Bài giảng Đại số 10 - Bài 3: Công thức lượng giác

NHIỆT  LIỆT  CHÀO  MỪNG 
QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM 

LOGO


CÔNG THỨC

LƯỢNG GIÁC
Đại số 10 – Ban Cơ bản

GV: NGUYỄN VĂN ĐỨC
LOGO


LOGO

KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu hỏi 1: 

C

Nhắc  lại  giá  trị  lượng  giác 
của  các  cung  đối  nhau,  cung 
bù nhau, cung phụ nhau? 

Câu hỏi 2: 
Dùng  MTCT  tính  giá  trị 
biểu    thức    cos(a  ­  b)  và 
cosacosb + sinasinb với a, b 
nhận  các  giá  trị  do  hs  tự 

chọn (đơn vị radian)
Company Name


KIỂM TRA BÀI CŨ

LOGO

a
b
cos(a ­ b)
cosacosb + sinasinb

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
www.themegallery.com

Company Name


C

KIỂM TRA BÀI CŨ
Cung đối nhau:
cos ( − x ) = cos x
sin ( − x ) = − sin x

tan ( − x ) = − tan x

cot ( − x ) = − cot x

Cung bù nhau:
sin ( π − x ) = sin x

cos ( π − x ) = − cos x ( 1)
tan ( π − x ) = − tan x

cot ( π − x ) = − cot x

LOGO

�π
�
Cung phụ nhau: sin � − x �= cos x
2

�
�
�π
�
cos � − x �= sin x ( 2 )
�2
�
π
�
�
tan � − x �= cot x
�2
�
�π
�

cot � − x �= tan x
�2
�

cos ( π − x ) = − cos x = cos π cos x + sin π sin x
π
π
�π
�
cos � − x �= sin x = cos cos x + sin sin x
2
2
�2 �

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
Company Name


CÔNG THỨC

LƯỢNG GIÁC
Đại số 10 – Ban Cơ bản
LOGO


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

LOGO

I. Công thức cộng  

II. Công thức nhân đôi  
III. Công thức biến đổi tích 
thành tổng, tổng thành tích  

www.themegallery.com

Company Name


LOGO

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. CÔNG THỨC CỘNG

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b

( 1)

?H1.  Trong  CT  (1)  nếu 
cos �
a − ( −b ) �
�
�= cos a cos ( −b ) + sin a sin ( −b )
thay  b  bởi  (­b)  thì  thu 
�đượ
cosc kaết qu
+ b ả gì?
= cos a cos b − sin a sin b

(

)

?H2. Trong CT (1) nếu 
�π
�
−
a
thay a b
�ởi                  thì thu 
�
�2
�
được kết quả gì?
www.themegallery.com

Company Name


LOGO

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. CÔNG THỨC CỘNG

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b

( 1)

cos �
a − ( −b ) �

�
�= cos a cos ( −b ) + sin a sin ( −b )
� cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b

π
�
�
�π
�
�π
�
cos � − ( a + b ) �= cos � − a �
cos b + sin � − a �
sin b
?H2. Trong CT (1) n
ếu 
�2
�
�2
�
�2
�
�π
�
−
a
ở
i                  thì thu 
�
�thay a b

sin a�
+
= sin a cos b + cos a sin b
�2 b �
được kết quả gì?

(

www.themegallery.com

)

Company Name


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

LOGO

I. CÔNG THỨC CỘNG

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b

sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b

?H3. Cmr:
?H4. Với đk biểu thức có nghĩa,Cmr:
sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b tan a + tan b = tan ( a + b )

1 − tan a tan b
sin a sin b
a + ( −b ) �
Ta có: sin ( a − b ) = sin �
�
�
+
VT = cos a cos b
= sin a cos ( −b ) + cos a sin ( −b )
sin a sin b
1−
cos a cos b
= sin a cos b − cos a sin b
sin a cos b + cos a sin b sin ( a + b )
=
=
= VP
cos a cos b − sin a sin b cos ( a + b )
www.themegallery.com

Company Name


LOGO

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. CÔNG THỨC CỘNG

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b

sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b
tan a − tan b
tan ( a − b ) =
1 + tan a tan b Với  đk  các  biểu 
tan a + tan b thức  đều  có 
tan ( a + b ) =
nghĩa
1 − tan a tan b
www.themegallery.com

Company Name


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

LOGO

I. CÔNG THỨC CỘNG
cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b

sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b

sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b

( 1)
( 2)
( 3)

( 4)

“Cos thời cos cos, sin sin
Sin thời sin cos, cos sin rõ ràng
Cos thì đổi dấu hỡi nàng
Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho”

tan a − tan b
tan ( a − b ) =
( 5)
1 + tan a tan b
“tang tổng thì tổng tang ta
Chia một trừ với tích tang, dễ òm” 
tan a + tan b
tan ( a + b ) =
( 6)
1 − tan a tan b
Với  điều  kiện  các  biểu  thức  đều  có 
Các CT trên biểu thị cos(a±b), sin(a±b), tan(a±b) theo các giá trị LG của góc a và b 
nghĩa
nên được gọi là CT cộng.
www.themegallery.com


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b ( 1)

I. CÔNG THỨC CỘNG

cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b ( 2 )

Ví dụ 1. 
a) Tính giá trị của biểu thức (không sử dụng
7π
 MTCT): 
A = cos ;
B = tan150
12
b) Rút gọn biểu thức: 
�π
�
C = sin ( a + b ) + sin � − a �
�
sin ( −b )
�2
�

sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b ( 3)
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b

tan a − tan b
1 + tan a tan b
tan a + tan b
tan ( a + b ) =
1 − tan a tan b
7π
π
π
π

π
�π π �
a ) A = cos
= cos � + �= cos cos − sin sin
12
3
4
3
4
�3 4 �
tan ( a − b ) =

(

)

1 2
3 2
2
= � −
� =
1− 3
2 2
2 2
4
1
1−
0
0
tan 45 − tan 30

3 = 3 −1
B = tan150 = tan 450 − 300 =
=
1
3 +1
1 + tan 450 tan 300
1+
3

(

)

b) C = sin a cos b + cos a sin b − cos a sin b = sin a cos b
www.themegallery.com

LOGO

( 4)

( 5)
( 6)


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. CÔNG THỨC CỘNG
* Trong công thức (1) thay a = 0, ta có:
cos ( −b ) = cos 0.cos b + sin 0.sin b = cosb

sin ( −b ) = sin 0.cos b − cos0.sin b = − sin b

π
a=
* Trong công thức (1) thay             ta có:
2

π
π
�π
�
cos � − b �= cos .cos b + sin .sin b = sin b
2
2
�2
�

a =π
* Trong công thức (3) thay             ta có:
sin ( π − b ) = sin π .cos b − cos π .sin b = sin b
a =π,
www.themegallery.com

LOGO

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b ( 1)

cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b ( 2 )

sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b ( 3)
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b

( 4)

tan a − tan b
1 + tan a tan b
tan a + tan b
tan ( a + b ) =
1 − tan a tan b

( 5)

tan ( a − b ) =

( 6)


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. CÔNG THỨC CỘNG
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b

cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b
tan ( a + b ) =

tan a + tan b
1 − tan a tan b

II. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin 2sin
a =22sin
a cos

a = 2sin
a acos a
2
2
a =2cos
a −2 sin
cos 2cos
a =2cos
a − sin
a =a 2cos 2 a − 1
= 2cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a
2=tan
a2sin 2 a
1
−
tan 2a =
1 − tan22tan
a a
tan 2a =
1 − tan 2 a

Từ các công thức trên cho b = a
 thu được kết quả gì?
a =π,
www.themegallery.com

LOGO


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I. CÔNG THỨC CỘNG
cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b ( 1)

cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b ( 2 )

sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b ( 3)

sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b ( 4 )
tan a − tan b
tan ( a − b ) =
1 + tan a tan b
tan a + tan b
tan ( a + b ) =
1 − tan a tan b

a =π,
www.themegallery.com

( 5)
( 6)

LOGO

II. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
= 2cos 2 a − 1
= 1 − 2sin 2 a
2 tan a
tan 2a =

1 − tan 2 a

“sin cặp thì cặp sin cô
cos hai lấy hiệu bình cô sin bình
tg nhị là nhị tg anh
phép chia của một trừ bình tg thôi”


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. CÔNG THỨC CỘNG
cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b ( 1)

cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b ( 2 )

II. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
= 2cos 2 a − 1

sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b ( 3)

sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b ( 4 )
tan a − tan b
tan ( a − b ) =
1 + tan a tan b
tan a + tan b
tan ( a + b ) =
1 − tan a tan b

( 5)

( 6)

= 1 − 2sin 2 a
2 tan a
tan 2a =
1 − tan 2 a

*Hệ quả:
1 − cos 2a
sin a =
2
1 + cos 2a
cos 2 a =
2
2

Công thức hạ 
a = π , bậc
www.themegallery.com

LOGO


LOGO

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. CÔNG THỨC CỘNG
cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b ( 1)

cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b ( 2 )

sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b ( 3)
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b

( 4)

tan a − tan b
1 + tan a tan b
tan a + tan b
tan ( a + b ) =
1 − tan a tan b

( 5)

tan ( a − b ) =

a =π,
www.themegallery.com

( 6)

II. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin 2a = 2sin a cos a

1 − cos2a
2
1 + cos2a
cos 2 a =
2

sin 2 a =

cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
= 2cos 2 a − 1
= 1 − 2sin 2 a
tan 2a =

2 tan a
1 − tan 2 a

Ví dụ 2. Tính:  sin
BG.  Ta có: 

π
8

π
2
1
−
cos
1
−
2π
4 =
2 = 2− 2 
sin
=
π
2− 2

8
2
2
4
�� sin =
8
2
π π
π
Do 0 < < � sin > 0
8 2
8


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b ( 1)

LOGO

PHIẾU HỌC TÂP

cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b ( 2 )

Nhiêm vụ 1: Chứng minh rằng:
sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b ( 3 )
1
sin 4 a + cos 4 a = 1 − sin 2 2a;
∀a
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b ( 4 )
2

tan a − tan b
π
�
tan ( a − b ) =
( 5 ) Nhiêm vụ 2: Cho  sin a = 3 �
<
a
<
π
�
�
1 + tan a tan b
5 �2
�
tan a + tan b
( 6)
1 − tan a tan b
sin 2a = 2sin a cos a
1 − cos2a
2
sin
a
=
2
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
= 2cos 2 a − 1 cos 2 a = 1 + cos2a
2
= 1 − 2sin 2 a
tan ( a + b ) =

tan 2a =

2 tan a
a =2 π ,
1 − tan a

www.themegallery.com

Tính:  sin 2a; cos 2a; tan 2a


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
PHIẾU HỌC TÂP

LOGO

NV 1: Ta có: sin a + cos a = ( sin a + cos a ) − 2sin 2 a cos 2 a
4

4

2

2

2

1
1 2
2

= 1 − ( 2sin a �
cos a ) = 1 − sin 2a; ∀a
2
2
16 
NV 2: Ta có:  cos 2 a = 1 − sin 2 a =
4
25
�
cos
a
=
−
�
π
5
Do < a < π � cos a < 0
2
sin 2a
24
24
tan
2
a
=
=
−
sin 2a = 2sin a �
cos a = −
cos 2a

7
25

cos 2a = cos 2 a − sin 2 a =

a =π,

www.themegallery.com

7
25

sin a
3
C : tan a =
=−
cos a
4
2 tan a
24
tan 2a =
=
−
1 − tan 2 a
7


LOGO

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

PHIẾU HỌC TÂP
NV 2: Cách khác: 
7
cos 2a = 1 − 2sin a =
25
2

sin 2 2a = 1 − cos 2 2a =
Do

576
625

π
< a < π � π < 2a < 2π � sin 2a < 0
2

a =π,
www.themegallery.com


�� sin 2a = −

24
25


LOGO

TRẮC NGHIỆM

  Hãy nối mỗi dòng ở cột phải với một dòng ở cột trái để 
được một công thức đúng.
cos a cos b + sin a sin b (1)
cos a cos b − sin a sin b
sin a cos b − cos a sin b
2sin a cos a
tan a − tan b
1 + tan a tan b
tan a + tan b
1 − tan a tan b
2sin 2 a − 1

(5)

2cos 2 a − 1

(8)

www.themegallery.com

(2)
(3)
(4)

( A) sin(a − b)
( B) tan(a − b)
(C ) cos 2a

(6)

( D) cos(a + b)

(7)

( E ) sin 2a


LOGO

TRẮC NGHIỆM

Giá trị của biểu thức: 
�π
� �π
�
�π
� �π
�
A = sin � − α �
cos � + α �+ cos � − α �
sin � + α � bằng bao nhiêu? 
�4
� �4
�
�4
� �4
�

Vì:

A) A = −1

B) A = 0

C) A = 1

2
D) A =
2

π
�
�
�π
� �π
�
A = sin �
= sin = 1
� − α �+ � + α �
�
2
�4
� �4
�
�
�

www.themegallery.com

Company Name

TRẮC NGHIỆM

LOGO

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? 
A) tan 3a − tan 2a − tan a = tan 2 a tan 2a
B ) tan 3a − tan 2a − tan a = cot a ��
tan 2a tan 3a
C ) tan 3a − tan 2a − tan a = − tan a ��
tan 2a tan 3a

DD)

Vì
www.themegallery.com

tan 3a − tan 2a − tan a = tan a ��
tan 2a tan 3a
tan 3a − tan 2a − tan a = tan ( 2a + a ) − ( tan 2a + tan a )
tan 2a + tan a
=
− ( tan 2a + tan a )
1 − tan 2a tan a
1
�
�
= ( tan 2a + tan a ) �
− 1�

1 − tan 2a tan a �
�
tan 2a + tan a
=
( 1 − 1 + tan 2a tan a ) = tan 3a tan 2a tan a
1 − tan 2a tan a
Company Name


LOGO

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

­  Nắm  vững  công  thức  cộng,  công  thức  nhân 
đôi, công thức hạ bậc.
­ Đọc trước phần III.
­ Làm các bài tập: 1,2,3,5,6 (sgk trang 153­154)

www.themegallery.com

Company Name