Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
------



------

BÙI XUÂN QUANG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
------



------

BÙI XUÂN QUANG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

Chuyên ngành : Phương trình vi phân và tích phân
Mã số :

9.46.01.03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy
TS. Trần Thị Loan

Hà Nội – 2020


L˝I CAM

OAN

T¡c gi£ cam oan nhœng k‚t qu£ trong lu“n ¡n a t⁄p qu¡n t‰nh Łi vîi mºt sŁ
lîp ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa l c¡c cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa ri¶ng t¡c gi£, ÷æc
ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¤n cıa PGS.TSKH. Nguy„n Thi»u Huy
࿿࿿࿿7࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿8æ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿9࿿ᐡ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿:࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿;࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿

<࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿=࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿>╪࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿?࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿@࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿
A࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿B࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿C࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿D࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿E࿿࿿44I࿿࿿
࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿J࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿K࿿±࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿L࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Mᚐ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿
N࿿▗࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿O࿿ອ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ P
TS. Trƒn Thà Loan. C¡c k‚t qu£ trong
lu“n ¡n ch÷a tłng ÷æc cæng bŁ trong b§t ký mºt cæng tr…nh nghi¶n cøu n o
kh¡c m t¡c gi£ bi‚t.

H Nºi, ng y 16 th¡ng 7 n«m
2019
Nghi¶n cøu sinh

Bòi Xu¥n Quang


3


LIC MèN

Lun Ăn n y ữổc thỹc hiằn ti Trữớng i hồc Sữ phm H Ni v ho n th nh dữợi
sỹ hữợng dÔn ca PGS.TSKH. Nguyn Thiằu Huy (Trữớng i hồc BĂch Khoa H
Ni) v TS. Trn Th Loan (Trữớng i hồc Sữ phm H Ni). TĂc giÊ xin b y tọ
lặng bit ỡn sƠu sc n tp th hữợng dÔn ca mnh, nhng ngữới  tn tnh
v chu Ăo trong cổng tĂc hữợng dÔn tĂc giÊ ho n th nh lun Ăn. TĂc giÊ vổ
cũng bit ỡn TS. Trn Th Loan v nhiu giúp ù tĂc giÊ tr th nh mt nghiản
cứu sinh ca Trữớng i hồc Sữ phm H Ni. c biằt, tĂc giÊ vổ cũng bit ỡn ngữới
hữợng dÔn thứ nhĐt ca mnh Thy Thiằu Huy
ngữới  mang li cho tĂc giÊ mt ới sng tinh thn v ới sng toĂn hồc
y tuằ giĂc. CÊm ỡn Thy v  tip nhn t khi tĂc giÊ va tt nghiằp i hồc,
hữợng dÔn lun vôn cao hồc, t b i toĂn cho lun Ăn tin sắ, ỗng thới truyn cÊm
hứng v dÔn dt tĂc giÊ vữổt qua rĐt nhiu khõ khôn trong nghiản cứu khoa
hồc.
TĂc giÊ xin gòi nhng lới cÊm ỡn c biằt n seminar Asymptotic Behavior
of Solutions to Differential Equations and Applications ữổc iu h nh bi
PGS.TSKH. Nguyn Thiằu Huy v  to ra cho tĂc giÊ mt mổi trữớng hồc
thut nghiảm túc v sổi ng. TĂc giÊ cụng rĐt cÊm ỡn cĂc th nh viản ca
seminar, c biằt l TS. Trnh Vit Dữổc v ThS. Lả Anh Minh, v rĐt nhiu thÊo

lun hu ch tĂc giÊ ho n thiằn lun Ăn.
TĂc giÊ c biằt cÊm ỡn TS. Vụ Th Ngồc H v nhng ng viản v PGS.TS.

ỉ

ức Thun v nhng bữợcu trong hổp tĂc nghiản cứu.

NhƠn dp n y, tĂc giÊ trƠn trồng gòi lới cÊm ỡn n Ban GiĂm hiằu, Phặng
Sau i hồc, Ban Ch nhiằm Khoa ToĂn Tin, Trữớng i hồc Sữ phm H Ni  luổn
giúp ù, ng viản tĂc giÊ trong sut quĂ trnh hồc tp. TĂc giÊ rĐt bit ỡn GS.TS.
Cung Th Anh, PGS.TS. Trn nh K, PGS.TS. Lả Vôn Hiằn v cĂc giÊng viản
cũng cĂc anh ch em nghiản cứu sinh ca B mổn GiÊi tch,

4


5
Khoa ToĂn

Tin v  cõ nhiu ng viản v gõp ỵ quan trồng cho lun Ăn.

TĂc giÊ mun nõi lới cÊm ỡn n cĂc nh khoa hồc trong hi ỗng Ănh giĂ lun Ăn
cĂc cĐp, c biằt l cĂc phÊn biằn v phÊn biằn c lp, v  ồc bÊn thÊo v cõ
nhng ỵ kin vổ cũng quỵ bĂu tĂc giÊ ho n thiằn lun Ăn. CÊm ỡn cĂc nh
khoa hồc, cĂc ỗng nghiằp v cĂc cỡ quan  vit nhn xt tõm tt lun Ăn cho tĂc
giÊ.
TĂc giÊ trƠn trồng gòi lới cÊm ỡn n Ban GiĂm hiằu Trữớng i hồc HÊi
Phặng, Ban Ch nhiằm Khoa ToĂn v Khoa hồc tỹ nhiản, B mổn GiÊi tch
v ToĂn ứng dửng, nỡi tĂc giÊ lun Ăn ang cổng tĂc, v  to nhiu iu kiằn thun
lổi tĂc giÊ hồc tp v nghiản cứu. c biằt, tĂc giÊ xin b y tọ sỹ bit ỡn ThS. ỉ

Th Ho i, ngữới  giợi thiằu tĂc giÊ n l m viằc vợi nhõm nghiản cứu ca
PGS.TSKH. Nguyn Thiằu Huy.
Trong quĂ trnh l m nghiản cứu sinh, tĂc giÊ Â cõ rĐt nhiu trao i hu
ch vợi GS.TS. Nguyn Vôn Minh v GS.TS. Ricardo Rosa (tĂc giÊ ca b i bĂo
Rosa R. & Temam R. [61]). TĂc giÊ xin b y tọ sỹ cÊm ỡn i vợi hồ.
CÊm ỡn GS.TS. Bũi XuƠn HÊi, TS. Bũi Anh TuĐn v nhng thÊo lun
0 ng viản trong quĂ trnh l m nghiản cứu sinh ca tĂc giÊ. TĂc giÊ cụng rĐt
bit ỡn cĂc hỉ trổ v giúp ù ca nhng ngữới bn Nguyn Dữỡng To n, Nguyn
Trung Th nh, Nguyn Vôn o i, Nhung Ho ng.
TĂc giÊ xin d nh mt phn lun Ăn n y tững nhợ n ổng Phm Minh ức, mt
ngữới thƠn c biằt, ỗng thới l mt ngữới bn lợn, ngữới  ỗng h nh y cÊm thổng
vợi tĂc giÊ trong thới gian u l m nghiản cứu sinh.
TĂc giÊ d nh tng lun Ăn n y cho mà, ngữới thy mổn toĂn u tiản ca tĂc
giÊ. ỗng thới, tĂc giÊ mun b y tọ lặng bit ỡn vổ hn n b mà v gia nh,
nhng ngữới  luổn bản cnh v chia sã nhng khõ khôn trong cuc sng.


MệC LệC

Lới cam oan
Lới cÊm ỡn

3
4

Danh sĂch k hiằu

8

M u

9

1
Lỵ do chồn t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
2
Tng quan vĐn nghiản cứu . . . . . . . . . . . . . . . .....
3
Mửc ch i tữổng v Phm vi nghiản cứu . . . . . . .....
4
Phữỡng phĂp nghiản cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
5
Kt quÊ ca lun Ăn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
6
CĐu trúc ca lun Ăn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1 Kin thức chu'n b
1.1
1.2

Nòa nhõm toĂn tò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
ToĂn tò tuyn tnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1.2.1
ToĂn tò xĂc nh dữỡng cõ ph rới rc . . . . . .....
1.2.2
ToĂn tò qut v Nòa nhõm giÊi tch . . . . . . . .....
1.2.3
Kt quÊ b trổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1.3
Khổng gian h m chĐp nhn ữổc . . . . . . . . . . . . .....
2 a tp quĂn tnh i vợi mt lợp phữỡng trnh parabolic v

ứng dửng
2.1 Mổ hnh cnh tranh vợi khuch tĂn cho: ToĂn tò qut v t b i
toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
2.2 a tp quĂn tnh i vợi mt lợp phữỡng trnh parabolic vợi toĂn
tò qut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
2.2.1
Phữỡng trnh Lyapunov-Perron . . . . . . . . . .....
2.2.2
Sỹ tỗn ti v tnh duy nhĐt nghiằm . . . . . . . .....

6

9
11
19
21
21
22
24
24
28
28
29
35
36
42

43
49
49

50


2.2.3

7
Sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 ng dửng v o mổ hnh cnh tranh vợi khuch tĂn cho . . . . .
2.4 Tnh chnh quy ca a tp quĂn tnh . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 iu khin phÊn hỗi hu hn chiu ca mt lợp phữỡng trnh
phÊn ứng-khuch tĂn thổng qua lỵ thuyt a tp quĂn tnh . . .
2.5.1
Hằ vặng h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 ng lỹc mong mun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3
CĂc toĂn tò iu khin u v o v u ra . . . . . . . .
2.5.4
Lut iu khin phÊn hỗi hu hn chiu . . . . . . . . .
2.5.5
a tp quĂn tnh i vợi hằ vặng kn . . . . . . . . . . .
3 a tp quĂn tnh i vợi mt lợp phữỡng trnh o h m riảng h m

60
67
75
76
78
79
79

80

cõ tr hu hn
86
3.1 t b i toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.2 Phữỡng trnh Lyapunov-Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.3 Sỹ tỗn ti v tnh duy nhĐt nghiằm . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.4 Sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.5 ng dửng v o phữỡng trnh Hutchinson sòa i vợi khuch tĂn . 107
4 a tp quĂn tnh i vợi mt lợp phữỡng trnh o h m riảng h m
trung tnh
4.1 t b i toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Phữỡng trnh Lyapunov-Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Sỹ tỗn ti v tnh duy nhĐt nghiằm . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Mt v dử minh hồa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kt lun v Kin ngh

110
110
114
118
122
133
136

1
CĂc kt quÊ Â t ữổc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2
xuĐt mt s hữợng nghiản cứu tip theo . . . . . . . . . . . . 137
Danh mửc cĂc cổng trnh khoa hồc liản quan n lun Ăn
138
T i liằu tham khÊo

139

Ch mửc

147


DANHS CHK HI U

X, (X; k k)
E
C( )
k

khæng gian Banach/Hilbert vîi chu'n k k
khæng gian h m ch§p nh“n ÷æc
khæng gian c¡c h m sŁ li¶n töc tr¶n

C
()
jj

khæng gian c¡c h m sŁ kh£ vi li¶n töc c§p k tr¶n

C
u
A

C [ h; 0]; D(A )
C ÷æc x¡c ành bði sup
to¡n tß tuy‚n t‰nh

D(A)

mi•n x¡c ành cıa to¡n tß A

A
X :=D(A )

lôy thła ph¥n thø (vîi 2 [0; 1))
mi•n x¡c ành cıa lôy thła ph¥n thø A

P , Pn
Q, Qn

ph†p chi‚u

chu'n trong

C

k,

tA t>0

!0
s(A)

c“n phŒ cıa to¡n tß A

(A)
T ‘ 1, T

2[ h;0]

u(t + )

Q := I P , Qn := I Pn,
gi¡ trà ri¶ng, vector ri¶ng thø k
nßa nhâm sinh bði to¡n tß tuy‚n t‰nh A
c“n t«ng tr÷ðng cıa nßa nhâm e tA t 0

ek

e

,

k

1

r

>

phŒ cıa to¡n tß A
nghàch £o tr¡i, ph£i cıa to¡n tß T

G(t; )

h m Green

distX

nßa kho£ng c¡ch Hausdorff sinh bði chu'n cıa X

k 1’k1
L
(R )

supt2R t
1 ’( )d
gian c¡c h m sŁ kh£ t‰ch àa ph÷ìng tr¶n R

Df(t; u)

⁄o h m theo u cıa f : R X ! X, (t; u) 7!f(t; u)

Lip(f)

h» sŁ Lipschitz cıa ¡nh x⁄ f : R X ! X

SMea(J; X)

t“p hæp c¡c h m h: J ! X o ÷æc m⁄nh

1;loc

t

khæng

R

8

k

X


M U

0 Lỵ do chồn t i
RĐt nhiu cĂc hiằn tữổng trong tỹ nhiản v k thut nhữ quĂ trnh truyn
nhiằt, quĂ trnh phÊn ứng-khuch tĂn, cĂc mổ hnh cnh tranh, thú-mỗi vợi
khuch tĂn cho, . . . u cõ th ữổc mổ tÊ bng cĂc phữỡng trnh o h m riảng
vợi cĂc iu kiằn ban u v iu kiằn biản phũ hổp. Bng cĂch chồn khổng gian h
m v toĂn tò tuyn tnh thch hổp, cĂc phữỡng trnh o h m riảng õ cõ th
ữổc vit li dữợi dng mt phữỡng trnh tin hõa trong mt khổng gian Banach
(xem, chflng hn, [27,70,76,78]). Viằc xem xt cĂc phữỡng trnh tin hõa

trong cĂc khổng gian tru tữổng cho php sò dửng nhng cổng cử hiằn i
tm hiu nhng vĐn mang tnh bÊn chĐt ca nghiằm.
Mt trong nhng vĐn trung tƠm ca lỵ thuyt hằ ng lỹc vổ hn chiu l
khÊo sĂt dĂng iằu tiằm cn ca nghiằm khi thới gian vổ cũng lợn. Ơy l mt viằc l
m rĐt quan trồng v nõ cho php ngữới ta hiu sƠu sc hỡn ca cĂc quĂ trnh
bin i vt chĐt theo thới gian. T õ, chúng ta cõ th ữa ra nhng ữợc lữổng v
Ănh giĂ quy mổ ca cĂc hằ thng trong tữỡng lai.
0 i toĂn nghiản cứu dĂng iằu tiằm cn cõ mt bữợc t phĂ lợn khi Foias
1

C., Sell G.R. & Temam R. [28, 29] giợi thiằu khĂi niằm a tp quĂn tnh nôm
1985 khi nghiản cứu phữỡng trnh Navier-Stokes. V kha cnh toĂn hồc, a tp
quĂn tnh l mt a tp trỡn (ti thiu l a tp Lipschitz) hu hn chiu, bĐt bin dữỡng,
v hút cĐp mụ tĐt cÊ cĂc nghiằm ca phữỡng trnh tin hõa dữợi nhng iu kiằn
ang xt. Tnh chĐt n y cho php sò dửng nguyản l rút gồn nghiản cứu dĂng
iằu tiằm cn nghiằm ca phữỡng trnh tin hõa trong khổng gian vổ hn chiu
bng cĂch so sĂnh chúng vợi phữỡng trnh vi phƠn cÊm sinh trản khổng gian
hu hn chiu. Do õ, nõ l mt i tữổng rĐt hu ch trong
0

Ting Anh: inertial manifolds

9


10
viằc nghiản cứu dĂng iằu tiằm cn ca cĂc hằ ng lỹc vổ hn chiu. V kha cnh
vt lỵ, Temam R. [71] Â vit: From the physical point of view an inertial manifold
is an interaction law relating small and large eddies in a turbulent flow. In this
sense the specification of an inertial manifold is equivalent to a modeling of

2

turbulence. . K t õ, a tp quĂn tnh i vợi phữỡng trnh tin hõa dng

5888 du
< dt + Au = F; t > 0;
:
u(0) = u0 2 X;

(1)

trong õ A l mt toĂn tò tuyn tnh trong mt khổng gian Banach vổ hn
chiu, s hng phi tuyn F (cõ th phử thuc v o trng thĂi/lch sò/thới gian) v
liản tửc Lipschitz u cõ hằ s Lipschitz l mt hng s  ữổc nghiản cứu mt
cĂch hằ thng (xin xem chi tit Tng quan vĐn nghiản cứu).
Nôm 2012, Nguyen T.H. [49] Â xt phữỡng trnh tin hõa nòa tuyn tnh
23 du
< dt +

Au = f(t; u);

u(s) = us;

t > s;

s 2 R;

(2)

:

trong õ toĂn tò o h m riảng tuyn tnh A l xĂc nh dữỡng, tỹ liản hổp trong
mt khổng gian Hilbert tĂch ữổc vổ hn chiu thọa mÂn iu kiằn A l toĂn tò
sinh ca mt nòa nhõm, v s hng phi tuyn f(t; u) cõ hằ s Lipschitz
5888 (t) (Nguyen T.H. [49] gồi l -Lipschitz ) vợi thuc v o mt khổng gian
h m chĐp nhn ữổc, m õ cõ th l cĂc khổng gian Lebesgue L p, khổng gian
Lorentz Lp;q v nhiu khổng gian h m khĂc thữớng gp trong lỵ thuyt ni suy.
iu kiằn -Lipschitz ca s hng phi tuyn l tng quĂt hỡn so vợi nhng
cổng trnh trữợc Ơy, m trong õ ngữới ta thữớng giÊ thit phn phi tuyn l liản
tửc Lipschitz u. l giÊi tnh tỹ nhiản ca viằc xt s hng phi tuyn l h m
s -Lipschitz, ta s xt mổ hnh Fisher-Kolmogorov mổ tÊ sỹ lan truyn
2

Tm dch: T quan im vt lỵ, mt a tp quĂn tnh l mt lut tữỡng tĂc liản quan n cĂc dặng xoĂy
nhọ v lợn trong mt dặng chÊy cun xoĂy. Theo nghắa n y, c im k thut ca mt a tp quĂn tnh
tữỡng ữỡng vợi mt mổ hnh ca cĂc cun xoĂy. .


11
cıa lîp gene trºi trong sinh th¡i håc quƒn th” (xem Murray J.D. [45,46])
8


> @v
@t
>
>
>
>
<

v = rv

1

v
K(t)

; t > s;

x2 ;
(3)

v(t; x) = 0;

t > s; x @ ;
2

v(s; x) = (x);

s2R; x2 ;

>

>

trong õ l

R3

>

. Ơy v := v(t; x)
mt tp hổp b chn cõ biản trỡn trong
biu din mt qun th ti v tr x v
ti thới im t, hng s r > 0 l t
lằ tĂi sinh tuyn tnh v K(t) l
mt h m s thỹc nhn giĂ tr dữỡng, ữổc gồi
:

5888 sức nuổi ca mổi trữớng sng (giÊ thit sức nuổi ca mổi trữớng l mt
h m s theo thới gian l hổp lỵ v thỹc t phử thuc rĐt nhiu v o mũa vử, thới
tit (chflng hn, mũa xuƠn thức ôn s dỗi d o hỡn mũa ổng, hay sinh trững
mnh v o mũa xuƠn v hn ch hỡn mũa ổng)). Mổ hnh FisherKolmogorov
(3) ữổc vit li th nh phữỡng trnh tin hõa (2) nu t u( ) := v(t; ), chồn
khổng gian Hilbert X := L2( ) v xt toĂn tò tuyn tnh A: X
A :=

00



r trản min xĂc

2

1

D(A) ! X,

nh D(A) := H ( ) \ H ( ):

0

Nôm 2012, Nguyen T.H. [49] Â xƠy dỹng mt iu kiằn cho sỹ tỗn ti ca a
tp quĂn tnh i vợi phữỡng trnh tin hõa (2) trong trữớng hổp hằ s
Lipschitz ca s hng phi tuyn phử thuc thới gian v thuc v o mt khổng gian
23
m chĐp nhn ữổc (xem nh l 2.2). Theo hiu bit ca chúng tổi,
trữợc nôm 2015 mợi ch cõ cĂc cổng trnh [3,4] tip ni kt quÊ n y. V th,
nhĂnh nghiản cứu n y ang cặn nhiu vĐn cn giÊi quyt, cÊ kha cnh lỵ
thuyt v kha cnh ứng dửng.
Nhng phƠn tch sỡ b trản
tĂc giÊ tin h nh nghiản cứu

Ơy l lỵ do



5888 i a tp quĂn tnh i vợi mt s lợp phữỡng trnh tin hõa . Lun Ăn n y
s phĂt trin mt s kt quÊ v a tp quĂn tnh dỹa trản nhng kt quÊ nn
tÊng Nguyen T.H. [4,49] v Rosa R. & Temam R. [60,61].

23 Tng quan vĐn nghiản cứu
2.1 Lch sò nghiản cứu
Nhữ Â cp, cĂc lợp phữỡng trnh tin hõa cõ dng (1) v (2) nÊy sinh khi
toĂn hồc c gng tham gia v mổ tÊ cĂc quĂ trnh tin hõa trong khoa hồc


12
tỹ nhiản v cổng nghằ dữợi nhng iu kiằn tng quĂt. V th, cĂc lợp phữỡng

trnh tin hõa õ Â thu hút ữổc sỹ quan tƠm nghiản cứu v tnh chĐt nh t
nh v dĂng iằu tiằm cn nghiằm khi thới gian vổ cũng lợn. Dữợi Ơy, chúng tổi
xin im qua (khổng y ) mt s kt quÊ quan trồng v cĂc nghiản cứu dĂng
iằu tiằm cn nghiằm ca cĂc phữỡng trnh tin hõa thổng qua mt a tp quĂn t
nh. Sỹ phƠn chia n y s phửc vử nhng ch nghiản cứu ca lun Ăn:
1

Sỹ tỗn ti ca

a tp quĂn tnh. Nhữ Â nõi, khĂi niằm

a tp quĂn tnh

d u

i vợi phữỡng trnh tin hõa d t + Au = f(u) ữổc giợi thiằu ln u tiản nôm
1985 bi Foias C., Sell G.R. & Temam R. [28] (xem thảm [29]) trong trữớng
hổp toĂn tò tuyn tnh A xĂc nh dữỡng, tỹ liản hổp, cõ giÊi thức compact
trong mt khổng gian Hilbert tĂch ữổc vổ hn chiu. Nõi ngn gồn, a tp quĂn
tnh tỗn ti nu k h ph, tức l hiằu s n+1 n (vợi n l giĂ tr riảng thứ n ca
toĂn tò tuyn tnh A), l
lợn v s hng phi tuyn liản tửc Lipschitz, tức l
kf(t; x)

f(t; y)k 6 q A (x

y) cõ hằ s Lipschitz q nhọ.

K t õ, sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi phữỡng trnh tin hõa  ữổc
nghiản cứu mt cĂch hằ thng bi nhiu tĂc giÊ. Sau kt quÊ Foias C., Sell

G.R. & Temam R. [28], Chow S.N. & Lu K. [11] Â xt cĂc phữỡng trnh tin
hõa tng quĂt trong khổng gian Banach vợi s hng phi tuyn b chn v thuc
1

lợp C , những tnh chĐt hút cĐp mụ ca a tp khổng ữổc chứng minh
5888 u trản cĂc tp con b chn ca khổng gian trng thĂi. Mallet-Paret J.
& Sell G.R. [40] Â giợi thiằu nguyản lỵ trung bnh khổng gian chứng minh
sỹ tỗn ti ca mt a tp quĂn tnh i vợi phữỡng trnh phÊn ứng-khuch tĂn
trong khổng gian nhiu chiu, m lúc n y iu kiằn k h ph khổng ữổc thọa
mÂn. Cụng vy, Constantin P. et al. [18,19] thỹc hiằn mt chứng minh hnh
hồc cho sỹ tỗn ti ca mt a tp quĂn tnh bng viằc sò dửng khĂi niằm chn
ph
(spectral barrier), m khĂi niằm mợi n y l mt nỉ lỹc vữổt qua iu kiằn k h
ph. Demengel E. & Ghidaglia J.M [25] thit lp mt chứng minh u tiản cho
trữớng hổp toĂn tò tuyn tnh l tỹ liản hổp v s hng phi tuyn khổng b
chn. Debussche A. & Temam R. [22] thit lp mt chứng minh khĂc khi s
hng phi tuyn khổng nhĐt thit b chn, những trong mt khổng gian Banach
1

tng quĂt, v ữổc giÊ sò l thuc lợp C . CĂc chứng minh v sỹ tỗn ti ca a tp
quĂn tnh i vợi trữớng hổp khổng tỹ liản hổp cõ th ữổc trch dÔn trong
Debussche A. & Temam R. [21] hay Sell G.R. & You Y. [66]. Mt nghiản


13
cứu àp v sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh thổng qua tnh chĐt nõn l thuc v
Robinson J.C. [58]. Mora X. [44] Â nghiản cứu a tp quĂn tnh i vợi cĂc
phữỡng trnh truyn sõng nòa tuyn tnh tt dn. KhĂi niằm a tp quĂn tnh
cụng ữổc m rng v chứng minh tỗn ti cho nhiu lợp phữỡng trnh tin hõa
trong ứng dửng, chflng hn a tp quĂn tnh ngÔu nhiản trong Bensoussan A.

23

Landoli F. [6], sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi phữỡng trnh tin hõa

khổng ổtổnổm bi Koksch N. & Siegmund S. [32], hay cĂc phữỡng trnh o h
m riảng cõ tr [9,16] (xem thảm [13,30,42,65,66,70] v cĂc t i liằu tham khÊo
trong õ). Sau b i toĂn tỗn ti, cĂc tnh chĐt hnh hồc ca a tp quĂn tnh, chflng
hn nhữ tnh chnh quy, tnh hyperbolic chu'n tc, cụng ữổc nghiản cứu mt
cĂch sƠu sc (xem Rosa R. & Temam R. [60] hoc [12,69]).

Trong tĐt cÊ cĂc cổng trnh k trản, sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh ữổc
d u

chứng minh cho phữỡng trnh tin hõa d t + Au = f(u) vợi s hng phi tuyn
ch phử thuc v o trng thĂi v thọa mÂn iu kiằn liản tửc Lipschitz u.
Tuy nhiản, nhữ Â nõi, rĐt nhiu quĂ trnh tin hõa nÊy sinh t cĂc hằ thng
phức tp, iu n y cõ th khổng úng. Nôm 2012, Nguyen T.H. [49] ữa nhĂnh
nghiản cứu v a tp quĂn tnh lản mt bữợc tin mợi vợi mt chứng minh v sỹ
tỗn ti ca a tp quĂn tnh khi s hng phi tuyn l h m liản tửc Lipschitz
f(t; u)
f(t; v) 6 (t)
A (u v) , vợi l
mt h m thỹc
v
khổng u, hay cặn gồi l
-Lipschitz, tức l
kf(t; u)k 6 (t)
1+ Au
k

k

dữỡng v

v o mt khổng gian h m

thuc
chĐ p nhn ữổ c. õ cõ th l cĂc khổ ng gian Lebesgue

Lp, khổng gian Lorentz Lp;q v nhiu khổng gian h m khĂc thữớng gp trong lỵ
thuyt ni suy. Kt quÊ n y v sỹ tỗn ti ca mt a tp quĂn tnh i vợi cĂc phữỡng
trnh tin hõa khổng ổtổnổm cõ hằ s Lipschitz thuc v o khổng gian

5888 m chĐp nhn ữổc l mt phĂt trin nhm m rng cĂc iu kiằn t lản s
hng phi tuyn. Mt cĂch ngn gồn, a tp quĂn tnh i vợi mt phữỡng trnh tin
hõa tỗn ti nu toĂn tò o h m riảng tuyn tnh cõ k h ph lợn v
s hng phi tuyn cõ hằ s Lipschitz nhọ theo mt nghắa thch hổp (hằ s
Lipschitz u nhọ, hoc, chu'n supt2R
-Lipschitz).

Rt

t 1

( )d nhọ trong trữớng hổp

Viằc nghiản cứu dĂng iằu tiằm cn nghiằm ca phữỡng trnh Navier-Stokes
ca dặng chĐt lọng nhợt khổng nn ữổc l l do khai sinh ra khĂi niằm a tp
quĂn tnh. Nôm 1992, Kwak M. [36] Â cổng b mt kt quÊ rĐt quan trồng v

14
sỹ tỗn ti ca mt dng quĂn tnh hu hn chiu i vợi phữỡng trnh NavierStokes hai chiu, những thỹc sỹ Ăng tic l php chứng minh li chứa ỹng mt
s nhm lÔn! Tnh n thới im hiằn ti, ngữới ta chữa bit a tp quĂn tnh cõ
tỗn ti hay khổng i vợi mt phữỡng trnh o h m riảng quan trồng nhữ vy.
Nõi cĂch khĂc, sỹ tỗn ti ca mt a tp quĂn tnh i vợi phữỡng trnh NavierStokes vÔn l mt b i toĂn m.
V i nôm tr li Ơy, ngữới ta  chứng minh sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi
mt s lợp phữỡng trnh cử th trong ứng dửng. Chi tit v cĂc thổng tin n y s
ữổc liằt kả phn 3 ng dửng ca a tp quĂn tnh dữợi Ơy.
Mt cĂch tng quan, a tp quĂn tnh cõ th ữổc xƠy dỹng theo ba cĂch
tip cn khĂc nhau. õ l , Phữỡng phĂp Lyapunov-Perron dỹa trản cổng thức
bin thiản hng s, Phữỡng phĂp Hadamard (Phữỡng phĂp Bin i ỗ th),
Phữỡng phĂp Sacker (l mt phữỡng phĂp chnh quy hõa elliptic). Chi tit v
vĐn n y cõ th ữổc tham khÊo trong Sell G.R. & You Y. [65, 8.8] v cĂc trch
dÔn trong õ.
2 M rng khĂi niằm a tp quĂn tnh. Nhng c tnh ữu viằt ca a tp quĂn t
nh (nu tỗn ti) ữa nõ tr th nh mt cổng cử lỵ tững nghiản cứu dĂng iằu
tiằm cn nghiằm ca phữỡng trnh tin hõa. Tuy rng, a tp quĂn tnh tỗn ti
dữợi nhng iu kiằn ( ) rĐt kht khe liản quan n k h ph. iu Ăng tic l nhiu
lợp phữỡng trnh o h m riảng thữớng gp trong ứng dửng, c biằt l cĂc phữỡng
trnh vt lỵ toĂn trong khổng gian nhiu chiu (chflng hn, phữỡng trnh
Navier-Stokes hai chiu) li khổng thọa mÂn iu kiằn k h ph kht khe n y.
V th ngữới ta  m rng khĂi niằm a tp quĂn tnh ca Foias C., Sell G.R. &
Temam R. [28] th nh mt s loi a tp quĂn tnh khĂc, chflng hn, õ l a tp quĂn
tnh xĐp x (xem Debussche A. & Temam R. [23], xem thảm Chueshov
I.D. [14]) hay a tp quĂn tnh cõ tr v a tp bĐt bin a tr (xem Debussche A.
& Temam R. [24]). Nhng khĂi niằm a tp quĂn tnh mợi n y ữổc xƠy dỹng
nhm khc phửc hn ch cõ tnh chĐt k thut l iu kiằn k h ph. Chúng
cụng l nhng a tp trỡn hu hn chiu v bĐt bin dữỡng i vợi hằ ng lỹc ang
xt. T õ b i toĂn dĂng iằu tiằm cn cõ th ữổc mổ tÊ mt cĂch hu hn chiu.

Hai loi u tiản trong ba loi a tp quĂn tnh k trản cõ mt c tnh quan trồng
nhĐt ca cĂc a tp quĂn tnh, õ l tnh chĐt hút cĐp mụ tĐt cÊ cĂc nghiằm ca
phữỡng trnh tin hõa dữợi


15
nhng iu kiằn ang xt. Tuy nhiản, trong cổng trnh [24], cĂc tĂc giÊ
khổng chứng minh ữổc a tp bĐt bin a tr cõ tnh chĐt hút (v cõ t mt giÊ
thuyt l tnh chĐt õ úng!). Nhữ vy b i toĂn dĂng iằu tiằm cn i vợi a tp bĐt
bin a tr chữa ữổc giÊi quyt trồn vàn.
Theo dặng thới gian, cõ mt khĂi niằm a tp quĂn tnh kiu mợi trong
Nguyen T.H. [50] m chúng tổi mun nhĐn mnh, õ l a tp quĂn tnh chĐp
nhn ữổc E-lợp. a tp quĂn tnh chĐp nhn ữổc E-lợp ữổc cĐu th nh bi cĂc
qu o nghiằm thuc v o mt khổng gian h m chĐp nhn ữổc. KhĂi niằm a tp
mợi n y l tng quĂt hỡn khĂi niằm a tp quĂn tnh truyn thng  ữổc khai
sinh bi Foias C., Sell G.R. & Temam R.. Sau cổng trnh Nguyen T.H.
[50], theo hiu bit ca chúng tổi, mợi ch cõ duy nhĐt b i bĂo Nguyen T.H. &
Le A.M. [54] phĂt trin ni tip hữợng nghiản cứu n y. Trong cổng trnh õ, cĂc
tĂc giÊ Â thit lp sỹ tỗn ti ca mt a tp quĂn tnh chĐp nhn ữổc E-lợp i vợi
cĂc phữỡng trnh tin hõa cõ tr hu hn vợi toĂn tò tuyn tnh
23xĂc nh dữỡng, tỹ liản hổp v cõ giÊi thức compact trong mt khổng gian
Hilbert tĂch ữổc vổ hn chiu.
3 ng dửng ca a tp quĂn tnh. Nhữ Â thÊo lun, a tp quĂn tnh i vợi
phữỡng trnh tin hõa l mt cổng cử nghiản cứu dĂng iằu tiằm cn nghiằm
khi thới gian vổ cũng lợn. Sau nhng nghiản cứu lỵ thuyt v sỹ tỗn ti i vợi
cĂc phữỡng trnh tin hõa tng quĂt, ngữới ta c biằt quan tƠm n sỹ tỗn ti i
vợi cĂc phữỡng trnh o h m riảng cử th. ỗng thới, c biằt nhĐn mnh n mt Ănh
giĂ s chiu thĐp nhĐt cõ th ca cĂc a tp quĂn tnh. CĂc v dử cõ th liằt kả l
sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi phữỡng trnh Kuramoto-Sivashinsky,
phữỡng trnh Burgers khổng a phữỡng, phữỡng trnh Cahn-Hillard,

phữỡng trnh parabolic trong khổng gian hai chiu, phữỡng trnh ChafeeInfante (xem Constantin P. et al. [18]), phữỡng trnh phÊn ứng-khuch tĂn i
lữu trong Kwak M. [37], mổ hnh ng hồc kh gas nn ữổc trong
Nicolaenko B. [55], mổ hnh Swift-Hohenberg ca i lữu bi Taboada M.
[68], hay sỹ tỗn ti ca mt a tp chm trong kh tữổng hồc Debussche A.
5888 Temam R. [21] (trong b i bĂo n y, cĂc tĂc giÊ Â thit lp mt kt quÊ tỗn
ti ca mt a tp quĂn tnh i vợi mt phữỡng trnh kiu Navier-Stokes cõ s
hng nhợt bc cao). Mt s cổng b trong v i nôm tr li Ơy cõ th ữổc nhc
n l Gal C.G. & Guo Y. [31]

 chứng minh sỹ tỗn ti ca

a tp quĂn tnh


16
i vợi phữỡng trnh Navier-Stokes siảu nhợt khổng nn ữổc trản mt xuyn
nhiu chiu. Cổng trnh Kostianko A. & Zelik S. [34,35] thÊo lun v sỹ tỗn
ti ca a tp quĂn tnh i vợi cĂc hằ phÊn ứng-khuch tĂn- i lữu mt chiu vợi
cĂc kiu iu kiằn biản khĂc nhau. Zelik S. [80] tng kt v a tp quĂn tnh v
nguyản lỵ rút gồn hu hn chiu i vợi cĂc phữỡng trnh o h m riảng tiảu
hao. B i bĂo Bisconti L. & Catania D. [8] chứng minh sỹ tỗn ti ca mt a tp
quĂn tnh i vợi mt mổ hnh giÊi chp ca phữỡng trnh Boussinesq trung
bnh hai chiu.
Bản cnh sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi cĂc phữỡng trnh o h m riảng
cử th, a tp quĂn tnh  tm thĐy cĂc vai trặ hu ch ca mnh cho cĂc
ứng dửng trong cĂc phƠn ng nh khĂc ca toĂn hồc. Cõ th k n nhng kt ni
ca a tp quĂn tnh vợi phữỡng phĂp a lữợi ca GiÊi tch s trong Temam R.
[72], hay mt c gng ca a tp quĂn tnh mổ tÊ hiằn tữổng cun xoĂy ca
cỡ hồc chĐt lọng trong Temam R. [71]. Lun Ăn n y mun nhĐn mnh n cĂc
ứng dửng ca a tp quĂn tnh trong lỵ thuyt iu khin toĂn hồc. Chúng ta cõ

th trch dÔn cĂc cổng trnh Rosa R. & Temam R. [61], Rosa R. [59],
Sakawa Y. [62], Sano H. & Kunimatsu N. [63, 64], Brunovskỵ P. [10],
Christofides P.D. & Daoutidis P. [17] (v cĂc t i liằu trch dÔn trong õ) v cĂc
ứng dửng ca a tp quĂn tnh trong cĂc b i toĂn iu khin phÊn hỗi, b i toĂn n
nh hõa biản cho cĂc phữỡng trnh o h m riảng mt chiu. Nôm 1993, You Y.
[79] Â nghiản cứu mt ứng dửng ca a tp quĂn tnh b i toĂn n nh hõa ca
cĂc hằ n hỗi phi tuyn vợi sỹ tt dn cĐu trúc. Chúng tổi chú ỵ n ứng dửng ca
a tp quĂn tnh trong b i toĂn iu khin phÊn hỗi ca cĂc hằ phÊn ứng-khuch
tĂn mt chiu (xem Rosa R. & Temam R. [61]). Sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh
i vợi hằ vặng kn cho php ngữới ta nghiản cứu cĂc hằ iu khin vổ hn
chiu thổng qua mt hằ hu hn chiu m tnh chĐt ng lỹc ca nõ ngữới ta
kt lun cho hằ iu khin ban u. Sau õ, Rosa R. [59] Â phĂt trin ữổc mt kt
quÊ tt hỡn Rosa R. & Temam R. [61] m mt lut iu khin phÊn hỗi ữổc xƠy
dỹng l chnh xĂc thay v iu khin xĐp x thổng qua mt a tp quĂn tnh.


17

2.2 CĂc lợp phữỡng trnh tin hõa trong lun Ăn
Trong lun Ăn n y, chúng tổi s nghiản cứu cĂc lợp phữỡng trnh tin hõa
dng nòa tuyn tnh, trong õ phn tuyn tnh l mt toĂn tò sinh ca mt nòa
nhõm cĂc toĂn tò tuyn tnh, v hằ s Lipschitz ca s hng phi tuyn l mt
23
m s ca thới gian v thuc v o mt khổng gian h m chĐp nhn ữổc.
Ba lợp phữỡng trnh tin hõa s ữổc nghiản cứu trong lun Ăn n y l
A Phữỡng trnh parabolic. Trong lun Ăn n y, chúng tổi gồi phữỡng trnh
3

parabolic (nòa tuyn tnh) l cĂc phữỡng trnh tin hõa cõ dng
du(t) + Au(t) = f(t; u(t));

dt

(4)

trong õ A l toĂn tò sinh ca mt nòa nhõm giÊi tch (xem Pazy A. [56,
Chapter 5]) trong mt khổng gian vổ hn chiu, v f(t; u) l mt h m -Lipschitz
theo bin trng thĂi.
Hai trữớng hổp ữổc nghiản cứu l A l mt toĂn tò qut trản mt khổng gian
Banach (xem nh nghắa 1.15), v A l mt toĂn tò tuyn tnh xĂc nh dữỡng, tỹ
liản hổp, cõ giÊi thức compact trản mt khổng gian Hilbert tĂch ữổc
vổ hn chiu. Phữỡng trnh parabolic (4) l mổ hnh ca rĐt nhiu b i toĂn
trong vt lỵ hay sinh hồc. Chflng hn nõ l mổ hnh ca quĂ trnh truyn
nhiằt, quĂ trnh phÊn ứng-khuch tĂn, hay mổ hnh Fisher-Kolmogorov
mổ tÊ sỹ lan truyn lợp gene tri trong sinh thĂi hồc qun th, mổ hnh cnh
tranh, mổ hnh thú-mỗi (xem Murray J.D. [45,46]), . . .
Nhữ Â dÔn, sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi (4) trong trữớng hổp khổng
gian Hilbert ữổc nghiản cứu ln u tiản bi Nguyen T.H. [49].
B Phữỡng trnh o h m riảng h m cõ tr hu hn. Nhiu quĂ trnh vt lỵ, hõa
hồc, sinh hồc cõ th ữổc mổ tÊ bng cĂc phữỡng trnh o h m riảng cõ
tr (xem Wu J. [76]). Mt v dử in hnh m chúng tổi quan tƠm õ l phữỡng
trnh Hutchinson sòa i vợi khuch tĂn (xem V dử 3.40) trong Minh N.V &
Wu J. [43]. ữổc gổi ỵ t mổ hnh õ, trong lun Ăn n y chúng tổi s xt cĂc
phữỡng trnh tin hõa cõ dng
du(t) + Au(t) = L(t)ut + g(t; ut);
dt
5888

Ting Anh: (semi-linear) parabolic equations

(5)

18
4

23 gồi nõ l phữỡng trnh o h m riảng h m (cõ tr hu hn) .
CĂc phữỡng trnh o h m riảng h m cõ tr (v trung tnh) l nhng lợp
phữỡng trnh tin hõa phÊn Ănh trung thỹc nhiu quĂ trnh tin hõa trong
thỹc t những li rĐt khõ khôn khi nghiản cứu v mt toĂn hồc. CĂc khõ khôn õ
xuĐt hiằn do hằ ng lỹc sinh bi chúng l vổ hn chiu, gƠy ra ỗng thới bi toĂn
tò o h m riảng tuyn tnh v tr thới gian.
i vợi cĂc phữỡng trnh tin hõa dng (5) (hoc dng

du ( t)
dt

+Au(t) = g(t; ut),

tức l , khi L(t) 0), cĂc b i toĂn v t chnh, tnh chĐt nh tnh nghiằm,. . . Â cõ
mt lch sò lƠu d i. V sỹ tỗn ti cĂc a tp bĐt bin i vợi (5) trong trữớng hổp s
hng phi tuyn thọa mÂn iu kiằn -Lipschitz, cĂc kt quÊ t ữổc Â

23
mt hằ thng. Cõ th tham khÊo iu n y, nhữ mt tõm tt, trong
Nguyen T.H. [51, Chapter 3] v cĂc t i liằu trch dÔn trong õ. Sỹ tỗn ti ca a
tp quĂn tnh i vợi cĂc phữỡng trnh o h m riảng h m cõ tr hu hn trong
trữớng hổp Lipschitz u thuc v Boutet de Monvel L., Chueshov I.D. &
Rezounenko A.V. [9]. Tip õ, a tp quĂn tnh i vợi cĂc phữỡng trnh
parabolic cõ tr hu hn vợi hằ s Lipschitz ca s hng phi tuyn thuc v o mt
khổng gian h m chĐp nhn ữổc l kt quÊ thuc v Anh C.T., Hieu L.V &

Nguyen T.H. [4]. B i bĂo Anh C.T., Hieu L.V. [3] Â chứng minh sỹ tỗn ti ca a
tp quĂn tnh
i vợi lợp cĂc phữỡng trnh tin hõa cĐp hai theo thới gian trong khổng gian h
m chĐp nhn ữổc.
C Phữỡng trnh o h m riảng h m trung tnh. Trong lun Ăn n y, chúng tổi
gồi phữỡng trnh o h m riảng h m trung tnh5 l cĂc phữỡng trnh tin hõa cõ dng
@
(6)

F u + AF u = (t; u );
t
t
@t t

trong õ A l mt toĂn tò tuyn tnh xĂc nh dữỡng, tỹ liản hổp, cõ giÊi thức
compact trong mt khổng gian Hilbert tĂch ữổc vổ hn chiu, F l mt toĂn tò
tuyn tnh b chn v l Ănh x -Lipschitz. Phữỡng trnh o h m riảng
5888 m trung tnh (6) xuĐt hiằn trong mt sỹ truyn tÊi iằn phức tp (xem
Wu J. & Xia H. [77]).
i vợi lợp phữỡng trnh o h m riảng h m trung tnh (6), dĂng iằu tiằm
5888
5

Ting Anh: partial functional differential equations (with finite delay)

Ting Anh: partial neutral functional differential equations


19
cn nghiằm khổng nhng phử thuc v o trng thĂi hiằn ti m cặn phử thuc

cÊ v o trng thĂi trong quĂ khứ ca hằ thng. V th, cĂc nghiản cứu s cn
dũng nhng phữỡng phĂp v k thut c biằt tĐn cổng cĂc b i toĂn liản quan
n nõ. CĂc kt quÊ v tnh chĐt nh tnh, (tnh chĐt ca) nòa nhõm
nghiằm, a tp bĐt bin v dĂng iằu tiằm cn cõ th ữổc tham khÊo trong
Nguyen T.H. [51, Chapter 2 & 3], [52, 53] v cĂc trch dÔn trong õ. CĂc cổng
trnh Nguyen T.H. & Pham V.B. [52,53] l nhng kt quÊ gn Ơy nhĐt nghiản
cứu dĂng iằu tiằm cn ca phữỡng trnh o h m riảng h m trung tnh nòa
tuyn tnh khổng ổtổnổm cõ dng (6) thổng qua cĂc a tp bĐt bin.
Theo hiu bit ca chúng tổi, tnh n nôm 2015, chữa cõ mt cổng trnh
23
o nghiản cứu v sỹ tỗn ti ca mt a tp quĂn tnh i vợi phữỡng tr
nh o
h m riảng h m trung tnh nòa tuyn tnh khổng ổtổnổm (6), thm ch l
@

ngay cÊ trong trữớng hổp ổtổnổm @t F ut + AF ut = (ut) vợi hằ s
Lipschitz ca s hng phi tuyn l mt hng s.

5888 Mửc ch

i tữổng v Phm vi nghiản cứu

Mửc ch ca lun Ăn: Nghiản cứu sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh v b i toĂn
iu khin phÊn hỗi hu hn chiu ca mt s lợp phữỡng trnh tin hõa nòa
tuyn tnh m phn tuyn tnh l toĂn tò sinh ca mt nòa nhõm
23 s hng phi tuyn thọa mÂn iu kiằn -Lipschitz, vợi thuc v o mt khổng
gian h m chĐp nhn ữổc, m nõ cõ th l cĂc khổng gian Lebesgue

Lp, khổng gian Lorentz Lp;q v nhiu khổng gian h m khĂc thữớng gp
trong lỵ thuyt ni suy.

i tữổng: a tp quĂn tnh v iu khin phÊn hỗi hu hn chiu i vợi cĂc
lợp phữỡng trnh tin hõa (4), (5) v (6) trong khổng gian h m chĐp nhn
ữổc.
Phm vi nghiản cứu: Trong lun Ăn, chúng tổi nghiản cứu cĂc b i toĂn sau
Ni dung 1. Nghiản cứu sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi phữỡng

trnh tin hõa nòa tuyn tnh cõ dng

du(t)

+ Au(t) = f(t; u(t))


20
vợi

Al

toĂn tò qut cõ k h ph sinh ra nòa nhõm giÊi tch b

chn, v s hng phi tuyn f(t; u) l
mt khổng gian h m chĐp nhn

h m -Lipschitz vợi thuc
ữổc.

Ni dung 2. Nghiản cứu tnh chnh quy ca a tp quĂn tnh i vợi
phữỡng trnh tin hõa nòa tuyn tnh cõ dng
du(t)
+ Au(t) = f(t; u(t))

23 Ăp dửng lỵ thuyt a tp quĂn tnh v o b i toĂn iu khin phÊn hỗi
hu hn chiu ca mt lợp phữỡng trnh phÊn ứng-khuch tĂn
8
@t
u = f(t; u) +
gi(t) i(x);
I
1
@u
>
X
x 2 (0; ); t > s;
i

>
>
>
>

>

>

=1

>

<
>
>

5888

J

1

J

>

t > s;

u(t; 0) = u(t; ) = 0;

x 2 [0; ];

5889
>
>
>

t > s;

1

y(t) = (yi(t)) j=1 = (u(t; xj)) j=1 ;

: u(s; x) = us(x);

s2
R:

Ni dung 3. Nghiản cứu sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi phữỡng tr
nh o h m riảng h m cõ tr hu hn cõ dng
du(t) + Au(t) = L(t)ut + g(t; ut);
dt
vợi A l toĂn tò qut cõ k h ph sinh ra nòa nhõm giÊi tch b
chn, L(t) l mt toĂn tò tuyn tnh b chn, v s hng phi tuyn g(t;
ut) l mt h m -Lipschitz vợi thuc mt khổng gian h m chĐp nhn
ữổc. Sau õ kt quÊ n y ữổc Ăp dửng nghiản cứu dĂng iằu ca mổ
hnh Hutchinson vợi khuch tĂn.
Ni dung 4. Nghiản cứu sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi phữỡng tr
nh o h m riảng h m trung tnh cõ dng
@

Fu + AFu = (t; u );
t
t
@t t
trong õ phn tuyn tnh l mt toĂn tò xĂc nh dữỡng, tỹ liản hổp,
cõ giÊi thức compact, toĂn tò sai phƠn F l mt toĂn tò tuyn tnh
b chn v s hng phi tuyn thọa mÂn iu kiằn -Lipschitz.


21

23 Phữỡng phĂp nghiản cứu
CĂc Ănh giĂ v toĂn tò tuyn tnh: Sò dửng lỵ thuyt nòa nhõm, lỵ thuyt
s mụ phƠn thứ ca toĂn tò tuyn tnh õng (xĂc nh) dữỡng, lỵ thuyt

nhiu ca hằ ng lỹc vổ hn chiu.
CĂc Ănh giĂ v s hng phi tuyn: Sò dửng lỵ thuyt cĂc khổng gian h m
chĐp nhn ữổc.
Nghiản cứu sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh: Sò dửng phữỡng phĂp
Lyapunov-Perron.
Nghiản cứu b i toĂn iu khin phÊn hỗi: Sò dửng giÊi tch h m, phữỡng
phĂp im bĐt ng, lỵ thuyt a tp quĂn tnh v lỵ thuyt iu khin toĂn hồc.

5888 Kt quÊ ca lun Ăn
Lun Ăn

 t

ữổc kt quÊ chnh sau Ơy:

Chứng minh ữổc sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi phữỡng trnh
parabolic nòa tuyn tnh cõ phn tuyn tnh l toĂn tò qut.
1

Chứng minh ữổc tnh C -chnh quy ca a tp quĂn tnh i vợi phữỡng
1

trnh parabolic nòa tuyn tnh khi s hng phi tuyn l thuc lợp C . Sau
õ, chúng tổi  sò dửng lỵ thuyt a tp quĂn tnh xƠy dỹng mt lut iu
khin phÊn hỗi i vợi mt lợp cĂc phữỡng trnh phÊn ứng-khuch tĂn mt
chiu vợi iu kiằn biản Dirichlet, quan sĂt phƠn b v iu khin phƠn b.

Chứng minh ữổc sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi phữỡng trnh o
h m riảng h m cõ tr hu hn cõ phn tuyn tnh l toĂn tò qut.
Chứng minh ữổc sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh i vợi phữỡng trnh o h

m riảng h m trung tnh cõ phn tuyn tnh l toĂn tò xĂc nh dữỡng, tỹ
liản hổp, cõ giÊi thức compact trong mt khổng gian Hilbert tĂch ữổc
vổ hn chiu.


22
CĂc kt quÊ ca lun Ăn l nhng õng gõp mợi v o lỵ thuyt nh tnh, dĂng
iằu tiằm cn v b i toĂn iu khin ca cĂc hằ ng lỹc vổ hn chiu thổng qua lỵ
thuyt cĂc a tp quĂn tnh. CĂc kt quÊ nghiản cứu trong lun Ăn ữổc vit th nh
04 b i bĂo nghiản cứu, trong õ cõ 02 b i  ữổc xuĐt bÊn trản cĂc tp ch
quc t thuc danh sĂch SCIE, 01 b i trong danh sĂch ESCI/Scopus v 01 bÊn
thÊo  np (xem Danh mửc cĂc cổng trnh khoa hồc liản quan n lun Ăn).
Mt phn hoc tĐt cÊ cĂc kt quÊ n y  ữổc bĂo cĂo ti
Seminar Phữỡng trnh vi phƠn v tch phƠn, B mổn GiÊi tch, Khoa
ToĂn Tin, Trữớng i hồc Sữ phm H Ni.
Seminar Asymptotic Behavior of Solutions to Differential Equations and
Applications, Viằn ToĂn ứng dửng v Tin hồc, Trữớng i hồc BĂch Khoa H
Ni.
Workshop on Evolution Equations and Applications, Vietnam Institute
for Advance Study in Mathematics, October 19-21, 2015.
Hi thÊo khoa hồc ToĂn hồc giÊi tch v ứng dửng, Trữớng i hồc Hỗng
ức, Thanh Hõa, 26-28/5/2016.
Hi thÊo khoa hồc DĂng iằu tiằm cn nghiằm ca phữỡng trnh vi phƠn
v ứng dửng, Trữớng i hồc HÊi Phặng, HÊi Phặng, 04-06/11/2016.
Hi ngh NCKH ca nghiản cứu sinh, Khoa ToĂn Tin, Trữớng i hồc Sữ
phm H Ni, H Ni, 01/2017.
Hi thÊo Ti ữu v Tnh toĂn khoa hồc ln thứ 15, Ba V, 20-22/4/2017.
CIMPA Research School on Functional Analysis and Partial Differential
Equations, Khovd University, Khovd city, Mongolia, July 17-28, 2017.

i hi ToĂn hồc Viằt Nam ln thứ 9, Nha Trang, 14-18/8/2018.

0 CĐu trúc ca lun Ăn
Ngo i cĂc phn M u, Danh sĂch k hiằu, T i liằu tham khÊo, Danh mửc
cĂc cổng trnh khoa hồc liản quan n lun Ăn, Kt lun v Kin ngh, Ch mửc,


23
lun Ăn

ữổc chia th nh bn chữỡng nhữ sau:

Chữỡng 1. Kin thức chu'n b. Chữỡng n y trnh b y cĂc khĂi niằm v kt quÊ
cỡ s cho lun Ăn. Ni dung ca nõ bao gỗm cĂc kin thức v toĂn tò tuyn
tnh, nòa nhõm v khổng gian h m.

Chữỡng 2. a tp quĂn tnh i vợi mt lợp phữỡng trnh parabolic v ứng dửng.
Chữỡng n y d nh chứng minh sỹ tỗn ti v tnh chnh quy ca a tp
d u

quĂn tnh i vợi phữỡng trnh parabolic d t + Au = f(t; u) vợi A l mt
toĂn tò qut cõ k h ph lợn v s hng phi tuyn thọa mÂn iu kiằn Lipschitz. Sau õ lỵ thuyt a tp quĂn tnh ữổc ứng dửng nghiản cứu
mt b i toĂn iu khin phÊn hỗi hu hn chiu ca mt lợp phữỡng trnh
phÊn ứng-khuch tĂn.
Chữỡng 3. a tp quĂn tnh i vợi mt lợp phữỡng trnh o h m riảng h m cõ tr
hu hn. Trong chữỡng n y, b i toĂn ữổc giÊi quyt l chứng minh sỹ tỗn
d u

ti ca a tp quĂn tnh i vợi phữỡng trnh o h m riảng h m d t + Au =
L(t)ut + g(t; ut) trong õ A l mt toĂn tò qut cõ k h ph, L(t) l toĂn tò

tuyn tnh b chn vợi mỉi thới im, v s hng phi tuyn thọa mÂn iu
kiằn -Lipschitz.
Chữỡng 4. a tp quĂn tnh i vợi mt lợp phữỡng trnh o h m riảng h m trung
tnh. Chữỡng n y s chứng minh sỹ tỗn ti ca a tp quĂn tnh
@

i vợi phữỡng trnh @t F ut + AF ut = (t; ut) trong õ toĂn tò o h m
riảng tuyn tnh A xĂc nh dữỡng, tỹ liản hổp trong khổng gian Hilbert
tĂch ữổc vổ hn chiu, cõ giÊi thức compact v cõ khoÊng cĂch gia hai
im ph k tip nhau lợn, toĂn tò sai phƠn F l tuyn tnh b chn, v
toĂn tò tr thọa mÂn iu kiằn -Lipschitz.