Về iđêan cạnh nhị thức

BỘ GIÁO DỤC

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

VŨ THỊ DƯƠNG

VỀ IĐÊAN CẠNH NHỊ THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2020


BỘ GIÁO DỤC

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

VŨ THỊ DƯƠNG

VỀ IĐÊAN CẠNH NHỊ THỨC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8460104
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Đỗ Trọng Hoàng

Hà Nội – 2020


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những nội dung trong luận văn là do sự tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đỗ Trọng
Hoàng. Các kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu
có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được
bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa
được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.
Hà Nội, ngày 29 tháng 4 năm 2020
Người cam đoan

Vũ Thị Dương


Lời cám ơn
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán học, Học viện
Khoa học và Công nghệ, đến nay luận văn đã được hoàn thành. Trước
tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Đỗ Trọng
Hoàng. Thầy là người đã tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua nhiều

khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, tôi xin
gửi lời cảm ơn đến những giảng viên đã giảng dạy, đồng hành cùng mình
tại Khoa Toán học. Tôi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học Viện Toán học và phòng Đào tạo - Học viện Khoa học và Công nghệ đã
luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học cao học tại học
viện.
Hơn nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể bạn bè, gia đình tôi,
những người đã sát cánh bên tôi trong quãng thời gian qua.
Vũ Thị Dương


Danh mục các kí hiệu
Kí hiệu

Trang

in(I)

5

≤lex , ≤glex

5

supp

5

in(f ), lc(f ), lm(f )

5

RemG (f )

9

S(f, g)

10

U CLN

10

Ass(I)

17

JG

25

PS (G)

36

dim S/JG

40

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Các kiến thức cơ bản

4

1.1

Cơ sở Gr¨obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Phân tích nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Cơ sở Gr¨
obner của iđêan cạnh nhị thức

22

2.1

Iđêan cạnh nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2

Cơ sở Gr¨obner và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3

Cơ sở Gr¨obner rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3 Phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức

36

3.1

Phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức . . . . . . .

36

3.2

Iđêan nguyên tố tối tiểu của iđêan cạnh nhị thức . . . .

41

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46


1

Lời mở đầu
Xu hướng kết hợp đại số giao hoán và tổ hợp bắt nguồn từ công trình
tiên phong của Richard Stanley [1] vào năm 1975. Kể từ đó, nhiều nghiên
cứu về mối quan hệ này được xem xét, trong đó iđêan sinh bởi các nhị
thức hay còn gọi là iđêan nhị thức đóng một vai trò quan trọng. Từ đầu
những năm 1990, iđêan nhị thức đã dần trở thành trào lưu nghiên cứu
rất tích cực từ quan điểm của cả đại số giao hoán và tổ hợp. Chúng còn
xuất hiện trong các lĩnh vực khác nhau của Hình học đại số và Đại số
thống kê.
Một nghiên cứu đầu tiên về các tính chất đại số của iđêan nhị thức,
chẳng hạn như phân tích nguyên sơ và cơ sở Gr¨obner, được đưa ra bởi
David Eisenbud và Bernd Sturmfels [2]. Trong số các iđêan nhị thức,
iđêan cạnh nhị thức gắn kết một cách tự nhiên với một đồ thị đơn tạo
thành một lớp đặc biệt. Lớp iđêan nhị thức này được đưa ra xem xét
và nghiên cứu bởi hai nhóm tác giả độc lập Herzog, Hibi, Hreinsdóttir,
Kahle, Rauh [3], và Ohtani [4].
Iđêan cạnh nhị thức cũng có thể xem như iđêan sinh bởi một số định
thức con cấp hai của ma trận 2×n với hệ số là các biến x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn

2

sau đây:




x 1 x2 · · ·

xn

y1 y 2 · · ·

yn




trong vành đa thức S = K[x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ]. Iđêan cạnh nhị thức có
một tính chất hiếm gặp là iđêan khởi đầu của nó là iđêan không chứa
bình phương (Định lý 2.3.2). Dựa vào một kết quả nổi tiếng gần đây của
Aldo Conca và Matteo Varbaro [5], ta có thể nhận thấy hầu hết các tính
chất và các bất biến đại số của iđêan cạnh nhị thức và iđêan khởi đầu
của nó trùng nhau. Cho nên, việc tìm hiểu cơ sở Gr¨obner của lớp iđêan
này là rất quan trọng. Vấn đề đầu tiên trong luận văn này, chúng tôi
tìm hiểu cơ sở Gr¨obner của nó và đặc trưng đồ thị mà iđêan cạnh nhị
thức có cơ sở Gr¨obner gồm các dạng bậc hai.
Nhìn chung mô tả giải tự do và các dữ liệu số chẳng hạn như các số

Betti phân bậc, chỉ số chính quy và chiều xạ ảnh của một iđêan cạnh
nhị thức là rất khó. Có nhiều giả thuyết về các bất biến này chưa được
giải quyết (xem trong [6]). Thông thường, để làm được điều này, người
ta cần phải hiểu về phân tích nguyên sơ. Luận văn này cũng sẽ tìm hiểu
vấn đề về phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức và cấu trúc của
các iđêan nguyên tố tối tiểu của nó.
Luận văn được trình bày thành 3 chương. Trong chương 1, chúng
tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của Đại số giao hoán như cơ sở
Gr¨obner và phân tích nguyên sơ của một iđêan. Chương 2 dành để trình
bày định nghĩa và các tính chất của iđêan cạnh nhị thức. Cơ sở Gr¨obner
và đặc trưng cơ sở Gr¨obner bậc hai cũng được đưa ra trong chương này.


3

Cuối cùng trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu phân tích nguyên sơ
của iđêan cạnh nhị thức, đặc trưng các iđêan nguyên tố tối tiểu cũng
được nghiên cứu.
Trong suốt luận văn này nếu không đề cập gì, ta luôn kí hiệu R :=
K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường K.


Chương 1
Các kiến thức cơ bản
Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu cơ sở Gr¨obner và phân tích nguyên
sơ của một iđêan. Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài
liệu [7] và [8].

1.1

Cơ sở Gr¨
obner

Định nghĩa 1.1.1. Kí hiệu M là tập các đơn thức của vành đa thức

R. Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M thỏa mãn các tính
chất sau:

(a) 1 ≤ m, với mọi m ∈ M.
(b) Nếu m1 ≤ m2 thì mm1 ≤ mm2 , với m1 , m2 , m ∈ M.
Từ định nghĩa cho ta thấy rằng trên vành đa thức một biến chỉ có
một thứ tự từ, đó là thứ tự xác định bởi bậc đơn thức.
Cho ≤ là một thứ tự từ. Sau khi đổi chỉ số các biến ta luôn có thể

giả thiết x1 > x2 > . . . > xn . Với α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn , ta viết
4


5

xα := xα1 1 . . . xαnn và deg(xα ) := α1 + · · · + αn . Sau đây là một số thứ tự

từ quan trọng được dùng trong các chương sau.
Định nghĩa 1.1.2.

1. Thứ tự từ điển ≤lex là một thứ tự được xác

định như sau xα ≤lex xβ nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ
bên trái của véctơ (α1 − β1 , . . . , αn − βn ) là một số âm.

2. Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác định như sau xα ≤glex xβ

nếu deg(xα ) < deg(xβ ) hoặc deg(xα ) = deg(xβ ) và thành phần đầu
tiên khác không kể từ bên trái của véctơ (α1 − β1 , . . . , αn − βn ) là

một số âm.

Ví dụ 1.1.3. Trong vành đa thức hai biến K[x1 , x2 ], ta có
(1) 1 ≤lex x2 ≤lex x22 ≤lex x1 ≤lex x1 x2 ≤lex x21 .
(2) 1 ≤glex x2 ≤glex x1 ≤glex x22 ≤glex x1 x2 ≤glex x21 .
Định nghĩa 1.1.4. Cho đa thức f =

au u, trong đó au ∈ K và u là

đơn thức trong R. Giá của f là tập supp(f ) = {u | au = 0}. Từ khởi
đầu của đa thức f ∈ R, kí hiệu in≤ (f ), là từ (số hạng) lớn nhất của đa
thức f đối với thứ tự từ ≤ . Nếu in≤ (f ) = axα , trong đó 0 = a ∈ K thì

hệ số đầu của f đối với ≤ kí hiệu là lc≤ (f ) = a và đơn thức đầu của f

đối với ≤ kí hiệu là lm≤ (f ) = xα ..

Nếu thứ tự từ ≤ đã được ngầm hiểu, ta sẽ viết in(f ), lc(f ) và lm(f )

tương ứng thay cho in≤ (f ), lc≤ (f ) và lm≤ (f ).

Ví dụ 1.1.5. Cho f = x2 − y 4 với thứ tự từ điển phân bậc ≤glex sao cho

x > y. Lúc đó, in(f ) = −y 4 ; lc(f ) = −1 và lm(f ) = y 4 .

6

Định nghĩa 1.1.6. Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ cho
trước. Iđêan khởi đầu của I, kí hiệu in(I), là iđêan của R sinh bởi các
từ khởi đầu của các phần tử của I. Cụ thể là:
in(I) = (in(f )|f ∈ I).
Ví dụ 1.1.7. Cho I = (yz − x2 ) trong vành đa thức K[x, y, z] với thứ

tự từ từ điển ≤lex sao cho x > y > z. Ta có, in(yz − x2 ) = −x2 và do đó

in(I) = (x2 ).
Bổ đề 1.1.8. Cho ≤ là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R. Ta có
các tính chất sau:
a) Nếu I là iđêan đơn thức thì in(I) = I.
b) Nếu I ⊆ J thì in(I) ⊆ in(J). Hơn nữa, nếu I ⊆ J và in(I) = in(J),
thì I = J.
c) in(I) in(J) ⊆ in(IJ).
d) in(I) + in(J) ⊆ in(I + J).
Định lý sau cho ta một mở rộng thuật toán chia đa thức trong vành
một biến cho vành nhiều biến.
Định lý 1.1.9 (Thuật toán chia). Cho ≤ là thứ tự từ trên vành đa thức
R và các đa thức khác không g1 , g2 , . . . , gs trong R. Khi đó, với đa thức
0 = f ∈ R, tồn tại f1 , . . . , fs ∈ R và f ′ ∈ R, ta có biểu diễn sau:
f = f1 g1 + f2 g 2 + . . . + fs g s + f ′

(1.1)


7

sao cho các điều sau thoả mãn:
1. Nếu f ′ = 0 thì không tồn tại đơn thức u ∈ supp(f ′ ) sao cho u ∈
(in(g1 ), . . . , in(gs )).
2. Nếu fi = 0 thì in(f ) ≥ in(fi gi ), với i = 1, . . . , s.
Chứng minh. Cho I = (in(g1 ), in(g2 ), . . . , in(gs )). Nếu không tồn tại đơn
thức u ∈ supp(f ) sao cho u ∈ I, thì ta có thể đặt f ′ = f và f1 = . . . =
fs = 0.
Bây giờ, giả sử đơn thức u ∈ supp(f ) thuộc I và ta viết u0 thay cho

đơn thức lớn nhất đối với < giữa các đơn thức thuộc supp(f ) ∩ I. Bây

giờ, gọi in(gi0 ) ước của u0 và w0 = u0 / in(gi0 ). Ta viết lại
f = c′0 c−1
i0 w 0 g i0 + h 1 ,

trong đó c′0 là hệ số của u0 trong f và ci0 là hệ số của in(gi0 ) trong gi0 .
Khi đó,
in(w0 gi0 ) = w0 in(gi0 ) = u0 ≤ in(f )
Nếu h1 = 0 hoặc nếu h1 = 0 và không có đơn thức u ∈ supp(h1 ) thuộc

I, thì f = c′0 c−1
i0 w0 gi0 + h1 là biểu diễn của f đối với g1 , . . . , gs và h1 là
phần dư của f .
Nếu đơn thức u ∈ supp(h1 ) thuộc I và nếu u1 là đơn thức lớn nhất

trong các đơn thức thuộc supp(h1 ) ∩ I, thì
u 1 < u0

Thật vậy, nếu đơn thức u với u > u0 thuộc supp(h1 ), thì u phải thuộc

8

supp(f ). Điều này là không xảy ra. Hơn nữa, vì các hệ số của u0 trong
f trùng với hệ số trong c′0 c−1
i0 w0 gi0 , suy ra u0 không thể thuộc supp(h1 ).
Gọi in(gi1 ) ước của u1 và w1 = u1 / in(gi1 ). Ta lại viết
′ −1
f = c′0 c−1
i 0 w 0 g i0 + c 1 c i1 w 1 g i 1 + h 2

trong đó c′1 là hệ số của u1 trong h1 và ci1 là hệ số của in(gi1 ) trong gi1 .
Khi đó,
in(w1 gi1 ) < in(w0 gi0 ) ≤ in(f ).
Tiếp tục quy trình này ta được một dãy giảm
u0 > u1 > u2 > · · ·
Quy trình này sẽ dừng đến bước thứ N . Ta thu được biểu diễn
f=

N −1

c′q c−1
i q w q g iq + h N

q=0

trong đó hN = 0 hoặc trong trường hợp hN = 0, không có đơn thức
u ∈ supp(hN ) thuộc I. Hơn nữa, với mỗi 1 ≤ q ≤ N − 1, ta có
in(wq giq ) < . . . < in(w0 gi0 ) ≤ in(f ).

Do đó, đặt

s
i=1 fi gi

=

N −1 ′ −1
q=0 cq ciq wq giq

và f ′ = hN , ta thu được biểu

diễn f = f1 g1 + f2 g2 + . . . + fs gs + f ′ .
Định nghĩa 1.1.10.

1. Vế phải của phương trình (1.1) được gọi là

biểu diễn chuẩn tắc của f đối với g1 , . . . , gs .


9

2. Đa thức f ′ được gọi là phần dư của f đối với g1 , . . . , gs và được kí
hiệu là RemG (f ).
Ví dụ sau sẽ chỉ ra rằng phần dư RemG (f ) phụ thuộc vào thứ tự của
g1 , . . . , gs .
Ví dụ 1.1.11. Cho ≤lex trên K[x, y, z] sao cho x > y > z. Đặt g1 =
x2 − z, g2 = xy − 1 và f = x3 − x2 y − x2 − 1. Khi đó,
f = x3 − x2 y − x2 − 1
= xg1 + (−x2 y − x2 + xz − 1)

= (x − y)g1 + (−x2 + xz − yz − 1)
= (x − y − 1)g1 + (xz − yz − z − 1).
và
f = x 3 − x 2 y − x2 − 1
= xg1 + (−x2 y − x2 + xz − 1)
= xg1 − xg2 + (−x2 + xz − x − 1)
= (x − 1)g1 − xg2 + (xz − x − z − 1).
là các biểu diễn chuẩn tắc của f đối với g1 , g2 và mỗi xz − yz − z − 1 và

xz − x − z − 1 là các phần dư của f .

Định nghĩa 1.1.12. Cho I là một iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ.

Tập hữu hạn các đa thức khác không g1 , . . . , gs ∈ I được gọi là một cơ

sở Gr¨
obner của I đối với ≤ nếu in(I) = (in(g1 ), . . . , in(gs )). Hơn nữa,


10

tập {g1 , . . . , gs } được gọi là cơ sở Gr¨
obner nếu nó là cơ sở Gr¨obner của
iđêan sinh bởi chính các phần tử này.

Nhận xét 1.1.13. Tìm cơ sở Gr¨obner của một iđêan trong vành một
biến K[x] trên trường K là rất đơn giản. Thật vậy, vì vành đa thức K[x]
là vành iđêan chính, nên mọi iđêan I đều sinh bởi một đa thức nào đó.
Giả sử I = (f ) với f ∈ K[x]. Cho nên in(I) = (in(f )). Vì vậy {f } là cơ
sở Gr¨obner của I.

Ví dụ 1.1.14. Trong vành đa thức K[x1 , . . . , x7 ], đặt f = x1 x4 − x2 x3

và g = x4 x7 − x5 x6 . Gọi I là iđêan sinh bởi f và g. Với thứ tự ≤glex sao
cho x > y, ta có in(f ) = x1 x4 và in(g) = x4 x7 . Tuy nhiên,
h := x1 x5 x6 − x2 x3 x7 = x7 f − x1 g ∈ I
trong khi in(h) = x1 x5 x6 ∈
/ (in(f ), in(g)). Vì vậy {f, g} không là cơ sở

Gr¨obner của I.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu về một thuật toán tìm cơ sở Gr¨obner
của một iđêan trong R. Để làm được điều này, trước hết ta có định nghĩa
sau:
Định nghĩa 1.1.15. Cho f, g ∈ R là hai đa thức khác 0. Khi đó
S(f, g) =

in(g)
in(f )
f−
g
UCLN(lm(f ), lm(g))
UCLN(lm(f ), lm(g))

được gọi là S-đa thức của f và g.
Đa thức S(f, g) phụ thuộc vào việc chọn thứ tự từ. Chẳng hạn,


11

Ví dụ 1.1.16. Cho f = x5 y − 4x3 y 3 + 2x2 y 2 và g = 3x2 y 4 − 2x5 + 3xy 5

trong vành K[x, y].

1. Với thứ tự từ điển sao cho y ≤lex x, ta có in(f ) = lm(f ) = x5 y,
in(g) = −2x5 và lm(g) = x5 . Khi đó, S-đa thức của f và g là:
S(f, g) = −2f − yg
= −2(x5 y − 4x3 y 3 + 2x2 y 2 ) − y(3x2 y 4 − 2x5 + 3xy 5 )
= 8x3 y 3 − 3x2 y 5 − 4x2 y 2 − 3xy 6 .
2. Với thứ tự từ điển phân bậc sao cho y ≤glex x, ta có in(f ) = lm(f ) =
x5 y, in(g) = 3x2 y 4 và lm(g) = x2 y 4 . Khi đó,
S(f, g) = 3y 3 f − x3 g
= 3y 3 (x5 y − 4x3 y 3 + 2x2 y 2 ) − x3 y(3x2 y 4 − 2x5 + 3xy 5 )
= −3x4 y 5 − 12x3 y 6 + 2x8 + 6x2 y 5 .
Định lý 1.1.17 (Tiêu chuẩn Buchberger). Cho G = {g1 , . . . , gs } là hệ
sinh của iđêan I. Khi đó, G là cơ sở Gr¨
obner của I khi và chỉ khi với
mọi 1 ≤ i = j ≤ s, phần dư của S-đa thức S(gi , gj ) đối với g1 , . . . , gs
G

bằng 0, kí hiệu S(gi , gj ) −→ 0.
Chứng minh của Định lý trên cho ta một thuật toán tìm cơ sở Gr¨obner
như sau:
Input: I là iđêan tròn R, F tập các phần tử sinh của I.
Output: Cơ sở Gr¨obner G của I.


12
Algorithm 1 Thuật toán Buchberger
1:

2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:

procedure Buchberger(F )
G := F
repeat
′
G := G
′
for {p, q} ⊆ G , p = q do
s := RemG (S(p, q))
if s = 0 then
G := G ∪ {s}
end if
end for
until G = G′
end procedure

Thuật toán sẽ dừng sau một số hữu hạn bước và kết quả G là cơ sơ
Gr¨obner của I (xem [7, Định ý 11.9]).
Mệnh đề 1.1.18. Cho f và g là các đa thức khác không của R. Nếu

G

in(f ) và in(g) nguyên tố cùng nhau thì S(f, g) −→ 0.
Trở lại Ví dụ 1.1.14, áp dụng thuật toán Buchberger để tìm cơ sở
Gr¨obner của iđêan trong ví dụ đó.
Ví dụ 1.1.19. Xét với thứ tự từ điển phân bậc ≤glex , ta đặt G = {f, g}
với f = x1 x4 − x2 x3 và g = x4 x7 − x5 x6 . Ta có in(f ) = x1 x4 và in(g) =
x4 x7 . Khi đó,

S(f, g) = x7 f − x1 g = x1 x5 x6 − x2 x3 x7 =: h.
Phần dư của S(f, g) đối với f, g là chính nó. Do đó, bổ sung h vào tập G
để được G = {f, g, h}. Chú ý rằng in(h) = x1 x5 x6 mà in(g) = x4 x7 nên


13
G

in(g) và in(h) nguyên tố cùng nhau. Bởi Mệnh đề 1.1.18, S(g, h) −→ 0.

Mặt khác,

S(f, h) = x5 x6 f − x4 h = x2 x3 (x4 x7 − x5 x6 ) = x2 x3 g.
Do đó, phần dư của S(f, h) đối với f, g, h bằng 0. Theo tiêu chuẩn
Buchberger suy ra rằng {f, g, h} là cơ sở Gr¨obner của I đối với thứ tự

từ điển phân bậc ≤glex .

1.2

Phân tích nguyên sơ

Trong mục này, ta luôn xét R là vành Noether giao hoán có đơn vị.
Định nghĩa 1.2.1. Một iđêan thực sự I của vành R được gọi là
(1) iđêan nguyên tố nếu với mọi x, y ∈ R mà xy ∈ I thì x ∈ I hoặc
y ∈ I.
(2) iđêan cực đại nếu tồn tại iđêan J của R và I

J thì J = R.

Ví dụ 1.2.2. Các iđêan cực đại trong vành các số nguyên Z đều có dạng
pZ, trong đó p là số nguyên tố.
Định nghĩa 1.2.3. Một iđêan thực sự I của vành R được gọi là iđêan
nguyên sơ nếu xy ∈ I và x ∈
/ I thì y n ∈ I với n nào đó. Nói cách khác,
iđêan thực sự I của vành R được gọi là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi
mọi ước của 0 trong vành thương R/I đều là lũy linh.
Ví dụ 1.2.4. Iđêan mZ trong vành giao hoán Z là nguyên sơ nếu và chỉ
nếu m = 0 hoặc m = pk , trong đó p là số nguyên tố và k ∈ N.


14

Mệnh đề 1.2.5. Nếu I là một iđêan nguyên sơ của vành R thì

√

I là

iđêan nguyên tố.
Chứng minh. Nếu xy ∈

√

I và x ∈
/

√

I, thì tồn tại n ∈ N sao cho xn ∈
/I

và (xy)n ∈ I. Suy ra xn y n ∈ I. Do I là iđêan nguyên sơ nên tồn tại
√
√
m ∈ N sao cho (y n )m = y nm ∈ I. Do đó y ∈ I. Vậy I là iđêan nguyên
tố.

Ví dụ 1.2.6. Ngược lại của mệnh đề trên nói chung là không đúng. Thật
vậy, xét vành R = k[x, y, z]/(xy − z 2 ), gọi x, y và z là lớp thương của x, y

và z trong R. Iđêan p = (x, z) là iđêan nguyên tố. Ta có x.y = z 2 ∈ p2

/ p2 và y ∈
/ p. Do đó, p2 không nguyên sơ.
nhưng x ∈
Mệnh đề 1.2.7. Nếu

√

I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ.

√
√
Chứng minh. Giả sử xy ∈ I và y ∈
/ I. Do I là iđêan cực đại nên
√
√
I + Ry = R. Khi đó, tồn tại m ∈ I và r ∈ R sao cho m + ry = 1. Ta
√
lại có, m ∈ I nên mn ∈ I với n ≥ 1 nào đó.
Từ đó, ta thấy rằng 1 = 1n = (m + ry)n = mn + sy, trong đó s ∈ R.

Nhân hai vế đẳng thức trên với x ta được x = xmn + sxy ∈ I. Từ đó ta
suy ra I la iđêan nguyên sơ.

Một iđêan nguyên sơ I của vành R mà

√

I = P , ta nói I là iđêan

P -nguyên sơ.
Định lý 1.2.8. Cho Q là iđêan P -nguyên sơ và a ∈ R. Khi đó, các
khẳng định sau luôn đúng:
(a) Nếu a ∈ Q thì (Q : a) = R,


15

(b) Nếu a ∈

/ Q thì (Q : a) là iđêan P -nguyên sơ,
(c) Nếu a ∈
/ P thì (Q : a) = Q.
Chứng minh. (a) Với mọi r ∈ R, ta luôn có ar ∈ Q. Do đó, suy ra
r ∈ (Q : a). Vì vậy R = (Q : a).

(b) Ta có Q ⊆ (Q : a) nên P =

minh

√

Q⊆

(Q : a). Bây giờ ta chứng

(Q : a) thì tồn tại n ∈ N∗
√
sao cho xn a ∈ Q. Suy ra (xn )m ∈ Q với m nào đó, và vì vậy x ∈ Q = P.
Do đó,

(Q : a) ⊆ P . Thật vậy, với mọi x ∈
(Q : a) = P .

Mặt khác, (Q : a) là iđêan nguyên sơ. Thật vậy, nếu xy ∈ (Q : a)

và x ∈
/ (Q : a), thì xa ∈
/ Q và xya ∈ Q. Vì Q là iđêan nguyên sơ, nên
√

y n ∈ Q với n nào đó. Do đó, y ∈ Q = P .

(c) Ta luôn có Q ⊆ (Q : a). Ngược lại, nếu x ∈ (Q : a) thì xa ∈ Q. Vì
√
a∈
/ P = Q nên x ∈ Q. Vì vậy (Q : a) = Q.
Mệnh đề 1.2.9. Nếu Q1 , . . . , Qm là P -nguyên sơ thì

m
i=1 Qi

là P -

nguyên sơ.
Chứng minh. Theo quy nạp, ta chỉ cần chứng minh: giao của hai iđêan
P -nguyên sơ là một iđêan P -nguyên sơ. Thật vậy, giả sử I và J là hai
iđêan P -nguyên sơ. Ta luôn có
√

I ∩J =

Bây giờ, lấy xy ∈ I ∩ J và x ∈
/

√

√

I∩

√

J = P.

I ∩ J = P . Khi đó, vì I là iđêan nguyên

sơ, nên y ∈ I. Theo tính đối xứng ta cũng chỉ ra được y ∈ J. Do đó,
y ∈ I ∩ J.


16

Định nghĩa 1.2.10. Cho I là iđêan thực sự của R. Một phân tích
nguyên sơ của iđêan I là một biểu diễn I dưới dạng giao hữu hạn các
iđêan nguyên sơ của R, tức là
m

Qi ,

I=
i=1

trong đó các Qi là Pi -nguyên sơ. Nếu I có phân tích nguyên sơ thì ta gọi
I là iđêan phân tích được.
Ngoài ra, nếu tất cả các

√

Qi = Pi đều phân biệt và không Qi nào
m

chứa giao của những iđêan còn lại thì phân tích nguyên sơ của I =

Qi
i=1

được gọi là tối tiểu.

Ví dụ 1.2.11. Trong vành Z, iđêan mZ có phân tích nguyên sơ là
mZ = pα1 1 Z ∩ . . . ∩ pαnn Z, nếu m = pα1 1 . . . pαnn với pi là số nguyên tố.
Mệnh đề 1.2.12. Cho I =

m
i=1 Qi

là một phân tích nguyên sơ tối
√
tiểu của I trong R và P là iđêan nguyên tố của R. Đặt Pi = Qi , với

i = 1, . . . , n. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i) Tồn tại i ∈ {1, . . . , m} sao cho P = Pi .
(ii) Tồn tại a ∈ R sao cho (I : a) là P -nguyên sơ.
(iii) Tồn tại a ∈ R sao cho

(I : a) = P .

Hay nói cách khác, Pi là những iđêan nguyên tố xuất hiện trong những
√
iđêan I : a và không phụ thuộc vào sự phân tích nguyên sơ của I.

17

Định nghĩa 1.2.13. Iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên
tố liên kết của I nếu tồn tại 0 = x ∈ R sao cho
P = (0 :R x) = {a ∈ R | ax = 0, với mọi x ∈ I}.
Tập các iđêan nguyên tố của I kí hiệu là Ass(I).
Tập iđêan nguyên tố liên kết của I không phụ thuộc vào việc chọn
phân tích nguyên sơ tối tiểu của I.
Định lý 1.2.14 (Định lý duy nhất thứ nhất của phân tích nguyên sơ).
Giả sử I là iđêan phân tích được và
m

n

Q′j ,

Qi =

I=

j=1

i=1

là hai phân tích nguyên sơ tối tiểu của I, trong đó Pi =

√

Qi và Pj′ =

Q′j . Khi đó, n = m và {P1 , . . . , Pn } = {P1′ , . . . , Pm′ }.
Chứng minh. Lấy x ∈ R, áp dụng Định lý 1.2.8 ta có
n

(I : x) =

n

i=1

Nếu
khác,

(Qi : x) =

(Qi : x) =

(I : x) là nguyên tố thì

i=1

Pi .
x∈Q
/ i

(I : x) ∈ {Pi | x ∈
/ Qi }. Hay nói cách

(I : x) = Pj với j nào đó sao cho x ∈

/ Qj . Theo Mệnh đề 1.2.12,

Pj không phụ thuộc vào việc chọn phân tích nguyên sơ của I. Ngược lại,
lấy i ∈ {1, . . . , n}, bởi vì phân tích nguyên sơ tối tiểu nên tồn tại xi ∈
(

j∈[n]\{i} Qj ) \ Qi .

yxi ∈ Qi ∩(

i=j

Ta có thể thấy nếu y ∈ (Qi : xi ) thì yxi ∈ Qi . Suy ra

Qj ) = I nên y ∈ (I : xi ). Vì vậy, (Qi : xi ) ⊆ (I : xi ). Hơn


18

nữa, ta luôn có (I : xi ) ⊆ (Qi : xi ). Điều này suy ra (I : xi ) = (Qi : xi ).

Vì vậy

(Qi : xi ) = Pi nên ta có điều phải chứng minh.

(I : xi ) =

Định lý 1.2.15 (Định lý duy nhất thứ hai của phân tích nguyên sơ).
Giả sử I là iđêan phân tích được và
n

n

Q′i ,

Qi =

I=

i=1

i=1

là hai phân tích nguyên sơ tối tiểu của I, trong đó Pi =

√

Qi =

Q′i .

Khi đó, nếu Pi là iđêan nguyên tố tối tiểu thuộc I với 1 ≤ i ≤ n, thì
Qi = Q′i .
Chứng minh. Với n = 1 định lý luôn đúng. Với n > 1, cố định i, ta luôn
tìm được



a∈

j∈[n]\{i}

Thật vậy, nếu ngược lại ta có



P j  \ Pi .

j∈[n]\{i} Pj

⊆ Pi . Điều này suy ra Pj ⊆ Pi

và mâu thuẩn với giả thiết Pi là iđêan nguyên tố tối tiểu của I.

Với mỗi j ∈ [n] \ {i}, tồn tại hj ∈ N sao cho ahj ∈ Qj . Gọi t số nguyên

sao cho t ≥ max{hj | j ∈ [n] \ {i}}. Khi đó, at ∈
/ Pi , và
n
t

n
t

I:a =

Qj : at = Qi .

Qj : a =
j=1

j=1

Một cách tương tự, ta cũng có (I : at ) = Q′i với mỗi số nguyên t đủ lớn.
Vậy Qi = Q′i .
Định nghĩa 1.2.16. Một iđêan thực sự I của vành R được gọi là bất
khả quy nếu nó không phải là giao của hai iđêan chứa nó thật sự. Nói


19

cách khác, iđêan thực sự I của vành R là bất khả quy nếu với mọi iđêan
I1 và I2 sao cho I = I1 ∩ I2 thì I = I1 hoặc I = I2 .
Ví dụ 1.2.17. Cho vành Z, I = pZ là iđêan bất khả quy. Thật vậy, giả
sử I = I1 ∩ I2 = aZ ∩ bZ, với a, b ∈ Z. Không mất tính tổng quát ta giả
sử a, b > 0 và a = b. Khi đó, pZ ⊆ aZ và pZ ⊆ bZ suy ra a | p và b | p.

Vì vậy, (a, b) = (1, p) hoặc (a, b) = (p, 1). Suy ra I1 = pZ hoặc I2 = pZ.
Vậy pZ là iđêan bất khả quy của Z.
Mệnh đề 1.2.18. Mọi iđêan bất khả quy là iđêan nguyên sơ.
Chứng minh. Giả sử a, b ∈ R sao cho ab ∈ I và b ∈
/ I. Ta cần chứng
√
minh a ∈ I. Thật vậy, ta có
(I : a) ⊆ (I : a2 ) ⊆ . . . ⊆ (I : ai ) ⊆ . . .
là dãy tăng các iđêan của R. Do R là vành Noether nên tồn tại n ∈ N

sao cho (I : an ) = (I : an+i ) với mọi i ∈ N.

Ta chứng minh I = (I + Ran ) ∩ (I + Rb). Thật vậy, ta luôn có

I ⊆ (I + Ran ) ∩ (I + Rb). Ngược lại, lấy bất kì r ∈ (I + Ran ) ∩ (I + Rb),

suy ra tồn tại g, h ∈ I và c, d ∈ R sao cho r = g + can = h + db. Do

đó ra = ga + can+1 = ha + dba. Suy ra can+1 = ha + dba − ga ∈ I

vì ab, g, h ∈ I. Điều này suy ra c ∈ (I : an+1 ) = (I : an ). Suy ra

r = g + can ∈ I. Vì vậy (I + Ran ) ∩ (I + Rb) ⊆ I.
Do I bất khả quy và I

(I + Rb) nên I = I + Ran . Suy ra an ∈ I.

Do đó, I là iđêan nguyên sơ của R.

Theo mệnh đề trên, việc tồn tại phân tích nguyên sơ của một iđêan