Bất đẳng thức Bunhiacopxki.doc

/>Chuyên đề: Bất đẳng thức.
Chứng minh bất đẳng thức bằng cách áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki
Bài toán 1: Cho
4
3
,,

cba
và a+b +c=3.
Chứng minh rằng:
73343434
+++++
cba
Bài toán 2: Cho 4 số thực u, v, x, y thoả mãn
.1
2222
=+=+
vuyx
CMR:
2)()(2
++
yxvyxu
Bài toán 3: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi.Chứng minh
rằng:
pcpbpapp 3
++
.
Bài toán 4: Có tồn tại hay không ba số a, b, c thoả mãn bất đẳng thức
)1(111
+++
abccba

Bài toán 5: Cho a, b, c, d >0. CMR:
2

+
+
+
+
+
+
+
ba
d
da
c
dc
b
cb
a
Bài toán 6: Cho
0zyx

. CMR:
2222
222
)( zyx
y
xz
x
zy
z

yx
++++
Bài toán 7: Cho a, b, c, d >0. CMR:
3
8

++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
+
cba
ad
bad
dc
adc
cb
dcb
ba
Bài toán 8: Cho
.1
222
=++
zyx

CMR:
.1432
++
zyx
Bài toán 9: Cho
.1
2222
=+++
dcba
CMR:
Rxxdcxxbaxx
++++++
222222
)12()()(
Bài toán 10: Cho a+b+c+d=4. CMR:
4
2222
+++
dcba
Bài toán 11: Cho
1
2222
=+=+
yxba
. CMR: a)
1
+
byax
; b)
2)()(

++
yxbyxa
Bài toán 12: Cho
.1..
21
=+++
n
xxx
CMR:
n
xxx
n
1
..
22
2
2
1
+++
Bài toán 13: Cho
dcba

0
và a+b+c+d=1. CMR:
1753
2222
+++
dcba
Bài toán 14: Cho xy+yz+zx=1. CMR:
3

1
444
++
zyx
Bài toán 15: Cho
1,,

cba
và a+b+c=1. CMR:
32111
+++++
cba
Bài toán 16: Cho a, b, c>0. CMR:
2333
)(
111
)( cba
cba
cba ++






++++
Bài toán 17: Cho a, b, c>0 và abc=1. CMR:
2
)()(
111

cbacba
cba
++++






++
Bài toán 18: Cho a, b, c
R

. CMR:
2
23
)1()1()1(
222222
+++++
accbba
Bài toán 19: Cho a>c>0; b>c>0 . CMR:
abcbcacbca 2))(())((
+++
Bài toán 20: Cho 6x+y=5. CMR:
59
22
+
yx
Bài toán 21: Cho
.14

22
=+
ba
CMR:
.10)6(
2
+
ba
Chuyên đề: Bất đẳng thức cô-si - áp dụng (Tiếp theo)
* Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong bài toán cực trị.
+Dạng 2.1: Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong bài toán cực trị mà các biến không có
điều kiện ràng buộc.
/>Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
1
2
x
xy
+=
với x>0.
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
1. xxy
=
Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x
x
y
1

=
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
xyz
zxyyzxxyz
A
321
++
=
Bài toán 5: Cho n số dơng tuỳ ý
n
xxx ,....,
21
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức








+

+








+=
13
2
2
1
1...11
nx
x
nx
x
nx
x
T
n
Bài toán 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số
)...(
...
321
22
2
2

1
n
n
xxxx
xxx
+++
+++
+ Dạng 2.2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong bài toán cực trị mà các biến có điều
kiện ràng buộc.
Bài toán 7: Cho a, b là các số dơng thoả mãn điều kiện a.b=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ba
babaA
+
++++=
4
))(1(
22
Bài toán 8: Cho ba số thực không âm a, b, c thoả mãn điều kiện
3
200520052005
=++
zyx
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
222
zyxF
++=
Bài toán 9: Cho x, y, z là các số dơng và x+y+z=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

+








+






+=
zyx
A
1
1
1
1
1
1

Bài toán 10: Giả sử x, y, z là những số dơng thay đổi thoả mãn điều kiện x+y+z=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
111
+
+
+
+
+
=
z
z
y
y
x
x
P
Bài toán 11: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện
2
+++
zyxxyz
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y+z
Bài toán 12: Cho các số không âm a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
333
cbaM
++=
Bài toán 13: Cho
3

a

. Tìm giá trị nhỏ nhấ của biểu thức

a
aS
1
+=
* Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong giải phơng trình
Bài toán 14: Giải phơng trình
141232532
2
+=+
xxxx
Bài toán 15: Giải phơng trình
211
22
=++
xxxx
/>Bµi to¸n 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh
1612251172
223
−+=−+−
xxxxx
Bµi to¸n 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh
1623352
223
−+=−++
xxxxx
Bµi to¸n 18: Gi¶i ph¬ng tr×nh
6111111
4

4
4
4
3
3
3
322
=−+++−+++−++
xxxxxx