CAC DE THI HSG TINH

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT
Thanh Hoá Năm học 2003 - 2004
Môn thi : Toán - Bảng B
Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề)
B i 1 : ( 6 điểm) 1) Cho đờng cong ( C) có phơng trình:
xy sin1
+=
với







2
3
;
2

x
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với ( C) và trục hoành.
2) Cho hàm số
m
x
x
m
x
x
my 4

1
3
1
)1(
2
2
2
2
2
+








+









+
+=

với m là tham số. Xác định m để hàm số chỉ có một
điểm cực trị duy nhất.
Bài 2: (5 điểm) Giải các phơng trình sau:
1)
1cossinsinsin
2
=+++
xxxx
2)
( )
2loglog
37
+=
xx
Bài 3: 1) Xác định số nghiệm







2
;0

x
của phơng trình:

=+
xx cossin

22
.
2) Không dùng máy tính, hãy so sánh
2003log
2002
và
2004log
2003
Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz.
1) A là một điểm trên Oz sao cho OA = a ( a > 0). Khoảng cách từ A đến Ox và Oy tơng ứng là a và
20a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Oxy biết góc xOy bằng 60
0
.
2) Cho góc xOy = góc yOz = góc zOx = 60
0
. Điểm A ( khác 0) cố định trên Oz với OA = d không đổi. M
và N là hai điểm chuyển động trên Ox và Oy sao cho
d
1
ON
1
OM
1
=+
. Chứng minh đờng thẳng MN luôn đi
qua một điểm cố định.
-----
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Chữ ký của ngời coi thi: .
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT

GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1
Thanh Hoá Năm học 2003 - 2004
Môn thi : Toán - Bảng a
Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề)
B i 1: ( 6 điểm)
1) Cho đờng cong ( C) có phơng trình:
xy sin1
+=
với







2
3
;
2

x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của hoành độ
giao điểm của tiếp tuyến với ( C) và trục hoành
2) Cho hàm số
m
x
x
m
x

x
my 4
1
3
1
)1(
2
2
2
2
2
+








+

+
+=
với m là tham số. Xác định m để hàm số chỉ có một
điểm cực trị duy nhất.
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ phơng trình sau có 2 nghiệm :
( ) ( )





=+
=+++
0422
0126567
2
22
aaxax
xxxxx
Bài 3:
1) Xác định số nghiệm







2
;0

x
của phơng trình:

=+
xx cossin
22
2) Cho
cba
<+<+<
111
. Chứng minh:
acac
cc
<+
log)(log

Bài 4:
Cho góc tam diện Oxyz.
1) A là một điểm trên Oz sao cho OA = a ( a > 0). Khoảng cách từ A đến Ox và Oy tơng ứng là a và
20a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Oxy biết góc xOy bằng 60
0
.
2) Cho góc xOy = góc yOz = góc zOx = 60
0
. Điểm A ( khác 0) cố định trên Oz với OA = d không đổi. M
và N là hai điểm chuyển động trên Ox và Oy sao cho
d
1
ON

1
OM
1
=+
. Chứng minh đờng thẳng MN luôn đi
qua một điểm cố định.

.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Chữ ký của ngời coi thi: .
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT
Thanh Hoá Năm học 2002 - 2003
Môn thi : Toán - Bảng A
Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề)
GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1
Bài 1:
Cho hệ phơng trình:
( ) ( )
23log3log
=+=+
axyayx
yx
1) Giải hệ phơng trình khi a = 2.
2) Tìm tất cả các giá trị của a để hệ đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 2:
Cho hàm số:
ax
x
y
+

+
=
2
1
1) Với a = 1 chứng minh rằng luôn tìm đợc hai điểm và chỉ có hai điểm trên đờng cong sao cho tiếp tuyến tại
đó song song với đờng thẳng 2x 2y + 1 = 0.
2) Tìm giá trị lớn nhất của a để tập giá trị của hàm số đã cho chứa đoạn
[ ]
1;0

Bài 3:
1) Giải phơng trình:
( ) ( )
042sin32sin45cos45cos2
00
=+
xxxx
2) Cho tam giác ABC. O là một điểm trong tam giác sao cho

===
OBCOABOCA
. Chứng minh
rằng :
gCgBgAg cotcotcotcot
++=

Bài 4:
Với x là góc cho trớc khác

k

. Tìm giới hạn:
lim

n






+++
nn
xxx
2
tan
2
1
...
2
tan
2
1
2
tan
2
1
22
Bài 5:
Cho hình tứ diện ABCD có CD vuông góc với mặt phẳng ( ABC). CD = CB, tam giác ABC vuông tại A, mặt
phẳng qua C vuông góc với DB và cắt DB, DA lần lợt tại M, I. Gọi T là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và

C của đờng tròn đờng kính BC trong mặt phẳng ( ABC).
1) Chứng minh 4 điểm C, T, M, I đồng phẳng.
2) Chứng minh IT là tiếp tuyến của mặt cầu đờng kính CD và mặt cầu đờng kính CB.
3) Gọi N là trung điểm của AB, K là điểm trên CD sao cho
CDCB
3
1
=
. Chứng minh khoảng cách giữa hai
đờng thẳng BK và CN bằng khoảng cách giữa hai đờng thẳng AM và CN.
..
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Chữ ký của ngời coi thi: .
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT
Thanh Hoá Năm học 2001 - 2002
Môn thi : Toán học Bảng A - B
Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
Cho bất phơng trình:
01cos102cos)1(3cos2
+++
mxxmx

1) Giải bất phơng trình khi m = -5
2) Tìm m để bất phơng trình thoả mãn với mọi

3
;0

x
Bài 2:
Giải phơng trình:
( ) ( )
02coscoslogsincoslog
1
=++ xxxx
x
x
Bài 3:
GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1
Giải phơng trình sau với
( )
2;0

x
:
4
3
4
1
4
44
2
12

12
1
2
=
+
+
x
x
xx
x
x
Bài 4:
Biết đa thức
20012000
2000
1
2001
....)( axaxaxxf
++++=
có 2001 nghiệm thực phân biệt và
1998,1996
19981996
==
aa
. Chứng minh
1997
1997
>
a
Bài 5:

a) Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O vuông, đờng cao OH = h, OA = a, OB = b,
OC = c. Chứng minh rằng:
hgCcgBbgAa 3cotcotcot
++
b) Có thể chia một đa giác lồi đã cho thành một số rứ giác không lồi đợc không?. Hãy chứng minh điều
khẳng định của mình?
.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Chữ ký của ngời coi thi: .
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT
Thanh Hoá Năm học 2000 - 2001
Môn thi : Toán - Bảng A-B
Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
Cho phơng trình:
( )
mxx
=+
4
4
sin1sin
1) Giải phơng trình khi
8
1
=
m
2) Với những giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm?
Bài 2:
1) Cho a, b, c là 3 cạnh tam giác còn x, y, z là 3 số thoả mãn:
0

=++
czbyax
. Chứng minh:
0
++
zxyzxy
2) Cho
0

x
. Chứng minh
( )
( )






++
x
xx
23log21log
32
Bài 3:
Cho a
1
, a
2
, .a

n
( n > 3) là các số thực thoả mãn:

==

n
i
i
n
i
nana
1
22
1
1
,
. Chứng minh rằng:
{ }
2,......,max
21

n
aaa
. Với
3

n
kết luận trên còn đúng không ?
Bài 4:
GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1

Cho ABCD. ABCD là hình hộp chữ nhật với AA = 2AB = 8a, E là trung điểm của các cạnh AB và M là
một điểm trên cạnh DD sao cho






+=
AC
AD
aDM 1
. F là một điểm di động trên cạnh AA.
a) Tìm vị trí điểm F trên cạnh AA sao cho
FMCE

có giá trị nhỏ nhất
b) Với điểm F thoả mãn điều kiện câu a, tính góc tạo bởi mặt phẳng ( D EF) và mặt phẳng
( DBC).
c) Với giả thiết điểm F thoả mãn điều kiện câu a và các đờng thẳng AC và FD vuông góc với nhau, tính thể
tích của hình hộp ABCD. ABCD
Bài 5: ( Học sinh bảng B không phải làm bài này)
Tìm các số nguyên dơng a, b, c thoả mãn:



=+++++
>>
kabccbacabcab
abc 1

.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Chữ ký của ngời coi thi: .
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT
Thanh Hoá Năm học 1999 - 2000
Môn thi : Toán
Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
Hãy tìm tất cả bộ 4 số thực dơng ( a, b, c, d) thoả mãn



++++++=
=+++
cdbdbcadacababcd
dcba
27
12

Bài 2:
Giả sử x
1
, x
2
,..x
n
, là dãy số thực thoả mãn:

++=
=
+
2
1
2
2
1
1
n
x
x
n
x
x
n
n
n
a) Hãy tính
[ ]
2000
x
(
[ ]
a
là phần nguyên của số a)
b) Chứng minh rằng:

nn
xx

+
1
với mọi
4

n
Bài 3:
Cho đa thức f( x) bậc n có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng tập hợp nghiệm của bất phơng trình:
( )
( )
2000
'
>
xf
xf
là một số khoảng có tổng độ dài bằng
2000
n
Bài 4:
Cho đờng tròn tâm O bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC. Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC bán kính r tiếp
xúc với các cạnh AB, BC, CA tơng ứng với C
1
, A
1
, B
1
. Giả sử các đờng thẳng đợc xác định bởi các trung

GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1