Phương pháp giải phương trình vô tỉ và một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Môn toán là một trong những bộ môn văn hóa cơ bản trong nhà trường phổ
thông, phần nhiều học sinh học tốt môn toán thì sẽ học tốt các môn học khác,
bởi lẽ các em đã có khả năng tư duy toán học tốt thì cũng có thể đủ khả năng
tiếp thu các môn học khác. Toán học như một kho tàng tài nguyên vô cùng
phong phú và quí giá mà nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê
say, ham muốn khám phá và hiểu biết ngày càng nhiều hơn ở bộ môn này.
Hiện nay, trong các nhà trường đặc biệt là nhà trường THCS, thời lượng
dành cho phương trình vô tỉ là rất ít. Các ví dụ, bài tập đưa ra còn đơn giản và
hạn chế, nên học sinh chưa nắm được nhiều kiến thức, các dạng phương trình và
phương pháp giải. Do đó kĩ năng về giải phương trình vô tỉ của các em học sinh
còn rất hạn chế và thường mắc phải những sai lầm khi giải phương trình vô tỉ.
Vì vậy, việc hệ thống các dạng và cách giải các dạng phương trình vô tỉ là rất
cần thiết. Muốn vậy, trong các tiết học, các tiết luyện tập giáo viên cần có phần
hệ thống các dạng và cách giải đối với từng dạng phương trình vô tỉ, sẽ giúp cho
học sinh không còn mơ hồ và có cái nhìn tổng quát, có tư duy hợp lí và đưa ra
được phương pháp giải các bài tập phương trình vô tỉ cụ thể.
Với những lí do trên cùng với mong muốn của bản thân về việc nâng cao
chất lượng giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS , đặc biệt là trong công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi viết đề tài: ‘‘ Phương pháp giải phương trình vô tỉ
và một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ ’’. Với hy vọng sẽ
góp phần giúp các em học sinh có được kiến thức và kết quả cao trong học tập.

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1


Phần 1. Thực trạng của vấn đề
Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về phương trình vô tỉ được đề
cập đến nhưng không nhiều, nhưng nó lại có rất nhiều dạng và có vai trò rất
quan trọng. Các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc và vận dụng

thật nhuần nhuyễn, có hệ thống, một số kiến thức khác như: phương trình bậc
nhất một ẩn, phương trình tích, ĐKXĐ của một số loại biểu thức ... Nó nâng cao
khả năng vận dụng, phát triển khả năng tư duy cho học sinh, ngoài ra nó còn là
một trong những kiến thức được sử dụng thi đầu vào khối THPT dưới dạng bài
tập khó, hoặc trong các đề thi học sinh giỏi.
Trên thực tế, với kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy tôi thấy
học sinh thường mắc một số khuyết điểm sau khi giải phương trình vô tỉ:
- Thiếu hoặc sai ĐKXĐ của phương trình (chủ yếu là ĐKXĐ của căn thức).
- Chỉ giải được dạng phương trình đơn giản trong SGK.
- Khi bình phương hai vế của phương trình để làm mất căn bậc hai thường các
em không tìm điều kiện để cả hai vế đều dương.
- Ở dạng phức tạp hơn thì các em chưa có điều kiện nghiên cứu nên kĩ năng
giải rất hạn chế, các em thường không có cơ sở kiến thức để phát triển phương
pháp giải.
- Có rất ít tài liệu đề cập sâu về dạng phương trình này.
- Không đồng đều về nhận thức trong một lớp nên việc phát triển kiến thức về
phương trình vô tỉ trong các tiết dạy là rất khó.
Cụ thể với hai lớp 9B, 9C do bản thân tôi trực tiếp giảng dạy, tôi thấy kiến
thức về môn toán của các em chưa chắc, nhận thức không nhanh và ý thức học
tập chưa cao. Việc hệ thống kiến thức sẽ tạo điều kiện giúp các em học tập tốt và
tạo được hứng thú trong học tập cho học sinh.
Bên cạnh đó thời lượng về phương trình vô tỉ trong chương trình sách giáo
khoa rất ít. Số lượng bài tập về phương trình vô tỉ không nhiều và có phần đơn
giản và xa vời với các đề thi. Từ thực trạng trên nên trong quá trình dạy tôi đã
dần dần hình thành phương pháp bằng cách trước tiên cho học sinh nắm vững lý

2


thuyết về phương trình tương đương, phương trình vô tỉ, từ đó áp dụng vào bài

toán cơ bản đến bài toán ở mức độ khó hơn.
Hiện nay có nhiều tài liệu, chuyên đề viết về phương trình của khối THCS
nhưng với phương trình vô tỉ cũng chưa nhiều. Để giúp các em học sinh nắm
đúng, nắm chắc từng dạng và phương pháp giải từng dạng, tôi mạnh dạn viết
sáng kiến kinh nghiệm‘‘ Phương pháp giải phương trình vô tỉ và một số sai lầm
thường gặp khi giải phương trình vô tỉ ’’ áp dụng cho khối THCS với hy vọng
phần nào tháo gỡ những khó khăn cho các em học sinh khi gặp dạng phương
trình này, và là cuốn tài liệu có thể dùng để tham khảo đối với các bạn đồng
nghiệp. Với kinh nghiệm còn rất hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều,
sáng kiến kinh nghiệm này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Do vậy tôi rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến thật chân tình của các bạn đồng nghiệp và
bạn đọc để sáng kiến này có thể được áp dụng rộng rãi hơn, góp phần thúc đẩy
chất lượng học tập của các em học sinh.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu về một số phương pháp giải và các dạng bài tập thường gặp.
- Kỹ năng giải các phương trình: Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương
trình bậc nhất một ẩn, phương trình chứa hệ số ba chữ, phương trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình tích, phương trình thương,
phương trình bậc cao ...
- Kỹ năng giải các phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc 1, bậc 2,
phương trình vô tỉ ...
- Làm các bài tập, ví dụ minh hoạ.

3


Phần 2. Các biện pháp để giải quyết vấn đề
Để giải quyết tốt các vấn đề về phương trình vô tỉ thì học sinh cần nắm chắc
một số kiến thức cơ bản sau:
+) Một số phép biến đổi phương trình tương đương:

*Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.
*Nhân hay chia hai vế với cùng một số khác 0 howcj với cùng một biểu thức
luôn có giá trị khác 0.
+) Phương trình hệ quả: Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là
nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi
là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x).
Ký hiệu: f(x) = g(x)  f1(x) = g1(x).
- Khái niệm về phương trình, nghiệm của phương trình, ĐKXĐ của phương
trình.
- Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phương trình tương đương.
- Cách giải các loại phương trình cơ bản như: Phương trình bậc nhất một ẩn,
phương trình tích, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn
ở mẫu, phương trình bậc hai một ẩn số,...
- Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức số.
Ngoài ra học sinh cần ôn tập:
- Định nghĩa phương trình vô tỉ.
- Các bài giải phương trình vô tỉ nói chung.
- Các kiến thức cơ bản về căn thức.
- Các phương pháp giải phương trình vô tỉ.
- Các dạng phương trình vô tỉ, cách giải từng dạng.
- Những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ.
Bên cạnh đó, từ những kiến thức các em đã nắm được giáo viên có thể đưa ra
một số bài tập cho học sinh vận dụng, qua đó giáo viên nắm được khả năng biến
đổi để giải phương trình, và những sai sót để sửa chữa cho học sinh đồng thời
hình thành kỹ năng xử lý tình huống khắc phục sai sót của học sinh.
2.1. Một số khái niệm
4


2.1.1. Khái niệm về phương trình một ẩn

Cho A  x  , B  x  là hai biểu thức chứa biến x, khi đó A  x   B  x  gọi là phương
trình một ẩn. Trong đó:
+) x được gọi là ẩn.
+) A  x  , B  x  gọi là hai vế của phương trình.
+) Quá trình tìm x gọi là giải phương trình.
+) Giá trị tìm được của x gọi là nghiệm của phương trình.
+) S: Tập hợp nghiệm của phương trình.
+) Tập xác định: Tập xác định của phương trình (thường viết tắt là TXĐ)
Tập xác định của phương trình: Là tập những giá trị của biến làm cho mọi
biểu thức trong phương trình có nghĩa.
Khái niệm về hai phương trình tương đương: Là hai phương trình có cùng
một tập hợp nghiệm. Hoặc nghiệm của phương trình này cũng là nghiệm của
phương trình kia và ngược lại.
2.2.2. Phương trình vô tỉ
a) Định nghĩa: Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn ở dưới dấu căn.
Ví dụ: a) x  1  3 x  2  4
b) 3 x 2  1  2 x  5  0
b) Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung):
- Tìm tập xác định của phương trình.
- Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học.
- Giải phương trình vừa tìm được.
- So sánh kết quả với tập xác định và kết luận.
2.2.3. Các kiến thức cơ bản về căn thức
- Một số âm không có căn thức bậc chẵn vì điều kiện của ẩn là biểu thức chứa
trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm.
- Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế phương trình đảm
bảo nhận được phương trình tương đương.
A2  A (với mọi biểu thức A)

5

2.2. Các dạng phương trình vô tỉ cơ bản và cách giải
a) Dạng 1.

f  x  g  x

(1)

Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình vô tỉ.
*) Sơ đồ cách giải:
�
2
�g  x  �0
f  x  g  x � �
g  x �
(2) � f  x   �
(3)
2
�
�
f
x

�
g
x
�





�
� �
�

- Giải phương trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra
nghiệm của phương trình (1).
Ví dụ . Giải phương trình

x 5  x7

(1)

�x  7 �0
x5  x 7 � �
( x  5)  ( x  7) 2
�

 2
 3

+) Giải phương trình (3)
x  5  x 2  14 x  49 � x 2  15 x  54  0 �  x  6   x  9   0 � x  6 hoặc x  9

Đối chiếu với điều kiện (2) ta thấy x  9 thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  9 .
b) Dạng 2.

f  x  h  x  g  x

(1)

*) Sơ đồ cách giải:
+) Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình f  x  �0; h  x  �; g  x  �0

 2

+) Với điều kiện (2) hai vế của phương trình không âm nên ta bình phương hai
vế, ta có

f  x g  x 

1� 2
g  x  f  x  h  x �
�
2�

(3)

Phương trình (3) có dạng (1) nên có điều kiện mới g  x   f  x   h  x  �0 (4)
2

Bình phương hai vế của phương trình (3) được phương trình mới đã biết cách
giải. Đối chiếu nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) rồi kết luận.
Ví dụ . Giải phương trình
Giải:

x  3  1 x  2

(1)

�x  3 �0
�x �3
��
� 3 �x �1 (*)
1  x �0
�
�x �1

Điều kiện: �

- Với điều kiện (*) phương trình có hai vế không âm nên bình phương hai vế ta có:
6


x  3  1  x  2 x  3. 1  x  4 �

x  3. 1  x  0 � x  1 hoặc x  3 .

Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều (*)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  3 hoặc x  1 .
c) Dạng 3.

f  x  h  x  g  x

(1)

- Dạng 3 chỉ khác dạng 2 ở vế phải là g ( x) nên cách giải tương tự như dạng 2.
Ví dụ . Giải phương trình x  1  12  x  x  7

Giải:

�x  1 �0
�
12 �
�
x 0
Điều kiện: �
�x  7 �0
�

7

(1)

x 12 (*)

Với điều kiện (*) phương trình (1) có hai vế không âm nên ta bình phương hai
vế, ta được:



x 1

 
2

12  x  x  7



2

� x  1  12  x  x  7  2 12  x . x  7
� 2 12  x . x  7  x  4

(2)

Với (*) thì hai vế của phương trình (2) không âm ta bình phương hai vế của (2)
2
2
2
ta được phương trình 4   x  19 x  84   x  8 x  16 � 5 x  84 x  352  0

(3)

Ta có: � 1764  1760  4 � � 2
Phương trình (3) có hai nghiệm x1 

44
; x2  8 đều thoả mãn điều kiện (*)
5

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 
d) Dạng 4.

f  x  h  x  g  x  k  x

44
; x2  8 .

5

(1)

*) Sơ đồ cách giải:
+) Điều kiện: f  x  �0 ; h  x  �0 ; g  x  �0 ; k  x  �0
Bình phương hai vế ta có: f  x   h  x   2 f  x  .h  x   g  x   2 g  x  .k  x   k  x 
� F  x  G  x  H  x

phương trình trở về dạng 3 đến đây ta giải tương tự

dạng 3.
Ví dụ. Giải phương trình x  1  x  10  x  2  x  5 (1)

7


�x  1 �0
�x �1
�x  10 �0
�x �10
�
�
�۳�

Giải: Điều kiện: �
x

2
�

0
�
�x �2
�
�
�x  5 �0
�x �5

x

1

(*)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có:
x  1  x  10  2 x  1. x  10  x  2  x  5  2 x  2. x  5
� 2  x  1. x  10  x  2. x  5

Với điều kiện x �1 cả hai vế của phương trình không âm, tiếp tục bình phương
ta có: 4   x  1  x  10   4 x  1. x  10  x 2  17 x  10 �  x  1  x  1. x  10 (2)
Phương trình (2) có điều kiện x �1

(**)

Từ (*) và (**) ta có x  1 là nghiệm của phương trình
e) Dạng 5.

f  x   h  x   n f  x  .h  x   g  x 

(1)

*) Sơ đồ cách giải:
Điều kiện: f  x  �0 ; h  x  �0 .
Đặt t  f  x   h  x  ( t �0 )
� t  f  x  h  x  2 f  x . h  x �
2

t2  f  x  h  x
f  x . h  x 
2

Ví dụ. Giải phương trình x  1  3  x  x  1. 3  x  2
Giải:

�x  1 �0
� 1 �x �3
3  x �0
�

Điều kiện: �

(1)

(*)

Đặt t  x  1  3  x ( t  0 ), ta có: t 2  x  1  3  x  2 x  1. 3  x
� 2 x  1. 3  x  t 2  4 (**). Khi đó phương trình (1) có dạng:
2t   t 2  4   4 � t 2  2t  0 � t  t  2   0 � t  2 (thỏa mãn) hoặc t  0 (loại)

Nghiệm t  2 thoả mãn điều kiện t  0 , khi đó t  2 theo (**), ta có:

2 x  1. 3  x  2 2  4 � x  1. 3  x  0 � x  1 hoặc x  3

Cả hai nghiệm này đều thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình có hai nghiệm là x  1 ; x  3
g) Dạng 6. x  a 2  b  2a x  b  x  a 2  b  2a x  b  cx  m (1)
*) Sơ đồ cách giải:
8


b 0
Điều kiện: x �۳

x b (*)

Đặt t  x  b ( t �0 ) � t 2  x  b � t 2  b  x
Thay x vào phương trình dưới dấu căn ta có t 2  a 2 �2at   t �a 
2
Phương trình (1) có dạng t  a  t  a  c  t  b   m

2

(2)

Giải phương trình (2) bằng cách xét hai trường hợp: t �a và 0 �t �a ta có hai
phương trình là ct 2  2t  bc  m  0 (3) và ct 2  2a  bc  m  0 (4) ta được nghiệm t
và đối chiếu với điều kiện t �0 để nhận nghiệm từ đó suy ra x  t 2  b là nghiệm
của phương trình (1)
Ví dụ. Giải phương trình x  6. x  9  x  6. x  9 
9 0
Giải: Điều kiện: x �۳

x 9

x  23
(1)
6

(*)

Đặt t  x  9 ( t �0 ) � x  t 2  9 , khi đó phương trình (1) có dạng:
6 �  t  3 
�
�
2

 t  3

2

� t 2  9  23
�
�

�
t 2  12t  32  0
� 6  t  3  t  3   t 2  32 � �2
t 40
�

 t �3

 0 �t �3

 2
 3

Giải phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là t  8 hoặc t  4
Nếu t  8 � x  82  9  73
Nếu t  4 � x  42  9  25
Giải phương trình (3) ta được nghiệm của phương trình là t  2 � x  22  9  13
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x  73 ; x  25 ; x  13
2.2.3. Các phương pháp giải phương trình vô tỉ
Không phải bất cứ một phương trình vô tỉ nào cũng có thể đưa về được một
trong năm dạng trên do đó người giáo viên cần cung cấp cho học sinh thêm các
phương pháp giải phương trình vô tỉ.
a. Phương pháp luỹ thừa
Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế lên luỹ thừa n. Nếu chẵn thì chỉ thực
hiện được khi hai vế của phương trình là không âm.
Ví dụ 1. Giải phương trình x  x  1  7
Giải: Phương trình (1) có dạng

(1)

x 1  7  x

9

(2)


�x  1 �0

�1 x 7
ۣ
7  x �0
�

Điều kiện: �

(*)

Với điều kiện (*) thì phương trình (2) có hai vế không âm nên ta bình phương
hai vế phương trình (2), ta có :
x  1  49  14 x  x 2 � x 2  15 x  50  0

Ta có:   25 �   5 nên có hai nghiệm phân biệt là x1  10 ; x2  5
Ta thấy x  5 thoả mãn điều kiện (*) vậy nghiệm của phương trình là x  5 .
Ví dụ 2. Giải phương trình x  1  5 x  1  3x  2
Giải: Điều kiện: x �1

(1)

(*)

Chuyển vế phương trình (1), ta có:

x  1  3x  2  5 x  1

� x  1  5 x  1  3x  2  2 5 x  1. 3x  2 � 2  7 x  2 5 x  1. 3x  2
7x 0
Phương trình (2) có điều kiện 2 ��

x

7
2

(2)

(**)

Khi đó phương trình (2) có dạng:

 2  7x

2

 4  15 x 2  13 x  2  � 4  28 x  49 x 2  60 x 2  52 x  8 � 11x 2  24 x  4  0

Ta có � 100 � � 10 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 

2
;
11

x2  2 thoả mãn điều kiện (**). Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy cả hai giá trị
x1 

2
; x2  2 đều là nghiệm của phương trình.
11

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x1 

2
; x2  2 .
11

b. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 1. Giải phương trình

x2  2 x  1  x2  6x  9  4

(1)

Giải: Phương trình (1) � ( x  1)2  ( x  3) 2  4 � x  1  x  3  4

(2)

Để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị
tuyệt đối, ta có các trường hợp sau:
 x  1 0

 x  3 0

1) 

 x  1
 x 3 (*)

 x 3

Phương trình (2) có dạng x  1  x  3  4 � x  3 thoả mãn (*)
10


 x 1  0

x 30

x 1

x 3

 x 1  0

x 30

x 1
  1 x  3

x 3

2) 
3) 

(không xảy ra)
(**)

Phương trình (2) có dạng x  1  3  x  4 � 0 x  0 có vô số nghiệm thoả mãn (**)
 x  1 0


x 30

4) 

 x  1
 x  1 (***)

x 3

Phương trình (2) có dạng  x  1  x  3  4 � 2 x  2 � x  1 , thoả mãn (***).
Kết hợp nghiệm phương trình đã cho có nghiệm 1 �x �3
Ví dụ 2. Giải phương trình x  3  4 x  1  x  8  6 x  1  5 (1)
Giải:

Điều kiện: x �1

Phương trình (1) � x  1  4 x  1  4  x  1  2.3 x  1  9  5
� ( x  1  2) 2  ( x  1  3) 2  5
� x 1  2 

x  1  3  5 (do x �1 )

x 1  3  3  x 1

�

Vì vế trái luôn không âm nên ta có:
3�
��
x 1 0

x
 �1 3 �0

x 1 9  1  x 10

Kết hợp điều kiện ta thấy 1 x 10 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 3. Giải phương trình x  2 x  1  x  2 x  1 2 (1)
Giải:

Điều kiện: x �1

Ta biến đổi phương trình (1) về dạng:
x  1  2 x  1  1  x  1  2 x  1  1 2 � ( x  1  1) 2  ( x  1  1) 2  2
�

x 1 1 

Cũng lập luận tương tự như trên ta có



x 1 1  2 �



x 1 1

x 1 1  1 x 1  2



x  1  1 �0

� x 1 1
Với điều kiện x �1 ta luôn có x  1  1  0 và x  1  1 �0 ��

x

2

Vậy nghiệm của phương trình là 1 �x �2 .
c. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình

x  2  2 x  5  x  2  3 2 x  5 7 2

Giải: Điều kiện: x �2,5
11

(1)


Biến đổi phương trình (1) 2( x  2  2 x  5 )  2( x  2  3 2 x  5 ) 14

(2)

Đặt 2 x  5  y ( y �0 ) � 2 x  5  y 2 � 2 x  y 2  5
Phương trình (2) có dạng
� ( y  1) 2 

 x  3

2

y 2  2 y  1  y 2  6 y  9 14

 14 � y  1  y  3  14 do y �0 nên phương trình có dạng:

y  1  y  3  12 � 2 y  4  14 � 2 y  10 � y  5 (thoả mãn điều kiện y �0 )

Vậy 2 x  5  5
Với điều kiện x �2,5 , cả hai vế của phương trình không âm bình phương hai vế ta có
2 x  5  25 � 2 x  30 � x  15 (thoả mãn điều kiện x �2,5 )

Phương trình có nghiệm x  15 .
Ví dụ 2. Giải phương trình x 2  x 2  3x  5  3x  7 (1)
Giải: Phương trình (1) � x 2  3x  7  x 2  3x  5  0
� x 2  3x  5  x 2  3x  5  12  0 (2)

Điều kiện: x ��
Đặt x 2  3x  5  t ( t �0 ) � x 2  3x  5  t 2

(*)

Phương trình (2) có dạng t 2  t  12  0
Ta có   49 �   7 nên phương trình có hai nghiệm t1  3 ; t2  4
Vì t �0 nên t  3 thoả mãn.
2
2

Theo (*) ta có x  3x  5  9 � x  3x  4  0 �  x  1  x  4   0 � x  1 hoặc x  4

Vậy nghiệm của phương trình là x  1 ; x  4 .
Ví dụ 3. Giải phương trình 2  x 2  3x  2   3 x3  8

(1)

Giải:
�
a  x 2  2x  4
� a  b  x 2  3 x  2 , vì x3  8   x  2   x 2  2 x  4  � x3  8  a.b
b

x

2
�

Đặt �

Phương trình (1) có dạng: 2  a  b   3 ab � a  b 

3
ab
2

Ta thấy b �0 vì nếu b  0 thì x  2 khi đó (1) không thoả mãn.
Chia hai vế của (2) cho b ta có:

a

3 a
a 3 a
1 
� 
1  0
b
2 b
b 2 b

12

(2)


Đặt

a
 Y ( Y �0 ) ta có phương trình:
b
3
Y 2  Y  1  0 � 2Y 2  3Y  2  0
2

(3)

Phương trình (3) ta có   25 �   5 , phương trình (3) có hai nghiệm Y1  

1
2

(không thoả mãn); Y2  2 (thoả mãn).
Theo cách đặt ta có

a
 2 � a  4b � x 2  2 x  4  4  x  2  � x 2  6 x  4  0
b

(4)

Giải phương trình (4) ta có x1  3  13 ; x2  3  13
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x1  3  13 ; x2  3  13 .
d. Phương pháp đưa về hệ phương trình.
Ví dụ. Giải phương trình x 2  x  1000 1  8000 x  1000

(1)

�x 2  x  2000 y
�
Giải: Đặt 1  8000 x  1  2 y . Kết hợp với (1) ta được hệ � 2
�y  y  2000 x

Từ hệ (2) suy ra  x  y   x  y  1  2000   0 (3)
2
2
Từ hệ (2) dễ thấy 2001 x  y   x  y  0 � x  y  1999  0

Vậy từ (3) ta có y  x . Thay vào (1) ta được:
x 2  x  2000 x � x 2  2001x  0 � x  x  2001  0 � x  0 (loại) hoặc x  2001

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2001 .

e. Phương pháp dùng bất đẳng thức
Phương pháp dùng bất đẳng thức được dùng ở nhiều dạng khác nhau.
*) Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau, khi đó phương trình vô
nghiệm.
Ví dụ 1. Giải phương trình
Giải:

x 2

x  2 8

Điều kiện: x �2

Với điều kiện này thì vế phải luôn lớn hơn vế trái nên phương trình là vô
nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình x 2  1  x 2  2 2
Giải: Vì x 2  1 �1 ; x 2  2 � 2  1 � x 2  1  x 2  2  2 mà x 2  1  x 2  2 2 .
13


Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình x  1  5 x  1  3x  2
Giải: Điều kiện: x �1
Với điều kiện này thì x  5 x do đó x  1  5 x  1 � x  1  5 x  1  0
Vế trái luôn âm còn vế phải không âm nên phương trình đã cho vô nghiệm.
*) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Ví dụ 4. Giải phương trình x  3  5  x  x 2  8 x  18
Giải: Điều kiện: 3 �x �5

(1)

(*)

Ta có vế phải x 2  8 x  18   x  4   2 �2 với x .
2

Vế trái sử dụng bất đẳng thức: 2  a 2  b2  � a  b 
Ta có



x 3  5 x



2

2

�2  x  3  5  x   4 � x  3  5  x �2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cả hai vế có giá trị bằng 2
Vậy (1) � x 2  8 x  18  2
x 3  5 x  2

(2)
(3)

Giải phương trình (2) � x 2  8 x  16  0 �  x  4   0 � x  4
2

Thay x  4 vào (3) thoả mãn, đồng thời x  4 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x  4 .
Ví dụ 5. Giải phương trình 3x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14  4  2 x  x 2
Giải: Ta viết phương trình dưới dạng 3( x  1)2  4  5( x  1)2  9  5   x  1

2

Vì 3  x  1 �0 và 5  x  1 �0 nên 3( x  1)2  4 � 4  2 ; 5( x  1)2  9 � 9  3
2

2

Do đó 3( x  1) 2  4  5( x  1) 2  9 �5 mà 5   x  1 �5
2

Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi hai vế đều bằng 5  x  1  0 � x  1
2

Nghiệm của phương trình cho là x  1 .
*) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 6. Giải phương trình x  1  x  8  7
Giải: Ta thấy x  8 là nghiệm của phương trình (1)
Nếu x  8 thì x  1  3 ; x  8  4 .
14

(1)


Vậy vế trái nhỏ hơn 7 nên x  8 không là nghiệm của phương trình (1).

Nếu x  8 thì x  1  3 ; x  8  4 .
Vậy vế trái lớn hơn 7 nên x  8 không là nghiệm của phương trình (1).
Vậy x  8 là nghiệm của phương trình (1).
*) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “ = ” ở bất đẳng thức không chặt
Ví dụ 7. Giải phương trình
Giải:

Điều kiện: x 

2
3

x
3x  2

3x  2
2
x



(1)

(*)

Ta có bất đẳng thức Côsi với a, b  0 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b .
Với điều kiện (*) thì (1) x  3x  2 � x 2  3x  2  0 �  x  1  x  2   0 � x  1 hoặc
x  2 thoả mãn điều kiện (*). Vậy nghiệm của phương trình là x  1 ; x  2 .

+) Sử dụng tính chất của luỹ thừa bậc chẵn, của căn bậc hai.

Ví dụ 8. Tìm x, y, z ��, biết x  y  z  4  2 x  2  4 y  3  6 z  5 (1)
Giải:
n
n
n
- Ta sử dụng tính chất A  x   B  x   C  x   ... �0 với x ( n �2, n ��, n chẵn)

Điều kiện: x �2; y �3; z �5
Thật vậy, phương trình (1) về dạng

 x22
�



 

 



x  2 1  y  3  4 y  3  4  z  5  6 z  5  9  0

 
2

x  2 1 

 
2

y 3 2 



2

z 5 3  0

 x - 2  1 0
 x  2 1


2
Vì A  x  �0 với x nên phương trình (2)   y  3  2 0   y  3 4 

 z  5 9

 z  5  3 0

 x 3

 y 7
 z 14


Vậy phương trình (1) có nghiệm  x; y; z    3;7;14  .
2.2.4. Một số sai lầm khi giải phương trình vô tỉ
Thường học sinh hay mắc phải sai lầm khi giải phương trình vô tỉ mà căn là
bậc chẵn là:

- Quên không tìm ĐKXĐ khi giải.

15


- Không đặt điều kiện khi ta biến đổi tương đương: Khi biến đổi ta thường nhận
được phương trình có thể tương đương, có thể không tương đương. Nếu biến đổi
phương trình (1) ta được một phương trình (2) nhưng chưa chắc phương trình
(2) đã tương đương với phương trình (1) nên khi giải, học sinh thường quên tìm
điều kiện của phương trình (2) để tương đương với phương trình (1) hoặc ngộ
nhận phương trình (2) luôn tương đương với phương trình (1)
Ví dụ 1. Giải phương trình

x4  x2

(1)

*) Học sinh giải: Giải phương trình (1)
�x  4 �0
�x �4
x4  x2� �
��
2
2
�x  4  ( x  2)
�x  4  x  4 x  4
�x �4
x0
�x �4
�

�
��
� ��
x0 � �
x  3
�x( x  3)  0
�
��
x  3
��

Vậy, phương trình có 2 nhiệm : x = 0; x= -3
*) Sai lầm trong cách giải là:
2 0
- Khi biến đổi tương đương học sinh chưa đặt điều kiện cho x �۳

x

2 để

có thể bình phương tiếp.
- Khi kết luận nghiệm phương trình chưa chính xác.
Ví dụ 2. Giải phương trình x  2  2 x  6  2

(1)

*) Học sinh giải:
Phương trình (1) � x  2  4  4 2 x  6  2 x  6 � 4 2 x  6  4  x

(2)

Ta lại bình phương hai vế của phương trình ta được phương trình:
16  2 x  6   16  8 x  x 2 � x 2  40 x  112  0

Ta có � 288 � � 12 2 , phương trình có nghiệm x1  20  12 2 ; x2  20  12 2
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x1  20 �12 2
*) Sai lầm trong cách giải là:
- Không tìm điều kiện của (1) là x �3 .
- Khi biến đổi tương đương đến phương trình (2) học sinh chưa đặt điều kiện
x 0
cho 4 �

x 4 để có thể bình phương tiếp.

- Khi kết luận nghiệm là chưa thoả mãn các điều kiện nên nghiệm chưa chính xác.
16


Ví dụ 3. Giải phương trình x 2  1  x  1  x  1 (1)
*) Học sinh giải:
�
�x 2  1 �0
 x  1  x  1 �0
��۳
Điều kiện: �
�
�x  1 �0
�x  1 �0

�x  1 �0

�
�x  1 �0

x 1

Khi đó phương trình (1) có dạng ( x  1)( x  1)  x  1  x  1
Vì x �1 nên x  1  0 chia hai vế cho x  1 ta có x  1  1  x  1
Vì với x �1 thì x  1  x  1 nên x  1  1  x  1 nên phương trình vô nghiệm.
*) Sai lầm khi giải hệ:
�x 2  1 �0
�
�x  1 �0

AB �0

A �0

�
Học sinh tưởng rằng �
��
�
�A �0
�B �0
g:
- Ở lời giải trên thiếu x  1 và đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

2 x 3  3 x  x 2  2 x (6)

+) Học sinh giải: Pt(6) � x(2 x 2  3)  x( x  2) � x 2 x 2  3  x x  2
� x ( 2 x 2  3  x  2)  0

x0
�

�x  0
x0
�� 2
�
��
�� 2
�2x  3 
2
2
x

3

x

2
�
�
2
x

3

x


2

0
�

x2

x0
�
�
�x  0
�x  0
�x �2
�
�
�
�
� ��x �2
� ��x �2
��
�
x 1 � x  0
�
�
�
2
�
��
�� 2

1
��2 x  3  x  2 ��2 x  x  3  0
�
�
�
x
�
�
�
2
�
�
*) Sai lầm trong cách giải là: Phép biến đổi phương trình sau không phải là
phép biến đổi tương đương

x(2 x 2  3)  x( x  2) � x 2 x 2  3  x x  2

17


+) Lời giải đúng: pt(6) � x(2 x 2  3)  x( x  2)

�x  0
�x  0
� 2
x0
�2 x  x  1  0 �
� 2
�
��

�� 1
�2 x  3  x  2 � �
�
�x  
�
��x �2
�
�
x
(
x

2)
�
0
� 2
�
��x �0
�
�
�
�
�

Phần 3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy, tôi đã mạnh dạn đưa nội dung đề tài trên vào dạy
dưới dạng chuyên đề về phương trình vô tỉ đối với học sinh lớp 9 nói chung và
bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, đã đem lại những kết quả rất khả
quan trong quá trình học tập của các em học sinh đó là:
- Không còn thấy sợ, hay e ngại khi gặp bài toán giải phương trình vô tỉ.

- Làm tốt dạng tìm ĐKXĐ của biểu thức có chứa căn bậc hai.
- Kĩ năng biến đổi tốt hơn, suy luận chặt chẽ hơn, bước đầu đã có sự sáng tạo
khi suy luận.
- Biết nhận dạng cũng như biết một số sai lầm thường mắc phải khi giải phương
trình phương trình vô tỉ.
Sau đây, tôi xin đưa ra một số kinh nghiệm cho bản thân cũng như đồng
nghiệp khi giải toán phương trình vô tỉ:
- Cần phân dạng phương trình vô tỉ thành những dạng quen thuộc mà các em đã
được gặp trên cơ sở phương pháp giải mà giáo viên đưa ra.
- Những loại bài tập giao cho học sinh phải thực tế, dễ hiểu, gợi mở giúp kích
thích óc sáng tạo của học sinh không quá cao siêu, trừu tượng.
- Hướng dẫn các em trước khi giải toán phương trình cần xác định rõ dạng của
phương trình này và phương pháp giải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán,
phán đoán cách giải, các bước giải để các em đi đến lời giải thông minh và ngắn
gọn nhất, đạt hiệu quả cao.

18


- Rèn kỹ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh thông qua nhiều dạng
phương trình và thường xuyên chú ý đến những sai lầm của học sinh thường
mắc phải khi giải phương trình vô tỉ, nhất là tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Trên cơ sở làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lượng
bài tập về nhà có nội dung tương tự hoặc mở rộng hơn để các em được tự mình
giải các loại phương trình vô tỉ.
Trước khi bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã thực hiện việc khảo sát môn toán
ở hai lớp 9B, 9C. Kết quả thu được như sau:
Khối

Tổng số

lớp
9B
9C

học sinh
44
43

Giỏi
TS
%
04
9,1
01
2,3

Khá
TS
%
11 25
8 18,6

Trung bình
Yếu
TS
%
TS
%
14 31,8 15 34,1

16 37,2 18
41,9

Sau đó tôi mạnh dạn đưa một số dạng phương trình vô tỉ từ cơ bản đến nâng
cao lồng ghép vào các tiết luyện tập, học thêm buổi chiều thì kết quả khảo sát
lần 2 ở hai lớp 9B, 9C như sau :
Khối

Tổng số

lớp
9B
9C

học sinh
44
43

Giỏi
TS
%
08 18,2
03
6.9

Khá
TS
%
15 34,1
11 25,6

Trung bình
Yếu
TS
%
TS
%
12 27,3
9
20,4
15 34,9 14
32,6

Mặc dù kết quả đạt được chưa cao, song các em phần nào tự tin hơn khi giải
một số bài toán về phương trình vô tỉ mà không còn sợ hay mắc phải sai lầm
nào. Đồng thời các em cũng được trang bị những kiến thức và kỹ năng cơ bản để
học tốt các dạng bài tập này. Đây được xem là nền tảng vững chắc giúp các em
tự tin và hứng thú hơn đối với môn học. Có một nhà hiền triết đã nói: Người
thầy trung bình chỉ biết nói. Người thầy giỏi biết giải thích. Người thầy xuất
chúng biết minh họa. Người thầy vĩ đại biết truyền cảm hứng. Một giáo viên có
thể là nguồn cảm hứng cho bao thế hệ học trò mà họ không hề hay biết. Với
cách giảng dạy - tổ chức chức cho học sinh tư duy, giáo viên đóng vai trò quan
19


trọng trong việc tạo ra cảm hứng cho học sinh. Và trên thực tế, đã có rất nhiều
học trò thành công xuất phát từ cảm hứng của họ nhận được từ cảm hứng của
giáo viên thắp sáng tâm hồn.

III. KẾT LUẬN

1. Kết luận
Với mong muốn có được một tài liệu giúp học sinh dễ dàng hơn trong học toán
giải phương trình vô tỉ. Sau một thời gian tự nghiên cứu cùng với việc tìm đọc
tài liệu tham khảo, sưu tầm các bài tập và kết hợp với thực tế giảng dạy tôi viết
sáng kiến kinh nghiệm “ Phương pháp giải phương trình vô tỉ và một số sai
lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ ’’. Đề tài này được xây dựng với
các mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, giúp học sinh có thể vận
dụng một cách linh hoạt từng phương pháp cụ thể trong từng trường hợp nhất
định. Qua đó học sinh có thể đào sâu kiến thức, tìm tòi nhiều cách giải cho một
bài toán, giúp học sinh có thể rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo làm quen với các dạng
bài tập khác nhau, các loại phương trình vô tỉ khác nhau, góp phần nhỏ bé trong
sự phát triển trí tuệ, tính cẩn thận, khoa học, năng lực nhận xét, phân tích, phán
đoán tổng hợp kiến thức.
Để khuyến học sinh học tốt được nội dung này, mỗi giáo viên cần :
+ Tạo sự hứng thú, say mê và yêu thích môn học.
+ Động viên, khuyến khích học sinh mạnh dạn tìm tòi, sáng tạo. Luôn có lời
khen ngợi khi học sinh tiến bộ và làm đúng. Hạn chế những câu chê bai.
+ Đưa ra những yêu cầu, hướng dẫn rõ ràng, gợi ý đầy đủ phù hợp với từng
đối tượng học sinh.
2. Kiến nghị
2.1. Với nhà trường:
- Tổ chức thêm các cuộc thi giao lưu toán học giữa các khối lớp.
20


2.2.Với phòng GD – ĐT thành phố :
- Tổ chức các lớp bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, trao đổi
kinh nghiêm giảng dạy ở một số chuyên đề hay và khó.
Do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn hạn chế nên trong quá trình viết khó tránh
khỏi sai sót trong cách trình bày, cũng như hệ thống các dạng bài tập đưa ra còn hạn

chế, chưa đầy đủ, chưa khoa học. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy
cô và bạn bè đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn; góp phần
nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh.

21


ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
, ngày

tháng

năm 2020

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

22

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP THÀNH PHỐ
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...............................................................................................................................
, ngày

tháng

năm 2020

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

23


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đại số 9-NXB Giáo dục

2. Bài tập Đại số 9-NXB Giáo dục
3. Một số vấn đề phát triển đại số 9-NXB Giáo dục
4. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Đại số-NXB Giáo dục
5. Toán bồi dưỡng học sinh giỏi THCS-NXB Đại học sư phạm Hà Nội
6. 12 chuyên đề về đại số sơ cấp-NXB Giáo dục
7. Nâng cao và phát triển Toán 9-NXB Giáo dục
8.Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo
khi giải toán, NXB Hà Nội.

24


MỤC LỤC

Các phần chính
Trang bìa
Mục Lục
Danh mục chữ viết tắt
I. Đặt vấn đề
II. Giải quyết vấn đề
Phần 1: Thực trạng của vấn đề
Phần 2: Các biện pháp để giải quyết vấn đề
Phần 3: Hiệu quả của SKKN
III. Kết luận
Tài liệu tham khảo

25

Ghi chú

Trang 1
Trang 2 đến trang 20
Trang 2 đến trang 3
Trang 4 đến trang 17
Trang 18 đến trang 19
Trang 20