Các đề luyện HSG 6,7,8,9.doc

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
đề số 1
Câu 1: (lớp 8) Giải phơng trình:
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
.
111
2
+=






+

+






++






+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Câu 2: (lớp 9)Giải phơng trình:
1
20052003
1
...

53
1
31
1
=
+++
++
+++
+
+++
xxxxxx
Câu 3: (lớp 8)Đoạn AB và CD không song song và không cắt nhau. Điểm P
nằm trên đoạn AB, còn điểm Q nằm trên đoạn CD. Điểm K, L, M và N là
trung điểm các đoạn AQ, BQ, CP và DP tơng ứng. Chứng minh rằng, đoạn KL,
MN và PQ cắt nhau tại một điểm.
Câu 4: (lớp 8)Trong tứ giác lồi ABCD góc BAC và ADC bằng nhau. CKlà
phân giác của tam giác ACD. Chứng minh rằng, nếu KD = AB thì đờng thẳng
AC đi qua trung điểm của KB.
Câu 5: (lớp 7) Tồn tại hay không hai số, sao cho tổng của chúng bằng tích và
bằng thơng của hai số.

Câu 6: (lớp 7) Cho các điểm A, B, C và D sao cho đoạn AC và BD cắt nhau tại
E, AE=DC, AD=BE, góc ADC bằng góc DEC. Biết AE=1, tính đoạn EC.
Câu 7: (lớp 9) Tồn tại hay không hai số tự nhiên có tổng bằng 2005 và tích
bằng 2005 ?
Câu 8: (lớp 8)Trên đờng chéo AC và BD của tứ giác lồiABCD lấy các điểm M
và N tơng ứng sao cho MB//AD và NA//BC. Chứng minh rằng, NM//CD.
Câu 9: (lớp 9)Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn. 0 là giao điểm hai đờng chéo
của nó, E là trung điểm cung BC. Chứng minh rằng, nếu AO=AB thì EO
vuông gócvới AD.

Câu 10: (lớp 8) Hai hình vuông có cạnh là 20 cm có chung tâm. Chứng minh
rằng diện tích chung của nó không nhỏ hơn 314.
1
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
đề số 2
Câu 1: (lớp 6) Cho 5 số, tổng của 4 số bất kỳ trong 5 số là chẵn, chứng minh
rằng tấ cả các số đó đều chẵn.
Câu 2: (lớp 8) Tìm tất cả các số tự nhiên thoả mãn:
10
102
+
+
=
b
a
b
a
Câu 3: (lớp 6) Số nào lớn hơn :
700
2
hay
300
5
Câu 4: (lớp 8) Chứng minh rằng bất kỳ số tự nhiên n nào số
( ) ( ) ( )
363.26
2312
+
+++

nnn
chia hết cho 900.
Câu 5: (lớp 8) Với giá trị nào của a và b thì
20444161782
22
++=
bababap
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó.
Câu 6: (lớp 8) Tìm tất cả các số nguyên tố x, y, z sao cho 19x- yz = 1995
Câu 7 : (lớp 8) Giả sử
3
2
=

m
mn
, tính giá trị biểu thức
2
2
4m
mnn

.
Câu 8: (lớp 8) Chứng minh rằng, số
4848
79
++

nn
chia hết cho 20 với tất cả só

tự nhiên n.
Câu 9 : (lớp 8) Giải phơng trình:
x
xxx
=














+
+
+
+
+
+
1
1
1
2
2

1
3
3
1
Câu 10: (lớp 7) Trong tam giác vuông ABC kẻ đờng cao CH xuống cạnh
huyền AB. Phân giác góc CAB và BCH cắt nhau tại M, còn phân giác góc
CBH và ACH cắt nhau tại N. Chứng minh rằng, MN//AB.
Câu 11: (lớp 8) Số a và b thoả mãn điều kiện
.
2
22
ba
ba
+
=+
Tìm gá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hiệu hai số a và b.
2
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
đề số 3
Câu 1(lớp 8) Giải phơng trình:
1002
20042
2003
...
62
5
42
3

22
1
2222
=
++
++
++
+
++
+
++
xxxxxxxx
Câu 2: (lớp 8) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
abbaA
33
=

nếu biết
1
22
=+
ba
Câu 3: (lớp 9) Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn, M là giao điểm các đờng
chéo của nó, 0
1
và 0
2
là tâm các đờng tròn nội tiếp tam giác ABM và CMD t-
ơng ứng. K là trung điểm cung AD. Biết góc 0
1

K0
2
= 60
0
, K0
1
=10.
Tính 0
1
0
2
.
Câu 4: (lớp 9) Giải phơng trình:
82216
222
+=++
xxxxx
Câu 5: (lớp 8) Cho các số dơng a, b, c, d thoả mãn
2
dc
ba
+
+
.
Chứng minh rằng,
8
22
22
<
+

+
dc
ba
Câu 6: (lớp 8) Chứng minh bất đẳng thức:
( ) ( )
0;0;8
11
22
>>
+
+
+
ba
a
b
b
a
Câu 9: Giải hệ phơng trình:





=++
=++
20
10
2
2
yxyy

xxyx
Câu 10: (lớp 8) Tìm tất cả giá trị của a để
2
8
3
+

a
a
là số nguyên.
Câu 11: (lớp 8) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
25
4
2
+
x
x
Câu 12: (lớp 8) Giả sử p
1
và p
2
là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp và p
1
+ p
2
= 2n,
n là số tự nhiên. Chứng tỏ rằng , n là hợp số.
3
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.

đề số 4
Câu 1: Giải hệ phơng trình:





=+
=+
31
11
2
2
xy
yx
Câu 2: (lớp 8) Chứng minh rằng:
( )( )( )( )
163113
+++
xxxx
là số chính phơng.
Câu 3 : (lớp 8) CMR nếu a = 3
2004
+ 2 thì số a
2
+ 2 là số chia hết cho 3.
Câu 4 : (lớp 8) Cho 3 số a- b + 2002; b c + 2002 và số c a + 2002 là 3 số
nguyên liên tiếp. Tìm số đó.
Câu 5: Giả sử p là nghiệm của phơng trình x
3

3x 1= 0. Tính giá trị biểu
thức: p
4
+ 2p
3
3p
2
7p + 2004.
Câu 6: Giải phơng trình: x
4
+4xy
2
+2y
4
+1 = 0.
Câu 7: Giải hệ phơng trình:





=++
=++
=++
2
5
1
zxxz
zyyz
yxxy

Câu 8: Chứng minh rằng:
Nếu ab 1 thì
xyzzyx
+

+
+
+
+
+
1
3
1
1
1
1
1
1
333
Câu 9: (lớp 8) Trong tam giác ABC cân ở A, đờng cao AD. Trên cạnh AB lấy
điểm M sao cho AM = 1/3AB. MC cắt AD tại N.
Chứng minh rằng, nếu AD = BC thì DN = DC.
Câu 10: Cho tam giác ABC có diện tích là S , kẻ trung tuyến AD, Gọi M là
trung điểm của AD, đờng thẳng BM cắt cạnh AC tại E.
Tính diện tích AME.
4

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
đề số 5

Câu 1: (lớp 8) Giả sử 2n+1, 3n+2 là số chính phơng, n thuộc số tự nhiên,
Hỏi số 5n +3 là số nguyên tố hay không?
Câu 2: Giải phơng trình:
xxx 341
32
=
Câu 3: Chứng minh rằng, với các số x, y, z là các số dơng, có tích là 0,5, ta có
bất đẳng thức:
1
111
3
2
3
2
3
2

+
+
+
+
+
z
zx
y
yz
x
xy
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, và lớn nhất của biểu thức:
1;141414

=+++++
abccba
Câu 5: Giải hệ phơng trình:





=+
+=+
2
32
7993
yx
yyxyx
Câu 6: Từ trung điểm K của cạnh bên AB của hình thang ABCD kẻ đờng
thẳng vông góc với AB, cắt cạnh CD tại L. Giả sử diện tích tứ giác AKLD
bằng 5 lần diện tích tứ giác BKCL. Biết CL = 3, LD = 15, KC = 4, tính KD?
Câu 7: Hai đờng tròn tiếp xúc ngoài nhau tại A. Đờng thẳng đi qua Acắt dờng
tròn thứ nhất tại B, đ ờng tròn thứ hai tại C.Tiếp tuyến của đờng tròn thứ nhất
cắt đờng tròn thứ hai tại D và E, ( D nằm giữa B và E). Giả sử AB = 5, AC =
4.Tính độ dài đoạn CE và khoảng cách từ A đến tâm đờng tròn tiếp xúc đoạn
AD và các đoạn kéo dài ED, EA tại D và A tơng ứng.

Câu 8: Tìm tất cả các tự nhiên x, y, z sao cho đẳng sau đúng với bất kỳ số tự
nhiên n.
1
+
=+
nnn

zyx
5
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
đề số 6
Câu 1: (lớp 8) Giải phơng trình:
( ) ( ) ( )
2
657
...1...1.....1 xxxxxx
+++=++++++
Câu 2: Trong tứ giác ABCD có góc A và góc D bằng 1 vuông.
Giả sử CD = AD + BC, và phân giác góc ADC cắt cạnh AB tại điểm M .
Tính góc CMD.
Câu 3: (lớp 8) Giả sử a + b + c + d = 6. Có thể tổng ab +ac + ad + bc +bd +
cd = 18 hay không ?
Câu 4: (lớp 8) Cho hàm số y = ax +b, tính giá trị biểu thức b - a.
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của a sao cho phơng trình x
3
+5x
2
+ ax +b = 0 với
hệ số nguyên có ba nghiệm trong đó một nghiệm bằng -2.
Câu 6: Tính diện tích của tam giác vuông, nếu bán kính vòng tròn nội tiếp
vàngoạitiếp tam giác tơngứng là 2 và 5 cm
Câu 7: (lớp 9)Cho hình hộp chữ nhật ABCDA
1
B
1
C

1
D
1
, cạnh AB = 6 cm, BC =
8 cm, BB
1
= 1, 6 91. Tính diện tích hình ACC
1
A
1
.
Câu 8: (lớp 8) Tính nghiệm của phơng trình:
3
111
:
2
21
3
2
543235
3
423
=

+

++
+









+

+

x
xx
xxx
x
xxxx
xx
xxx
x
Câu 9:(lớp 9)Tìm tổng nghiệm của phơng trình:
3
33
)1(1232

=+
xxx
Câu 10: ( lớp 8)Các số dơng a, b, c, d có tích bằng 1
Chứng minh rằng:
10
2222
+++++++++
cdbdbcadacabdcba
6
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
đề số 7
Câu 1: (lớp 8) Tính x
3
+ y
3
, nếu giả sử rằng x + y = 5 và x + y +x
2
y +xy
2
= 24
Câu 2: (lớp 8) Trung tuyến tam giác bằng 1,5 độ dài cạnh mà trung tuyến đi
qua, tính góc tạo bởi hai trung tuyến đi qua 2 cạnh kia.
Câu 3: Giả sử số p là một nghiệm của phơng trình 5x
2
+ bx + 10 = 0. Tính
nghiệm của phơng trình 10x
2
+ bx + 5 = 0 qua p.
Câu 4: Từ một điểm của tam giác nối với các trung điểm của các cạnh, tạo

thành 3 tứ giác lồi. Chứng minh rằng, nếu có hai tứ giác ngoại tiếp đợc đờng
tròn thì cả 3 tứ giác đều ngoại tiếp đờng tròn.
Câu 5: (lớp 8) Giả sử a
2
+bc = a (b+c)
b
2
+ ac = b (c+a)
c
2
+ ab = c( a+b)
thì a = b = c
Câu 6: (lớp 8) Cho hình thang ABCD, điểm m nằm trên cạnh bên CD sao cho

ABM =

CBD=

BCD =

. Tính độ dài BM nếu AB = b.
Câu 7: Trên đờng tròn tâm 0 lấy 2 điểm A và B. Hai đờng tròn tiếp xúc trong
với đờng tròn đã cho tại A và B và tiếp xúc nhau tại điểm M. Tìm quỹ tích của
điểm M.
Câu 8: (lớp 8) Cho hình bình hành ABCD. Đờng thẳng song song với AB cắt
phân giác của góc A và C tại P và Q tơng ứng. Chứng minh rằng, góc ADP
bằng góc ABQ.
Câu 9: Giả sử A
1
, B

1
, C
1
là trung điểm cạnh tam giác ABC, I là tâm đờng tròn
nội tiếp tam giác. C
2
là giao điểm của đờng thẳng C
1
I và A
1
B
1
, C
3
là giao điểm
của đờng thẳng CC
2
và AB. Chứng minh rằng,IC
3
là trung trực của AB.
7
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
đề số 8
Câu 1: Tam thức bậc hai ax
2
+ bx +c có nghiệm thực. Hỏi tam thức bậc hai
a
3
x

2
+ b
3
x + c
3
có nghiệm thực hay không?
Câu 2: (lớp 8) Đờng thẳng đi qua tâm hình vuông có cạnh là 1. Tính tổng các
bình phơng khoảng cách từ đỉnh hình vuông đến đờng thẳng đó.
Câu 3: (lớp 8) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng:
1! +2!+...+2001!+2002!
Câu 4: (lớp 8) Nếu độ dài các trung tuyến cuả tam giác nhỏ hơn 1 thì diện tích
của tam giác có nhỏ hơn 1 hay không?
Câu 5: Tính giá trị nhỏnhất của biểu thức
x
y
nếu biết rằng,
01210
22
=++
yyxx
Câu 6: Giải phơng trình:
( )( )
( )
( )
2
2
32.1011842522
+=+++
xxxxx
Câu 7: Giải phơng trình:

01345
2
=+
xxx
Câu 8: Tồn tại hay không sô n sao cho
20012000 n
?
Câu 9: (lớp 8) Giả sử M là số nhỏ nhất các số a, b, c và 1- a - b c. Tính giá
trị lớn nhất của M.
Câu 10: (lớp 8) Trong tứ giác lồi ABCD điểm K, M, N, P là trung điểm của
các cạnh AB, BC, CD , DA. Đoạn AM và CK cắt nhau tại E, còn đoạn AN và
CP cắt nhau tại F. Tìm diện tích tứ giác AECF, nếu diện tích ABCD bằng 12.
Câu 11: (lớp 8) Chứng minh rằng, nếu số m và m
2
+ 2 là số nguyên tố,
thì số m
3
+2 là nguyên tố hay không ?
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi
8
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
đề số 9
Câu 1: Giải phơng trình :
345
16.325642
4 xxx
=++
Câu 2: (lớp 8) AM là phân giáccủa tam giác cân ABC có cạnh đáy là AC.
Chứng minh rằng, nếu góc B bằng 100
0

thì AM + BM = AC.
Câu 3: Giả sử 9x
2
+16y
2
+144x
2
=169.
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 6x 4y + 24z.
Câu 4: (lớp 8) Số x và y thoả mãn
5
1
6
22
=
+
yx
xy
.
Tính gía trị biểu thức:
22
6yx
xy

Câu 5: Tìm tất cả giá trị của số m sao cho m
3
m = m!
Câu 6: Giải phơng trình:
6
412

2.222
xxx
=+
Câu 7: Tam giác cân ABC, Trên cạnh bên AB và AC lấy các điểmK và L sao
cho AK = BL.
Chứng minh rằng,
ACKL
2
1

.
Câu 8: (lớp 8) Giả sử a, b, c thoả mãn đẳng thức:
a
3
b
3
c
3
= 3abc
và a
2
= 2. (b + c). Tính số a.
Câu 9: Trong tam giác ABC phân giác AD và CE cắt nhau tại 0, góc ABC
bằng 60
0
. Chứng minh rằng, OD = OE
Câu 10: Giải phơng trình:
2002
=+
yxx

Câu 11: Cho 10 điểm A
1
, A
2
, ..., A
10
nằm trên đờng tròn bán kính bằng1, biết
cung bằng nhau. Tính hiệu A
1
A
4
A
1
A
2
.
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi năm học 2005-2006
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
9
đề số 10
Câu 1: Cho các sô thực x, y, z thoả mãn 2 điều kiện:
x+ y+ z = 5 và xy + yz + zx = 8.
Chứng minh rằng,
3
7
1

x

Câu 2: Giải phơng trình:

x
xxxx
3
33
3
3
3
=
+
+








+
Câu 3: Đờng chéo BD của tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn là phân giác của
góc ABC. Tính diện tích của tứ giác đó, nếu BD = 6 cm, góc ABC bằng 60
0
.
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
141414
+++++
cba
nếu
1=++ cba

Câu 5: Cạnh của ngũ giác lồi lấy liên tiếp là 4 cm, 6 cm, 8 cm, 7 cm, 9 cm.
Vậy hình đó có thể ngoại tiếp đờng tròn?
Câu 6: Tìm số nguyên tố x, y, z sao cho thoả mãn đẳng thức:
y
xz
+=
1
Câu 7 : Trong tam giác ABC kể trung tuyến AL và BM cắt nhau tại K. Qua
đỉnh C và các điểm K, L , M kẻ vòng tròn. Tính độ dài trung tuyến CN, nếu độ
dài AB = a
Câu 8: Giải hệ phơng trình:





=
=
=
zxxyz
yzxzy
xyyzx
2
2
2

Câu 9: (lớp 8) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
23436420
222
+

zyxzyx
Câu 10: Trong tứ giác lồi ABCD, E là giao điểm của các đờng chéo.
3;4;1
===
ADSSS
ABCDDCEABE
. Tính BC.
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi năm
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
10
đề số 11
Câu 1: ( lớp 6) Số nào lớn hơn.
666666669
666666664
&
555555557
555555553
Câu 2: ( lớp 9) Giải phơng trình:
( ) ( )
( )
( ) ( )
3
2
3
2
3
2
2
3
2

2
18121)
1121)
=+
+=+++
xxxb
xxxxa
Câu 3: ( lớp 9) Số nào lớn hơn:
333
2005&20042006
+
Câu 4: ( lớp 8) Chứng minh rằng, nếu các số dơng x và y thoả mãn các bất
đẳng thức
4&6,2
22
yxyx
++
thì
1xy
Câu 5: ( lớp 9) Giải phơng trình:
( )
2
2
317 xx
=
Câu 6: ( lớp 9) Giải phơng trình:
444
2xbaxbxa
+=+
Câu 7: ( lớp 6) Chứng minh rằng:

17
1
102
100
....
9
7
6
4
3
1
<
Câu 8 (lớp 8) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ab
ba
ba
ab
22
22
+
+
+
Câu 9: ( Lớp 9) Dựng tam giác biết các giao điểm đờng tròn ngoại tiếp với đ-
ờng cao, trung tuyến, phân giác kẻ từ một đỉnh của tam giác.
Câu 10: ( lớp 9) Cho tam giác vuông ABC (C = 90
0
), kẻ đờng cao CD. Tính:
a) Bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác ABC, nếu bán kính vòng tròn nọi
tiếp tam giấcCD và BCD bằng r
1

và r
2
.
b) Chu vi tam giác ABC, nếu chu vi của tam giác ACD và BCD bằng P
1
và
P
2
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
đề số 12
11
Câu 1: (lớp 8) Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức:
yxyxyx 22522
22
+++
Câu 2: (Lớp 6) Tính tổng: 1.3+3.5+5.7+...+999.1001
Câu 3: (lớp 6) Giả sử n -1 chia hết 15, còn 1001 chia hết cho n + 1.Tính số n?
Câu 4: ( lớp 9) Giải phơng trình:
12
35
1
2
=

+
x
x
x
Câu 5 : ( lớp 8): Giải hệ phơng trình:

+=
+=
yxy
yxx
72
27
3
3
Câu 6: (lớp 8) Chứng minh bất đẳng thức:
0,
>++>++
xyzzyx
y
zx
x
yz
z
xy
Câu 7: ( Lớp 6)Tính tổng:
13
1
7
11
10
13

1
2
11
2
1
13
12
2
11
1
2
++
Câu 8: (lớp 8) Giải hệ phơng trình:









=+
=+
=+
2007
11
2006
11
2005

11
xz
zy
yx
Câu 9: (lớp 9) Trong đờng tròn nội tiếp ngũ giác ABCDE. Khoảng cách từ
điểm E đến các đờng thẳng AB, BC và CD tơng ứng là a, b, c. Tính khoảng
cáh từ điểm E đến đờng thẳng AD.
Câu 10: (lớp 8) Giả sử trung tuyến và đờng cao kẻ từ một đỉnh của tam giác,
chia góc đó thành 3 phần bằng nhau. Chứng tỏ tam giác đó là tam giác vuông ,
tính các góc của nó.
b)(lớp 8) Giả sử trung tuyến, phân giác và đờng cao kẻ từ một đỉnh của tam
giác, chia góc đó thành 4 phần bằng nhau. Chứng tỏ tam giác đó là tam giác
vuông , tính các góc của nó.
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi
Dành cho học sinh các lớp 6, 7, 8, 9.
12