chuyên đề vận dụng các định luật bảo toàn trong các bài tập cơ học vật rắn

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH LÀO CAI

VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO
TOÀN TRONG CÁC BÀI TẬP CƠ HỌC
VẬT RẮN

Người biên soạn: Phạm Nguyên Hoàng


Mục lục
Nội dung

Trang

1. Đặt vấn đề

1

2. Giải quyết vấn đề

2

2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề

2

2.2. Thực trạng của vấn đề

4

2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

5

Tài liệu tham khảo:
1. Chuyên đề cơ học - Tô Giang
2. Các tư liệu của đồng nghiệp trong các trường chuyên


Tên chuyên đề
VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN
TRONG CÁC BÀI TẬP CƠ HỌC VẬT RẮN
1. Đặt vấn đề (Lý do chọn đề tài)
- Khi bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, tôi thấy trong các bài tập cơ học, nếu không
có đầy đủ thông tin về các lực thì việc nghiên cứu chuyển động của các vật bằng phương
pháp động lực học gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên nếu vận dụng các Định luật bảo
toàn thì vấn đề lại được giải quyết rất nhanh và thấu đáo .
- Trong chuyên đề này tôi sẽ trình bày về kết quả áp dụng các Định luật bảo toàn và
các bài tập cơ học vật rắn trong quá trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi....
2. Giải quyết vấn đề
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
a. Động lượng:
Động lượng P của một vật là một véc tơ cùng hướng với vận tốc của vật và được
xác định bởi biểu thức P  m.v . Đơn vị của động lượng kg.m/s
Khi một lực F (không đổi) tác dụng lên một vật trong khoảng thời gian t thì tích
F . t được định nghĩa là xung của lực F trong khoảng thời gian t ấy.
ĐLBT động lượng: Véc tơ động lượng của một hệ cô lập được bảo toàn P  P ' .
Nếu hệ không cô lập nhưng các ngoại lực có cùng phương Oy thì hình chiếu của tổng
động lượng trên phương Ox vẫn bảo toàn: P1x + P2x = const
Chuyển động bằng phản lực là chuyển động theo nguyên tắc : nếu có một phần của
hệ chuyển động theo một hướng, phần còn lại của hệ phải chuyển động theo hướng khác

b. Công cơ học:
Nếu lực không đổi F có điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của
lực góc  thì công của lực F được tính theo công thức:
A = F.s.cos 
Đơn vị của công là Jun (J) 1 jun = 1N.m
Nếu  < 900 , A > 0 : công phát động
Nếu  > 900 , A < 0 : công cản
Nếu  = 900 , A = 0 : công bằng không
Công suất đo bằng công sinh ra trong một đơn vị thời gian
P

A
t

Đơn vị của công suất: Oát (W) 1WW = 1J/s
Biểu thức khác của công suất: P  F .v
A'
P'
Hiệu suất của máy: H 
hay H 
A
P

Với A’ là công có ích và P’ là công suất có ích


* Công của trọng lực: A = m.g.h
Với h = h1 – h2 ( h1 , h2 là điểm đặt lực lúc đầu và lúc cuối )
1
2

* Công của lực đàn hồi: A  k x12  x22 
k là hệ số đàn hồi (độ cứng) x1, x2 là độ biến dạng lúc đầu và lúc cuối
c. Động năng:
Là dạng năng lượng của một vật có được do nó đang chuyển động:
Wđ 

1
m.v 2
2

Đơn vị của động năng: Jun
* Định lí động năng: Độ biến thiên động năng của một vật trong một quá trình bằng tổng
công thực hiện bởi các ngoại lực tác dụng lên vật trong quá trình đó:
1 2 1 2
mv2  mv1  A
2
2

* Động năng có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu. Thông thường được hiểu là động
năng được xét trong hệ quy chiếu gắn với Trái đất
d. Thế năng:
Là năng lượng của một hệ có được do tương tác giữa các phần của hệ thông qua
lực thế
Đơn vị của thé năng là Jun
Thế năng trọng trường: (thế năng hấp dẫn) của một vật là dạng năng lượng tương
tác của Trái đất và vật, ứng với một vị trí xác định của vật trong trọng trường
Biểu thức thế năng trọng trường tại một vị trí có độ cao z:
Wt = m.g.z - Nếu trọn mốc thế năng tại mặt đất.
Thế năng đàn hồi là dạng năng lượng của một vật chị tác dụng của lực đàn hồi.

Biểu thức thế năng đàn hồi của lò xo ở trạng thái có biến dạng l :
Wt 

1
2
k l 
2

e. Cơ năng:
Cơ năng của vật chuyển động dưới tác dụng của trọng lực bằng tổng động năng
của vật và thế năng trọng trường của vật.
Cơ năng của vật chuyển động dưới tác dụng của lực đàn hồi bằng tổng động năng của vật
và thế năng đàn hồi của vật.
* Định luật bảo toàn cơ năng: Nếu không có tác dụng của lực không phải là lực thế thì
trong quá trình chuyển động cơ năng của vật được bảo toàn. Động năng có thể chuyển
hóa thành thế năng và ngược lại.
* Khi vật chịu tác dụng của lực không phải là lực thế, cơ năng của vật không bảo toàn và
công của lực này bằng độ biến thiên cơ năng của vật.
g. Mômen lực và mômen động lượng :
*) Mômen lực :


- Mômen của một lực F đối với một điểm gốc O chọn trước nào đó, là một véctơ M

 
được xác định bằng biểu thức : M = r  F (1)


Với r là bán kính véctơ vạch từ O đến điểm đặt của lực F .



- Mômen của lực F đối với một trục OZ nào đó là thành phần Mz trên trục OZ của
véctơ mômen lực đối với điểm O.
- Trong một hệ chất điểm hay vật rắn, mômen của các nội lực đối với một điểm bất
kỳ luôn bằng không: M = 0.
- C«ng mµ m«men lùc thùc hiÖn ®-îc khi lµm vËt quay mét gãc  lµ: A = M.  .
*) Mômen động lượng :

- Mômen động lượng của một chất điểm có khối lượng m, chuyển động với vận
tốc v




đối với một điểm O nào đó là một véctơ được xác định bởi biểu thức : L  r  P  r  mv
(2)
- Mômen động lượng đối với một trục OZ nào đó là thành phần Lz trên trục OZ của
véctơ mômen động lượng đối với điểm O.


 


- Đối với hệ chất điểm hay vật rắn : L   L i   ri  Pi   ri  mv i
(3)
i

i

i

h. Định luật biến
thiên và bảo toàn mômen động lượng :

dL

- Ta có:

dt


 M

(4)

(Độ biến thiên mômen động lượng trong 1 đơn vị thời gian bằng mômen lực)


- Khi M = 0

thì


dL
dt


 0


 L = const  t

(5)

- Định luật bảo toàn mômen động lựợng : Mômen động lượng của một hệ chất điểm hay
một vật rắn đối với một điểm cố định O, không thay đổi theo thời gian, nếu mômen ngoại
lực đối với điểm O đó bằng không.
Chú ý: khi áp dụng định luật biến thiên và bảo toàn mômen động lượng thì phải áp dụng
trong hệ quy chiếu quán tính.
i. Mômen động lượng của một vật rắn quay quanh một trục cố định :
- Xét chất điểm có khối lượng m quay theo đường tròn tâm O bán kính r với vận tốc v,
khi đó mômen động lượng của chất điểm đối với trục quay  vuông góc với mặt
phẳng quỹ đạo là:
L = m  r2
(6)
- Với hệ chất điểm thì mômen động lượng của hệ chất điểm đối với trục quay  là :
L =  m i ri2 =   m i ri2 = I 
(7)
i

Trong đó I =

i
2
i i

m r

là mômen quán tính của hệ đối với trục  .

i

- Ta có
 M=

dL

dt
d()
dt

M

là mômen ngoại lực đối với trục quay  .

= 

(9)

(8)

 là gia tốc góc của chuyển động.

j. Mômen quán tính của các vật :
- Đối với vật mà vật chất phân bố rời rạc : I =

2
i i

m r

( 10 )

i

- Đối với vật mà vật chất phân bố liên tục : I =  d =  r 2 dV ( 11 )
V

k. Định lý Stennơ - Huyghen :


Mômen quán tính của một cơ hệ ( vật rắn ) đối với một trục nào đó bằng mômen
quán tính của nó đối với trục đi qua khối tâm cộng với tích của khối lượng m của vật với
bình phương khoảng cách a giữa hai trục
2
 A   G  ma
( 12 ).
l. Động năng của vật rắn :
- Vật rắn chuyển động tịnh tiến : Mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc như vG của
khối tâm : Wđ = T =

1
2

2

2

 mi vG 

vG

i

2

m

i



i

1
2

2

( 13 )

mv G

- Vật rắn chuyển động quay quanh một trục :


1

m v
2
i

i



i

1

2
i i

m r 
2
i

- Vật rắn chuyển động tổng quát :

2



1
2





2

2
i i

m r
i



1
2



2

(14 )

1

1 2
2
mv G  
2
2

(15)

- Định lí kơních về động năng : động năng của một vật trong chuyển động đối với hệ
quy chiếu cố định O bằng tổng động năng khối tâm G mang tổng khối lượng cộng với
động năng của vật trong chuyển động tương đối quanh G.

TO 

1
2

2

mv G  TG

(16)
m. Cơ năng của một vật rắn và định luật bảo toàn cơ năng :
- Cơ năng của một vật rắn : E = Eđ + Et , với Et là thế năng của vật.
- Từ định nghĩa Et =  m i gh i , ta suy ra Et = Mgh0.
( 17 )
- Khi không có ma sát và lực cản của môi trường thì cơ năng của vật được bảo toàn .
n. Định luật biến thiên động năng :
- Dạng vi phân : d   dA ik   dA ek
i
k

d
dt

i

e

  Wk   Wk

e
k

trong đó dA ; dA là tổng công nguyên tố của nội lực và ngoại lực, Wki ; Wke là tổng công
suất của nội lực và ngoại lực.
- Dạng hữu hạn :   0   A ik   A ek trong đó T; T0 là động năng của hệ tại thời điểm
ban đầu và thời điểm t;  A ik   A ek là tổng công của nội lực và ngoại lực.
2.2. Thực trạng của vấn đề
- Sau nhiều năm làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy với các bài tập cơ có thể giải quyết bằng
hai phương pháp chính là phương pháp động lực học và phương pháp các Định luật bảo toàn. Tùy theo
dữ liệu đầu bài cho ta có thể vận dụng các phương pháp khác nhau. Tuy nhiên khi những thông tin và
động lực học chưa rõ ràng thì việc vận dụng phương pháp các Định luật bảo toàn rất hiệu quả.
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Sau đây chúng ta sẽ giải quyết vấn đề trên bằng các dạng bài tập với những thí dụ cụ thể.


BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
Ở thời điểm ban đầu, 1 đồ chơi hình trụ đồng
chất khối lượng m, bán kính R, momen quán tính
1
2

đối với trục J = mR 2 , nằm ở cạnh a của 1 cái giá.
Fms



N
R

C



I
Cạnh của giá song song đường sinh của hình trụ.
mg
Dưới ảnh hưởng của vđầu không đáng kể, đồ chơi
hình trụ rơi xuống. Kí hiệu f là hệ số ma sát trượt
giữa đồ chơi và cái giá. ở độ nghiêng  0 nào, độ chơi bắt đầu trượt trên cạnh A của giá
trước khi rơi khỏi giá.

Bài làm
*) Theo định luật II Newton có :
mg sin   Fms  m.R ,,

1
 2

mg cos   N  m ,2 .R

3
2

*) Phương trình ĐLH : J I  mR 2 ,,   ,, 

2
g sin 
3R

1
3

Thế vào (1) có : Fms  mg sin  (3)
- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng có :  Et  E d
Hay :

mgR 1  cos   

13
4
mR 2 . ,2   ,2 
g 1  cos  
22
3R

1
3
+) Đồ chơi bắt đầu trượt    0  khi :

- Thế vào (2) ta được : N  mg 7 cos   4 (4)

 0  55,15


7 cos  0 

N 0

Fms = f.N

7 cos  0  4  0
sin  0  7 cos  0  4 f

0

sin  0
f

4

+) Giải phương trình (*) : Đặt tg   7
1
f

 7 f



sin  

7
1
72  ( )2
f

cos   

(*) Trở thành
Ta có

(sin  cos  0  sin  0 cos  ) 

900 <  < 1800

4
1
72 
f2



1
7
1
72  ( )2
f

sin   0   sin 0 

4
1
49 
f2

(**).


 0  55,15 0

     44,85 0
4

- Phương trình (**) ta lấy nghiệm sau : sin  0 

49 
0

1
f2



4
(Với 0 <  0 < 900).
7

0

 0 <  0 < 38,85 < (  -  0 )

Do đó :  -  0 = 1800 -  0 =>  0 = (  +  0 - 1800)
*) Giải lại phương trình (*) : Đặt tg  

1

7f

(*) Trở thành sin  0 cos   sin  cos  0 

4
 cos 0
49 f  1



sin  

7

f 49 f  1
7
cos   
f 49 f  1

0

 cos(  +  0 ) = cos  0   +  0 =   0 ( Với 0 <  0 < 90 )   0 = -    0

Đối chiếu với điều kiện  0  55,150 , chọn 1 nghiệm thoả mãn.
Bài 2:
Một quả bóng siêu đàn hồi đặc, khối lượng m, bán kính R. Bóng bay tưói va
chạm vào mặt sàn ngang với vận tốc v và vận tốc góc  . Chỗ mà quả bóng tiếp xúc
với sàn có ma sát giữ cho điểm tiếp xúc không trượt. Do có ma sát nên va chạm là
không đàn hồi Tuy nhiên, có thể bỏ qua sự biến thiên của thành phần pháp tuyến vy và
độ biến thiên động năng bóng.

a/ Xác định thành phần tiếp tuyến vx’ của v’ và  ’ của quả bóng sau va chạm theo vx và
 trước va chạm? Biện luận?
b/ Tính vận tốc điểm tiếp xúc A của bóng trước và sau va cham? Giải thích kết quả?
c/ Xét  = 0 và vx > 0.
Bài làm
*) Theo định luật biến thiên momen động lượng ta có:
dL = Mdt = FmsRdt = dPxR  Id  = mRdvx
vx '
'
 I  d   mR  dv 

vx

I(  ’-  ) = mR(vx’ - vx)

(1)

Ta có vy’= - vy
*) Theo định luật bảo toàn động năng ta có:
mv 2 I  2 mv '2 I  '2




2
2
2
2

*) Thay (1) vào (2) rút ra

m (vx2  v '2x )  I ( '2   2 )

(2)

v 
1
 ’=   3  10 x 
7
R


vx’ =



3v x  4 R
7

*) Biện luận:
+)  ’ < 0 siêu bóng quay ngược lại với chiều quay ban đầu sau va chạm.


4

+) vx’ > 0, vx >  R
3

4

+) vx’ = 0  vx =  R
3
4

+) vx’ < 0  vx <  R
3

b) Ban đầu (trước va chạm): A:

Sau va chạm:


vAx = vx +  R

vAy = vy
v’Ax = v’x +  ' R = - (vx +  R )
v’
Ay = v’y = - vy



v

A'

  v

A

Như vậy: Vận tốc điểm A trước và sau va chạm có độ lớn bằng nhau, chiều ngược

nhau.

Bài 3:
Thanh ABC khối lượng M, chiều dài 2L, gấplại tại trung điểm B đặt trên mặt
phẳng nằm ngang. Vật m chuyển động với vận tốc v0 trên mặt phẳng nằm ngang theo
phương vuông góc với BC, va chạm với thanh tại C. Coi va chạm là đàn hồi, bỏ qua ma
sát. Tìm điều kiện của v0 để sau va chạm vật bị bật ngược trở lại .
Bài giải:
áp dụng ĐL BT ĐL và mômen động lượng đối với G:
mvo = mv1 + Mv2
(1)
3l
3l
 mv1 .  I
(2)
4
4
mv 2 mv 2 Mv 2 I 2
- ĐL BT CN: 0  1  0 
(3)
2
2
2
2
mvo .

L

MG 

2

L
4

G
N

C

L

 IG 

5
ML2
24

5
18
 L   L  v2
18
5
5
v0  v1 
v2
24
m(vo  v1 )  Mv2
v2 

- Giải hệ phương trình ta được:

M

B

Với :
 M 2

 ( 2 )L

M
IG  2 
 ( ) MG 2  ,
2
 12




A

- Điều kiện m bị bật ngược trở lại là v1 < 0 .
Rút ra:

M
5

.
m 29


v0
m


•
C
• B
Bài 4:
2
(Thi chọn đội tuyển dự IphO năm 2001, ngày thi thứ nhất)
1. Hai thanh AB, BC, mỗi thanh có chiều dài l khối lượng
• 1
m, được nối với nhau bằng chốt ở B và có thể quay không
ma sát quanh B. Thanh ghép được đặt trên một mặt phẳng
nằm ngang rất nhẵn và tạo thành góc vuông ở B. Đầu A
A
chịu một xung X nằm trong mặt phẳng và vuông góc với

X
AB (xung là tích Fdt của lực và chạm rất lớn F và thời gian
va chạm rất nhỏ dt, nó là một động lượng được truyền toàn vẹn cho thanh).
Tính theo X các đại lượng ngay sau va chạm sau đây:
a) Các vận tốc v1, v2 của các khối tâm của hai thanh.
b) Các vận tốc góc ω1, ω2 của hai thanh quay quanh khối tâm của các thanh đó.
c) Động năng K của thanh ghép. (Momen quán tính của mỗi thanh đối với đường trung
2
trực là I = ml . Ta không biết công của lực va chạm).
12

2. Thanh ghép được đặt cho AB, BC thẳng hàng (H2) và cũng
chịu xung X vuông góc với AB như trên. Tính theo X:
a) Các vận tốc v1, v2
b) Các vận tốc góc ω1, ω2 của hai thanh quay quanh khối tâm
của các thanh đó.
c) Vận tốc vG của khối tâm G của thanh ghép và vận
tốc vB của chốt B; vG bằng hay khác vB và tại sao? Lấy chiều
dương của xung và vận tốc góc như trong hình 2.
Gi¶i:
1. Lập hệ:

X + X’ = mv1
(X – X’)

(1)

ml 2

l

=
2
12 1

(2)

- X = mv2
v B = v2 = -

(3)
l
ω1 + v1
2

(4)

Vì BC chỉ tịnh tiến ω2 = 0, giải hệ ta được:
7X
2X
; v2 = 5m
5m
18 X
b) ω1 =
; ω2 = 0
5ml
m
2X 2
m
I
38 X 2
8X 2
c) KBC = v22 
K
 v2   2 
;K

thanh
2
25m AB 2 1 2 1

25m
5m

a) v1 =

2.

X + X’ = mv1
(X – X’)

l
ml 2

=
12 1
2

- X’ = mv2

(1)
(2)
(3)

C
• 2
• B
+


X

• 1
A


l
2

-X =

ml 2

12 1

- Tính theo hai cách vB = v1 -

(4)
1
1
ω1 = v2 + ω2 (5) (B quay quanh 1 có vận tốc ngược
2
2

chiều v1 nhưng quay quanh 2 thì có vận tốc cùng chiều v2).
- Giải hệ 5 phương trình để tìm ẩn X’, v1, v2, ω1, ω2, ta có (1) và (3) cho: mv2 = X – mv1
- Viết lại (2): X + mv2 = 2X – mv1 =

ml
6
ω1 hay ω1 =

(2X – mv1)
6
ml

(6)

6 X ' 6v2
(7)

ml
l
4( X  mv )
l 6
l 6v2
1
 4v 
Đưa (6) và (7) vào (5): v1 (2X – mv1) = v2 +
2
2 ml
2 l
m
6x 4 X
10 X
5X

 4v  8v 
v 
4v1 1
1
1

m
m
m
4m
5X
X
a) v1 =
; v2 = 4m
4m
9X
3X
b) ω1 =
; ω2 = 
2ml
2ml
X
1
X
 vB
c) vB = - ; vG = (v1  v2 ) 
m
2
2m

Từ (3) và (4) cho ω2 = -

Vì G chỉ trùng với B khi hai thanh nằm yên thẳng hàng.
Bài 5:
(Thi chọn đội tuyển dự IphO năm 2005, ngày thi thứ nhất)
• O’

O •
Một khung có thể biến dạng gồm ba thanh cứng đồng chất,
φ
một thanh có khối lượng m, chiều dài l, được nối bằng các
chốt A, B và treo trên trần bằng các chốt O, O’ (OO’ = l).
•
Các chốt không có ma sát. Khung đang đứng cân bằng thì
đầu A của thanh OA chịu một xung lực X đập vào (X có X
•
•
chiều từ A đến B). Khung bị biến dạng và các thanh OA, O’B
A
B
quay tới góc cực đại φ (H.23.1).
1.Tính vận tốc V (theo X và m) của trung điểm (khối tâm) C
của thanh O ngay sau va chạm.
2.Tính động năng của khung ( theo X và m) ngay sau va chạm.
3. Tính góc φ theo X, m, l và gia tốc trọng trường g.
4. Nếu xung lực X là do một quả cầu có khối lượng m và vận tốc v0 có chiều từ A đến B
gây ra thì sẽ có tối đa bao nhiêu phần trăm động năng của quả cầu chuyển thành nhiệt?
Cho momen quán tính của thanh có chiều dài l, khối lượng m đối với trục vuông góc với
ml 2
thanh và đi qua một đầu là I =
3

Giải:
1. Biến thiên momen động lượng của hệ (đối với tâm O) bằng momen của xung lực.


- Kí hiệu ω là vận tốc góc của OA ngay sau va chạm, thì  

- Momen động lượng của OA (hoặc O’B) là: I  

2V
.
l

ml 2
2
  mlV
3
3

- Momen động lượng của AB, với VD = 2V, là 2mVl.
Từ đó:
4
10
3X
mlV  2mlV  mlV  Xl  V 
.
3
3
10m
I
2
2. Động năng của một thanh quay quanh O là  2  mV 2
2
3
m
- Động năng của thanh AB là: VD2  2mV 2
2

4
10
3X 2
2
2
2
- Động năng của cả khung: K  mV  2mV  mV 
3
3
10m

3. Động năng này chuyển thành độ tăng thế năng. Khối tâm của khung từ vị trí G cách
2
3

2
3

trần một đoạn JG  l được chuyển t ới vị trí G’ cách trần một đoạn JH  l (1  cos  ) .
Thế năng tăng một lượng: 3mg
Từ đó K =

2
(1 – cosφ) = 2mgl(1 – cosφ)
3l

3X 2



X 3
 4mgl sin 2  sin 
.
10m
2
2 2m 10 gl

4. Nếu X = mV0 thì động năng của khung:
2
3 X 2 3 mV0 3
K

 K , K là động năng của quả cầu.
10m 5 2
5 0 0
2
Vậy tối đa có K0 = r = 40%.
5

Chú thích: Khi xung X đập vào A thì ở các chốt O, O’ xuất hiện các phản xung của trần
XO và XO’. Nhưng vì lấy momen đối với O nên chúng không có mặt trong (1). Có thể tích
được XO = XO’ =

X
.
10