ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (409.94 KB, 20 trang )
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 1
I. HỆ THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:
OP
OQ
AT
BT
cos
sin
tan
'cot
a
a
a
a
=
=
=
=
Nhận xét:
·
,1cos1;1sin1
aaa
"-££-££
· tana xác định khi
kkZ
,
2
p
ap
¹+Î
· cota xác định khi
kkZ
,
ap
¹Î
2. Dấu của các giá trị lượng giác:
Cung phần tư
Giá trị lượng giác
I II II IV
sin
a
+ + – –
cos
a
+ – – +
tan
a
+ – + –
cot
a
+ – + –
3. Hệ thức cơ bản:
sin
2
a
+ cos
2
a
= 1; tana.cota = 1
22
22
11
1tan;1cot
cossin
aa
aa
+=+=
4. Cung liên kết:
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
cos()cos
aa
-=
sin()sin
paa
-=
sincos
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø
sin()sin
aa
-=-
cos()cos
paa
-=-
cossin
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø
tan()tan
aa
-=-
tan()tan
paa
-=-
tancot
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø
cot()cot
aa
-=-
cot()cot
paa
-=-
cottan
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø
CHƯƠNG 0
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
cosin
O
cotang
sin
tang
p
A
M
Q
B
T'
a
T
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 2
5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
II. CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng:
Cung hơn kém
p
Cung hơn kém
2
p
sin()sin
paa
+=-
sincos
2
p
aa
æö
+=
ç÷
èø
cos()cos
paa
+=-
cossin
2
p
aa
æö
+=-
ç÷
èø
tan()tan
paa
+=
tancot
2
p
aa
æö
+=-
ç÷
èø
cot()cot
paa
+=
cottan
2
p
aa
æö
+=-
ç÷
èø
0
6
p
4
p
3
p
2
p
2
3
p
3
4
p
p
3
2
p
2
p
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
-
2
2
-
–1 0 1
tan 0
3
3
1
3
3
-
–1 0
0
cot
3
1
3
3
0
3
3
-
–1
0
sin()sin.cossin.cos
ababba
+=+
sin()sin.cossin.cos
ababba
-=-
cos()cos.cossin.sin
ababab
+=-
cos()cos.cossin.sin
ababab
-=+
tantan
tan()
1tan.tan
ab
ab
ab
+
+=
-
tantan
tan()
1tan.tan
ab
ab
ab
-
-=
+
Hệ quả:
1tan1tan
tan,tan
41tan41tan
papa
aa
aa
æöæö
+-
+=-=
ç÷ç÷
-+
èøèø
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 3
III. CÔNG THỨC NHÂN
1. Công thức nhân đôi:
sin22sin.cos
aaa
=
2222
cos2cossin2cos112sin
aaaaa
=-=-=-
2
2
2tancot1
tan2;cot2
2cot
1tan
aa
aa
a
a
-
==
-
2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t =
tan
2
a
:
Đặt:
tk
tan(2)
2
a
app
=¹+ thì:
t
t
2
2
sin
1
a
=
+
;
t
t
2
2
1
cos
1
a
-
=
+
;
t
t
2
2
tan
1
a
=
-
IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Công thức biến đổi tổng thành tích:
2. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos.coscos()cos()
2
1
sin.sincos()cos()
2
1
sin.cossin()sin()
2
ababab
ababab
ababab
éù
=-++
ëû
éù
= +
ëû
éù
=-++
ëû
coscos2cos.cos
22
abab
ab
+-
+=
coscos2sin.sin
22
abab
ab
+-
-=-
sinsin2sin.cos
22
abab
ab
+-
+=
sinsin2cos.sin
22
abab
ab
+-
-=
sin()
tantan
cos.cos
ab
ab
ab
+
+=
sin()
tantan
cos.cos
ab
ab
ab
-
-=
sin()
cotcot
sin.sin
ab
ab
ab
+
+=
ba
ab
ab
sin()
cotcot
sin.sin
-
-=
sincos2.sin2.cos
44
pp
aaaa
æöæö
+=+=-
ç÷ç÷
èøèø
sincos2sin2cos
44
pp
aaaa
æöæö
-=-=-+
ç÷ç÷
èøèø
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1cos2
sin
2
1cos2
cos
2
1cos2
tan
1cos2
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
=
-
=
+
3
3
3
2
sin33sin4sin
cos34cos3cos
3tantan
tan3
13tan
aaa
aaa
aa
a
a
=-
=-
-
=
-
i s 11 Trn S Tựng
Trang 4
Vn 1: TP XC NH, TP GI TR, TNH CHN L, CHU K
sin
yx
=
: Tp xỏc nh D = R; tp giỏ tr
1,1
T
ộự
=-
ởỷ
; hm l, chu k
0
2
T =
p
.
* y = sin(ax + b) cú chu k
0
2
T
a
=
p
* y = sin(f(x)) xỏc nh
()
fx
xỏc nh.
cos
yx
=
: Tp xỏc nh D = R; Tp giỏ tr
1,1
T
ộự
=-
ởỷ
; hm chn, chu k
0
2
T =
p
.
* y = cos(ax + b) cú chu k
0
2
T
a
=
p
* y = cos(f(x)) xỏc nh
()
fx
xỏc nh.
tan
yx
=
: Tp xỏc nh
\,
2
DRkkZ
ỡỹ
=+ẻ
ớý
ợỵ
p
p
; tp giỏ tr T = R, hm l, chu k
0
T
=
p
.
* y = tan(ax + b) cú chu k
0
T
a
=
p
* y = tan(f(x)) xỏc nh
()
fx
()
2
kkZ
ạ+ẻ
p
p
cot
yx
=
: Tp xỏc nh
{
}
\,
DRkkZ
=ẻ
p
; tp giỏ tr T = R, hm l, chu k
0
T
=
p
.
* y = cot(ax + b) cú chu k
0
T
a
=
p
* y = cot(f(x)) xỏc nh
()()
fxkkZ
ạẻ
p
.
* y = f
1
(x) cú chu k T
1
; y = f
2
(x) cú chu k T
2
Thỡ hm s
12
()()
yfxfx
= cú chu k T
0
l bi chung nh nht ca T
1
v T
2
.
CHệễNG I
HAỉM SO LệễẽNG GIAC PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAC
I. HM S LNG GIC
Trn S Tựng i s 11
Trang 5
Baứi 1. Tỡm tp xỏc nh v tp giỏ tr ca cỏc hm s sau:
a)
2
sin
1
x
y
x
ổử
=
ỗữ
-
ốứ
b)
sin
yx
= c)
2sin
yx
=-
d)
2
1cos
yx
=- e)
1
sin1
y
x
=
+
f)
tan
6
yx
ổử
=-
ỗữ
ốứ
p
g)
cot
3
yx
ổử
=+
ỗữ
ốứ
p
h)
sin
cos()
x
y
x
=
-
p
i) y =
1
tan1
x
-
Baứi 2. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s:
a) y =
2sin1
4
x
ổử
++
ỗữ
ốứ
p
b)
2cos13
yx
=+-
c)
sin
yx
=
d)
2
4sin4sin3
yxx
=-+
e)
2
cos2sin2
yxx
=++
f)
42
sin2cos1
yxx
=-+
g) y = sinx + cosx h) y =
3sin2cos2
xx
-
i) y =
sin3cos3
xx
++
Baứi 3. Xột tớnh chn l ca hm s:
a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx
d) y = tanx + cotx e) y = sin
4
x f) y = sinx.cosx
g) y =
sintan
sincot
xx
xx
-
+
h) y =
3
3
cos1
sin
x
x
+
i) y =
tan
x
Baứi 4. Tỡm chu k ca hm s:
a)
sin2
yx
=
b)
cos
3
x
y = c)
2
sin
yx
=
d)
sin2cos
2
x
yx=+ e)
tancot3
yxx
=+
f)
32
cossin
57
xx
y =-
g)
2sin.cos3
yxx
=
h)
2
cos4
yx
= i) y = tan(-3x + 1)
HD: a)
p
b)
6
p
c)
p
d)
4
p
e)
p
f)
70
p
g)
p
h)
4
p
i)
3
p
Vn 2: TH CA HM S LNG GIC
1) V th hm s lng giỏc:
Tỡm tp xỏc nh D.
Tỡm chu k T
0
ca hm s.
Xỏc nh tớnh chn l (nu cn).
Lp bng bin thiờn trờn mt on cú di bng chu k T
0
cú th chn:
0
0,
xT
ộự
ẻ
ởỷ
hoc
00
,
22
TT
x
ộự
ẻ-
ờỳ
ởỷ
.
V th trờn on cú di bng chu k.
Ri suy ra phn th cũn li bng phộp tnh tin theo vect
vkTi
0
=
r
r
v bờn trỏi v
phi song song vi trc honh Ox (vi
i
r
l vộc t n v trờn trc Ox).
i s 11 Trn S Tựng
Trang 6
2) Mt s phộp bin i th:
a) T th hm s y = f(x), suy ra th hm s y = f(x) + a bng cỏch tnh tin th y =
f(x) lờn trờn trc honh a n v nu a > 0 v tnh tin xung phớa di trc honh a n
v nu a < 0.
b) T th y = f(x), suy ra th y = f(x) bng cỏch ly i xng th y = f(x) qua trc
honh.
c) th
fxneỏufx
yfx
fxneỏufx
(),()0
()
(),()0
ỡ
==
ớ
-<
ợ
c suy t th y = f(x) bng cỏch gi
nguyờn phn th y = f(x) phớa trờn trc honh v ly i xng phn th y = f(x)
nm phớa di trc honh qua trc honh.
Vớ d 1: V th hm s y = f(x) = sinx.
Tp xỏc nh: D = R.
Tp giỏ tr:
1,1.
ộự
-
ởỷ
Chu k: T = 2 .
Bng bin thiờn trờn on
0,2
ộự
ởỷ
p
Tnh tin theo vộct
2.
vki
=
rr
p
ta c th y = sinx.
Nhn xột:
th l mt hm s l nờn nhn gc ta O lm tõm i xng.
Hm s ng bin trờn khong
0,
2
ổử
ỗữ
ốứ
p
v nghch bin trờn
,.
2
ổử
ỗữ
ốứ
p
p
Vớ d 2: V th hm s y = f(x) = cosx.
Tp xỏc nh: D = R.
Tp giỏ tr:
1,1.
ộự
-
ởỷ
Chu k: T = 2 .
Bng bin thiờn trờn on
0,2:
ộự
ởỷ
p
Tnh tin theo vộct
2.
vki
=
rr
p
ta c th y = cosx.
Nhn xột:
th l mt hm s chn nờn nhn trc tung Oy lm trc i xng.
1
3
2
p
-
-p
2
p
-
0
2
p
3
2
p
p
2p
5
2
p
y = sinx
1
y
x
1
3
2
p
-
-p
2
p
-
0
2
p
3
2
p
p
2p
5
2
p
y = cosx
1
y
x
x 0
2
p
p
3
2
p
2
p
y
1
0
1
0
0
x 0
2
p
p
3
2
p
2
p
y
0
1
0
1
1
Trn S Tựng i s 11
Trang 7
Hm s nghch bin trờn khong
0,
2
ổử
ỗữ
ốứ
p
v nghch bin trờn khong
3
,.
2
ổử
ỗữ
ốứ
p
p
Vớ d 3: V th hm s y = f(x) = tanx.
Tp xỏc nh: D = R
\,
2
kkZ
ỡỹ
+ẻ
ớý
ợỵ
p
p
Tp giỏ tr: R.
Gii hn:
2
lim
x
y
đ
=Ơ
p
:
2
xị=
p
l tim cn ng.
Chu k: T = .
Bng bin thiờn trờn
,
22
ổử
-
ỗữ
ốứ
pp
:
Tnh tin theo vộct
.
vki
=
rr
p
ta c th y = tanx.
Nhn xột:
th l mt hm s l nờn nhn gc ta O lm tõm i xng.
Hm s luụn ng bin trờn tp xỏc nh D.
Vớ d 4: V th hm s y = f(x) = cotx.
Tp xỏc nh: D = R
{
}
\,
kkZ
ẻ
p
Tp giỏ tr: R.
Gii hn:
0
lim,lim
xxx
yy
đđ
=+Ơ=-Ơ
tim cn ng: x = 0, x = .
Chu k: T = .
Bng bin thiờn trờn on
0,
ộự
ởỷ
p
:
Tnh tin theo vộct
.
vki
=
rr
p
ta c th y = cotx.
Nhn xột:
th l mt hm s l nờn nhn gc ta O lm tõm i xng.
Hm s luụn gim trờn tp xỏc nh D.
x
2
p
-
0
2
p
y
0
Ơ
+
Ơ
x 0
2
p
p
y
0
+
Ơ
Ơ
x
y
3
2
p
-
p
2
p
-
O
2
p
p
3
2
p
2
p
5
2
p
y = tanx
x
y
2
-p
3
2
p
-
O
2
p
-
2
p
p
3
2
p
y = cotx
-p
2
p
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 8
Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx.
– Vẽ đồ thị y = sinx.
– Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox.
Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = ½sinx½
sin,neáusin x0
sin
-sin x,neáusin x < 0.
x
yx
ì
³
==
í
î
Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx.
– Vẽ đồ thị y = cosx.
– Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị
1cos
yx
=+
bằng cách tịnh tiến đồ thị
cos
yx
=
lên
trục hoành 1 đơn vị.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0,2
éù
ëû
p
:
y
x
–2
3
2
p
-
3
2
p
2
p
2
p
p
O
-p
2
p
-
y = –sinx
1
–1
p
2
p
-
3
2
p
2
p
2
p
p
O
y = /sinx/
y
1
x
x 0
2
p
p
3
2
p
2
p
y = cosx
1
0
–1
0
1
y = 1 + cosx
2
1
0
1
2
2
p
-
O
y = 1 + cosx
y
x
-p
2
p
p
3
2
p
y = cosx
2
1
–1
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 9
Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x.
– y = sin2x có chu kỳ T =
p
– Bảng biến thiên trên đoạn
0,2
éù
ëû
p
:
Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x.
– y = cos2x có chu kỳ T =
p
– Bảng biến thiên trên đoạn
0,2
éù
ëû
p
:
O
y
x
2
p
4
p
1
2
p
4
p
y = cos2x
–1
3
4
p
2
p
-
O
y
x
p
4
p
-
4
p
1
3
2
p
2
p
5
4
p
y = sin
2x
–1
x
2
-
p
4
-
p
0
2
p
2
p
2x
-p
2
p
-
0
2
p
p
y = sin2x
0
–1
0
1
0
x
2
p
-
4
p
-
0
4
p
2
p
2x
-p
2
p
-
0
2
p
p
y = cos2x
–1
0
1
0
–1
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 10
Ví dụ 10: Vẽ đồ thị
sin
4
yx
æö
=+
ç÷
èø
p
có chu kỳ T =
2
p
.
Ví dụ 11: Vẽ đồ thị
cos
4
yx
æö
=-
ç÷
èø
p
có chu kỳ T =
2
p
.
x –
p
3
4
-
p
2
p
-
4
p
-
0
4
p
2
p
3
4
p
p
x
4
p
+
3
4
p
-
2
p
-
4
p
-
0
4
p
2
p
3
2
p
0
5
4
p
ysinx
4
p
æö
=+
ç÷
èø
2
2
-
–1
2
2
-
0
2
2
1
2
2
0
2
2
-
x –
p
3
4
p
-
2
p
-
4
p
-
0
4
p
2
p
3
4
p
p
x
4
p
-
5
4
p
-
-p
3
4
p
-
2
p
-
4
p
-
0
4
p
2
p
3
4
p
ycosx
4
p
æö
=-
ç÷
èø
2
2
-
–1
2
2
-
0
2
2
1
2
2
0
2
2
-
3
2
p
O
y
x
-p
3
4
p
-
2
p
-
4
p
-
4
p
2
p
3
4
p
p
5
4
p
7
4
p
y = sin x
4
p
æö
+
ç÷
èø
1
2/2
2/2
-
–1
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 11
Ví dụ 12: Vẽ đồ thị
sincos2sin
4
yxxx
æö
=+=+
ç÷
èø
p
có chu kỳ T =
2
p
.
Ví dụ 13: Vẽ đồ thị
cossin2cos
4
yxxx
æö
=-=+
ç÷
èø
p
có chu kỳ T =
2
p
.
x –
p
3
4
p
-
2
p
-
4
p
-
0
4
p
2
p
3
4
p
p
x
4
p
+
3
4
p
-
2
p
-
4
p
-
0
4
p
2
p
3
4
p
p
5
4
p
p
æö
+
ç÷
èø
sinx
4
2
2
-
–1
2
2
0
2
2
1
2
2
0
2
2
-
2sinx
4
p
æö
+
ç÷
èø
–1
2
-
–1
0
1
2
1
0
–1
sinxcosx
+
1
2
1
0
1
2
1
0
1
3
2
p
O
y
x
-p
3
4
p
-
2
p
-
4
p
-
4
p
2
p
3
4
p
p
5
4
p
7
4
p
y = 2sinx
4
p
æö
+
ç÷
èø
1
2
2
-
–1
4
p
2
p
O
y
x
3
4
p
-
2
p
-
-p
5
4
p
3
2
p
p
y =
sinxcosx
+
4
p
-
3
2
p
7
4
p
1
2
x
p
3
4
p
-
2
p
-
4
p
-
0
4
p
2
p
3
4
p
p
cosx –1
2
2
-
0
2
2
1
2
2
0
2
2
-
–1
sinx 0
2
2
-
–1
2
2
-
0
2
2
1
2
2
0
cosx – sinx –1 0 1
2
1 0 –1
2
-
–1
cosxsinx
-
1
0
1
2
1
0
1
2
1
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 12
Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx.
– Tập xác định:
\.,
2
DRkkZ
ìü
=Î
íý
îþ
p
– Chu kỳ T =
p
.
y
x
3
4
p
-
2
p
-
4
p
-
-p
o
4
p
2
p
3
4
p
p
5
4
p
y = cosx – sinx
2
1
1
-
2
-
y
x
3
4
p
-
2
p
-
4
p
-
-p
o
4
p
2
p
3
4
p
p
5
4
p
y =
½
cosx – sinx
½
2
1
x
2
p
-
3
p
-
4
p
-
6
p
-
0
6
p
4
p
3
p
2
p
tanx
||
3
-
–1
3
3
0
3
3
1
3
||
cotx 0
3
3
-
–1
3
-
||
3
1
3
3
0
y =
tanx + cotx
–¥
43
3
-
2
43
3
-
–¥
+¥
43
3
2
43
3
+¥
x
y
y = tanx + cotx
43
3
2
43
3
–2
2
p
-
3
p
-
4
p
-
6
p
-
6
p
4
p
3
p
2
p
O
Trn S Tựng i s 11
Trang 13
I. PHNG TRèNH LNG GIC C BN
1. Phng trỡnh sinx = sina
a)
2
sinsin()
2
xk
xkZ
xk
ộ
=+
=ẻ
ờ
=-+
ở
ap
a
pap
b)
sin.:11.
arcsin2
sin()
arcsin2
xaẹieukieọna
xak
xakZ
xak
=-ÊÊ
ộ
=+
=ẻ
ờ
=-+
ở
p
pp
c)
sinsinsinsin()
uvuv
=-=-
d) sincossinsin
2
uvuv
ổử
==-
ỗữ
ốứ
p
e) sincossinsin
2
uvuv
ổử
=-=-
ỗữ
ốứ
p
Cỏc trng hp c bit:
sin0()
xxkkZ
==ẻ
p
sin12()
2
xxkkZ
==+ẻ
p
p
sin12()
2
xxkkZ
=-=-+ẻ
p
p
22
sin1sin1cos0cos0()
2
xxxxxkkZ
=====+ẻ
p
p
2. Phng trỡnh cosx = cosa
a)
coscos2()
xxkkZ
==+ẻ
aap
b)
cos.:11.
cosarccos2()
xaẹieukieọna
xaxakkZ
=-ÊÊ
==+ẻ
p
c)
coscoscoscos()
uvuv
=-=-
p
d) cossincoscos
2
uvuv
ổử
==-
ỗữ
ốứ
p
e) cossincoscos
2
uvuv
ổử
=-=+
ỗữ
ốứ
p
Cỏc trng hp c bit:
cos0()
2
xxkkZ
==+ẻ
p
p
cos12()
xxkkZ
==ẻ
p
cos12()
xxkkZ
=-=+ẻ
pp
22
cos1cos1sin0sin0()
xxxxxkkZ
=====ẻ
p
II. PHNG TRèNH LNG GIC
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 14
3. Phương trình tanx = tana
a)
tantan()
xxkkZ
=Û=+Î
aap
b)
tanarctan()
xaxakkZ
=Û=+Î
p
c)
tantantantan()
uvuv
=-Û=-
d) tancottantan
2
uvuv
æö
=Û=-
ç÷
èø
p
e) tancottantan
2
uvuv
æö
=-Û=+
ç÷
èø
p
Các trường hợp đặc biệt:
tan0()
xxkkZ
=Û=Î
p
tan1()
4
xxkkZ
=±Û=±+Î
p
p
4. Phương trình cotx = cota
cotcot()
xxkkZ
=Û=+Î
aap
cotarccot()
xaxakkZ
=Û=+Î
p
Các trường hợp đặc biệt:
cot0()
2
xxkkZ
=Û=+Î
p
p
cot1()
4
xxkkZ
=±Û=±+Î
p
p
5. Một số điều cần chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc
chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện:
().
2
xkkZ
¹+Î
p
p
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện:
()
xkkZ
¹Î
p
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện
()
2
xkkZ
¹Î
p
* Phương trình có mẫu số:
·
sin0()
xxkkZ
¹Û¹Î
p
·
cos0()
2
xxkkZ
¹Û¹+Î
p
p
·
tan0()
2
xxkkZ
¹Û¹Î
p
·
cot0()
2
xxkkZ
¹Û¹Î
p
b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau
để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô định.
Trn S Tựng i s 11
Trang 15
Baứi 1. Gii cỏc phng trỡnh:
1)
cos20
6
x
ổử
+=
ỗữ
ốứ
p
2)
cos41
3
x
ổử
-=
ỗữ
ốứ
p
3)
cos1
5
x
ổử
-=-
ỗữ
ốứ
p
4)
sin30
3
x
ổử
+=
ỗữ
ốứ
p
5)
sin1
24
x
ổử
-=
ỗữ
ốứ
p
6)
sin21
6
x
ổử
+=-
ỗữ
ốứ
p
7)
( )
1
sin31
2
x
+=
8)
( )
0
2
cos15
2
x -= 9)
3
sin
232
x
ổử
-=-
ỗữ
ốứ
p
10)
1
cos2
62
x
ổử
-=-
ỗữ
ốứ
p
11)
(
)
tan213
x -= 12)
( )
0
3
cot310
3
x +=
13)
tan31
6
x
ổử
+=-
ỗữ
ốứ
p
14)
cot21
3
x
ổử
-=
ỗữ
ốứ
p
15) cos(2x + 25
0
) =
2
2
-
Baứi 2. Gii cỏc phng trỡnh:
1)
xx
sin(31)sin(2)
+=-
2)
coscos2
36
xx
ổửổử
-=+
ỗữỗữ
ốứốứ
pp
3)
cos3sin2
xx
=
4) xx
0
sin(120)cos20
-+=
5)
cos2cos0
33
xx
ổửổử
++-=
ỗữỗữ
ốứốứ
pp
6)
sin3sin0
42
x
x
ổử
+-=
ỗữ
ốứ
p
7)
tan3tan
46
xx
ổửổử
-=+
ỗữỗữ
ốứốứ
pp
8)
cot2cot
43
xx
ổửổử
-=+
ỗữỗữ
ốứốứ
pp
9)
xx
tan(21)cot0
++=
10) xx
2
cos()0
+=
11) xx
2
sin(2)0
-=
12) xx
2
tan(23)tan2
++=
13)
2
cot1
x
=
14)
2
1
sin
2
x
=
15)
1
cos
2
x
=
16)
22
sincos
4
xx
ổử
-=
ỗữ
ốứ
p
II. PHNG TRèNH BC HAI I VI MT HM S LNG GIC
Nu t:
2
sinsin:01.
txhoaởctxthỡủieukieọnt
==ÊÊ
Dng t iu kin
2
sin0
asinxbxc
++=
t = sinx
11
t
-ÊÊ
2
coscos0
axbxc
++=
t = cosx
11
t
-ÊÊ
2
tantan0
axbxc
++=
t = tanx
()
2
xkkZ
ạ+ẻ
p
p
2
cotcot0
axbxc
++=
t = cotx
()
xkkZ
ạẻ
p
i s 11 Trn S Tựng
Trang 16
Baứi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x 4cosx 1 = 0
3) 4cos
5
x.sinx 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x 4)
(
)
2
tan13tan30
xx
+ =
5)
(
)
2
4sin231sin30
xx
-++=
6)
3
4cos32sin28cos
xxx
+=
7) tan
2
x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x 4cot2x + 3 = 0
Baứi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1) 4sin
2
3x +
(
)
231cos33
x+- = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 6x) + 16cos
2
(1 3x) = 13 4)
( )
2
1
33tan330
cos
x
x
-+-+=
5)
3
cos
x
+ tan
2
x = 9 6) 9 13cosx +
2
4
1tan
x
+
= 0
7)
2
1
sin
x
= cotx + 3 8)
2
1
cos
x
+ 3cot
2
x = 5
9) cos2x 3cosx =
2
4cos
2
x
10) 2cos2x + tanx =
4
5
Baứi 3. Cho phng trỡnh
sin3cos33cos2
sin
12sin25
xxx
x
x
ổử
++
+=
ỗữ
+
ốứ
. Tỡm cỏc nghim ca phng
trỡnh thuc
(
)
0;2
p
.
Baứi 4. Cho phng trỡnh : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tỡm cỏc nghim ca
phng trỡnh thuc
(
)
;
-
pp
.
Baứi 5. Gii phng trỡnh :
444
5
sinsinsin
444
xxx
ổửổử
+++-=
ỗữỗữ
ốứốứ
pp
.
III. PHNG TRèNH BC NHT THEO SINX V COSX
DNG: a sinx + b cosx = c (1)
Cỏch 1:
ã Chia hai v phng trỡnh cho
22
ab
+ ta c:
(1)
222222
sincos
abc
xx
ababab
+=
+++
ã t:
( )
2222
sin,cos0,2
ab
abab
ộự
==ẻ
ởỷ
++
aaap
phng trỡnh tr thnh:
22
sin.sincos.cos
c
xx
ab
+=
+
aa
22
cos()cos(2)
c
x
ab
-==
+
ab
ã iu kin phng trỡnh cú nghim l:
222
22
1.
c
abc
ab
Ê+
+
ã (2)
2()
xkkZ
=+ẻ
abp
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 17
Cách 2:
a) Xét 2
22
x
xkk
=+Û=+
p
ppp
có là nghiệm hay không?
b) Xét
2cos0.
2
x
xk
¹+Û¹
pp
Đặt:
2
22
21
tan,sin,cos,
2
11
xtt
tthayxx
tt
-
===
++
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
()20(3)
bctatcb+-+-=
Vì
20,
xkbc
¹+Û+¹
pp
nên (3) có nghiệm khi:
222222
'()0.
acbabc
= ³Û+³
D
Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:
0
tan.
2
x
t
=
Ghi chú:
1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
222
.
abc
+³
3) Bất đẳng thức B.C.S:
222222
.sin.cos.sincos
yaxbxabxxab
=+£++=+
2222
sincos
minmaxtan
xxa
yabvaøyabx
abb
Û=-+=+Û=Û=
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
cos3sin2
xx+=
2)
6
sincos
2
xx+= 3)
3cos3sin32
xx+=
4)
sincos2sin5
xxx
+=
5)
(
)
(
)
31sin31cos310
xx
++-=
6)
3sin2sin21
2
xx
æö
++=
ç÷
èø
p
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1)
2
2sin3sin23
xx
+=
2)
( )
sin8cos63sin6cos8
xxxx
-=+
3)
31
8cos
sincos
x
xx
=+ 4) cosx – 3sin2cos
3
xx
æö
=-
ç÷
èø
p
5) sin5x + cos5x =
2
cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)
2
+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3
cosx + 4sinx –
3
= 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5
Baøi 4. Giải các phương trình sau:
1) 2sin
4
x
æö
+
ç÷
èø
p
+ sin
4
x
æö
-
ç÷
èø
p
=
32
2
2)
3cos2sin22sin222
6
xxx
æö
++-=
ç÷
èø
p
Baøi 5. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm .
Baøi 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 18
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a sin
2
x + b sinx.cosx + c cos
2
x = d (1)
Cách 1:
· Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?
Lưu ý: cosx = 0
2
sin1sin1.
2
xkxx
Û=+Û=Û=±
p
p
· Khi
cos0
x
¹
, chia hai vế phương trình (1) cho
2
cos0
x
¹
ta được:
22
.tan.tan(1tan)
axbxcdx
++=+
· Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
2
().0
adtbtcd
-++-=
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1cos2sin21cos2
(1)
222
xxx
abcd
-+
Û++=
.sin2().cos22
bxcaxdac
Û+-=
(đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
(
)
22
2sin13sin.cos13cos1
xxxx
+-+-=
2)
(
)
22
3sin8sin.cos839cos0
xxxx
++-=
3)
22
4sin33sin.cos2cos4
xxxx
+-=
4)
22
1
sinsin22cos
2
xxx
+-=
5)
(
)
(
)
22
2sin33sin.cos31cos1
xxxx
++-=-
6)
22
5sin23sin.cos3cos2
xxxx
++=
7)
22
3sin8sin.cos4cos0
xxxx
++=
8)
(
)
(
)
22
21sinsin221cos2
xxx-+++=
9)
(
)
(
)
22
31sin23sin.cos31cos0
xxxx
+-+-=
10)
4224
3cos4sincossin0
xxxx
-+=
11) cos
2
x + 3sin
2
x +
23
sinx.cosx – 1 = 0
12) 2cos
2
x – 3sinx.cosx + sin
2
x = 0
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1)
323
sin2sin.cos–3cos0
+=
xxxx 2)
2
21
3sin.cossin
2
xxx
-
-=
3)
xxxxxx
3223
sin5sin.cos3sin.cos3cos0
+=
Baøi 3. Tìm m để phương trình:
(
)
22
1221
mxxx
sin–sincos
++=
có nghiệm.
Baøi 4. Tìm m để phương trình: (3m – 2)sin
2
x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos
2
x = 0 vô
nghiệm .
Trn S Tựng i s 11
Trang 19
V. PHNG TRèNH I XNG
Dng 1: a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
ã t:
cossin2.cos;2.
4
txxxt
ổử
==Ê
ỗữ
ốứ
m
p
22
1
12sin.cossin.cos(1).
2
txxxxt
ị=ị=-
ã Thay vo phng trỡnh ó cho, ta c phng trỡnh bc hai theo t. Gii phng trỡnh ny
tỡm t tha
2.
t Ê Suy ra x.
Lu ý du:
ã cossin2cos2sin
44
xxxx
ổửổử
+=-=+
ỗữỗữ
ốứốứ
pp
ã cossin2cos2sin
44
xxxx
ổửổử
-=+=
ỗữỗữ
ốứốứ
pp
Dng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
ã t:
cossin2.cos;:02.
4
txxxẹkt
ổử
==ÊÊ
ỗữ
ốứ
m
p
2
1
sin.cos(1).
2
xxt
ị=-
ã Tng t dng trờn. Khi tỡm x cn lu ý phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i.
Baứi 1. Gii cỏc phng trỡnh:
1)
( )
2sin233sincos80
xxx
-++=
2)
(
)
2sincos3sin22
xxx
++=
3)
(
)
3sincos2sin23
xxx
++=-
4)
(
)
( )
121sincossin2
xxx
-++=
5) sinx + cosx 4sinx.cosx 1 = 0 6)
(
)
( )
12sincossin212
xxx++-=+
Baứi 2. Gii cỏc phng trỡnh:
1)
(
)
sin24cossin4
xxx
=
2) 5sin2x 12(sinx cosx) + 12 = 0
3)
(
)
( )
121sincossin2
xxx
-+-= 4) cosx sinx + 3sin2x 1 = 0
5) sin2x +
2sin1
4
x
ổử
-=
ỗữ
ốứ
p
6)
( )
(
)
2
sincos21(sincos)20
xxxx
+-+=
Baứi 3. Gii cỏc phng trỡnh:
1) sin
3
x + cos
3
x = 1 +
(
)
22
-
sinx.cosx 2) 2sin2x
36sincos80
xx
++=
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 20
VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1) sin
2
x = sin
2
3x 2) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
3
2
3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 4) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x = 2
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1) sin
6
x + cos
6
x =
1
4
2) sin
8
x + cos
8
x =
1
8
3) cos
4
x + 2sin
6
x = cos2x 4) sin
4
x + cos
4
x – cos
2
x +
2
1
4sin2
x
– 1 = 0
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
3) sin
3
x + cos
3
x = cos2x 4) sin2x = 1 +
2
cosx + cos2x
5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos
2
x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos
2
x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin
2
3x
8) sinx + sin2x + sin3x =
2
(cosx + cos2x + cos3x)
Baøi 4. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0
3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos
2
x + 1
Baøi 5. Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos
2
2x = sin
2
2x + sinx
Baøi 6. Giải các phương trình sau:
1) sin
3
x + cos
3
x +
1
sin2.sin
4
2
xx
æö
+
ç÷
èø
p
= cosx + sin3x
2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x
