Gián án Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Lê Duy Thiện - Trường THPT Lang Chánh
PHẦN I
ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở trường THPT đặc biệt trong các
kỳ thi học sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay
và lý thú chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học
sinh giỏi các cấp đặc biệt là cấp THPT.
Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ
bản để giải các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời
giải được đơn giản hơn, thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức
Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất
đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qua nhiều
mặt, kích thích phát triển tư duy, sáng tạo của học sinh. Với ý nghĩ như vậy tôi
giới thiệu việc sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải một số bài toán cực
trị đại số và hình học.
- Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THPT, đặc biệt là trong các
kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đứng trước một bài toán có rất nhiều phương
pháp giải khác nhau song một trong những phương pháp giải tương đối có hiệu
quả là việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải. Học sinh được tiếp xúc rất
nhiều về các phương pháp giải các bất đẳng thức và sử dụng các bất đẳng thức
để giải các loại toán khác như: Chứng minh các bất đẳng thức đại số và hình học
hoặc giải một số bài toán cực trị đại số và hình học.
II. PHẠM VI ĐỀ TÀI
Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng rất phong
phú song trong khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển
hình và sắp xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp.
III. ĐỐI TƯỢNG
Đề tài này được áp dụng cho học sinh khá giỏi THPT.
IV. MỤC ĐÍCH
Nhằm mục đích nâng cao, mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi

dưỡng học sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bất đẳng thức đặc biệt là
bất đẳng thức Bunhiacopxki. Qua đó giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các
phương pháp về bất đẳng thức và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Lê Duy Thiện - Trường THPT Lang Chánh
PHẦN II
NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC.
- Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán là môn học
quan trọng. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực
trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư
duy.
- Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học
sinh sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý
thú chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi
các cấp, đặc biệt là cấp THPT và kỳ thi vào ĐH, CĐ và THCN.
- Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc
tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc không dễ
thông qua đó mà thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là
một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này
vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích
tính sáng tạo của học sinh.
2. ĐỐI TƯỢNG PHỤC VỤ
Đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi
cấp THPT.
3. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPSKI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ
Sử dụng kết quả:

a. Nếu
Cxaxaxa
nn
=+++
..........
2211
, C là hằng số thì
22
2
2
1
2
22
2
2
1
..........
)............(
n
n
aaa
C
xxxMin
+++
=+++
Dấu “=” xẩy ra khi
n
n
x
a

x
a
x
a
=== ...........
2
2
1
1
b. Nếu
ConstCxxx
n
−=+++
222
2
2
1
............
thì
2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Lê Duy Thiện - Trường THPT Lang Chánh
22
2
2
12211
...........||)..........(
nnn
aaaCxaxaxaMax +++=+++

Dấu “=”xẩy ra khi

0...........
2
2
1
1
≤===
n
n
x
a
x
a
x
a
Ví dụ 1:
Cho
1
22
=+ yx
. Tìm
)11.( xyyxMax
+++

Lời giải:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
[ ]
.222))(11(
2)1()1()(11.
2222
2222

+≤+++≤
++=++++≤+++=
yx
yxxyyxxyyxA
2
2
22 ==⇔+=⇒ yxMaxA
Ví dụ 2:
Cho
91636
22
=+ yx
. Tìm Max, Min của A = y - 2x + 5
Lời giải:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( )
22222
)2()
4
1
()
3
1
(1636 xyyx −≥







+−+
4
5
2
4
5
)2(
16
25
2
≤−≤−⇔−≥⇒ xyxy
4
25
52
4
15
≤+−≤⇔ xy
)
20
9
,
5
2
(
4
25
)52( =−=⇔=+− yxxyMax
)
20
9

,
5
2
(
4
15
)52( ==⇔=+− yxxyMin
Ví dụ 3:
Cho x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 . Tìm MinA biết A = x
4
+ y
4
+ z
4

Lời giải:
Từ giả thiết 4
2
=(xy+yz+zx)
2

≤
(x
2
+y
2
+z
2
)(y
2

+z
2
+x
2
)
Suy ra: (x
2
+y
2
+z
2
)
2

≥
4
2
16))(111(
444222
≥++++⇒ zyx
3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Lê Duy Thiện - Trường THPT Lang Chánh
3
16
444
≥++ zyx
3
2
3
16

±===⇔= zyxMinA
Ví dụ 4:
Cho x, y, z thỏa mãn x, y, z
1−≥
và x + y + z = 1. Tìm MaxA biết
zyxA +++++= 111
Lời giải:
Theo Bunhiacopski ta có
324.3)111)(111(111
222
==+++++++≤+++++= zyxzyxA
3
1
32 ===⇔=⇒ zyxMaxA
Ví dụ 5:
Cho





≥+
=+
=+
20
25
16
22
22
yvxu

vu
yx
. Tìm Max (x+v)
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2025.20))((20
2222
==++≤+≤ vuyxyvxu
yuxv
v
y
u
x
yvxu =⇔+⇔=+⇒ 20
Mặt khác
2222222222222
)(22)()()()(41 vxxvvxyuvxuyvxvuyx +=++=++≥+++=+++=
41=+⇒ vx







=+
=
=+
=+
⇔=+

20
25
16
41)(
22
22
yvxu
yu
vu
yx
vxMax

41
2020
20)( =
+
=⇒=+⇔
vx
uvxy
41
20
=y
,
41
16
=x
,
41
25
=z

4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Lê Duy Thiện - Trường THPT Lang Chánh
Một số bài tập áp dụng
1. Cho 2 số x, y thỏa mãn 2x + 5y = 7
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a/ A=x
2
+y
2

b/ B=2x
2
+5y
2

2. Cho x, y, z
≥
0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của các
biểu thức
a/ A=x
2
+y
2
+z
2
b/ B=x
4
+y
4
+z

4
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
mxyzzxyzxyzyxf −++=),,(
. Trong đó x
≥
0,
y
≥
0, z
≥
0, x+y+z=1.
4. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) = 2
yx +
. Trong đó x
≥
0, y
≥
0,
1
33
≤+ yx
4. KẾT QỦA
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy đội tuyển học
sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh năm 2006. Trong quá trình học đề tài này, học sinh
thực sự thấy tự tin khi gặp các bài toán về bất đẳng thức, tạo cho học sinh niềm
đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh
hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.
5. GIẢI PHÁP MỚI
- Bài toán nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều
cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm

cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi
mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Do đó học sinh
cần có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.
II. THỰC TIỄN GIẢNG DẠY
1. QUÁ TRÌNH ÁP DỤNG
- Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã
hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài
tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải.
5