ĐÁP ÁN ĐỀ THI VAO 1O(1)

đáp án thang điểm
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Thpt

Môn thi : Toán ( Toán chuyên)

Bài
ý
Nội dung Điểm
I 2,5
1 Từ giả thiết suy ra ab + bc + ca =1.
Do đó 1+a
2
= ab+bc+ca+a
2
=b(a+c)+a(a+c) = (a+b)(a+c) 0,25
Tơng tự, ta có : 1+b
2
=(a+b)(b+c) ; 1+c
2
=(a+c)(b+c) 0,25
Suy ra S = (a+b)(b+c)(b+c)( )

0,25
= a(b+c)+b(a+c)+c(a+b) =2(ab+bc+ca)=2 0,25
2 Đặt n
2
-10n-312 =k
2
, k
N

(n-5)
2
- k
2
= 287

(n+k-5)(n- k-5) = 287=1.287=7.41
0,25
TH
1
: n+k - 5 = 287 và n - k -5 = 1 ,khi đó n = 149 0,25
TH
2
: n+k - 5 = -1 và n - k -5 = - 287 ,khi đó n = -139 ( loại) 0,25
TH
3
: n+k - 5 = 41 và n - k -5 = 7 ,khi đó n = 29 0,25
TH
4
: n+k - 5 = -7 và n - k -5 = - 41 ,khi đó n = -19 (loại) 0,25
Vậy n cần tìm là n = 149 hoặc n=29 0,25
II 2,5
1 Phơng trình (x
2
-1)(x+3)(x+5) = m (1)
(1)

(x

2
+4x+3)(x
2
+4x-5) = m (2)
đặt y = x
2
+4x+4=(x+2)
2

0 . Khi đó, (2) trở thành :
(y-1)(y-9) = m

y
2
-10y+9-m = 0 (3) 0,5
(1) có 4 nghiệm phân biệt

(3) có 2 nghệm thoả mãn y
1
> y
2
> 0

916
09
010
016
0
0
0'

<<







>
>
>+








>
>
>
m
m
m
P
S
Gọi x
1
,x

2
là hai nghiệm của phơng trình : x
2
+4x+4 - y
1
=0
x
3
,x
4
là hai nghiệm của phơng trình : x
2
+4x+4 - y
2
=0
0,5
))(())(())(( cbca
c
cbba
b
caba
a
++
+
++
+
++


1

)(416
)(432
1
4
4
4
4
2121
21
21
=
++
+
=

+

yyyy
yy
yy

1
94016
4032
=
++
+
m
( theo Viét)

7
55
5572
=






=
m
m
m

kết hợp với điều kiện -16 < m< 9 ta có m =-7 là giá trị cần tìm
0,5
2 Vì A(a;b) thuộc đồ thị hàm số y = x+n nên ta có b = a+n
Do đó m(a
2
+b
2
)+a+b = n

n

m[a
2
+(a+n)
2

] +a+a+n = n

n

2ma
2
+2(mn+1)a+mn
2
= 0 (*)

n
TH
1
: m = 0 (*) trở thành 2a = 0

a = 0

n 0,5
TH
2
: m

0,

= (mn+1)
2
-2m
2
n
2

Với n =
m
1

thì

= - 2< 0.Do đó phơng trình (*)(ẩn a)
vô nghiệm
Nh vậy m = 0 là giá trị cần tìm
0,5
III 1,5
TH
1
: Tất cả các số đều bằng nhau : a
1
=a
2
=...= a
100
=2
Ta có thể chọn 50 số a
1
,a
2
, ..., a
50
thì a
1
+a

2
+ ...+ a
50
=2.50 =100 0,25
TH
2
: Có ít nhất hai số khác nhau. Giả sử a
1

a
2
Đặt b
0
=a
1
,b
1
= a
2
, b
2
= a
1
+a
2
,b
3
=a
1
+a

2
+a
3
, , b
99
= a
1
+a
2
+ +a
99
Ta có 0 < b
0
, b
1
, , b
99
< 200
Chia 100 số này cho 100 , có hai khả năng xảy ra:
Có ít nhất một số d bằng 0
Giả sử :b
m
= 100q
m
với 0

m

99 mà 0<b
m

<200 suy ra q
m
=1 và
b
m
=100. Khi đó ,ta chọn a
1
,a
2
, ..., a
m
thì a
1
+a
2
+ +a
m
= b
m
=100
0,5
Không có số d nào bằng 0
Khi đó có tất cả 99 số d từ 1 đến 99 mà có tất cả 100 số ; do đó ắt
phải có ít nhất hai số có cùng số d
0,25
Giả sử : b
m
= 100q
m
+r và b

k
= 100q
k
+r (m < k)
Suy ra 0 <b
k
- b
m
= 100(q
k
- q
m
) < 200

q
k
- q
m
= 1

q
k
=q
m
+1
Vậy b
k
=100(q
m
+1)+r = 100 q

m
+r +100
Do b
m
> 0 nên b
k
>100

b
k
khác b
0
và b
1
(do b
0
=a
1
,b
1
=a
2


100)
- Nếu k = 2

b
2
= a

1
+a
2
= b
0
+b
1
= b
m
+100 với m = 0 hoặc m=1


một trong hai số b
0
hoặc b
1
bằng 100

a
1
=100 hoặc a
2
=100
- Nếu k >2

b
m
+ a
m+1
+ + a

k
= b
m
+100

a
m+1
+ + a
k
= 100 0,5
IV 2,0
1 Trong tam giác vuông AOM góc OAM = 30
0
nên AM=2OM.
Lại có : OA
2
=AM
2
- OM
2

3OM
2
= a
2

OM =
3
3a

Do đó AM=
3
32a

MN=
3
32a
0,5
Qua O kẻ đờng thẳng song song với AM cắt tia NM tại H .Ta có
diện tích tam giác OMN là S =
2
1
MN.OH
Mặt khác OAM = HMO =30
0
(cùng phụ với AMO)

OM=2OH do đó OH=
6
3a
.Do đó S =
6
3
.
3
32
.
2
1 aa
=

6
2
a
0,5
2
Tứ giác AOMI nội tiếp (vì I +O =180
0
) Suy ra AOI = AMI =45
0

Do đó OI là tia phân giác của góc xOy.Kẻ AI

OI cắt Oy ở N.
Tam giác AON là tam giác cân nên ON=OA=a

điểm N cố
định.
Ta có
2
1
'
'
==
AN
AI
AN
AI

NN// II mà II

AN nên NN

AN tại N
Vậy N chạy trên tia Nz

AN tại N
0,5
Các điểm P,M,N cùng nhìn AN dới một góc vuông nên năm
điểm A,M,N,N,P thuộc một đờng tròn nên
ANP=AMP=45
0
. Vậy điểm P chạy trên tia Nt

OI ở N.
Gọi giao điểm của OI với NP là P. Khi M trùng với O thì N trùng
N. Khi đó P trùng P.Vậy P chạy trên tia Pt thuộc đờng thẳng
vuông góc với Oy ở N 0,5
V 1,5
Gọi S
1
,S
2
,S
3
,S lần lợt là diện tích các tam giác BOC,COA,AOB ,
ABC.
Đặt S
1
=x
2

, S
2
=y
2
, S
3
=z
2
suy ra S = x
2
+y
2
+z
2
Ta có
2
22
2
222
1
11
x
zy
OP
AO
x
zyx
S
S
OP

AP
+
+=+
++
==
x
zy
OP
AO
x
zy
OP
AO
22
2
22
+
=
+
=
0,5
x
y
z
t
A
M
N
I
I

P N
P
H
O
Tơng tự, ta có :
y
xz
OQ
BO
22
+
=
;
z
yx
OR
CO
22
+
=
Do đó
=++
OR
OC
OQ
OB
OP
OA
x
zy

22
+
+
y
xz
22
+
+
z
yx
22
+
0,5
+
+

x
zy
2
+
+
y
xz
2
z
yx
2
+
23
2

6
)(
2
1
=+++++
z
y
z
x
y
z
y
x
x
z
x
y
Tóm lại
23
++
OR
OC
OQ
OB
OP
OA
0,5
Ghi chú :*Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tơng ứng
* Bài IV nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không
chấm điểm

Q
P
A
R
O
B
C