CHƯƠNG IX can bang may

Nguyên lý máy

Cân bằng máy
CHƯƠNG IX: CÂN BẰNG MÁY

9.1. Mục đích nội dung của cân bằng máy
9.1.1. Mục đích cân bằng máy
Khi cơ cấu và máy làm việc, luôn xuất hiện lực quán tính. Lực quán tính thay đổi
tùy theo chu kỳ làm việc của máy và phụ thuộc vào vị trí của cơ cấu, do đó áp lực trên
các khớp phụ thuộc vào lực quán tính và thay đổi có chu kỳ. Áp lực này gọi là phản lực
động phụ (phân biệt với áp lực không đổi do tải trọng tĩnh gây nên). Vì biến thiên có chu
kỳ nên lực quán tính là nguyên nhân chủ yếu gây ra hiện tượng rung động trên máy và
nền móng. Điều này dẫn đến làm giảm độ chính xác của máy gây ảnh hưởng đến các máy
xung quanh, nếu cộng hưởng có thể phá hủy máy.
Phải khử lực quán tính, loại trừ nguồn gốc gây nên rung động. Đó là mục đích của
việc cân bằng máy.
9.1.2. Nội dung cân bằng máy
Cân bằng máy là một việc rất phức tạp, ở đây chỉ khảo sát hai vấn đề cơ bản
- Cân bằng vật quay: phân phối lại khối lượng vật quay để khử lực quán tính ly
tâm và mômen quán tính các vật quay
- Cân bằng cơ cấu: phân phối lại khối lượng các khâu trong cơ cấu để khi làm
việc, tổng các lực quán tính trên toàn bộ cơ cấu triệt tiêu và không tạo nên áp
lực khớp động trên nền
9.2. Cân bằng vật quay
9.2.1. Các trạng thái mất cân bằng của vật quay
Có 3 trạng thái mất cân bằng của vật quay
- Mất cân bằng tĩnh
- Mất cân bằng động thuần túy
- Mất cân bằng động hỗn hợp (mất cân bằng động)
a. Mất cân bằng tĩnh

Xét một đĩa tròn khối lượng M có trục đi qua trọng tâm đĩa và vuông góc với mặt
đĩa. Khi cho đĩa quay quanh trục, các phần tử trên đĩa gây ra những lực quán tính hoàn
toàn cân bằng nhau, không có lực tác dụng lên trục ngoại trừ trọng lượng bản thân đĩa. Ta
nói, đĩa được cân bằng tĩnh.
Gắn vào đĩa một khối lượng m tại bán kính r, trọng tâm của đĩa lệch một đoạn
m
R=
r≠0
M +m
Khi đĩa quay với vận tốc góc ω , sinh ra lực quán tính ly tâm
Pqt = mrω 2 = ( M + m) Rω 2 ≠ 0
Ta nói, đĩa mất cân bằng tĩnh.

Học viện KTQS

1

Trần Ngọc Châu


Nguyên lý máy

Cân bằng máy

b. Mất cân bằng động thuần túy
Ở những vật quay có chiều dày lớn, ngay cả khi trọng tâm của vật nằm trên trục
quay, vẫn có thể còn lực quán tính không cân bằng.

Xét vật đã cân bằng tĩnh. Gắn 2 khối lượng m1, m2 nằm ở 2 bên trục quay và có



bán kính tương ứng là r1, r2 thỏa điều kiện m1r1 = − m2 r2 . Trọng tâm của đĩa không đổi vì



m r + m2 r
rG = 1 1
=0
m1 + m2 + M
Khi vật quay với vận tốc góc ω , sinh ra các lực quán tính ly tâm


 Pqt1 = m1r1ω 2
 1
 2
 Pqt = m2 r2ω
Hai lực này có giá trị bằng nhau nhưng ngược chiều nhau và tạo nên một ngẫu
M qt = Pqt1 a = Pqt2 a ≠ 0
Ngẫu lực (mômen) này gây nên phản lực động phụ trên trục. Do vậy vật chỉ cân
bằng ở trạng thái tĩnh mà không cân bằng ở trạng thái động. Ta nói, vật mất cân bằng
động thuần túy.
c. Mất cân bằng động hỗn hợp (mất cân bằng động)
Là trạng thái, trên thực tế, vật quay tồn tại cả lực quán tính và mômen quán tính


Pqt ≠ 0, M qt ≠ 0
9.2.2. Cân bằng vật quay có chiều dày nhỏ
a. Nguyên tắc cân bằng
Vật được gọi là có chiều dày nhỏ khi kích thước chiều trục tương đối nhỏ so với
kích thước hướng kính sao cho có thể giả thiết khối lượng của vật quay được phân bố chỉ

trên một mặt phẳng vuông góc với trục quay
Các chi tiết như bánh răng, pu-ly, …được xem là thuộc loại này
Nguyên tắc cân bằng:
Vật có chiều dày nhỏ mất cân bằng do trọng tâm của chúng không trùng với trục
quay. Khi làm việc, phát sinh lực quán tính ly tâm tác dụng lên trục làm vật mất cân bằng.
Do đó, thực chất của việc cân bằng là phân bố lại khối lượng sao cho trọng tâm của vật
về trùng với tâm quay để khử lực quán tính phát sinh ra khi làm việc
Chứng minh:

Học viện KTQS

2

Trần Ngọc Châu


Nguyên lý máy

Cân bằng máy

Xét vật quay gồm các khối lượng mi (i = 1, 2, …) có trọng tâm nằm ở các nút véctơ bán kính ri. Khi vật quay với vận tốc góc ω , các khối lượng này sẽ gây ra những lực


quán tính ly tâm Pi = mi riω 2

Trọng tâm của vật quay

 ∑ mi ri
rG =
≠0

∑ mi
Để cân bằng cần thêm vào một khối lượng m tại bán kính r sao cho lực quán tính


ly tâm do nó gây ra, P = mr ω 2 , cân bằng với lực quán tính ly tâm do các khối lượng mi
gây nên




P + ∑ Pi = mr ω 2 + ∑ mi riω 2 = 0


mr + ∑ mi ri = 0
Hay
Phương trình này hoàn toàn giải được bằng đa giác lực như đã biết. Vậy ta xác
định được vị trí và lượng cân bằng cần thêm vào mr .
Khi phương trình trên được thỏa mãn, trọng tâm chung của các khối lượng mi và
khối lượng m thêm vào sẽ về trùng với tâm quay


 mr + ∑ mi ri
rG =
=0
m + ∑ mi


Tổng ∑ mi ri (bằng mr nhưng ngược chiều) gọi là lượng mất cân bằng của vật
quay. Khối lượng m thêm vào gọi là đối trọng. Có thể thay thế việc thêm đối trọng m ở A
bằng cách lấy đi một khối lượng m ở vị trí B, xuyên tâm đối của A. Có thể dùng nhiều đối

trọng thay cho một đối trọng, ví dụ có thể dùng nhiều khối lượng m'i đặt tại các nút véc


tơ bán kính r 'i sao cho mr = ∑ m'i r 'i .
Trường hợp vật có chiều dày nhỏ (cân bằng tĩnh), ta chỉ cần ít nhất một đối trọng
và chỉ cần tiến hành cân bằng trên một mặt phẳng duy nhất.
b. Thí nghiệm cân bằng tĩnh
*Phương pháp dò trực tiếp
- Ưu điểm: thiết bị đơn giản, rẻ tiền, dễ thực hiện
- Khuyết điểm: dò mất thời gian, thiếu chính xác
do tồn tại ma sát giữa trục và dao cân bằng

Học viện KTQS

3

Trần Ngọc Châu


Nguyên lý máy

Cân bằng máy

* Phương pháp hiệu số mômen

- Chia vật quay làm nhiều phần bằng nhau và đánh số điểm chia
- Đặt vật lên dao cân bằng và quay tiết máy theo 1 chiều nào đó, sao cho tất cả các
vị trí đánh số đều được đưa về vị trí nằm ngang
- Ứng với vị trí i, ta đặt một đối trọng mi tại mút véc-tơ bán kính r sao cho vật bắt
đầu lăn trên dao (để bắt đầu thắng mômen ma sát và lượng mất cân bằng). Khối lượng mi

được ghi lại và lập thành đồ thị

Từ đồ thị ta xác định được giá trị và vị trí các khối lượng mmax và mmin . Từ hình
vẽ, ta có
M ms + MgrG − mmax gr = 0

M ms − MgrG − mmin gr = 0
Suy ra lượng mất cân bằng
r
MrG = (mmax − mmin )
2
Trong đó, M: khối lượng vật quay; rG: bán kính trọng tâm.
9.2.3. Cân bằng vật quay có chiều dày lớn
a. Nguyên tắc cân bằng
Vật được gọi là có chiều dày lớn khi kích thước chiều dày trục tương đối lớn so
với kích thước hướng kính mà khối lượng không thể phân bố trên một mặt phẳng vuông
góc với trục quay.
Các trục khuỷu động cơ, … được xem là thuộc loại này
Nguyên tắc cân bằng:
Vật quay hoàn toàn được cân bằng khi phân phối lại khối lượng trên hai mặt
phẳng tùy ý vuông góc với trục quay
Chứng minh: (phương pháp chia lực)
Học viện KTQS

4

Trần Ngọc Châu


Nguyên lý máy

Cân bằng máy

Giả sử vật quay gồm nhiều mặt phẳng (i), i = 1, 2, …, có các trọng tâm mi nằm
trên mặt phẳng vuông góc với trục quay và được đặt ở đầu các véc-tơ bán kính ri. Khi


trục quay với vận tốc ω sẽ sinh ra các lực quán tính Pi = mi riω 2 .

 

 Pi = Pi ( I ) + Pi ( II )
 (I ) (I )
 Pi ai = Pi ( II ) ai( II )


Chọn hai mặt phẳng (I) và (II) làm hai mặt phẳng xử lý cân bằng. Chia lực Pi
thành hai thành phần đặt trên hai mặt phẳng (I) và (II). Bài toán đưa về xử lý lượng mất
cân bằng trên từng mặt phẳng (I) và (II).
b. Sơ lược về máy cân bằng động (tham khảo ảnh, tài liệu)

Học viện KTQS

5

Trần Ngọc Châu


Nguyên lý máy

Cân bằng máy

9.2.4. Tự cân bằng
Trong thực tế ta gặp những loại máy có khối lượng vật quay thay đổi liên tục như
máy giặt, máy ly tâm, … làm cho giá trị và vị trí mất cân bằng của vật quay thay đổi liên
tục. Để cân bằng vật quay trong trường hợp này, người ta gắn vào trục của vật quay một
bộ phận trong đó những con lăn làm nhiệm vụ đối trọng cân bằng. Biện pháp như vậy gọi
là tự cân bằng.
Nguyên tắc của phương pháp:
Khi vật quay đạt tốc độ rất lớn ( ω → ∞ ), trọng tâm của vật trùng với tâm quay
+ Gọi
m: khối lượng vật quay
y: độ võng của trục quay
e: khoảng lệch tâm giữa trục quay và khối tâm
k: độ cứng chống uốn của trục quay
k
ωr : tần số riêng của vật quay, ωr2 =
m
+ Khi vật quay với vận tốc góc ω sẽ gây nên lực quán tính

 
P = mω 2 (e + y )
 
+ Lực hồi phục R = ky
 
+ Theo định luật Niu-tơn
P+R=0
 

mω 2 (e + y ) − ky = 0

Hay




mω 2 e
e
e
y=
=
= 2
⇒
k
ωr
k − mω 2
−
1
−1
2
mω
ω2


 
ω
+ Khi ω → ∞ ⇒ r → 0 , y = −e hay y + e = 0 , tâm quay trùng với trọng tâm.
ω
ω2
Trên thực tế, khi ω ≥ 2ω r , ta có thể xem r2 → 0
ω

Dựa vào nguyên tắc trên, thực hiện tự cân bằng theo sơ đồ nguyên lý sau (???)

Học viện KTQS

6

Trần Ngọc Châu


Nguyên lý máy

Cân bằng máy

9.3. Cân bằng cơ cấu (cân bằng máy trên móng)
9.3.1. Phương pháp khối tâm
a. Nguyên tắc cân bằng
- Chỉ xét cơ cấu phẳng
- Cơ cấu là một hệ chất điểm có khối tâm luôn di động trong quá trình chuyển
động của cơ cấu. Nếu thu gọn các lực quán tính của toàn bộ cơ cấu về khối tâm của nó, ta
được một véctơ chính P và một mômen chính M. Cơ cấu hoàn toàn cân bằng khi P = 0 và
M = 0. Tuy nhiên, cân bằng M rất phức tạp, ta chỉ xét cân bằng lực quán tính chính P.




P = − maS
P = 0 ⇔ aS = 0 ,
Với m: khối lượng cơ cấu; aS: gia tốc khối tâm cơ cấu.
Như vây, nguyên tắc cân bằng: Cân bằng cơ cấu bằng cách bố trí khối lượng các
khâu sao cho khối tâm luôn luôn cố định

b. Ví dụ
* Cân bằng cơ cấu tay quay – con trượt

  
Khối lượng các khâu m1, m2, m3. Trọng tâm S1, S2, S3 đặt tại r1 , r2 , r3 .
 
   
  
r1 = s1 ,
r3 = l1 + l2 + s3
r2 = l1 + s2 ,
Khối tâm cơ cấu








 m1r1 + m2 r2 + m3 r3 m1s1 + (m2 + m3 )l1 m2 s2 + m3l2
m3 s3
rS =
=
+
+
m1 + m2 + m3
m1 + m2 + m3
m1 + m2 + m3 m1 + m2 + m3



m1s1 + (m2 + m3 )l1 = 0

⇒

Để khối tâm cố định, rS = const
(???)



m2 s2 + m3l2 = 0


m + m3 
m 
s1 = − 2
l1 ,
s2 = − 3 l2
⇒
m1
m2
* Cơ cấu bốn khâu bản lề
Khối lượng các khâu m1, m2, m3.
  
Trọng tâm S1, S2, S3 đặt tại r1 , r2 , r3 .
 
  
r1 = s1 ,
r2 = l1 + s2 ,
   

r3 = l1 + l2 + s3

Học viện KTQS

7

Trần Ngọc Châu


Nguyên lý máy

Cân bằng máy

Khối tâm cơ cấu








 m1r1 + m2 r2 + m3 r3 m1s1 + (m2 + m3 )l1 m2 s2 + m3l2
m3 s3
rS =
=
+
+
m1 + m2 + m3
m1 + m2 + m3

m1 + m2 + m3 m1 + m2 + m3



h3
=
+
+
h1
h2

Để khối tâm cố định, rS = const . Điều này có thể thực hiện được nếu đa giác
  

véctơ tạo bởi h1 , h2 , h3 , và rS có phương song song các khâu và suất tỉ lệ theo


rS h1 h2 h3
m (l − s ) 
m (l − s ) 
= =
= =k ⇒
m1s1 = − 2 2 2 l1 ,
m2 s 2 = − 3 3 3 l 2
l0 l1 l2 l3
l2
l3
Bài toán có vô số lời giải (Tham khảo thêm SGK, tài liệu tham khảo ???)
9.3.2. Phương pháp cân bằng từng phần
Xét cân bằng cơ cấu tay quay – con trượt

Ta phân phối khối lượng khâu 2 tập trung tại hai điểm B và C. Gọi các khối lượng
tập trung đó là mB và mC: khối lượng quay và khối lượng tịnh tiến. Ta có
l −s

m B = m2 2 2

l2
mB + mC = m2

⇒


mB s2 = mC (l2 − s2 )
m = m s 2
2
 C
l2
Tùy theo yêu cầu, có thể cân bằng thành phần quay hay thành phần tịnh tiến.
a. Cân bằng thành phần quay

Bài toán trở về bài toán cân bằng vật quay đã xét
l −s

sl 
mn sn = m1s1 + mB l1 = m1s1 + m2 2 2 l1 ⇒ mn sn = m1s1 + m2  l1 − 2 1 
l2
l2 


Học viện KTQS

8

Trần Ngọc Châu


Nguyên lý máy

Cân bằng máy

b. Cân bằng thành phần tịnh tiến

Lực quán tính sinh ra



Pqt = −(mC + m3 ) aC = −mt aC


l
aC = −l1ω12  cos ϕ1 + 1 cos 2ϕ1 
l2


Như vậy lực quán tính gồm 2 thành phần theo góc ϕ1



Pqt = Pqt1 + Pqt2 ,

Với

Với

Pqt1 = mt ω12l1 cos ϕ1 ,

Pqt2 = mt ω12

l12
cos 2ϕ1
l2

Đối trọng cân bằng thỏa mãn điều kiện
2mI ω12 rI cos ϕ1 = mt ω12l1 cos ϕ1

2

2
2 l1
2
m
(
2
ω
)
r
cos
2
ϕ
=

m
ω
cos 2ϕ1
II
1
II
1
t
1

l2

Suy ra
mt l1
l1

m
r
=
=
(
m
+
m
)
I
I
C
3


2
2

2
2
mII rII = mt l1 = (mC + m3 ) l1

8l2
8l2

Học viện KTQS

9

Trần Ngọc Châu