Đề thi học sinh gioi Toán cấp Huyện

Đề 1
Câu 1 : ( 5 điểm )
a) Rút gọn biểu thức A =
( )








−
−
−
−
−
+
+
yx
yyxx
yx
yx
yyxx
yx
.
2
b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là : a , b, c thoả mãn
4.( a
2
+ b

2
+ c
2
–ab - bc- ca) =(a-b)
2
+ (b-c)
2
+ ( c-a)
2

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều
Câu 2 : ( 5 điểm )
a) Tìm nghiệm nguyên của phương tình sau :
xy –y -3x = 2
b) Giải phương trình :

xx 21
++
+
xx 69
−+
= 4
Câu 3 : ( 4 điểm )
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =
( ) ( )
22
20112010
−+−
xx
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Q = -x

2
- y
2
+ xy -3x + 3y + 2008
Câu 4 : ( 4 điểm ) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a . Hai đưòng chéo AC
và BD cắt nhau tại O . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của OB và CD
a) Tính góc AMN
b) Gọi P là trung điểm của AN . Tính độ dài đoạn thẳng MP theo a
Câu 5.(2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn
cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông.
a) Chứng minh rằng S
ABCD

AC
4
≤
(MN + NP + PQ + QM).
b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
....................................................................Hết ...............................................................
PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
NĂM HỌC: 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi:
LỜI GIẢI ĐỀ 1
PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN
HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
NĂM HỌC: 2010 – 2011

Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi:
b) Giải phương trình :

2
1 2x x+ +
+
2
9 6x x+ −
= 4
⇔

( )
2
1x +
+
2
( 3)x −
= 4
0,5

⇔
| x+1| + | x-3| = 4 0,5
Nếu -1
≤
x <3
Ta có phương trình: x + 1 +3 –x = 4
Phương trình có nghiệm đúng với mọi -1
≤
x <3

0,5
Nếu x< -1 ta có phương trình: 1 – x + 3-x = 4
- 2x = 0 x = o không thỏa mãn
0,5
Nếu 3
≤
x ta có phương trình: x + 1 + x – 3 = 4
2x = 6 x = 3
0,5
Câu
3
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =
( ) ( )
22
20112010
−+−
xx
0,5
⇔
P = | x-2010| + | x – 2011| 0,5

⇔
P = | x-2010| + | 2011-x|
≥
| x-2010 +2011-x | =1
Khi 2010
≤
x
≤
2011

1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Q = -x
2
- y
2
+ xy -3x + 3y
+ 2008
⇔
2Q = -(2x
2
+ 2 y
2
- 2xy+ 6x - 6y – 4016) 0,5
⇔
2Q = -
[ ]
4022)12()12()442(
22222
−+−++++++−++
yyxxyxxyzyx
0,5
⇔
2Q = -
[ ]
4022)1()1()2(
222
−−++++−
yxyx
0,25
⇔

2Q =
4022
-
[ ]
222
)1()1()2(
−++++−
yxyx

≤
4022
0,25
⇔
Q =
2011
-
2
1

[ ]
222
)1()1()2(
−++++−
yxyx

≤
2011
Max Q = 2011 khi x = -1 ; y = 1
0,5
Câu

4
Câu 4 :
O
A
D
C
B
I
M
N
P
0,25đ
Gọi I là trung điểm của BC
Ta có M là trung điểm cảu OB
⇒
MI là đường tung bình của ttam giác
OBC
⇒
MI //OC và MI =
2
1
OC (1) 0,25 đ
Hoàn toàn tương tự NI là đường trung bình của tam giác BCD
⇒
NI //BD (1) và NI =
2
1
BD (2) 0,25 đ
A B
D C

M
N
P
Q
I
J
K