Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

TRƯỜNG THPT VÕ NHAI
TỔ TOÁN
BÀI GIẢNG


KIỂM TRA BÀI CŨ

Câu 1: Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là:
A. Ckn = n !
n!
B. C =
k !(n − k )!
n!
k
C. Cn =
(n − k )!
k
n

A kn
D. C =
k!
E. B v�D �
�
ng
k
n


KIỂM TRA BÀI CŨ

k

Câu 2: Tính chất của số Cn là:
A. Ckn = Cnn−k (0

k

n) vﾵ Ckn­1­1 + Ckn−1 = Ckn (1

B. Ckn = Cnn−k (0

k

n) vﾵ Ckn­1 + Ckn = Ckn (1

C. Ckn = Cnn−k (0

k

n) vﾵ Ckn−1 + Ckn−1 = Ckn (1

k k k

KIỂM TRA BÀI CŨ

Liệu có
công thức để

Câu 3: Hãy nhắc lại các hằng đẳng khai
thứctriển
đángbiểu
nhớ:
thức (a + b )n
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 thành tổng
các
đơn
3
2
2
3
(a + b ) = a  + 3a b + 3ab + b 3
thức?
(a + b )4 = (?a + b )(a + b )3
= (a + b )(a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3)
= (a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4)
(a + b )n = ?


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

Hãy so sánh các các số Ckn (n =2,3,4) với các hệ số của
k
C
Hãy
tính
các
số

(với n
=2,3,4):
các đơn thức trongn khai
triển
của biểu thức (a +b)n ?
C02 = 1 ,C12 = 2 ,C22 = 1
n = 2:
(a + b )2 =1a 2  +  2ab  + 1b 2 
C30 = 1 ,C13 = 3 ,C32 = 3 ,C33 = 1
n = 3:
(a + b )3 =1a 3  + 3a 2b  + 3ab 2  +  1b 3 
n = 4:
C04 = 1 ,C14 = 4 ,C24 = 6 ,C34 = 4 ,C44 = 1
(a + b )4 =1a 4  +  4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + 1b 4


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

Có quy luật
n
Ta có thể viết lại khai triển (a + b)
(n =2,3,4) như sau:
nào không!?
(a + b )2 = C20a 2 + C12ab + C22b 2
0 3
1 2
2
2
3 3

(a + b )3 = C3a + C3a b + C3ab + C3b
0 4
1 3
2 2 2
3
3
4 4
(a + b )4 = C4a + C4a b + C4a b + C4ab + C4b
0 5
1 4
3 2 3
4
4
5 5
(a + b )5 = C5a + C5a b + C52a 3b 2 + C5a b + C5ab + C5b

(a + b )n = ?


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

• Công thức nhị thức Niu –Tơn:
( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Chú ý: Ở vế phải công thức (1):
– Số các hạng tử là n + 1;
– Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,
số mũ của b tăng dần từ 0 đến n , nhưng tổng số
mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy
ước a 0 = b 0 = 1)

– Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử
đầu và cuối thì bằng nhau.


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
Các ví dụ:
• Ví dụ 1: Khai triển biểu thức (x + y)5
(Nhiệm vụ của tổ 2, tổ 4)
• Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (3x ­ 2)4
(Nhiệm vụ của tổ 1, tổ 3)


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Ví dụ 1: Khai triển biểu thức (x + y)5
Giải: Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:
0 5
1 4
2 3 2
3 2 3
4
4
5 5
(x + y)5 =C5 x + C5 x y + C5 x y + C5 x y + C5 xy + C5 y

= x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 + y 5


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (3x ­ 2)4
Giải: Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:

(3x ­ 2) = C ( 3x ) + C14 (3x )3 (−2) + C24 (3 x) 2 ( −2) 2 +
4

0
4

4

+C34 (3 x)(−2)3 + C44 (−2) 4

=81x 4 − 216 x3 + 216 x 2 − 96 x + 16


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

(a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Cnk a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)

• Hệ quả:
Với a = b = 1, ta có:

(1 + 1) n = C0n 1n + C1n1n−11 + ... + Ckn 1n−k.1k + .. + Cnn−11.1n−1 + Cnn1n
� 2n = C0n + C1n + ... + Cnk + .. + Cnn−1 + Cnn

2 = C + C + ... + C
0
n

n

1
n

n
n

Với a = 1 ; b = - 1, ta có:

(1 − 1) n = C0n1n + C1n 1n−1 (−1) + ... + Cnk 1n−k ( −1) k + .. + Cnn−11( −1) n−1 + Cnn (−1) n
0 = C0n +C1n (−1) + ... + Ckn ( −1) k + .. + Cnn−1 ( −1) n−1 + Cnn (−1) n

0 = C − C + ... + ( −1) C + ... + ( −1) C
0
n

1
n

k

k

n

n

n
n


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng với n

4, ta có:

C0n + Cn2 + Cn4 + ... = C1n + C3n + ... = 2n−1
Giải: Kí hiệu A =C0n + C2n + C4n + ...
B = C + C + ...
1
n

3
n

n
Theo hệ quả ta có: 2 = A + B
0 = A− B

Từ đó suy ra A = B = 2n−1

BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
II. Tam giác PA-XCAN

Hãy chú ý tới hệ số của các đơn thức trong các khai
triển sau:
1
0
(
a + b
)
=
Quy luật !?

1a   + 1b

(a + b )1 =

(a + b )2 =

1a 2  +  2ab   +  1b 2 

(a + b )3 =

1a 3  +  3a 2b  +  3ab 2  +  1b 3 

(a + b )4 =

1a 4  +  4a 3b  +  6a 2b 2 + 4ab 3  + 1b 4

(a + b )5 = ?1

5

10

10

5

1


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
II. Tam giác PA-XCAN
n=0

1

n=1

1

n=2

1

n=3

1

n=4

1

n=5

1

n=6
n=7

1
1

7

5

+

+
35

1
3

6

10
15

21

2

3
4

6

+

1

1
4

10
20

+

1
5

15
35

1
6

21

1
7

1


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
III. Củng cố:

( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
Hãy điển Đ, S vào ô trống trong bảng sau để cho biết câu
ở hàng tương ứng là đúng hay sai:
Câu

Đ-S

1. Số các số hạng vế phải ở công thức (1) là n + 1

Đ

2. Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn
bằng 2n

S

3. Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và
cuối thì đối nhau

S

4. 2n = C0n + C1n + ... + Cnn

Đ

5. 0 = C0n − C1n + ... + ( −1) k Ckn + ... + ( −1) n Cnn

Đ


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n−1b + ... + Cnk a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Bài tập 2(sgk): Tìm hệ số của x 3 trong khai triển của
6
biểu thức:
2

�
�
x
+
� 2�
� x �

Giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển của biểu thức trên
k
6− k
là:
2
x
k 6−k � �
k k
k k 6−3 k

� 2 � = C6 2 2 k = C6 2 x
x
�x �
Ta phải tìm k sao cho 6 – 3k = 3, nhận được k = 1
C6 x

Vậy hệ số cần tìm là: C16 21 = 12


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n−1b + ... + Cnk a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Bài tập 3 (sgk): Biết hệ số của x 2 trong khai triển của

(1 - 3x)n là 90. Hãy tìm n .
Giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển của (1 - 3x)n là:

Ckn 1n−k ( −3 x) k = Ckn (−3) k x k
Suy ra hạng tử chứa x2 trong khai triển là: Cn ( −3) x
2

Theo bài ra ta có: Cn ( −3) = 90
2

2

� C2n = 10 � n = 5

2

2