Một số tính chất của ngôn ngữ phi ngữ cảnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

LÊ THỊ THANH LOAN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA NGÔN NGỮ PHI NGỮ CẢNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

TS. KIỀU VĂN HƯNG

HÀ NỘI - 2017


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Thanh Loan

LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Kiều Văn Hưng,
người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này.
Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình
học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt
nghiệp.

Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót và hạn
chế. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo
và toàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Vĩnh Phúc, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Lê Thị Thanh Loan


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Thanh Loan

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Kiều Văn Hưng khóa
luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác.
Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Vĩnh Phúc, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Lê Thị Thanh Loan


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Thanh Loan

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
Chương 1. Văn phạm phi ngữ cảnh ................................................................ 3
1.1. Văn phạm phi ngữ cảnh........................................................................... 3
1.1.1. Định nghĩa............................................................................................ 3
1.1.2. Ngôn ngữ sinh bởi văn phạm phi ngữ cảnh........................................... 4
1.1.3. Cây suy dẫn đầy đủ trong văn phạm phi ngữ cảnh ................................ 5
1.1.4. Quan hệ giữa dẫn xuất và cây suy dẫn .................................................. 6
1.1.5. Văn phạm phi ngữ cảnh đa nghĩa.......................................................... 8
1.1.6. Rút gọn các văn phạm phi ngữ cảnh ..................................................... 9
1.2. Chuẩn hóa văn phạm phi ngữ cảnh ........................................................ 14
1.2.1. Dạng chuẩn Chomsky......................................................................... 14
1.2.2. Dạng chuẩn Greibach ......................................................................... 16
1.3. Bài tập ................................................................................................... 20
Chương 2. Tính chất của ngôn ngữ phi ngữ cảnh ......................................... 26
2.1. Hai bổ đề Bơm ...................................................................................... 26
2.1.1. Bổ đề Bơm cho ngôn ngữ phi ngữ cảnh.............................................. 26
2.1.2. Bổ đề Bơm cho ngôn ngữ tuyến tính .................................................. 30
2.2. Tính đóng của ngôn ngữ phi ngữ cảnh................................................... 31
2.3. Một vài tính chất khả quyết của ngôn ngữ phi ngữ cảnh ........................ 32
2.4. Bài tập .................................................................................................. 32
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ...................................................................... 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 35


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Thanh Loan

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Những năm gần đây, con người đã đạt được nhiều thành tựu khoa học rực
rỡ, một trong những thành tựu đó là sự bùng nổ của ngành khoa học máy tính.
Sự phát triển kì diệu của máy tính gắn liền với sự phát triển toán học hiện đại,
đó là Toán rời rạc. Toán học rời rạc nghiên cứu các cấu trúc có tính chất rời
rạc không liên tục. Toán rời rạc bao gồm các lĩnh vực như quan hệ, lý thuyết
đồ thị, ngôn ngữ hình thức và otomat...
Lý thuyết ngôn ngữ hình thức là lý thuyết nền tảng cho việc thấu hiểu
khái niệm về ngôn ngữ nói chung (cả ngôn ngữ lập trình lẫn ngôn ngữ tự
nhiên), và các vấn đề cơ bản về ngôn ngữ như cách xây dựng văn phạm sinh
ra ngôn ngữ (xây dựng văn phạm cho ngôn ngữ lập trình, cho quá trình phân
tích cú pháp), dịch từ ngôn ngữ lập trình cấp cao sang ngôn ngữ máy...
Ngôn ngữ phi ngữ cảnh là chủ đề quan trọng nhất của lý thuyết ngôn ngữ
hình thức, vì nó áp dụng cho ngôn ngữ lập trình. Mục đích của khóa luận này
nhằm tìm hiểu rõ hơn về ngôn ngữ phi ngữ cảnh cùng với các tính chất và ứng
dụng của nó.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu một cách tổng quan về ngôn ngữ sinh bởi văn phạm phi ngữ cảnh,
các tính chất của ngôn ngữ phi ngữ cảnh.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về tính chất của ngôn ngữ phi ngữ cảnh.
Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của lí thuyết ngôn ngữ hình thức.
4. Nhiệm vụ
Tìm hiểu về tính chất của ngôn ngữ phi ngữ cảnh.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích tài liệu có liên quan.

1


Tổng hợp kinh nghiệm bản thân.

6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung chính của
khóa luận bao gồm 2 chương:
Chương 1: Trình bày về văn phạm phi ngữ cảnh và ngôn ngữ phi ngữ cảnh.
Chương 2: Trình bày về tính chất của ngôn ngữ phi ngữ cảnh.


Chương 1
Văn phạm phi ngữ cảnh
1.1.Văn phạm phi ngữ cảnh
Xuất xứ của văn phạm phi ngữ cảnh là sự mô tả thông qua các ngôn ngữ
tự nhiên. Ta có thể viết quy tắc cú pháp để diễn tả câu "Mạnh là sinh viên
giỏi" như sau:
<câu đơn>→<chủ ngữ><vị ngữ>
<chủ ngữ>→<danh từ>
<vị ngữ>→<động từ><bổ ngữ>
<bổ ngữ>→<danh từ><tính từ>
<danh từ>→ Mạnh
<danh từ>→ sinh viên
<động từ>→ là
<tính từ>→giỏi
Các từ trong dấu móc nhọn như <câu đơn>, <chủ ngữ>, <vị ngữ>, ... là
các phạm trù cú pháp, cho ta vai trò của các bộ phận hợp thành câu. Ta thấy
một câu sinh ra qua các bước triển khai dần dần theo các quy tắc cú pháp.
Đây cũng chính là dạng của các quy tắc sinh trong văn phạm phi ngữ cảnh.
1.1.1.Định nghĩa
Văn phạm phi ngữ cảnh là một bộ sắp thứ tự gồm 4 thành phần:
G = <, , S, P>
trong đó:
+  là một bảng chữ cái, gọi là bảng chữ cái cơ bản (hay bảng chữ cái

kết thúc),mỗi phần tử của nó được gọi là một ký hiệu kết thúc hay ký hiệu cơ
bản.
+  là một bảng chữ cái,  = , gọi là bảng ký hiệu phụ (hay bảng
chữ cái không kết thúc), mỗi phần tử của nó được gọi là một ký hiệu không


kết thúc hay ký hiệu phụ.
+ S  được gọi là ký hiệu xuất phát hay tiên đề.
+ P là tập hợp các quy tắc sinh có dạng A→ω, trong đó A,ω().
Như vậy, các quy tắc trong văn phạm phi ngữ cảnh có vế trái chỉ chứa
một ký hiệu phụ còn vế phải là tùy ý, và được gọi là quy tắc phi ngữ cảnh.
Ví dụ 1.1Cho văn phạm G 1 = <{a,b},{S, A, B},S,P1 >, trong đó:
P 1 = {S→AB, A→aA, A→a, B→bB, B→b}
G 1 là văn phạm phi ngữ cảnh.
Ví dụ 1.2Cho văn phạm G 2 = <{0,1},{S},S,P 2 >, trong đó:
P 2 = {S→SS, S→0S1, S→1S0, S→u}
G 2 là văn phạm phi ngữ cảnh.
1.1.2.Ngôn ngữ sinh bởi văn phạm phi ngữ cảnh
Định nghĩa 1.1Cho văn phạm phi ngữ cảnh G = <  ,  ,S,P>và
η,ω()*. Ta nói ω được suy dẫn trực tiếp từ η trong G, ký hiệu η├ Gω
hay ngắn gọn là η├ω ( nếu không sợ nhầm lẫn ), nếu tồn tại quy tắc
α→βP và γ, δ()* sao choη = γαβ, ω = γβδ.
Điều này có nghĩa là nếu η nhận vế trái α của quy tắc α→β như là từ con
thì ta thay α bằng β để được từ mớiω.
Định nghĩa 1.2Cho văn phạm phi ngữ cảnh G = <,,S,P> và
η,ω()*. Ta nói ω được suy dẫn từ η trong G, ký hiệu η ╞Gωhay ngắn
gọn là η ╞ ω (nếu không sợ nhầm lẫn), nếu η = ω hoặc tồn tại một dãy
D=ω 0 , ω 1 ,..., ω k ()* sao cho ω0= η,ωk = ω vàω i-1 ├ωi, với i =1,2,..., k.
Dãy D =ω 0 , ω 1 ,..., ωk được gọi là một dẫn xuất của ω từ η trong G và số
k được gọi là độ dài của dẫn xuất này.Nếu ω 0 = S và ωk * thì dãy D gọi là

dẫn xuất đầy đủ.
Nếu ωi được suy dẫn trực tiếp từ ωi-1 bằng việc áp dụng một quy tắc p nào
đó trong G thì ta nói quy tắc p được áp dụng ở bước thứ i.


Định nghĩa 1.3Cho văn phạm phi ngữ cảnh G = <,,S,P>. Từ ω*
được gọi là sinh bởi văn phạm phi ngữ cảnh G nếu tồn tại suy dẫn S╞ ω.
Ngôn ngữ sinh bởi văn phạm G, ký hiệu L(G), là tập hợp tất cả các từ sinh bởi
văn phạm G:
L(G) = {ω* | S ╞Gω}.
Định nghĩa 1.4Hai văn phạm G1 = <1, 1,S1,P1> và G2=<2,2,S2,P2>
được gọi là tương đương nếu L(G1) = L(G2).
Ví dụ 1.3Xét văn phạm G = <{a,b}, {S}, S, S→aSb, S→ab>
Bằng cách áp dụng quy tắc sinh thứ nhất n-1 lần và quy tắc sinh thứ hai
1 lần, ta có: S ├ aSb ╞ aaSbb ╞ a3 Sb 3╞ ... ╞ an-1b n-1╞ a n b nVậy L(G) chứa
các chuỗi có dạng a nb n, hay L(G) = {anbn |n > 1}.
1.1.3. Cây suy dẫn đầy đủ trong văn phạm phi ngữ cảnh
Định nghĩa 1.4Cho văn phạm phi ngữ cảnh G= <, , S, P>. Cây suy
dẫn đầy đủ trong văn phạm G là một đồ thị hữu hạn có hướng, không có chu
trình và thỏa mãn bốn điều kiện sau:
1. Mỗi đỉnh của cây được gán một nhãn là các ký hiệu trong tập
{ε}. Gốc của cây được gán nhãn là S.
2. Mỗi đỉnh trong được gán nhãn là một ký hiệu nào đó trong .
3. Mỗi đỉnh ngoài (lá của cây) được gán nhãn là một ký hiệu trong tập .
4. Nếu đỉnh m được gán nhãn là A , còn các đỉnh n1,n 2,..., n k là các
con của đỉnh m theo thứ tự từ trái sang phải và được gán nhãn B1,B2,..., Bk
tương ứng thì A→B1B 2 ...Bk là một quy tắc trong P của văn phạm G.
Nếu đọc tất cả nhãn ở các lá theo thứ tự từ trái sang phải, ta sẽ nhận được
một từ nào đó. Từ đó sẽ là một phần tử trong L(G) và được gọi là kết quả của
cây suy dẫn trong G.

Ví dụ 1.4Cho văn phạm phi ngữ cảnh:


G1=<{a,b,c,+,*,(,)},{S,A},S,{S→S+S | A*A|a|b|c,A→(S+S)|a|b|c}> Cây
suy dẫn của từ b+(a+c)*b trong G1là:

Hình 1.1Cây suy dẫn của từ ω = b+(a+c)*b trong G1
1.1.4. Quanhệ giữa dẫn xuất và cây suy dẫn
Định lý 1.1 Cho G= <,,S,P> là văn phạm phi ngữ cảnh và ω*\{ε}. Khi
đó ω L(G) khi và chỉ khi tồn tại một cây suy dẫn đầy đủ trong G
cókết quả là ω.
Chứng minh:Do ω ≠ε nên ta có thể giả thiết rằng S→ε P. Bây giờ với
mọi A,đặt G A = <, ,S,P>,ta có G A là văn phạm phi ngữ cảnh. Ta sẽ
chứng tỏ rằng ω L(GA ) khi và chỉ khi tồn tại một cây suy dẫn trong G A có
kết quả là ω.
Giả sử ω là kết quả của một cây suy dẫn trong G A và n là số ký hiệu
không kếtthúc trong cây. Bằng quy nạp theo n, ta sẽ chỉ ra rằngω L(GA).
Nếu tổng số ký hiệu không kết thúc trong cây là 1, ký hiệu phải là A và
là gốc của cây, do đó các con của A phải là các đỉnh được gán bởi các ký hiệu
kết thúc, chẳng hạn b1,b2,..., b k . Theo định nghĩa của cây suy dẫn, ta có
A→b 1b 2...b k hay A╞ ω.


Giả sử mệnh đề đúng với mọi cây suy dẫn có số ký hiệu không kết thúc
là n-1. Xét một cây suy dẫn trong G A có kết quả là ω và trong cây có n ký
hiệu không kết thúc. Gọi các con của A theo thứ tự từ trái sang phải là B 1, B 2 ,
...,Bk. Nếu các đỉnh này đều là lá thì cây gốc A chỉ có một đỉnh có ký hiệu
không kết thúc. Giả sử trong các đỉnh này có các đỉnh trong là C1, C 2 , ..., Cm.
Xét các cây con mà gốc của nó là C1, C2 ,..., Cm. Gọi α i là kết quả của cây suy
dẫn gốc Ci . Theo giả thiết quy nạp, α i L(GA). Vì tập các quy tắc trong G A

chứa trong tập các quy tắc trong G A nên ta có các suy dẫn trong G A là C 1 ╞α 1 ,
C 2 ╞ α 2 ,...,C m╞ α m. Sử dụng các suy dẫn này và quy tắc A→B 1 B 2 ...B k, ta
nhận được:
A╞ B 1 B 2...Bk ╞ ω1 C 1 ω2 C 2...ω mC mω m+1 ╞...╞ ω1 α 1 ω2 α2 ...ωm α mω m+1
Do kết quả của cây suy dẫn trong GA là ω nên ω=ω1 α 1 ω2α 2 ...ωmα m ω m+1
hay ωLG (A).
Đảo lại ta cần chứng minh rằng nếu có suy dẫn A╞ ω(ω ≠ ε)trongGA thì
có thể xây dựng một cây suy dẫn trong GA có kết quả là ω. Mệnh đề này được
chứng minh bằng quy nạp theo độ dài của suy dẫn.
Trước hết, nếu A╞ ω╞ b 1 b2 ...b k (suy dẫn một bước) thì có thể xây
dựngmột cây có gốc là A và các con từ trái sang phải lần lượt được gán các
nhãn là b1,b2,.., bk .
Giả sử mệnh đề đúng với mọi suy dẫn có độ dài không lớn hơn n.Cho
suy dẫn trong G A là A = ω có độ dài là n+1. Giả sử quy tắc đầu tiên trong suy
dẫn này là A→B1B2...Bk và C1, C2,..., C m là các ký hiệu không kết thúc trong
các B i (1ω i có độ dài không vượt quá n. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại các cây Ti của
G Ci mà kết quả của nó là a i và do đó ta có thể xây dựng trong GA cây suy dẫn
có kết quả làω như sau:


Hình 1.2Cây suy dẫn có kết quả là ω
1.1.5. Văn phạm phi ngữ cảnh đa nghĩa
Định nghĩa 1.5Cho văn phạm phi ngữ cảnh G= <, , S, P>. Ta nói văn
phạm G là nhập nhằng hay đa nghĩa nếu tồn tại một xâu ω là kết quả của
hai cây suy dẫn khác nhau trong G.
Trong trường hợp ngược lại, ta nói G là không nhập nhằng hay đơn
nghĩa.
Một văn phạm phi ngữ cảnh được gọi là nhập nhằng vĩnh cửu nếu không
tồn tại văn phạm phi ngữ cảnh đơn nghĩa nào tương đương với nó.

Ngôn ngữ do văn phạm G sinh ra gọi là ngôn ngữ nhập nhằng nếu G là
văn phạm nhập nhằng.
Ví dụ 1.5Văn phạm phi ngữ cảnh sau là nhập nhằng:
G = <{a, b, +, *}, {S}, S, {S→S+S, S→S*S, S→a, S→b}>
vì xâu ω = b+a*b+a có hai suy dẫn trái khác nhau trong G được cho
trong hình 1.3:


Hình 1.3Hai cây suy dẫn khác nhau cho từω = b+a*b+a
Cùng với văn phạm G ở trên, văn phạm
G’ = <{a, b, +, *}, {S, A}, S, {S→A, S→A+S, A→A*A, A→a, A→b}>
là đơn nghĩa và L(G’) = L(G).
1.1.6. Rút gọn các văn phạm phi ngữ cảnh
Trong một văn phạm phi ngữ cảnh có thể có nhiều yếu tố thừa, chẳng
hạn cónhững ký hiệu không hề tham gia vào quá trình sinh các ngôn ngữ,
hoặc có những quy tắc dạng A→B chỉ làm mất thời gian trong quá trình hình
thành các xâu của ngôn ngữ. Vì lẽ đó cần loại bỏ những yếu tố dư thừa không
có ích trong việc sinh ngôn ngữ, sao cho việc loại bỏ đó không làm ảnh hưởng
tới quá trình sinh ngôn ngữ. Điều đó có nghĩa là chỉ cần giữ lại các ký hiệu và
các quy tắc có ích trong văn phạm G mà chúng thực sự là cần thiết trong quá
trình sinh ngôn ngữ mà thôi.
Rút gọn các ký hiệu thừa trong văn phạm phi ngữ cảnh
Định nghĩa 1.6Cho văn phạm phi ngữ cảnh G= <, , S, P>. X được gọi
là ký hiệu có ích nếu tồn tại suy dẫn S ╞ αXβ╞ ω, trong đó α, β()*,
X và ω*.
Nếu ký hiệu X không thỏa mãn điều kiện trên thì X được gọi là ký hiệu
thừa.


Như vậy X là ký hiệu thừa nếu:

1/. Từ X không thể dẫn ra một xâu ω*. Ký hiệu X có tính chất như
thế được gọi là ký hiệu vô sinh.
2/. Từ ký hiệu xuất phát S không thể dẫn được một xâu nào có chứa ký
hiệu X. Khi đó ta nói ký hiệu X là ký hiệu không đến được.
Như vậy một ký hiệu là thừa nếu nó hoạc là ký hiệu vô sinh hoạc là ký
hiệu không đến được.
Bổ đề 1.1(Loại ký hiệu vô sinh) Cho văn phạm phi ngữ cảnh
G=<,,S,P> với L(G)   . Khi đó tồn tại văn phạm phi ngữ cảnh
G’=<, ’, S, P’> tương đương với G sao cho mọi A ’có một xâu
ω* để A╞ ω.
Chứng minh: Từ tập quy tắc P của G, ta xây dựng  ’ như sau:
+ Nếu trong P có quy tắc dạng A→ω với A , ω* thì kết nạp A vào
’.
+ Nếu A→X 1 X2 ...X k là quy tắc trong P mà Xi hoặc X i là biến đã
được kết nạp vào ’ thì ta kết nạp A vào ’.
Cứ tiếp tục xét các quy tắc trong P, ta sẽ xây dựng các ký hiệu cho tập
’. Vì P là hữu hạn nên quá trình sẽ được dừng lại sau một số hữu hạn bước.
Khi đó ta xây dựng được tập ’.
Ta xây dựng tiếp cận quy tắc P’ gồm các quy tắc trong P mà các ký hiệu
có mặt trong đó đều thuộc tập ’.
Bổ đề 1.2(Loại ký hiệu không đến được) Cho văn phạm phi ngữ
cảnhG=<,,S,P>.

Khi

G’=<’,’,S,P’>tương

đó

đương

tồn
với

tại

văn

G

sao

α,β(’)* để cho S╞αXβ.
Chứng minh: Xây dựng tập ’ và ’ như sau:

phạm
cho

phi

mọi

X

ngữ

cảnh

'' có

Đưa ký hiệu S vào ’. Nếu một ký hiệu A đã được kết nạp vào ’ và
A→α, ở đây α (’’)* thì ta kết nạp các ký hiệu phụ trong α vào ’,
còn các ký hiệu kết thúc trong α thì kết nạp vào ’.
Thủ tục kết nạp trên sẽ ngừng khi không còn bổ sung thêm được bất kỳ
ký hiệu nào nữa vào các tập ’ và ’ .
Tập quy tắc P’ được xây dựng như sau:
P’ bao gồm mọi quy tắc trong P mà chứa các ký hiệu thuộc tập ’’.
Với cách xây dựng đó, ta có L(G) = L(G’), trong đó G’ chỉ gồm các ký hiệu
đến được.
Định lý 1.2Mọi ngôn ngữ phi ngữ cảnh khác rỗng đều có thể được
sinh ra từ một văn phạm phi ngữ cảnh không có ký hiệu thừa.
Chứng minh: Đặt L = L(G) là ngôn ngữ phi ngữ cảnh không rỗng.
ĐặtG 1 là kết quả của việc áp dụng bổ đề 1.1 vào G và G2 là kết quả của
việc áp dụng bổ đề 1.2 vào G1.
Giả sử G2 có ký hiệu vô ích X. Theo bổ đề 1.2 ta có S╞ G2 αXβ . Vì tất
cả các ký hiệu trong G2 đều có trong G1 nên theo bổ đề 1.1:S╞ G1 αXβ╞G1 ω
với ω là chuỗi ký hiệu kết thúc. Vì vậy không có ký hiệu nào trong dẫn xuất
αXβ╞ G1 ω bị loại bởi bổ đề 1.2. Vậy X dẫn ra ký hiệu kết thúc trong G2. Suy
ra X là ký hiệu có ích (mâu thuẫn). Vậy văn phạm phi ngữ cảnh G 2 không có
ký hiệu thừa nào.
Rút gọn các quy tắc thừa trong văn phạm phi ngữ cảnh
Định nghĩa 1.7Cho văn phạm phi ngữ cảnh G = <,,S,P>. Quy tắc
trong P có dạng A→B, ở đây A, B, được gọi là quy tắc đơn hay phép đổi
tên.
Quy tắc đơn có tác dụng làm kéo dài quá trình sinh ra ngôn ngữ, vì vậy
ta sẽ tìm cách loại quy tắc đơn mà không làm ảnh hưởng tới quá trình sinh ra
ngôn ngữ của văn phạm đã cho.

Định lý 1.3Đối với mọi phạm phi ngữ cảnh mà trong tâp các quy
tắc của nó có quy tắc đơn thì tồn tại một văn phạm phi ngữ cảnh tương
đương với nó mà trong tâp cácquy tắccủa nó không chứa quy tắc đơn.
Chứng minh: Giả sử G = <,,S,P> là văn phạm phi ngữ cảnh có chứa
quy tắc đơn (và không chứa ký hiệu thừa). Ta xây dựng văn phạm phi ngữ
cảnh G’=<,,S,P’> tương đương với G và không chứa quy tắc đơn.
Đưa tất cả các quy tắc không đơn của P vào P’. Nếu trong P có quy tắc
A→B, với A, B , thì tồn tại suy dẫn S╞ αAβ╞ αBβ╞ αωβ, ở đây
α,β()*, ω* do  gồm các ký hiệu không thừa.
Vậy thay cho A→B, ta đưa vào P’ quy tắc S→ αAβ và A→ω đều là các
quy tắc không đơn nhưng chức năng sinh ngôn ngữ tương đương với quy tắc
A→B.
Ví dụ 1.6Văn phạm phi ngữ cảnh
G = <{a,+,*}, {S,A,B}, S, {S→S+A, S→A, A→A*B, S→a, A→B,
B→a}> tương đương với văn phạm phi ngữ cảnh sau không còn các
quy tắc đơn:
G = <{a,+,*}, {S,A,B}, S, {S→S+A, A→A*B, B→a, S→a,
S→A*B, A→a, S→a}>.
Định nghĩa 1.8Cho văn phạm phi ngữ cảnh G = <, , S, P>, nếu trong
P có quy tắc A→ε, A , thì ta nói G có ε-quy tắc.
Nếu L(G) không chứa từ rỗng ε thì có thể loại hết các ε -quy tắc trong P
để được một văn phạm mới tương đương với G; còn nếu trong L(G) có chứa
từ rỗng ε, thì không thể loại hết các ε -quy tắc khỏi G (ít nhất trong G phải
chứa quy tắc S→ε).
Các ε -quy tắc cũng làm văn phạm phi ngữ cảnh trở nên cồng kềnh, thiếu
chính xác. Định lí dưới đây cho phép loại bỏ các ε -quy tắc trong văn phạm
phi ngữ cảnh để được một văn phạm mới tương đương, chỉ sai khác một từ


rỗng.

Định lý 1.4Cho văn phạm phi ngữ cảnh G = <, , S, P>, giả sử L=
L(G). khi đó tồn tại một văn phạm phi ngữ cảnh G’ = <’,’ , S, P’>
không chứa các ε-quy tắc sao cho L(G’) = L(G)\ {ε}
Chứng minh: Theo định lý 1.2, ta luôn giả thiết văn phạm G là không
chứa các ký hiệu thừa. Ta sẽ xây dựng G’ không chứa các quy tắc rỗng theo
các bước sau:
1/. Tìm tất cả các ký hiệu triệt tiêu (nullable symbol) theo thủ tục:
Nếu B→ε P thì A là ký hiệu triệt tiêu.
Nếu B→α  P mà a là một xâu gồm toàn ký hiệu triệt tiêu thì B là ký
hiệu triệt tiêu.
Lặp lại các bước trên cho đến khi không tìm thêm được ký hiệu triệt
tiêu nào nữa.
2/. Xây dựng tập quy tắc P’
Loại tất cả các quy tắc rỗng trong P (có dạng A→ε).
Tập quy tắc mới P’ được xác định như sau: Nếu A→X1X 2...X n  P,
X i ()*, thì đưa vào P’ tất cả các quy tắc dạng A→ α1α 2...α n sao cho:
a/. Nếu X i không phải ký hiệu triệt tiêu thì α i = Xi, (giữ nguyên Xi)
b/. Với các X i là ký hiệu triệt tiêu thì mỗi lần thay một tập con của các
ký hiệu triệt tiêu này bởi các ký hiệu rỗng ε để được một quy tắc mới.
c/. Không thay tất cả các α i bởi các ký hiệu rỗng, dù mọi X i đều là ký
hiệu triệt tiêu.
Ví dụ 1.7 Cho văn phạm phi ngữ cảnh G = <{a, b}, {I, A, B}, I, P>
vớitập quy tắc P = {I→AB, A→aA, A→ε, B→bB, B→ε}. Hãy xây dựng
văn phạm G’ không có các ε-quy tắc, không có các ký hiệu thừa, sao cho
L(G’) = L(G) \{ε}.
+ Dễ thấy G là không có các ký hiệu thừa.


+ Cácký hiệu triệt tiêu là A và B.
+ Tậpquy tắc P’ = {I→AB, I→A, I→B, A→aA, A→a,B→bB,B→b}.

Vậy ta có G’ = <{a, b}, {I, A, B}, I, P’> là văn phạm không chứa các εquy tắc
Ví dụ 1.8 Văn phạm phi ngữ cảnh G 1 =<{a, b, d}, {S, A, B, C, D},S,P1>
với tập quy tắc P 1 = {S→ABaC, A→BC, B→b | ε, C→D | ε, D→a}.Xây
dựng văn phạm G 1 ’ không có các ε-quy tắc sao cho L(G1) = L(G1) \ {ε}.
+ Cácký hiệu triệt tiêu là A, B, C.
+ Tậpquy tắc P1 ’ = {S→AbaC | BaC | AaC | ABa | aC | Aa|Ba |a,
A→BC | B | C, B→b, C→D,D→d}.
Vậy ta có G1’ = <{a, b, d}, {S, A, B, C, D}, S, P1 ’> là văn phạm không
chứa các ε-quy tắc.
1.2. Chuẩn hóa văn phạm phi ngữ cảnh
1.2.1. Dạng chuẩn Chomsky
Định nghĩa 1.9Văn phạm phi ngữ cảnh G = <, , S, P> được gọi là văn
phạm ở dạng chuẩn Chomsky, nếu mọi quy tắc đều có dạng A→BC
hoặcA→a, với A, B, C , a  .
Như vậy, có thể nhận xét rằng các văn phạm dạng chuẩn Chomsky sẽ
không có các quy tắc thuộc các loại sau:
a/. Các ε-quy tắc (các quy tắc rỗng).
b/. Các quy tắc đơn, dạng A→B, A, B .
c/. Các quy tắc mà vế phải có cả ký hiệu chính và ký hiệu phụ.
d/. Các quy tắc có vế phải nhiều hơn hai ký hiệu.
Đưa văn phạm phi ngữ cảnh về dạng chuẩn Chomsky
Định lý 1.5Đối với văn phạm phi ngữ cảnh tùy ý G = <, , S, P>, luôn
tồn tại một văn phạm phi ngữ cảnh ở dạng chuẩn Chomsky G’ = <, ', S,
P’> tương đương với nó, tức là L(G) = L(G’).


Chứng minh:Theo các định lý 1.2, 1.3 và 1.4 phần trên, ta có thể giả
thiết văn phạm G không chứa các ký hiệu thừa, không chứa các ε-quy tắc và
không chứa các quy tắc đơn. Để xây dựng văn phạm mới G’ ở dạng chuẩn
Chomsky, ta chỉ cần loại bỏ các quy tắc mà vế phải có chứa cả ký hiệu chính

và ký hiệu phụ hoặc các quy tắc mà vế phải nhiều hơn hai ký hiệu. Việc loại
bỏ các quy tắc không hợp lệ này tiến hành theo hai bước sau:
Bước 1: Với các quy tắc vế phải có chứa cả ký hiệu chính và ký hiệu
phụ, tức là các quy tắc có dạng A→X1X 2 ...Xm , với Xi .(1)
Xét tất cả các X i trong quy tắc (1), nếu X i  thì giữ nguyên Xi, nếu Xi =
a , ta thêm vào ký hiệu phụ Aa, thay Xi trong quy tắc (1) bởi Aa,và thêm
vào quy tắc A a →a. Lặp lại quá trình trên với tất cả các Xi trong quy tắc (1),
quy tắc (1) trở thành: A→Y 1Y 2 ...Y m, với Yi là các ký hiệu phụ (Yi = Xi nếu
X i  , Y i = Ai nếu X i = a ).
Sau bước 1, ta nhận được văn phạm G 1 = <, A1, S, P 1> với 1 và P1
nhận được từ  và P sau khi thêm vào các ký hiệu phụ mới và các quy tắc mới
như trên. Rõ ràng L(G1) = L(G) mà G 1 không chứa các quy tắc mà vế phải có
cả ký hiệu chính và ký hiệu phụ.
Bước 2: Bây giờ trong G 1 cần loại bỏ các quy tắc mà vế phải có độ dài
lớn hơn 2, gồm toàn ký hiệu phụ, là các quy tắc dạng: A→Y1Y 2...Ymvới
m>2, Y 1.
Ta thêm m-2 ký hiệu phụ Z 1, Z2,..., Z m-2 vào tập 1 và thêm vào m-2 quy
tắc sau đây:
AY1Z1 ; Z1Y2Z2; Y2Y3Z3 ; ...; Zm-2Ym-1Zm.
Ta nhận được văn phạm mới G 2 = <, 2, S, P2> không chứa các quy tắc
có vế phải nhiều hơn 2 ký hiệu, không chứa các quy tắc vế phải gồm cả ký
hiệu chính và ký hiệu phụ. Dễ dàng chỉ ra rằng L(G2) = L(G1) = L(G), vậy G 2


chính là văn phạm G’ ở dạng chuẩn Chomsky cần tìm.
Ví dụ 1.9Cho văn phạm phi ngữ cảnh G = <{a,b},{S,A,B},S,P>,
với tập quy tắc P = {S→A, S→ABA, A→aA, A→aA, A→a, A→B,
B→bB, B→b}. Hãy xây dựng văn phạm ở dạng chuẩn Chomsky tương
đương với G.
Giải: Áp dụng định lý 1.3, ta có thể loại hết các quy tắc đơn trong G, để

được văn phạm tương đương mà không chứa quy tắc đơn G1
=<{a,b},{S,A,B},S,P1>, với P1 = {S→ABA, S→aA, S→a, S→bB, S→b,
A→aA, A→a, A→bB, A→b, B→bB, B→b}.
Bây giờ ta thay tất cả các quy tắc mà vế phải có chứa cả ký hiệu chính và
ký hiệu phụ:
+ Với các quy tắc S→aA, A→aA ta thay a bởi Aa, thêm A a vào tập ký
hiệu phụ mới 2, thêm quy tắc Aa →a vào tập quy tắc mới P2.
+ Với các quy tắc S→bB, A→bB, B→bB ta thay b bởi Ab, thêm A b vào
tập ký hiệu phụ mới 2, thêm quy tắc Ab →b vào tập quy tắc mới P2.
Ta nhận được G 2 = <{a, b},{S, A, B, Aa, Ab}, S, P2>, với
P2

={S→ABA,

S→AaA,

S→a,

S→A b B,

S→b,

A→AaA,

A→a,A→AbB, A→b, B→AbB, B→b} không có quy tắc nào mà vế phải có
cả ký hiệu chính và ký hiệu phụ, và rõ ràng G2 ~ G1 ~ G.
+ Với G2, ta giảm độ dài vế phải các quy tắc có hơn hai ký hiệu: thay
quy tắc S→ABA bởi hai quy tắc S→AC, C→BA, và thêm C vào tập ký hiệu
phụ. Cuối cùng, ta được văn phạm G 3 = <{a, b},{S, A, B, Sa, Ab,C}, S, P3>
với P3 = {S→AC, C→BA, S→Aaa, S→a, S→AbB, S→b, A→AaA, A→a,

A→AbB, A→b, B→AbB, B→b}
Văn phạm G3 ~ G 2 ~ G1 ~ G, mà G3 ở dạng chuẩn Chomsky.
1.2.2. Dạng chuẩn Greibach
Một dạng chuẩn khác của văn phạm phi ngữ cảnh là dạng chuẩn


Greibach cũng được sử dụng nhiều trong các chứng minh hay thiết kế các văn
phạm.
Định nghĩa 1.10 Văn phạm phi ngữ cảnh G = <, , S, P> được gọi là
văn phạm dạng chuẩn Greibach, nếu mọi quy tắc đều có dạng A→aa với a
, α*,và S→ε nếu ε L(G). Khi εL(G) thì S không xuất hiện ở vế phải của
mọi quy tắc.
Trong dạng chuẩn Greibach, vế phải của mọi quy tắc đều bắt đầu bằng
một ký hiệu kết thúc:
Ví dụ 1.10Văn phạm G có các quy tắc S→aAB, S→ε, A→bC,
B→b, C→c là văn phạm ở dạng chuẩn Greibach.
Đưa văn phạm phi ngữ cảnh về dạng chuẩn Greibach
Trước hết ta xét hai bổ đề hỗ trợ sau.
Bổ đề 1.3 Giả sử G = <, , S, P > là văn phạm phi ngữ cảnh. Cho trước
A→Bγ là A-quy tắc trong P và B→β 1 | β 2 | ... | β k . Văn phạm G1 = <, , S,
P1> thu được từ G bằng cách loại bỏ quy tắc A→ Bγ và thêm vào quy tắc
A→ β i γ (1 Chứng minh: Nếu áp dụng A→ βγ trong suy dẫn để ω L(G) thì chúng
ta sẽ phải sử dụng B→B i với i nào đó ở bước tiếp theo. Vây A ╞ G β i γ. Kết
quả của việc sử dụng A→Bγ và loại bỏ B khỏi P trong G thì hoàn toàn tương
đương với việc sử dụng A→ β i γ trong G1. Do vậy L(G1) = L(G).
Bổ đề 1.4 G = <, , S, P> là văn phạm phi ngữ cảnh. Giả sử tập các Adẫn xuất là A→Aα 1 | Aα 2 | ... Aα n | β 1 | β 2 | ... | β m trong đó β i không bắt đầu
bằng A.
G’ = <, {Z}, S, P1> với P1 được xác định như sau:
1) Tập các A-dẫn xuất trong P 1 là A→ β 1 | β 2 | ... | β m và A→ β 1Z| β 2Z| ...

| β mZ.
2) Tập các Z-dẫn xuất trong P 1 là Z→α 1 | α 2 | ... α n và Z→α 1Z | α 2 Z | ...|


α n Z.
3) Các quy tắc đối với các ký hiệu khác cũng thuộc P1.
Khi đó G’ là văn phạm phi ngữ cảnh tương đương với G.
Chứng minh:
Trong một dẫn xuất trái, một chuỗi quy tắc dạng A→α i phải kết thúc
bằng A→β j. Tức là:
A├Aα i(1) ├Aα i(2) α i(1) ├ ... ├Aα i(p) α i(p-1) ...α i(1) ├ β jα i(p) α i(p-1) ...αi(1)
(1 ≤ i ≤ n). Dẫn xuất trong G có thể thay bằng dẫn xuất trong G’ bởi:
A├β j B├β jα i(p) B├β jα i(p) α i(p-1) ...B├...β jα i(p) α i(p-1) ...α i(2) B├β j α i(p) α i(p1) ...α i(1) (1

≤ j ≤ m).

Sự chuyển đổi ngược lại cũng có thể được.
Vậy L(G) = L(G’)
Ví dụ 1.11Áp dụng bổ đề 1.4 cho các A-dẫn xuất: A→aBD | bDB | c, và
A→AB | AD.
Giải:Ở đây α 1 = B, α2 = D, β 1 = aBD, β 2 = bDB, β3 = c. Vậy các quy tắc
mới là:
4) A→aBD | bDB | c, A→aBDZ | bDBZ | cZ
5) Z→B, Z→ D, Z→BZ | DZ
Định lý 1.6Mọi ngôn ngữ phi ngữ cảnh L đều có thể được sinh bởi
văn phạm phi ngữ cảnh G ở dạng chuẩn Greibach.
Chứng minh: Chứng minh định lý theo hai trường hợp: L không chứa ε
và sau đó mở rộng khi có chứa ε.
Trường hợp 1: ε  L(G)
Bước 1: Xây dựng văn phạm phi ngữ cảnh G ở dạng chuẩn Chomsky để

sinh ra L. Giả sử G = <, {A 1 A 2,..., A n}, A1, P>.
Bước 2: Để có được các quy tắc dạng A i →aγ hoặc Ai →Aj γ với j > i,thì
phải chuyển Ai-dẫn xuất về dạng Ai → A j γ sao cho j > i. Điều này thực hiện


được bằng phương pháp quy nạp theo i và sử dụng bổ đề 1.4. Cuối cùng
chúng ta có A i →Aj γ, với i = 1, 2, ..., n-1 và j > i hoặc A i →aγ’ .
An-dẫn xuất sẽ có dạng An →A nγ hoặc A n→ aγ’.
Bước 3: Chuyển An-dẫn xuất về dạng A n→ aγ. ở đây sử dụng bổ đề 1.4
để loại quy tắc dạng An →An γ’.
Bước 4: Chuyển trạng thái Ai-dẫn xuất về dạng A i→ aγ với i = 1,2, ...,n1.
Cuối bước 3 ta đã thu được A n → aγ. Các An-1-dẫn xuất có dạng
A n →A n γ hoặc An-1→aγ'. Áp dụng bổ đề 1.3 để loại đi những quy tắc An-1
→A n γ và chỉ còn lại những quy tắc dạng A n-1→aγ. Lặp lại tương tự đối với
An-2, An-3, ..., A1.
Bước 5: Biến đổi các Zi-dẫn xuất. Mỗi khi áp dụng bổ đề 1.4 ta sẽ có
một biến mới, thêm biến Zi khi áp dụng bổ đề với Ai-dẫn xuất. Khi đó Zi-dẫn
xuất có dạng Z i→aγ | A k γ, với k nào đó. Sau bước 4, vế phải của mọi Ak -dẫn
xuất đều bắt đầu bằng một ký hiệu kết thúc. Ta áp dụng bổ đề 1.3 để loại bỏ
Z i →A k γ. Kết thúc bước 5 ta nhận được văn phạm ở dạng chuẩn Greibach.
Trường hợp 2: Xây dựng G để sinh ra L có chứa ε.
Trong trường hợp 1 đã xây dựng được văn phạm phi ngữ cảnh G = <,
, S, P>để L(G) = L\{ε}.
Định nghĩa G 1 = <, {S 1}, S 1, P{S1→S,S1→ε}>
Quy tắc S 1→S có thể được loại bỏ theo định lý 1.3. Khi đó L(G1) = L.
Ví dụ 1.12 Cho văn phạm phi ngữ cảnh G = < {a, b},{S, A, B}, S,P>,
với tập quy tắc P = {S→AA, S→a, A→SS, A→b}. Hãy xây dựng văn phạm
ở dạng chuẩn Greibach tương đương với G.
Giải:
Bước 1: Văn phạm G ở dạng chuẩn Chomsky. Đặt A 1 = S, A2 = A các

quy tắc trên chuyển thành A 1→A2A2, A 1→a, A2→A1A1, A 2→b và không có


quy tắc thừa.
Bước 2:
A1-dẫn xuất có dạng đúng theo yêu cầu: A1→A2A2, A 1→a
A 2→b thỏa mãn điều kiện bước 2 ở trên. Sử dụng bổ đề 1.3 để
chuyểnA 2→A 1A1vềdạng: A 2→A2A2A1, A 2→aA 1. Vậy A2-dẫn xuất sẽ là
A 2→A 2A2A 1, A2→aA 1, A2→b.
Bước 3: Áp dụng bổ đề 1.4 cho các A2-dẫn xuất. Thêm Z2 và chuyển
A 2→A 2A2A 1 về dạng yêu cầu:
A2→aA1 , A2→b, A 2→aA1Z2, A2→bZ2, Z2 →A2A1, Z2→A2A1Z2
Bước 4:A2-dẫn xuất là A 2→aA 1 | b | aA 1Z2 | bZ2.
Trong số các A1-dẫn xuất chỉ còn lại A 1→a vì A1→A 2A2 bị loại bỏ theo
bổ dề 1.3. Các A1-dẫn xuất sau khi chuyển đổi sẽ là:
A1→a | aA 1A 2 | bA2 | aA1Z2A2 | bZ 2A2.
Bước 5: Biến đổi Z2→A2A1, Z2→A 2A1Z2. Áp dụng bổ đề 1.3 ta nhận
được:Z 2 →aA1A1 | bA1 | aA1Z2A1 | bZ 2A2, Z 2→aA1A1Z2 | bA1Z2 | aA1Z2A1Z2 |
bZ2A2Z2.
Cuối cùng văn phạm cần tìm là G1 = <{a, b},{A 1, A 2, Z2}, A 1 , P1> với
tập quy tắc P 1 = {A1→a | aA 1A 2 | bA 2 | aA1Z 2A 2 | bZ2A 2, A 2→aA 1| b | aA1Z2 |
bZ2, Z2→aA 1A1 | bA1 | aA 1Z2A 1 |bZ2A 2,

Z 2→aA 1A 1Z2|

bA 1Z2

|

aA1Z 2A1Z 2

|bZ 2A2Z 2}.
1.3. Bài tập
Bài 1: Cho trước văn phạm G có các quy tắc: S→0S0 | 1S1
|A,A→2B3,B→2B3|3. Tìm L(G).
Giải:
Bằng cách áp dụng các quy tắc sinh S→0S0 | 1S1 | A ta sẽ được S╞
ωAω, với ω{0,1}*.
Sử dụng quy tắc A→2B3 một lần và quy tắc B→2B3 n-1 lần ta có A╞


2mB3m.
Cuối cùng áp dụng B→3 ta nhận được: S╞ ω2mB3m+1ω.
Vậy L(G) = { ω2mB3m+1ω | ω {0,1}*, m1}.
Bài 2: Rút gọn ký hiệu thừa trong các văn phạm sau
a, G = <{a, b}, {S, A, B, C}, S, P> với tập quy tắc P = {S→AB | CA,
B→BC | AB, A→a, C→aB | b}
b, G = <{a, b}, {S, A, B, C, D, E}, S, P> với tập quy tắc P = {S→aAa, A
→Sb | Bcc | DaA, C→abb | DD, E→aC, D→aDA}.
Giải:
a, G = <{a, b}, {S, A, B, C}, S, {S→AB | CA, B→BC | AB, A→a,
C→aB | b}>.
Bước 1: Loại ký hiệu vô sinh
Gọi G1 = <, 1, S, P1> là văn phạm tương đương với văn phạm G
không có ký hiệu vô sinh.
Trong P có quy tắc A→a, C→b với A, a, b* nên ta đưa A, C vào
1.
Trong P có quy tắc S→CA với A,C1 nên ta kết nạp S vào 1.
Vậy 1 = {S, A, C}
P1 = {S→CA, A→a, C→b}
Như vậy kết thúc bước 1 ta có văn phạm G1 = <{a, b}, {S, A, C}, S,

{S→CA, A→a, C→b}>.
Bước 2: Loại ký hiệu không đến được
Gọi G2 = <2, 2, S, P2> là văn phạm tương đương với văn phạm G1 khi
đã loại ký hiệu không đến được.
Ta đưa S vào 2.
Trong P1 có quy tắc S→CA với A,C(11)* nên ta kết nạp A, C vào