠ 0
nhưng hình chiếu của �⃗

lên một phương x nào đó luôn luôn bằng 0, khi

đó nếu chiếu phương trình vectơ
�
(�1
��

1⃗

+ �2 �⃗⃗2⃗ + ⋯ +
�� �⃗⃗
⃗�)⃗ = �⃗

lên phương x ta được: �1 �1� + �2 �2� + ⋯ + �� ��� =
�����
Vậy, hình chiếu của tổng động lượng của hệ lên phương x là một đại
lượng bảo toàn.
2. Công và công suất
2.1. Công


Xét một vật nằm yên trên bàn. Nó chịu tác dụng của hai lực: trọng lực
và phản lực của mặt bàn, tổng hình học của các ngoại lực bằng không. Do đó,
theo định luật bảo toàn động lượng thì động lượng của vật bảo toàn. Suy ra,
vật phải giữ nguyên trạng thái nằm yên trên bàn.


Lại xét một ôtô chuyển động thẳng đều trên đường, ôtô chịu tác dụng
của lực kéo của động cơ, lực cản của không khí, lực ma sát của mặt đường,
trọng lượng của ôtô phản lực của mặt đường. Vì ôtô chuyển động thẳng đều,
nên theo định luật I Newton thì tổng hình học của tất cả các lực tác dụng lên
ôtô phải bằng 0. Do đó, theo định luật bảo toàn động lượng thì động lượng
của ôtô không thay đổi theo thời gian. Như vậy, trạng thái chuyển động của
ôtô và vật nằm trên mặt bàn là như nhau. Tuy nhiên, động cơ của ôtô phải
hoạt động liên tục, tiêu tốn nhiên liệu để sản sinh ra lực kéo nhằm duy trì
trạng thái chuyển động cơ học không thay đổi theo thời gian, trái lại vật nằm

trên mặt bàn lại không cần tiêu tốn một tí năng lượng nào cả.
Nghiên cứu kỹ, ta thấy có sự khác nhau rất cơ bản giữa hai ví dụ nêu ra ở
trên, đó là: điểm đặt của các lực tác dụng lên vật nằm trên mặt bàn không dịch
chuyển, còn điểm đặt của lực kéo của động cơ ôtô liên tục dịch chuyển cùng
ôtô.
Vậy, ta có thể nói rằng: một lực sinh công khi điểm đặt của nó chuyển
dời.
Thí nghiệm chứng tỏ rằng, lượng nhiên liệu tiêu thụ bởi động cơ ôtô tỷ lệ
với tích số của lực kéo �⃗ và quãng đường dịch chuyển x của điểm đặt của lực
kéo (quãng đường dịch chuyển của ôtô).
Công là đại lượng vô hướng được đo bằng tích số của lực và quãng
đường dịch chuyển của điểm đặt của lực.
Ví dụ trên cho thấy rằng năng lượng nhiệt chứa
trong nhiên liệu khi bị đốt cháy trong động cơ ôtô đã
chuyển thành công cơ học làm cho ôtô chuyển động.
Vậy công chính là đại lượng đặc trưng cho phần năng
lượng chuyển đổi từ dạng năng lượng này sang dạng
năng khác, hay chính là phần năng lượng trao đổi giữa các vật.

⃗
��

.
��⃗

Hình 1.1


Dưới tác dụng của lực �⃗ giả sử chất điểm dịch chuyển được một đoạn
đường vi phân d�⃗ . Công vi phân �A mà lực �⃗

thực hiện được trên

đoạn đường ��⃗ là tích vô hướng của hai vectơ:
�� = �⃗ . ��⃗ = ��. ��. cos �
(1.9)
Nếu: α < π/2 thì �A > 0: công hữu ích
α < π/2 thì �A = 0: lực tác dụng vuông góc với chuyển động
nên
không sinh công.
α > π/2 thì �A < 0: công cản (ví dụ công của lực ma
sát) Từ biểu thức (1.9) ta suy ra đơn vị của công là Jun (J): 1J =
1Nm.
Biểu thức này chỉ đúng cho trường hợp lực

��⃗

�⃗ không đổi và chuyển dời của s là thẳng.
Trong trường hợp tổng quát điểm đặt của lực �⃗
P
chuyển dời từ điểm P đến điểm Q trên quỹ đạo,
trong quá trình này lực thay đổi. Để tính công

�

Q

�⃗
Hình 1.2

trong trường hợp này ta chia đoạn đường PQ thành nhiều đoạn nhỏ, rồi áp
dụng công thức (1.9) tính công vi phân dA trên đoạn ��⃗ đó, rồi cộng tất
cả các công vi phân lại ta sẽ tính được công mà lực �⃗ thực hiện được trên
đoạn
đường PQ:
�
�

�� = �⃗ � �⃗ → � = ∫ �� =
∫ �⃗ ��⃗

(1.10)

�
�

Nếu phân tích vectơ �⃗ và d�⃗ thành các thành phần theo các trục toạ
độ của hệ toạ độ Descarst thì ta có thể biểu diễn công A dưới dạng:


�

� = ∫(�� �� + �� ��
+ �� ��)
�

(1.11)


2.2. Công suất

Khi định nghĩa công mà lực �⃗ thực hiện được trên một đoạn đường nào
đó ta không tính đến thời gian thực hiện công. Để đặc trưng cho khả năng
sinh công nhanh hay chậm của một máy sinh công (Ví dụ: một động cơ)
người ta đưa vào một đại lượng vật lý mới gọi là công suất.
Công suất trung bình Ptb của một máy sinh công là tỷ số của công ΔA và
thời gian Δt để thực hiện công đó, ta có:
�
=
�
�
(1.12)∆

∆�

�

Về mặt ý nghĩa, công suất trung bình có giá trị bằng công trung bình của
lực sinh ra trong đơn vị thời gian.
Để tính công suất tại từng thời điểm, ta cho Δt → 0. Giới hạn của

∆�
∆�

khi

Δt → 0 theo định nghĩa gọi là công suất tức thời (gọi tắt là công suất) của lực,
được ký hiệu là:
� = lim

∆�

�
�

=
∆�→0 ∆�
��
Vậy: công suất có giá trị bằng đạo hàm của công theo thời gian.
��
�
=
�=
= �⃗ . �⃗
�� ⃗ �⃗
�
(1.14)
�
�

(1.13)

Vậy: công suất bằng tích vô hướng của lực tác dụng với vectơ vận tốc
của chuyển dời.
Đơn vị của công suất là Woat (W), 1W = 1J/s = 1 Nm/s.
3. Động năng
Động năng là phần cơ năng tương ứng
với sự chuyển động của các vật. Muốn xác
định biểu thức của động năng ta hãy tính
công của lực ngoài tác dụng lên vật.

��⃗
(1)

�⃗

(2)

�⃗
Hình 1.3


Xét một chất điểm khối lượng m, chịu tác dụng của một lực �⃗ và chuyển rời


từ vị trí 1 sang vị trí 2 (hình 1.3). Công của lực �⃗ trong chuyển rời từ 1 sang
2 là:
(2)

⃗⃗
� = ∫(1)
����⃗
Mà ta lại có: �⃗ = ��⃗ = �
�

� �⃗

, thay vào biểu thức của A ta được:

�

(2)

(2)

(2)

(2)

�
�
�� 2
�⃗
�⃗
� = ∫ �.
. ��⃗ = ∫ �.
. ��⃗ = ∫ ��⃗ ��⃗
��
��
= ∫ �(
)
2
(1)

(1)

(1)

(1)

Thực hiện phép tích phân ta được:

� 2�2

−
(1.15)
2

�2 �1

=�

2

trong đó: v1 và v2 là vận tốc của chất điểm tại các vị trí 1 và 2.
Theo (1.13) công A có trị số bằng độ biến thiên động năng. Vậy ta có
định nghĩa:
� 1� 2
=
2
� 2�2
2

động năng chất điểm tại vị trí 1 = �

= động năng chất điểm tại vị trí 2 = W

đ1
đ2

Tổng quát, biểu thức động năng của chất điểm có khối lượng m, vận tốc
�⃗ cho bởi:

�đ =

��
2

2

(1.16)

Biểu thức (1.15) trở thành:�đ2 − �đ1 = �
Định lý về động năng: Độ biến thiên động năng của một chất điểm trong
một quãng đường nào đó có giá trị bằng công của ngoại lực tác dụng lên chất
điểm sinh ra trong quãng đường đó.


Kết luận: Khi động năng của một vật giảm thì ngoại lực tác dụng lên vật
sinh một công cản; như thế nghĩa là vật đó tác dụng lên vật khác một lực và
lực đó sinh công dương.


4. Thế năng
4.1. Định nghĩa
Khi một chất điểm dịch chuyển từ vị trí M sang vị trí N trong trường lực
thế thì công AMN của trường lực chỉ phụ thuộc vào hai vị trí đầu và cuối M, N.
Tính chất này ta có thể định nghĩa:
Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là một hàm Wt phụ thuộc
vào vị trí của chất điểm sao cho:
AMN = Wt(M) – Wt(N)

(1.17)

Từ định nghĩa ta thấy rằng: nếu đồng thời cộng Wt(M) và Wt(N) với
cùng một hằng số thì hệ thức định nghĩa trong (1.17) vẫn được nghiệm đúng,
nói cách khác: "thế năng của chất điểm tại một vị trí được định nghĩa sai khác
một hằng số cộng".
4.2. Tính chất
Thế năng tại một vị trí được xác định sai khác một hằng số cộng nhưng
hiệu thế năng giữa hai vị trí thì hoàn toàn xác định.
Giữa trường lực và thế năng có hệ thức sau:
��� = ∫ �⃗ ��⃗ = �� (�) − �� (�)
(1.18)
��

Nếu cho chất điểm địch chuyển theo một vòng kín (M ≡ N) thì hệ thức
trên đây trở thành:
∮ �⃗ � �⃗
=0
5. Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng
Khi chất điểm khối lượng m chuyển động từ vị trí M đến vị trí N trong
một trường lực thế thì công của trường lực cho bởi:
AMN = Wt(M) – Wt(N)
Nếu chất điểm chỉ chịu tác dụng của trường lực thế thì theo định lý về


động năng, ta có:
��� = �đ (�) − �đ (�)
Vậy:

Wt(M) – Wt(N) = Wđ(N) – Wđ(M)
Hay

Wđ(M) + Wt(M) = Wđ(N) + Wt(N)

(1.19)

Vậy tổng:

Wđ(M) + Wt(M) = const

(1.20)

Tổng này có giá trị không đổi, không phụ thuộc vào vị trí của chất điểm.
Tổng động năng và thế năng của chất điểm được gọi là cơ năng của chất
điểm. Khi chất điểm chuyển động trong một trường lực thế (không chịu tác
dụng của một lực nào khác) thì cơ năng của chất điểm là một đại lượng bảo
toàn. Đây chính là định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế.
Ví dụ: Khi chất điểm khối lượng m chuyển động trong trọng trường đều
thì:
��

+ ���ℎ = �����
� =
2 (1.21)
2

Hệ quả: Vì W = Wđ + Wt = const nên trong quá trình chuyển động của
chất điểm trong trường lực thế nếu động năng Wđ tăng thì thế năng Wt giảm
và ngược lại; ở chỗ nào Wđ đạt giá trị cực đại thì Wt cực tiểu và ngược lại.
Chú ý: Khi chất điểm chuyển động trong trường lực thế còn chịu tác
dụng của một lực khác �⃗ (ví dụ lực ma sát) thì nói chung cơ năng của chất

điểm không bảo toàn: độ biến thiên của cơ năng chất điểm sẽ bằng công của
lực �⃗ đó.
6. Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lượng
6.1. Định lý về momen động lượng của chất điểm
Một chất điểm M chuyển động trên một quỹ
đạo (C) dưới tác dụng của một lực �⃗ (hình 1.4).
Theo định lý về sự biến thiên động lượng ta
có:

�

O

(C)

�⃗
M

�⃗ =
��⃗

Hình 1.4


�� �(��⃗ )
=
= �⃗
��
��
(1.22)

Nhân hữu hướng cả hai vế của (1.22) với t = �⃗�⃗ (O là gốc tọa độ) ta
được:
�⃗ ∧

�(��⃗)
�
�
=
(�⃗ ∧ ��⃗) =
(�⃗ ∧ �⃗) = �⃗
��
��
��
∧ �⃗
(1.23)

�

(�⃗ ∧ ��⃗ ) =
(Vì
� (� �⃗⃗ )
+ �⃗
∧
��

� �⃗

��

Hay:

��

� �⃗

∧ ��⃗ �à
= �⃗ ∧ ��⃗ →
�⃗
∧ ��⃗
= 0⃗
��
��

�

��

�

(�⃗) = �⃗ (�, �⃗ )
(1.24)

Trong đó �⃗ = �⃗ ∧ �⃗ là mômen động lượng của chất điểm M đối với
điểm
O và �⃗ (�, �⃗ ) = �⃗ ∧ �⃗ là mônmen của lực �⃗ đối với điểm O.
Phương trình (1.24) cũng chính là biểu thức của định lí về mômen động
lượng, định lí đó được phát biểu như sau:
"Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng đối với điểm O của một
chất điểm chuyển động bằng tổng mômen đối với điểm O của các lực tác
dụng lên chất điểm".
Hệ quả: Trong trường hợp chất điểm chuyển động luôn luôn chịu tác

dụng của một lực xuyên tâm ( �⃗ luôn có phương đi qua điểm O) thì M(O,�⃗ ) =
0 và do đó:
�
(�⃗) = 0⃗ → �⃗ = �⃗�⃗�⃗�⃗�⃗
��
(1.25)
Từ (1.25) ta thấy �⃗ không đổi. Mặt khác, L luôn vuông góc với
mặt phẳng tạo bởi O và �⃗ = ��⃗, do đó, mặt phẳng chứa O và �⃗ là một


mặt phẳng cố định. Điều đó có nghĩa là chất điểm M luôn luôn chuyển động
trong một mặt phẳng cố định
6.2. Momen động lượng của một hệ chất điểm
6.2.1. Định nghĩa
Một hệ chất điểm M1, M2,…,Mi,… lần lượt có khối lượng m1, m2,...,


mi,... và chuyển động với những vận tốc

1⃗

, �⃗⃗2⃗ , . . . , �⃗ ⃗� , . .. đối với
một hệ quy

chiếu gốc O. Tại thời điểm t vị trí những chất điểm ấy được xác định bởi các
vector bán kính

�
⃗1⃗,

2⃗,

… , �⃗⃗�� , …

Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O được định nghĩa
bởi:
�⃗ = ∑ �⃗ ⃗� = ∑ �⃗⃗�
∧ ��⃗ ⃗�

(1.26)

bằng tổng các mômen động lượng của các chất điểm trong hệ đó với O.
Chúng ta hãy xét một số trường hợp riêng
a. Hệ chất điểm quay xung quanh một trục cố định Δ
Khi đó, ta có mômen động lượng của một chất điểm ( mi, �⃗⃗�� ):
�⃗ ⃗� = �� �⃗ ⃗�
trong đó I = ��
��

2

(1.27)

là mômen quán tính của chất điểm đối với trục quay

Δ, ωi là vận tốc góc của chất điểm trong chuyển động quay xung quanh Δ.
Khi đó mômen động lượng của hệ được xác định bởi:
�⃗ = ∑ �⃗ ⃗� = ∑
�� �⃗ ⃗�
�

(1.28)

�

b. Trường hợp vật rắn quay xung quanh một trục cố định Δ.
Khi đó mọi chất điểm của vật rắn quay đều có cùng vận tốc góc.
�⃗⃗
⃗1⃗ =
�⃗⃗
⃗2⃗ = ⋯ = �⃗ ⃗� = ⋯ = �⃗⃗
(1.29)
Vậy �⃗ = ∑� �� �⃗ ⃗� = (∑� �� ) �⃗⃗ = ��⃗⃗
(1.30)
2

Trong đó � = ∑� �� = ∑� �� ��