Dạy học chủ đề cực trị hình học không gian theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh lớp 12 (luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

TRẦN THANH HÀ

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ "CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN" THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI
QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã ngành: 81401111

Phú Thọ, năm 2019


i

LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là Trần Thanh Hà, học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và
phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán, Trƣờng Đại học Hùng Vƣơng, khóa học
(2017 – 2019). Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự
của cá nhân, đƣợc thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của PGS. TS. Trịnh
Thanh Hải.
Luận văn tuân thủ đúng nguyên tắc và kết quả trình bày trong luận văn đƣợc
thu thập trong quá trình nghiên cứu là trung thực, chƣa ai từng công bố trƣớc đây.
Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.
Phú Thọ, ngày 09 tháng 09 năm 2019
Tác giả luận văn

Trần Thanh Hà

ii

LỜI CẢM ƠN
Đề tài: Dạy học chủ đề "cực trị hình học không gian" theo hướng phát
triển năng lực Giải quyết vấn đề Toán học cho học sinh lớp 12 đƣợc hoàn thiện
sau một quá trình bản thân tích lũy kiến thức học tập và nghiên cứu chuyên ngành
Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán tại Trƣờng Đại học Hùng Vƣơng.
Để có đƣợc kết quả trong luận văn, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, trong suốt
quá trình tiến hành nghiên cứu hoàn thiện đề tài, tôi đã nhận đƣợc sự động viên,
giúp đỡ, sự hƣớng dẫn tận tình của các thầy cô giáo trong khoa Khoa học tự nhiên
và các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu tại trƣờng.
Đặc biệt, tôi xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
PGS. TS. Trịnh Thanh Hải – Thầy đã trực tiếp giúp đỡ, hƣớng dẫn cho tôi trong
suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện bản luận văn này.
Dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Rất mong nhận đƣợc sự góp ý, chỉ dẫn của quý thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng
nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện.
Xin trân trọng cảm ơn!
Phú Thọ, tháng 09 năm 2019
Tác giả

Trần Thanh Hà


iii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii
MỤC LỤC ................................................................................................................. iii
DANH MỤC BẢNG ...................................................................................................v
DANH MỤC BIỂU ĐỒ ............................................................................................ vi
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ ................... vii
PHẦN I. MỞ ĐẦU .....................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................1
2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu ............................................................................2
3. Mục tiêu nghiên cứu................................................................................................6
4. Giả thuyết khoa học ................................................................................................6
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................................6
6. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...........................................................................7
7. Phƣơng pháp nghiên cứu.........................................................................................7
8. Đóng góp của luận văn ............................................................................................8
9. Bố cục của luận văn ................................................................................................8
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN........................................................9
1.1. Năng lực giải quyết vấn đề toán học ....................................................................9
1.1.1. Năng lực, năng lực Toán học ............................................................................9
1.1.2. Năng lực giải quyết vấn đề toán học .............................................................133
1.2. Một số phƣơng pháp dạy học theo định hƣớng phát triển NL GQVĐ ............155
1.2.1. Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ...................................155
1.2.2. Phƣơng pháp dạy học đàm thoại phát hiện ...................................................177
1.2.3. Phƣơng pháp dạy học khám phá ...................................................................188
1.3. Vấn đề phát triển NL GQVĐ toán học cho HS trong dạy học chủ đề cực trị hình
học không gian ........................................................................................................211
1.3.1. Chủ đề hình học không gian trong chƣơng trình môn Toán 12 ....................211
1.3.2. Chủ đề cực trị hình học không gian trong chƣơng trình môn Toán 12 .........211

iv

1.3.3. Một số vấn đề chung về đặc điểm tâm lí, đặc điểm nhận thức của học sinh lớp
12……………………………………………………………………………….......25
4
1.3.4. Cơ hội phát triển NL GQVĐ toán học cho HS trong dạy học chủ đề cực trị
hình học không gian ................................................................................................255
1.4. Thực trạng của việc dạy học chủ đề cực trị HHKG 12 ở trƣờng PT theo định
hƣớng phát triển NL GQVĐ Toán học ...................................................................266
1.4.1. Mục đích điều tra ..........................................................................................266
1.4.2. Phƣơng pháp và đối tƣợng điều tra ...............................................................266
1.4.3. Cách tiến hành ...............................................................................................277
1.4.4. Kết quả điều tra .............................................................................................277
1.5. Tiểu kết chƣơng 1 ............................................................................................311
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM DẠY HỌC CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THEO HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI
QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12 .....................................32
2.1. Định hƣớng xây dựng biện pháp sƣ phạm dạy chủ đề cực trị hình học không
gian nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh lớp 12 .......32
2.2. Một số biện pháp sƣ phạm dạy học chủ đề cực trị HHKG theo hƣớng phát triển
năng lực GQVĐ toán học cho HS lớp 12…………………………………………..32
2.2.1. Biện pháp 1: Trang bị, hệ thống hóa một số tri thức phƣơng pháp giải toán
cực trị hình học không gian cho học sinh lớp 12 ......................................................32
2.2.2. Biện pháp 2: Lựa chọn, xây dựng hệ thống bài tập cực trị HHKG theo hƣớng
phát triển năng lực GQVĐ toán học cho HS...........................................................511
2.2.3. Biện pháp 3: Vận dụng hợp lý các PPDH trong quá trình dạy học giải bài tập
cực trị HHKG ............................................................................................................69
2.3. Tiểu kết chƣơng 2 ............................................................................................799
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..................................................................80
3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm .........................................................................80

3.2. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm .........................................................................80


v

3.3. Tổ chức thực nghiệm..........................................................................................81
3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm .....................................................................81
3.3.2. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm ..............................................................822
3.4. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm............................................................................84
3.4.1. Phân tích định tính ........................................................................................844
3.4.2. Phân tích định lƣợng .....................................................................................855
3.5. Theo dõi sự tiến bộ của một nhóm HS .............................................................900
3.5.1. Lựa chọn mẫu ................................................................................................900
3.5.2. Phân tích kết quả theo dõi .............................................................................911
3.6. Tiểu kết chƣơng 3 ..............................................................................................93
KẾT LUẬN CHUNG ..............................................................................................944
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC 1
PHỤ LỤC 2
PHỤ LỤC 3
PHỤ LỤC 4


vi

DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.1. Mối liên hệ giữa phƣơng pháp khám phá và dạy học nêu vấn đề……..19
Bảng 1.2. Mức độ về tầm quan trọng của việc rèn luyện các thành phần năng lực
giải quyết vấn đề.....................................................................................................27
Bảng 1.3. Mức độ quan tâm của GV với việc tổ chức các hoạt động nhằm phát triển

NL phát hiện và GQVĐ cho HS.............................................................................28
Bảng 1.4. Các PPDH thƣờng đƣợc GV sử dụng khi dạy học giải bài tập HHKG lớp
12. ................................................................................................................................................28
Bảng 1.5. Mức độ quan trọng của các biện pháp phát triển NL GQVĐ toán học cho
HS khi dạy học chủ đề cực trị HHKG lớp 12...................................................................29
Bảng 1. Kết quả học tập bộ môn Toán trong học kì I năm học 2018-2019 của HS
lớp thực nghiệm (12A1) và lớp đối chứng (12A5) ................................................81
Bảng 2. Kết quả điểm bài kiểm tra số 01 của HS lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng.......................................................................................................................85
Bảng 3. Cấu trúc bài kiểm tra đánh giá năng lực GQVĐ...............................................87
Bảng 4. Kết quả điểm bài kiểm tra số 02 của HS lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng.......................................................................................................................88
Bảng 5. Bảng tổng hợp chung..................................................................................90


vii

DANH MỤC BIỂU ĐỒ, SƠ ĐỒ, HÌNH VẼ
Biểu đồ 1. Biểu đồ so sánh kết quả học tập môn Toán của HS ở hai lớp
12A1 và 12A5……………………………………………………………………...82
Biểu đồ 2. Biểu đồ cột về kết quả điểm số bài kiểm tra số 1 của HS lớp thực nghiệm
và lớp đối chứng..…………………………………………………………………86
Biểu đồ 3. Biểu đồ cột về kết quả điểm số bài kiểm tra số 2 của HS lớp thực nghiệm
và lớp đối chứng...…………………………………………………………………90
Hình vẽ 2.1................................................................................................................42
Hình vẽ 2.2................................................................................................................43
Hình vẽ 2.3................................................................................................................44
Hình vẽ 2.4................................................................................................................44
Hình vẽ 2.5................................................................................................................45
Hình vẽ 2.6................................................................................................................46

Hình vẽ 2.7................................................................................................................59
Hình vẽ 2.8................................................................................................................61
Hình vẽ 2.9................................................................................................................62
Hình vẽ 2.10..............................................................................................................63
Hình vẽ 2.11..............................................................................................................63
Hình vẽ 2.12..............................................................................................................67
Hình vẽ 2.13..............................................................................................................73
Hình vẽ 2.14..............................................................................................................76


viii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ
BĐT

Bất đẳng thức

DH

Dạy học

ĐC

Đối chứng

GDPT

Giáo dục phổ thông

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

GV

Giáo viên

HHKG

Hình học không gian

HHNC

Hình học nâng cao

HK

Học kỳ

HS

Học sinh

NL

Năng lực

NQ/TW

Nghị quyết trung ƣơng

NXB

Nhà xuất bản

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tập

THPT

Trung học phổ thông

THTT

Toán học tuổi trẻ

THPTQG

Trung học phổ thông quốc gia

TN

Thực nghiệm

TNSP

Thực nghiệm sƣ phạm

TTPP

Tri thức phƣơng pháp


1

PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
(i). Xuất phát từ định hướng đổi mới phương pháp dạy học
Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học (DH) đã đƣợc xác định trong Nghị quyết
Trung ƣơng: "Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện
đại; phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của
người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung
dạy cách học, cách nghĩ, khuyến kích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và

đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực (NL). Chuyển từ học chủ yếu trên lớp
sang tổ chức hình thức học tập đa dạng chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa,
nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông
trong DH " [1] và đƣợc cụ thể hóa trong các Chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo:
"Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng
phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS " [18].
(ii). Xuất phát từ đặc trưng của chương trình giáo dục phổ thông mới.
Trong chƣơng trình giáo dục phổ thông (GDPT) mới đã nêu các NL Toán
học cần hình thành và phát triển cho HS cấp THPT bao gồm: NL tự chủ và tự học;
NL giao tiếp và hợp tác; NL giải quyết vấn đề và sáng tạo; NL ngôn ngữ; NL tính
toán; NL tìm hiểu tự nhiên; NL tìm hiểu xã hội; NL Công nghệ; NL Tin học; NL
thẩm mỹ; NL thể chất…
Chƣơng trình GDPT mới đòi hỏi HS phải hoạt động học tập một cách chủ
động, chống lại thói quen học tập thụ động, khi đó phƣơng pháp DH phải là Phƣơng
pháp DH theo hƣớng phát triển NL.
Bản chất của DH theo hƣớng phát triển NL là hƣớng cho học sinh (HS) vào
hoạt động giải quyết vấn đề (GQVĐ) hoặc nhiệm vụ, tình huống môn học cụ thể.
Thông qua đó phát triển đƣợc các NL chuyên môn.


2

(iii). Xuất phát từ thực tiễn DH nội dung hình học không gian ở trường THPT
Trong chƣơng trình toán PT, chủ đề cực trị hình học không gian (HHKG) là
một chủ đề khó. HS không chỉ sử dụng kiến thức đơn thuần để tìm ra lời giải bài
toán mà còn phải nắm chắc và vận dụng chuẩn xác thuật toán, quy trình để dựng
hình. Bƣớc đầu, HS xác định đƣợc các yếu tố cố định, yếu tố thay đổi, yếu tố phụ
thuộc của bài toán (trong đó sẽ có yếu tố cần xác định min – max). Sau đó, biểu

diễn đƣợc mối quan hệ giữa yếu tố cần tìm Min - Max với các yếu tố khác của bài
toán thông qua một biểu thức, một hàm, hay một ràng buộc hình học. HS phải biết
vận dụng kiến thức, kỹ năng phân tích tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, kỹ
năng chứng minh các thuộc tính hình học, nhiều khi phải vận dụng bất đẳng thức
(BĐT) và cực trị đại số để tìm giá trị min, max từ đó đƣa ra lời giải bài toán. Qua
đó phát triển đƣợc khả năng tìm tòi, xem xét bài toán dƣới nhiều góc độ khác nhau.
Trong khi GQVĐ, HS sẽ huy động đƣợc tri thức và khả năng cá nhân, khả năng
hợp tác, trao đổi, thảo luận với bạn bè để tìm ra cách GQVĐ tốt nhất. Thông qua
việc GQVĐ, HS đƣợc lĩnh hội đƣợc tri thức phƣơng pháp và rèn luyện kĩ năng giải
toán.
Đã có nhiều đề tài luận văn nghiên cứu về phát triển NL GQVĐ trong dạy
học toán song riêng về NL GQVĐ với bài toán cực trị hình học không gian còn rất
ít và riêng trên địa bàn tỉnh Phú Thọ thì chƣa có luận văn cao học nào làm về chủ đề
này.
Từ những những căn cứ lý luận và thực tiễn, tôi chọn đề tài: Dạy học chủ đề
"cực trị hình học không gian" theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề
Toán học cho học sinh lớp 12 đ�1 ; 0 ;  2  .

Câu 2. Mặt cầu  S  :  x  1   y  2   z 2  9 có tâm là:
2

A. I 1;  2;0  .

2

B. I  1; 2;0  .

C. I 1;2;0  .

D.

I  1;  2;0  .

Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng   cắt 3 trục toạ độ tại
M (3;0;0) , N (0;  5;0) và P(0;0;9) . Phƣơng trình mặt phẳng   là


134

A.

x y z
   1.
3 5 9

B.

x y z
   1 .
3 5 9

C.

x y z
   1 . D.
3 5 9

x y z
    1 .
3 5 9

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phƣơng trình đƣờng thẳng  đi
qua điểm M 1; 2;  3 và có vectơ chỉ phƣơng u   3;  2;7  .

x  3  t

A.  y  2  2t .
 z  7  3t


 x  1  3t

B.  y  2  2t .
 z  3  7t


 x  3  7t

C.  y  2  2t .
 z  1  3t


 x  1  3t

D.  y  2  2t .
 z  3  7t


 x  1  2t
 x  2t '



Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho hai đƣờng thẳng d :  y  2  2t và d ' :  y  5  3t ' .
z  t
z  4  t '


Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d  d ' .

B. d  d ' .

C. d và d’ chéo nhau. D. d / / d '

Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2;3;1 . Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với
mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  9  0 là
A. R  2 .

B. R  4 .

Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho điểm A

C. R  2 .

D. R  8 .

1;1;6 và đƣờng thẳng

x 2 t
: y 1 2t .

z 2t

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A lên đƣờng thẳng
A.

H  3;  1; 2 

B.

H  1; 3;2 

.

C. H  3; 1;2 

D.

H  3;1; 2 

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0;1;1 , B 1; 2;1 và đƣờng

x y 1 z  2


. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho diện tích tam giác MAB có
1
1
2
giá trị nhỏ nhất.
M  0;  1;  2 

H 1; 1; 2 
H  0;1; 2 
C. H  0; 1; 2 
A.
B.
D.
thẳng d :

II/ Phần tự luận ( 6,0 điểm )


135

Câu 9 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  3; 2;8 ,
N  0;1;3 và P  2; m;4  . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .

Câu 10 ( 1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phƣơng trình mặt phẳng
đi qua điểm C  0;  3;5 và vuông góc với đoạn AB với A  3; 1;2 , B  2;0;5 .

Câu 11 ( 1,0 điểm) Cho hai điểm A 1;0;  3 và B  3; 2;1 . Viết phƣơng trình mặt cầu
đƣờng kính AB .

 x  1 t

Câu 12 ( 1,0 điểm) Tìm giao điểm của đƣờng thẳng    :  y  2  2t với mặt phẳng
 z  3t


  :

x  y  z  4  0.

Câu 13 ( 1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2;1;1 ,
B  0;3;  1 . Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng  P  :2 x  y  z  4  0 sao cho MA  MB
nhỏ nhất.

Câu 14 (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A  3; 2;3 , B 1;0;5 và
x 1 y  2 z  3


. Tìm tọa độ điểm M trên đƣờng thẳng d để
1
2
2
MA2  MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ KIỂM TRA 45P- SỐ 02

đƣờng thẳng d :

I. TNKQ ( 4,0 điểm)

1
C

2
A

3
C

4
B

5
D

6
B

7
A

8
C

II. Tự luận ( 6,0 điểm)

Câu

Đáp án
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  3;2;8 ,

9

Thang
điểm
1,0

N  0;1;3 và P  2; m;4  . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .

Ta có NM   3;1; 5 , NP   2; m 1;1 .

0,5

Do tam giác MNP vuông tại N nên

0,5

NM .NP  0  6  m  1  5  0  m  10 .


136

10

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phƣơng trình mặt

1,0

phẳng đi qua điểm C  0;  3;5 và vuông góc với đoạn AB với
A  3; 1;2  , B  2;0;5 .

11

Mặt phẳng vuông góc với đoạn AB suy ra vectơ pháp tuyến
n  AB   1;1;3 và đi qua điểm C  0;  3;5 .

0,5

Do đó ptmp cần lập là:

1 x  0  1 y  3  3 z  5  0   x  y  3z  10  0 .

0,5

Cho hai điểm A 1;0;  3 và B  3; 2;1 . Viết phƣơng trình mặt

1,0

cầu đƣờng kính AB .
Mặt cầu có tâm I  2;1;  1 ( là trung điểm của đoạn thẳng AB)

0, 5

Mặt cầu có bán kính bằng: R  IA  12  12  22  6
PT mặt cầu là: (x – 2)2 + ( y – 1)2 + ( z + 1)2 = 6
12

 x  1 t

Tìm giao điểm của đƣờng thẳng    :  y  2  2t với mặt phẳng
 z  3t


  :

13

0, 5
1,0

x  y  z  4  0.

Gọi M       M 1  t ;2  2t ;3  t 

0,25

Mặt khác: M     1  t  2  2t  3  t  4  0  4t  4  0  t  1

0,5

Suy ra: M  2; 4; 2 

0,25

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm

1,0

A  2;1;1 , B  0;3;  1 . Tìm điểm M

 P  :2 x  y  z  4  0

nằm trên mặt phẳng

sao cho MA  MB nhỏ nhất.

Khi đó Trƣớc hết ta xét vị trí tƣơng đối của hai điểm A  2;1;1
và B  0;3;  1 so với mặt phẳng

 P  :2 x  y  z  4  0 . Ta có

 2.2  1  1  4 2.0  3 1  4  4  0. Do đó A  2;1;1 và
A  0;3;  1 nằm khác phía so với mặt phẳng
 P  :2 x  y  z  4  0 .
Theo bất đẳng thức tam giác ta có MA  MB  AB . Đẳng thức
xảy ra khi và chỉ khi M , A, B thẳng hàng hay M  AB   P  .

0,5


137

Đƣờng thẳng AB qua điểm A  2;1;1 và có vec tơ chỉ phƣơng

0,5

x  2  t

AB  2 1; 1;1 có phƣơng trình tham số  y  1  t Suy ra
 z  1  t.


M  2  t;1  t;1  t  .

Vì M   P  nên ta có
2  2  t   1  t  1  t  4  0  2t  2  t  1.

Vậy M 1; 2;0  .
Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A  3; 2;3 , B 1;0;5 và

1,0

x 1 y  2 z  3


. Tìm tọa độ điểm M trên
1
2
2
đƣờng thẳng d để MA2  MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.

đƣờng thẳng d :
14

Gọi I là trung điểm của AB , ta có I   2; 1;4  .
2



2

 
2

Khi đó: MA2  MB2  MA  MB  MI  IA  MI  IB
2

2

2



0, 5



2



 2MI  IA  IB  2MI . IA  IB  2MI 2  IA2  IB2  MI 2  6 .

Do đó MA2  MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI có độ
dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu
vuông góc của I trên đƣờng thẳng d .
Phƣơng trình mặt phẳng  P  đi qua I và vuông góc với đƣờng
thẳng d là
1.  x  2  2.  y  1  2.  y  4  0 hay  P  : x  2 y  2 z  12  0 .
x  1 t

Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng d là  y  2  2t .
 z  3  2t


Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm  x; y; z  của hệ phƣơng
trình:
x  1 t
x  2
 y  2  2t
y  0




. Vậy M  2;0;5 .


z

3

2
t
z

5


 x  2 y  2 z  12  0
t  1

0,5