Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy Dirichlet đối với chương trình parabolic cấp hai - Luận văn toán học

 

 1

L I C#
C#M ! N
Trong quá trình hoàn thành lun v$n, tôi &ã &'( c s* ch +  &.o, h'/ ng
ng d1n,

&3ng viên tn tình c5a cô giáo: Th.S &oàn Th'
Th' Chuyên, gi7ng viên khoa Toán Lí – Tin, &8ng th9 i nhn &'( c s * góp ý v;  &; tài, t.o &i;u ki=n thun l ( i v;  c)  
s>  v
 vt ch?t, th9 i gian, tài li=u tham kh7o c 5a các thAy cô trong khoa Toán – Lí –
Tin, phòng nghiên cBu khoa hCc và th' vi =n tr '9 
'9 nngg &.i h Cc Tây BDc. Bên c.nh

&ó tôi còn nhn &'( c s *  &3ng viên giúp &E   cc 5a các b.n trong t p th G l /  p K47 &.i hCc s' ph.m Toán, s* giúp &E  trong
 trong vi=c &ánh máy, in ?n c5a t ?t c 7 b .n bè,
ng'9 i thân.
 Nhân dI p
 p này, cho phép tôi bày tK lòng biLt ) n sâu sDc t/ i s*  giúp &E ,

&3ng viên quý báu c5a các thAy cô, các b.n, t/ i nhMng ng'9 i thân, các &) n vI 
liên quan, &Nc bi=t là cô giáo Th.S &oàn Th'
Th' Chuyên. 
S) n La, tháng 05 n$m 2010
 Ng'9 i th*c hi=n

Lê Th'
Th' Li
 Li**u

 

 2

M.C L.
L.C
L9 i c7m ) n…………………………………………………………….………....1
n…………………………………………………………….………....1
PhAn m>  &Au……………………………………………………………………..3
1. Lí do chCn khoá lun…………………………………………………...3
2. OPi t'( ng,
ng, ph') ng
ng pháp, ph.m vi nghiên cBu………………………....3
3. MQc &ích, nhi=m vQ và nhMng &óng góp c5a khoá lun…………….....4
Ch') ng
ng 1. M3t sP kiLn thBc liên quan…………………………
quan…………………………….….…............5
….….…............5
1.1 Không gian Sobolev………………………………………………….……...5
1.2 M3t vài không gian c 5a các hàm...................................................................17
1.2.1 Không gian hàm H -1…………………………………………….………..17
1.2.2 Không gian phQ thu3c th9 i gian ……………...………………………… 18
Không gian hàm L p(0,T;X) ………………………………………….....18
Không gian hàm C(
C([0,T];X)……………
[0,T];X)……………………………
…………………….……….....18
…….……….....18

1.3. Các b?t &Rng thBc………………………………………………………….19
1.3.1 B?t &Rng thBc Gronwall-Bellman……………
Gronwall-Bellman……………………………
………………….………..19
….………..19
1.3.2 B?t &Rng thBc n$ng l'( ng……………………………………….………..19
ng……………………………………….………..19
Ch') ng
ng 2.Tính &Nt &úng c5a bài toán Cauchy – Dirichlet &Pi v/ i ph') nngg
trình Parabolic c? p hai……………………………………
hai……………………………………………….……
………….…….......21
.......21
2.1 M>  &Au..........................................................................................................21
2.1.1 ThiLt l p bài toán................................
toán.............. .....................................
....................................
..............................
....................21
.......21
2.1.2 Mô típ c5a &Inh ngh S a nghi=m suy r 3ng.....................................................22
2.1.3 Nghi=m suy r 3ng........................................................................................23
2.2 S* t8n t.i duy nh?t c5a nghi=m suy r 3ng......................................................25
2.2.1 M3t sP &ánh giá tiên nghi=m......................................................................25
2.2.2 S* t8n t.i nghi=m suy r 3ng.... ...................................................................28
2.2.3 Tính duy nh?t nghi=m suy r 3ng..................................................................30
K Lt lun.............................................................................................................. 31
Tài li=u tham kh7o:………………………………………………..……………32

 

 3

PH0
PH
0N M1 
M1  &0
&0U
U
1. Lí do ch2
ch2n khoá lu4
lu4n
Trong ch') ng
ng trình c5a bc &.i hCc, b'/ c &Au chúng ta &ã &'( c làm quen
v/ i môn ph') ng
ng trình &.o hàm riêng. Trong &ó, ta &ã biLt &'( c các v?n &;  c)  
 b7n liên quan &Ln ph') ng
ng trình Lapace, ph') ng
ng trình truy;n sóng, ph') ng
ng trình
truy;n nhi=t. Oó là các ph') ng
ng trình &) n gi7n lAn l'( t &.i di=n cho ba l/  p
 ph') ng
ng trình &.o hàm riêng là ph') ng
ng trình lo.i eliptic, hypebolic và parabolic.
Khi hCc ta th?y r Tng, &i;u ki=n t8n t .i nghi=m theo ngh S a thông th'9 ng
ng th'9 nngg

&òi h Ki khá nhi;u yLu tP khDt khe nh' tính tr ) 

)n  &Ln c ? p c 5a ph ') ng
ng trình, &i;u
này gây khó kh$n khi xét các bài toán &Pi v/ i các ph') ng
ng trình trên nhMng mi;n
 b?t kì hoNc &Pi v/ i nhMng bài toán c5a các ph') ng
ng trình tUng quát h) nn.. OG khDc
 phQc &i;u này, thay vì &i tìm nghi=m cU  &iGn, ng'9 i ta &i tìm nghi=m suy r 3ng,
tBc là là nghi=m “ thô” lúc &Au là nghi=m “ khá gAn” v / i nghi=m h Au khD p n) i
hoNc nghi=m cU &iGn gCi chung là nghi=m thông th'9 ng.
ng. Sau &ó nh9  các
 các công c Q 
c5a gi7i tích hàm, ta làm cho nghi=m dAn &Ln nghi=m thông th'9 ng.
ng. Chính vì
vy, ph') ng
ng trình &.o hàm riêng còn là v ?n &; r ?t m/ i mV và bí Wn kích thích s* 
khám phá c5a nhMng sinh viên yêu thích nó. Nh Tm góp phAn giúp nhMng b.n
sinh viên và nhMng &3c gi7 yêu môn ph') ng
ng trình &.o hàm riêng nói chung và
 b7n thân tác gi 7  nói riêng hiGu sâu h) n v;  môn hCc này và tiL p tQc tìm hiGu
khám phá, tôi m.nh d.n nghiên cBu &; tài: “Nghiên cBu tính &Nt &úng c5a bài
toán Cauchy – Dirichlet &Pi v/ i ph') ng
ng trình parabolic c? p hai”.

2. &6
&6ii tt89 
89 ng,
ng, ph8: 
ph8: ng
ng pháp, ph;
ph;m vi nghiên c< 

c< u
2.1. &6
&6ii t89 
t89 ng
ng nghiên c< 
c< u
OPi t'( ng
ng nghiên cBu là bài toán biên ban &Au thB  nh?t &Pi v/ i ph') nngg
trình parabolic c? p hai.

2.2. Ph8: 
Ph8: ng
ng pháp nghiên c< 
c< u


 

 4
V?n &; nghiên cBu trong lun v$n là v?n &; m/ i &Pi v/ i sinh viên bc &.i
hCc, vì vy ph') ng
ng pháp nghiên cBu ch5  yLu là nghiên cBu lí thuyLt cQ  thG  là
 ph') ng
ng pháp x? p x+ Galerkin. S'u tAm tài li=u, &Cc hiGu tài li=u trên c)   s>   &ó
 phân tích, tUng h(  p, diXn gi7i, làm rõ và trình bày thành m3t h=  thPng &G  gi7i
quyLt các v?n &; &Nt ra c5a lun v$n.

2.3. Ph;
Ph;m vi nghiên c< 
c< u

Ph.m vi nghiên cBu c5a lun v$n là ph') ng
ng trình parabolic c? p hai và
nhMng kiLn thBc c )  s
 s >  liên
 liên quan &Ln vi=c nghiên cBu tính &Nt &úng c5a bài toán
Cauchy – Dirichlet.

3. M>
M>c @ích, nhiA
nhiAm v>
v> và nhB 
nhB ng
ng @óng góp cD
cDa khoá lu4
lu4n
3.1. M>
M>c @ích nghiên c< 
c< u
MQc &ích nghiên cBu c5a lun v$n là tìm hiGu sâu h) n v; môn ph') nngg
trình &.o hàm riêng, cQ thG là ph') ng
ng trình parabolic c? p hai.
Oóng góp thêm tài li=u tham kh7o cho gi7ng viên, sinh viên và t?t c7 
nhMng ai quan tâm
tâ m &Ln môn ph') ng
ng trình &.o hàm riêng.

3.2 NhiA
NhiAm v>
v> cD
 cDa khoá lu4

lu4n
V/ i mQc &ích &Nt ra, nhi=m vQ nghiên cBu c5a khoá lun là nghiên cBu
tính &Nt &úng c5a bài toán Cauchy – Dirichlet &Pi v/ i ph') ng
ng trình parabolic c? p
hai.

3.3. NhB 
NhB ng
ng @óng góp cD
cDa khoá lu4
lu4n
Oóng góp nUi bt c5a khoá lun là cung c? p &'( c m3t h=  thPng tri thBc
m/ i chuyên sâu v; môn ph') ng
ng trình &.o hàm riêng hi=n &.i. Oó là các khái
ni=m m/ i nh ': &Inh ngh S a &.o hàm suy r 3ng, các không gian Sobolev. Ngoài ra
ta biLt các tính ch?t, v?n &; liên quan &Ln các khái ni=m kiLn thBc này. ONc bi =t
nó giúp ta có m3t ph') ng
ng pháp m/ i &i nghiên cBu tính &Nt &úng c5a bài toán
Cauchy – Dirichlet &Pi v/ i ph') ng
ng trình parabolic c? p hai, cQ  thG  là ph') nngg
 pháp x? p x+ Galerkin.


 

 5

CHF! 
CH
F! NG

NG 1 
MGT SI
SI KI
 KIK
KN THM 
THM C LIÊN QUAN
1.1 Không gian Sobolev
1.1.1. Không gian C k  (Ω)  
Ta dùng các kí hi=u sau:
+) C (  Ω)  là t p h(  p t?t c7 các hàm liên tQc trên Ω .
+) C k  (Ω)  là t p h(  p các hàm xác &Inh trên Ω sao cho &.o hàm &Ln c? p k t8n t.i
và liên tQc trên Ω .
∞
+) C  (Ω)  là t p h(  p t?t c7 các hàm kh7 vi vô h.n lAn trên Ω .
n

∞

Gi7 s Y  Ω  là m3t t  p m>  trong
  trong R  . N Lu u ∈ C  (Ω)  thì bao &óng c5a t  p
h(  p các &iGm x sao cho u ( x)  ≠ 0  &'( c gCi là giá c5a hàm u(x)
u(x)   và kí hi=u là
 suppu..
 suppu
 Nh' vy hàm u(x) = 0,  x ∈ Ω \ suppu .
Ta có
+) C 0 (Ω) là t p h(  p t?t c7 các hàm thu3c C (  Ω)  sao cho giá c5a chúng
compact và thu3c vào Ω .

C k ( ) C k  ( ) C  ( )

0
+) 0 Ω =
Ω
∩
Ω .
∞
∞
+) C0 (Ω) = C (Ω) ∩ C 0 (Ω) .

1.1.2. Không gian Lp 
Trong không gian &Inh chuWn có m3t l/  p không gian Banach &Nc bi=t
quan tr Cng là không gian L p mà d'/ i &ây ta sZ kh7o sát.

&'nh
&'
nh ngh N a.
a.
Cho mt không gian Ω   và mt $  $ o µ trên mt σ  −   $%i s'  F
  F các t ) p
con


 

 6
c*a Ω . H -  t ..  t c / các hàm s'    f ( x) có l 0 y th 2 a b )c p, (1 ≤  p < +∞) c*a modun
kh/ tích trên Ω có ngh5 a là 

∫  f

 p

d µ < +∞ ’

Ω

  , µ ).  
 g -i là không gian  L p (Ω
Khi Ω là m3t t p &o &'( c Lebesgue trong &ó R k    và µ   là m3t &3  &o

Lebesgue thì ta viLt  L p (Ω).  
  , µ ) ( trong &ó ta không phân bi =t các hàm t ') n
T p h(  p  L p (Ω
ngg &') nngg

nhau, ngh S a là bTng nhau hAu khD p n) i)
i) là m3t không gian tuyLn tính &Inh chuWn
v/ i phép toán thông th'9 ng
ng v; c3ng hàm sP, nhân hàm sP, và v/ i chuWn

 f

 p

 p

1
 p

= ( f d µ ) .  

Ω

&'nh
&'
nh lí 1.

∫ 

  , µ )   v7 i 1 ≤  p < +∞   là mt không gian tuy: n tính $ Không gian  L p (Ω

chu> n $* ( không gian Banach).

&'nh
&'
nh lí 2.
Gi/  s@   Ω  là
 l à mt miA n trong R n . T ) p hB  p t .. t  c/ các hàm liên t Cc trong

Ω  v7 i giá compact trù m)t trong không gian  L p (Ω), p ≥ 1.  
&'nh lí 3.(Tính khP
&'nh
khP ly)
Gi/ s@   pp D  1
 1 và Ω  là mt miA n thuc R n . T En t %i mt t ) p con $: m $3B c
các phFn t @ 
@  cc*a không gian  L p (Ω),  sao cho bao tuy: n tính c*a nó trù m)t trong
 L p (Ω).  

Ch< ng

Ch< 
ng minh
Gi7 sY R là m3t sP hMu t+ nào &ó,  x ∈ R n  
Kí hi=u U ( x, R )  là hình h3 p
U ( x, R ) = { y ∈ R n : yi − xi < R , i = 1, n}  


 

 7
Gi7  sY   f ∈ L p (Ω)   và ε  > 0 . ONt  f ( x)  = 0   v/ i  x ∉ Ω , và xét nh'  m3t
n

hàm thu3c  L p (R  ) . ChCn R là m3t sP nguyên &5 l/ n sao cho
 p

∫ 

n

 f ( x) dx <  ε  p .  

R  \U ( 0, R )

 Nh9  &Inh lí 2 t8n t.i m3t hàm  g  R  liên tQc trong U (0, R)  sao cho

∫ 

 p

 f ( x) + g ( x) dx <  ε  p ,  

U ( 0 , R +1)

vì hàm

 R

 liên tQc trên U(0, R +1)  nên nó liên tQc &;u trên U (0, R ) .

Do vy ∃δ > 0  sao cho
−

n
 p

 g R ( x) − g R ( y ) < ε R , x, y ∈ U (0, R), x − y < δ ,  
l?y δ = R  n 2−   v/ i N là m3t sP nguyên nào &ó &G  δ   &5  nhK. Chia hình h3 p
U (0, R)  thành các hình h 3 p nh K không giao nhau có &3 dài c.nh là  R 2  − N   và xét

t p h(  p S bao g8m các hàm &Nc tr 'ng  X  j ( x)  c5a các hình h3 p này v/ i mCi N.

ONt

h( x) =

∑g

 R

( x j ) X j ( x ),  

 j

trong &ó  x j  là tâm c5a các hình h3 p nhK.
Khi &ó
−

n
 p

 g R ( x) − h( x ) = g R ( x) − g R ( x j ) < ε R  

 NLu x thu3c vào hình h3 p v/ i tâm  x j . Ta có

∫   g

 R

 p

− h dx <  ε  p  

U ( 0, R )

ONt
 g  R  = 0 , h(x) = 0 &Pi v/ i  x ∈ R n \ U (0, R)  ta &'( c


 

 8
1
 p

1
 p

1
 p

 
  

  
 p
p
p
≤  ∫ f ( x) − h( x) dx  
+  ∫  f ( x) dx  
 ∫  f ( x) − h( x) dx  
 
 
 
 
 
R
     U ( 0, R )
     R  \U ( 0, R )
 

n

n

1
 p

1
 p

 

 
   
 p
p
p
≤  ∫  f ( x) − g R ( x) dx  +  ∫ g R ( x) − h( x) dx  +    ∫  f ( x) dx  
 
 U ( 0, R )
  U ( 0, R )
     R  \U  ( 0, R )
 
n

1
 p

1
p


 

 p
p
≤  ∫  f ( x) − g R ( x) dx  +  ∫  gR ( x) − h( x) dx   
 U ( 0, R +1)
  U ( 0, R )


 
  
 

1
 p


 
 p
+  ∫   f ( x) dx    ≤ 3ε .  
 R  \U (0, R )
 

 
n

Do vy t p h(  p các tU h(  p tuyLn tính c5a các hàm  X   trù mt trong  L p (Ω) .
M3t trong nhMng Bng dQng quan tr Cng c5a các hàm thu3c không gian

 L p (Ω ),
), p ≥ 1  là tính liên tQc toàn cQc c5a nó.

&'nh
&'
nh lí 4.(Tính liên t>
t>c toàn c>
c>c)
Gi/ s@   Ω  là mt mi A n thuc R n ,  f ∈ L p (Ω), p ≥ 1, f ( x) = 0  bên ngoài
 Khi $ ó v7 i mG i ε  > 0  t En t %i mt s'   δ   > 0 , sao cho

∫ 

 p

 f ( x) − f ( x + y ) dx <  ε ,  

Ω

v7 i m-i y thIa mãn  y <  δ .  

1.1.3. Trung bình hóa
0

Gi/ s@   θ ( x)  là mt hàm tr J 
J c thuc l 7
7  p  C ∞ (R n )  sao cho
θ ( x ) = θ ( − x ), θ ( x ) ≥ 0, θ ( x ) = 0  n: u

 x   > 1  và

∫ θ ( x  ) = 1.  

R n

 Hàm θ ( x)  $3B c g -i là nhân trung bình hoá.

&'nh lí 5. 
&'nh

), p ≥ 1  thì lhi→m0 uh − u  L p ( Ω ) = 0.  
 N : 
: u u ∈ L p (Ω ),
&'nh
&'
nh lí 6. 

Ω.  


 

 9
 N : 
: u  f , g ∈ L1 (Ω) , thì

∫  f ( x) g ( x)dx =∫ f ( x) g ( x)dx. 
h

h

Ω

Ω

&'nh
&'
nh lí 7.
0

 N : 
: u  f ∈ L1 (Ω)  và Ω  f ( x)ϕ ( x)dx =0,  v7 i m-i ϕ ∈  C ∞ (Ω)  thì  f   = 0.  

∫ 

1.1.4. &;
&;oo hàm suy rQ
rQng
Gi/ s@   Ω  là mt miA n trong R n . M t hàm u ( x ) ∈ L p (Ω)  $3B c g -i là $%o
hàm suy r ng c.  p K c*a hàm v( x ) ∈ L p (Ω)  n: u

∫

0

∫ 

u ( x)ψ ( x)dx =(−1) α v ( x) Dαψ ( x)dx , v7 i m-i ψ ∈  C ∞ (Ω) ,

Ω

Ω

L  $ ó α = (α1 , α 2 , ..., α n ), α = α1 + α 2 + ... + α n  và

 D =
α

∂α

.
∂α  x1∂α x2 ...∂α xn  
1

n

2

Chú ý
i) Hàm v( x)  không có quá m3t &.o hàm suy r 3ng.
Tht vy gi7 sY  u1 ( x)  và u2 ( x)  là &.o hàm suy r 3ng c5a hàm v ( x ) .
Khi &ó
 
1

Ω (u

∫ 

0

∞

(x ) − u2 ( x ))ψ (x )dx = 0,∀ψ (x )∈ C (Ω  ). 

Mà u1 ( x ) − u2 ( x ) ∈ L1,loc (Ω)  nên u1 ( x) − u2 ( x) = 0  hAu khD p n) i trong
Suy ra u1 ( x) = u2 ( x )  hAu khD p n) i trong

Ω.

Ω.

0

ii) NLu v( x) ∈ C ∞ (Ω)  thì theo công thBc Ostrograsdki ta có
0

∫ u( x)ψ ( x)dx =(−1) ∫ v( x) D ψ ( x)dx,  v/ i hàm tu[ ý ψ ∈ C  (Ω) .
α

Ω

 

 

α

Ω

α

Có ngh S a hàm v ( x )  có &.o hàm suy r 3ng u ( x)  bTng  D v( x) .

∞


 

 10

ONc bi=t nLu hàm v( x)   bTng hTng sP  ( hAu khD p n) i)
i) trên Ω  thì có &.o hàm
suy r 3ng tu[ ý.
iii) T] &Inh ngh S a ta suy ra &.o hàm suy r 3ng không phQ thu3c vào thB t* 
l?y &.o hàm. Tht vy gi7 sY 

t8n t.i &.o hàm c? p ^.

Ta chBng minh
∂α  f
∂α f 
=
 
∂ x1α1 ...∂xiαi ...∂x jα j ...∂ xnα n ∂x1α1 ...∂x jα j ...∂xiαi ...∂xnαn

∂α v
+ α
 
∂ x1 ...∂xiα ...∂x jα ...∂xnα

 j

i

1

n

∂α v
, ∀v ∈ C  (Ω) .
= α
∂ 1 ...∂ x jα ... ∂xiα ...∂xnα
α

 j

1

i

n

Do  f ∈ L1 (Ω)  nên theo &Inh ngh S a &.o hàm suy r 3ng

∂α v
∫Ω ∂ x1α ...∂xiα ...∂x jα ...∂xnα dx = (−1) α Ω∫ ω v dx  
1

i

 j

n

∂α  f 
dx,  
= ∫  f α
α
 
α
α
Ω ∂ x1 ...∂x j ...∂xi ...∂xn
1

 j

i

n

0

∞
v/ i v ∈ C  . Suy ra

 

∂α  f 
ω = ∂ x1α ...∂x j α ... ∂xiα ...∂xnα .  
1

 j

i

n

iv) M
iv)
 M 3t hàm có &.o hàm bình th'9 ng
ng (&.o hàm theo ngh S a cU &iGn) c? p ^ 
thì có &.o hàm suy r 3ng c? p ^ nh'ng &i;u ng'( c l.i nói chung không &úng.
Ví dQ 
Xét hàm  f ( x) = x  trên (-1;1).
ta &ã biLt t8n t.i &.o hàm th'9 ng
ng t.i ∀ x ≠ 0 . T.i x = 0 thì không t 8n t.i &.o
hàm vì  f − (0+ ) = 1, f − (0− ) = −1 . Ta sZ  chBng minh  f ( x) = x   có &.o hàm suy
r 3ng trên toàn tr Qc sP.


 

 11
 Xét
1

1
0
dv
 

 x dx =  − ω vdx, ∀v ∈ C ∞ (R ),  
dx
−1
−1

∫

∫ 

1,
l?y ω = 
1,

0 ≤ x < 1
 
1  x 0

−

− < <

do &ó ω ∈ L1 (−1;1)  nên
1

0

1

0

1

−1

−1

0

−1

0

∫ ωdx = ∫ ωdx + ∫ωdx = − ∫ dx + ∫ dx  = 2.  
1

0
1
∂v
∂v
∂v
 x
dx
x
dx
x
=
+
∫−1 ∂ x −∫1 ∂x ∫ 0 ∂x dx,  

 Nên

1

hay

0
1
∂v
∂v
∂v
 x
dx
=
−
x
dx
+
x
∫ ∂
∫ ∂ x ∫  ∂x dx  

−1

−1

0

0

1

0

1

−1

0

−1

0

= ∫ vdx − ∫ vdx = −  ∫ (−1)vdx + ∫1vdx  
 

1

= − ∫ ω vdx.
−1

( x) = x  không có &.o hàm th'9 ng
ng trên kho7ng ( -1;1) nh'ng có

nh' vy hàm

&.o hàm suy r 3ng trên kho7ng ( -1;1).
v) M
v) M3t hàm có &.o hàm suy r 3ng c? p ^ trong mi;n Ω  thì nó c_ng có &.o
hàm suy r 3ng c? p ^ trong mi;n Ω ' ⊂ Ω .
Tht vy

0

Gi7 sY   f ∈ L1 (Ω), v ∈ C ∞ (Ω)  ta có

∫  f  ∂  x ∂
α1

Ω'

0

∞

1

∂α v
α2

x2 ...∂ xn
αn

0

dx =

∫ f ∂x

Ω'

∂α v

α1

1

Do v ∈ C (Ω ')'), v ∈ C ∞ (Ω )  v/ i Ω ' ⊂ Ω  nên

∂x2 ...∂xn
α2

αn

dx.  


 

 12

−1α ∫ ωvdx = −1α ∫ ωvdx.  

 

Ω

Ω'

Ta có ω ∈ L1 (Ω)  suy ra ω ∈ L1 (Ω ')  vy sZ t8n t.i

∫

∂α v

 f

Ω'

α1

α2

  = −1
dx

α

αn

∂  x1∂ x2 ...∂ xn

∫ 

ω ∈ L1 (Ω ')  sao cho

 

0

ωvdx, ∀v ∈ C ∞ (Ω ').  

Ω'

Do &ó t8n t.i &.o hàm suy r 3ng

∂α  f   
= ω   trên Ω '.  
∂ x1α ...∂xnα
1

n

α
vi)   Khác v/ i &.o hàm cU  &iGn, &.o hàm suy r 3ng  D v   &'( c xác &Inh
vi)

ngay v/ i c ? p ^ mà không cAn gi7 thiLt các &.o hàm c? p th ? p h) n t') nngg Bng t8n
t.i. Các &.o hàm c? p th? p h) n có thG không t8n t.i.
Sau &ây ta &i xét m3t &Inh lí v; s* liên h= giMa &.o hàm suy r 3ng và trung
 bình hoá.

&'nh lí 8.
&'nh
Gi/ s@   Ω  là mt mi A n trong không gian R n , Ω '  là miA n con c*a Ω  sao
ng d > 0. Khi $ óó,, $' i v7 i 0 < h < d và
cho kho/ng cách giM a Ω '   và ∂Ω   bN ng

 x ∈ Ω '  ta có
( Dα u )h ( x ) = Dα uh ( x ) .

Ch< 
Ch

< ng
ng minh
 x − y    0∞

Do 0 < h < d,  x ∈ Ω '  và hàm θ 
 ∈ C  (Ω)   v/ i  x ∈ Ω ',  nên khi sY 
 h  

dQng &Inh ngh S a &.o hàm suy r 3ng ta nhn &'( c

   x − y  
 Dα uh ( x) = Dα ( x) h − n θ 
 u ( y)dy,  
h
n

 
R 

∫ 

hay

∫ 

 x − y  u ( y)dy
 
 
 h  

 Dα uh ( x) = h− n (−1) α D  α yθ 
Ω


 

 13

 x − y   α
= h − n ∫ θ 
D yu ( y)dy = ( Dα u )h ( x).  
 
Ω  h  

 

m
1.1.5. Không gian Sobolev ( W p (Ω), 1 ≤ p < ∞ )

M3t không gian phiLm hàm &'( c sY dQng r 3ng rãi trong lí thuyLt ph') nngg
trình &.o hàm riêng là không gian Sobolev. Sobolev S.L &ã xây d*ng không
gian này vào giMa thL k + 20 và t] &ó &Ln nay nhi;u nhà toán hCc khác &ã tiL p tQc
m>  r 
 r 3ng và phát triGn &G nghiên cBu nhMng bài toán ph') ng
ng trình &.o hàm riêng
ngày càng khó kh$n, phBc t. p.
 Không gian W  pm  (Ω)  là không gian bao g Em t .. t  c / các hàm u ( x) ∈ L p (Ω)  
 sao cho t En t %i các $%o hàm suy r ng $: n t )n c.  p K thuc  L p (Ω)  và $3B c trang
b< bL i chu> n sau
1

 p

 
 p
<α  
u W  ( Ω) =  ∑ ∫ Dα u ( x) dy  
 
 α < m  Ω
 
m
 p

(4.1).

&'nh
&'
nh lí 9.
Gi/  s@   Ω   là mt miA n trong R n   và m ≥ 0, 1 ≤ p < ∞.   Khi
Khi $ ó W  pm  (Ω)   là
mt không gian Banach. 
m

Sobolev.  
 Không gian W  p   (Ω)  v7 i chu> n (4.1) $3B c g -i là không gian Sobolev. 

Chú ý 
T] tính ch?t  L p (Ω) là không gian &Ay ta c_ng suy ra &'( c W  pm  (Ω)  c_ng là
không gian &Ay.

 L2 (Ω)  là không gian Hilbert suy ra W 2m  (Ω)  c _ng là không gian Hilbert.

` tr '9 
'9 ng
ng h(  p này &G ngDn gCn ng'9 i ta kí hi=u là  H k  (Ω) .
Ta &i xét v?n &; x? p x+ m3t hàm thu3c không gian W  pm  (Ω)  bTng các hàm
thu3c C ∞ (Ω ) .


 

 14

&'nh
&'
nh lí 10.
Gi/ s@   Ω  là mt mi A n thuc R n  và Ω '  là mt mi A n con c*a Ω  sao cho

Ω ' ⊂ Ω . N :: u  u ∈ W  pm (Ω),  thì
lim uh − u
h→0

W pm ( Ω )

= 0.  

Ch< 
Ch
< ng
ng minh
Theo &Inh lí 9 ta có

uh − u

 p

W pm

1
 p

α
=
(uh − u ) dx  
D

∑
 
(Ω )
 α ≤ m  ∫ 
 
Ω'
'

1
 p


 
 p
α
α

=  ∑ ∫ ( D u)h − D u) dx  
   
m
α
 ≤
'
 
Ω

 

(4.2).

ONt vα   = Dα u . T] &Inh lí 6 suy ra

∫ 

 p

(vα )h − vα dx → 0, h → 0  

(4.3).

Ω'

T] (4.2) và (4.3) ta nhn &'( c

uh − u W  pm ( Ω ') → 0, h → 0.  
&'nh
&'

nh lí 11.
  ∞

m
Gi/ s@  dãy
 dãy {u j }  các phFn t @ 
@  cc*a không gian W  p   (Ω)  b< chPn

=1

u j

  ≤ C , C = const    

W  pm ( Ω )

 Ngoài ra, gi/ s@  dãy
 dãy này hi t C y: u trong không gian  L p (Ω)  t 77 i  mt
  ∞

hàm u ( x ) khi  j → ∞ . Khi $ ó {u j } j =1  hi t C y: u trong không gian  L p (Ω)  
t 77 i  hàm u ( x ) ∈ W  pm (Ω)  và

u W  pm (Ω)  ≤ C .  


 

 15

Ch< 
Ch
< ng
ng minh
Ta có

∫

ϕ(

∫ 

) Dα u j ( x)dx = (−1) α u j ( x) Dα ϕ ( x)dx  

Ω

Ω
0

 

∞

>   &ó ϕ ( x) ∈ C  (Ω) . Oi;u này kéo theo dãy { Dα u j ( x)} j =1   h3i tQ  yLu trong
 

∞

 L p (Ω)  t/ i hàm vα ( x) . Ta có
0

∫ ϕ ( x)v ( x)dx = (−1) ∫ u( x)D ϕ ( x)dx, ∀ϕ ( x) ∈ C  (Ω).  
α

 

 

α

∞

α

Ω

Ω

α
Do &ó &.o hàm suy r 3ng  D u ( x)  t8n t.i và bTng vα ( x ) . H) n nMa

 D u ( x)
α

 p

≤ lim D u( x)
α

 p − 2

Dα u( x) Dα u ( x) dx

 L p ( Ω )    j →∞ Ω

∫ 

 j

 

 p −1

m sup Dα u j ( x) L ( Ω ) .  
≤  Dα u ( x)  L (Ω )  jli→∞
 p

p

T] &ó nhn &'( c

u ∈ W pm (Ω), u W  pm ( Ω ) ≤ C.  

 

&'nh
&'
nh lí 12.
 N : 
: u

Ω   là

mt miA n thuc R n , thì không gian C ∞ (Ω)   trù m)t trong

W  pm  (Ω) .

&'nh
&'
nh lí 13.
Gi/ s@   U   là mt hình h p trong R n  

U = { x ∈ R n : −a j < x j < a j , j = 1, ..., n ,  
), p ≥ 1. Khi $ ó t En t %i mt hàm u1 ∈ W  pm (R )  sao cho u1 ( x) = u ( x)  
và u ∈ W pm (U ),
v7 i m-i ∈ U   và

x R n : 2a

sup u ( x) U
1

⊂

1

={ ∈

−

 j

x

<

2a , j 1, ..., n ,
j

<

j

=

}

 


 

 16
 h8 n nM a

u1 ( x) W pm ( R n ) ≤ C u( x) Wpm (U ) ,  
L  $ ó C là hN ng
ng s'  không
 không phC thuc vào hàm u.
0

m

1.1.6. Không gian W p (Ω), 1 ≤ p < ∞  
0

0

m
 p

óng c*a C ∞ (Ω)  trong chu> n
 Không gian W (Ω), 1 ≤ p < ∞  là bao $ óng
c*a không gian W  pm  (Ω) .

&'nh lí 14. ( Friedrichs)
&'nh
n
ng s'  
Gi/  s@   Ω   là mt miA n b<  chPn trong R  . Khi $ ó t En t %i mt hN ng

C = C (Ω) , phC thuc vào Ω  sao cho
1

1
 p

0
n
 p

 p
u
 u  p dx  
 
∂
,  v7 i m-i hàm u ∈W  p1 (Ω).  
  = u  L ( Ω) ≤ C  ∫ ∑ ∂ x dx  
∫
 
i
Ω i =1
Ω
 
 p

&'nh lí 15.
&'nh
0

m
Khi $ ó u( x) ∈W  p (Ω).  
Gi/ s@   u ( x) ∈W (Ω), p ≥ 1  và sup pu( x)  ⊂⊂ Ω.   Khi
m
 p

&'nh lí 16.
&'nh
  ∞

Gi/ s @   {u j ( x)

0

=1  trong

không gian W pm (Ω ),), p ≥ 1  hi t C y : u trong không

 gian  L p (Ω)   t 77 i  hàm u ( x) h8 n nM a dãy này b<  chPn. Khi $ ó u ( x) c0ng b<  chPn
0

m
và u ( x) ∈ W  p (Ω).  

&'nh
&'
nh lí 17.
0

Các không gian W  pm (R n )  và W  pm (R n )  là trùng nhau.

1.1.7. Không gian W2m,l (U T  )  
Gi/ s@   Ω  là mt miA n trong R n  và T = const > 0.
 Kí hiQu


 

 17
U T  = Ω × ( 0, T ) =  {( x, t ) : x ∈ R n , t ∈ (0,T )}    

 

và g -i nó là tr C v7 i chiA u cao T và $ áy
áy Ω .
W2m,l (U T )   là không gian Sobolev bao g Em t .. t  c/  các hàm

u ( x, t ) ∈ L2 (U T  ) ,  sao cho t En t %i t ..  t c/ các $%o hàm suy r ng theo x $: n t )n c.  p
m và theo t $: n t )n c.  p l thuc  L2 (U T  ),  trong nó trang b< chu> n
1
2

u W m ,l 
2

l 

 
∂ k u
α
=
+
D
u
d
x
d
t
d
x
d

t

 
  
∑
k 
∫
∫ 
(U  )
 α∑
 
∂
t 
 ≤ m U
k =1 U 

(4.4).  
(4.4).

T 

T

T 

Tr '9 
'9 ng
ng h(  p l = 2,
2, sP h.ng thB hai trong vL ph7i c5a (4.4) coi nh' không có.
m ,l 

Không khó kh$n có thG  kiGm tra &'( c W2 (U T ) là m3t không gian

Banach, h) n nMa, nó là không gian Hilbert v / i tích vô h'/ nngg &'( c sinh t] chuWn
(4.4).
0
m ,l 
2

W (U T ) là không gian con c5a W2m,l (U T  ),  bao g8m t?t c 7 các hàm u(x,t)
u(x,t)  
0
m ,l 
2

∂Ω × ( 0,
0,T 
T ) . Oi;u &ó có ngh S a là, u ( x, t ) ∈W
 bTng không gAn biên ST  = ∂Ω×

(UT  )  

khi và ch+ khi t8n t.i dãy
∞

{uk ( x, t )}k =1  ∈  C ∞ (UT ), uk ( x, t ) =  0,  
khi &ó ( x, t ) ∈UTδ = {( x, t ) ∈UT : dist {(x ,t ), S T } < δ }   và uk  → u   trong W2m,l (U T  )  

 → ∞.  
khi k  →
0

m ,l 
2

W (U T )  c_ng là m3t không gian Hilbert.

1.2 MQ
MQt vài không gian cD
cDa các hàm
1.2.1. Không gian hàm  H −1  
 nh. t c*a  H 01 (U ).  
&'nh
&'
nh ngh N a 1.  H −1 (U )  là không gian $' i ng RR  u thS  nh

&'nh ngh N a 2.  N 
&'nh
N :: u   f ∈ H −1 (U ),  chu> n xác $
 f  

1
0

  = sup { f,u u ∈ H (U ), u

 H −1 (U )

H 01 (U )

≤ 1}.

 

 18

 
&'nh
&'
nh lí 1. (  TPc tr 3 
3 ng
ng quan tr -ng c*a  H −1 )
(i) Gi/  s@    f ∈ H −1 (U ) khi $ ó xu. t hiQn các hàm  f 0 , f 1 , ....., f n   trong
 L2 (U )  

 sao cho

∫ 

0

(1)  f , v = f v +
U 

n

∑ f v dx(v ∈ H (U )).  
i =1

1

0

i

 xi

(ii) H 88  n nM a

 n i 2  
 f  H − (U ) = in  f  ∫ ∑ f dx   |  
 
 U  i =0
1

2

1

n
0
2
 f   tho/ mãn (1) cho  f , ..., f ∈ L (U )} .  

1.2.2. Không gian ph>
ph> thu
 thuQQc thR 
thR i gian
&'nh
&'
nh ngh N a 3. Không gian L p(0,T;X) g Em t ..  t c/ các hàm $ o $3B c

u : [ 0,T ] → X  v7 i


∫ 
0
T 

1
 p

 
 

 p

(i)

u  L p ( 0,T ; X ) : =  u(t ) dt   <  ∞,   v7 i 1 ≤  p < ∞.  

(ii)

u  L∞ ( 0,T ; X ) : = ess sup u(t ) <  ∞.  
0 ≤ t ≤T 

1

1

 Khi p=1, u ∈ L (0, T ; X ) .  Ta nói v ∈ L (0, T ; X )  là
  $%o hàm suy r ng c*a u

vi: t là
u’ = v
 sao cho
T

T 

0

0

∫ φ '(t)u(t )dt = −∫ φ (t )v(t )dt,   
v7 i m-i hàm th@   φ ∈  Cc∞ (0, T ).  

&'nh
&'
nh ngh N a 4.  Không gian hàm C ([0,T ] ; X )  bao g Em t .. t  c/ các hàm


 

 19
 liên t Cc

u : [0,T ] → X  v7 i

u C ([0,T ]; X ) : = max u (t ) < ∞.  
0≤t ≤T 

2

−1
2
1
&'nh
&'
nh lí 2. Cho u ∈ L ( 0, T ; H 0 (U ) ) ,   v7 i u ' ∈ L ( 0, T ; H (U ) ) .  

(i) Khi $ ó
u ∈ C ([ 0, T ]; L2 (U ) ) .  

(ii) Ánh x% 
2

t  u (t )  L2 (U )  
là liên t Cc tuyQt $' i,i, v7 i

d 
2
u (t )   L2 (U ) = 2 u '(t ), u (t )  ,  a.e. 0 ≤ t ≤ T .
dt 
(iii) Xa h8 n,
n, ta có b. t $V ng
ng thS c
max u (t )  L2 (U ) ≤ C ( u
(10)
0≤ t ≤T 

L2 ( 0,T ; H 01 (U ))

+ u ' L ( 0,T ;H − (U )) ) ,  

C là hN ng
ng s'  ph
 phC thuc duy nh. t vào T.

1.3. Các bS
bSt @T
@Tng
ng th< 
th< c
1.3.1. BSt @T
@Tng
ng th< 
th< c Gronwall – Bellman 
&'nh
&'
nh lí 3. Gi/ s@  các
 các $ iA u kiQn sau $3B c thIa mãn
(i) u (t ) ≥ 0; f (t ) ≥ 0; t ≥ t0 ; C ≥ 0 ,  
+   ∞) ,  
(ii) u(t ), f (t ) ∈ C[t 0 ;+∞
t 

∫ 

dt1.   
(iii) u (t ) ≤ C + f (t1 )u (t1 ) dt
t 0

 Khi $ ó

 t 

u (t ) ≤ C . e  xp  ∫ f (t1 ) dt1  .  
t 

0

1.3.2. BS
BSt @T
@Tng
ng th< 
th< c nW
nWng l89 
l89 ng
ng

2

1


 

 20

&'nh
&'
nh lí  4. T En t %i mt hN ng
ng s'   α , β  > 0  và γ   ≥ 0  sao cho

(i)

 B [u, v ] ≤ α u  H01 (U ) v

H 01 (U )

, 

và
(ii)

2

β u  H 1 (U )

≤ B [u, u ] + γ u 2L (U ) ,  
2

0

trong $ ó  B [u, v ] =

n

∫ ∑ a

U  i , j =1

i, j

u xi vx j +

n

∑ b u v + cuvdx,  v7 i u, v ∈ H (U ).  
i =1

i

xi

1
0


 

 21

 
CHF! 
CH
F! NG
NG 2
TÍNH &X
&XT
T &ÚNG CY
CYA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET
&II VZ 
&II

VZ I PHF! 
PHF! NG
NG TRÌNH PARABOLIC C[
C[P HAI
2.1. M\ 
M\  @]
@]u
u
2.1.1. Thi^
Thi^t l4
l4p bài toán
Gi7  sY  U là m3t t p m> , bI  chNn trên không gian R n , và &Nt
UT  = U × ( 0, T ]   v/ i biLn th9 i gian T > 0. Ta sZ nghiên cBu &i;u ki=n ban &Au -

&i;u ki=n biên b> i

ut + Lu = f , trong UT ,  

u = 0, tr ên ∂U × [0, T ],  


u = g , tr ên U × {t = 0} , 


(1)

 → R  là các hàm &ã cho, và u : U T   → R  là hàm
trong &ó  f : U T   → R   và  g : U  →
ch'a biLt, L là m3t toán tY vi phân c? p hai có d.ng
(2)

 Lu = −

n

n

∑ (a (x, t)u ) + ∑ b ( x, t)u
ij

 xi x j

i , j =1

i

i =1

xi

+ c( x, t )u,  

hoNc khai triGn thành
(3)

 Lu = −

n

∑ a ( x, t )u

n

ij

 xi x j

i , j =1

+ ∑ bi ( x, t )ux + c( x, t )u,  
i

i =1

aij, b j, c ( i, j = 1,…,n) là các h= sP.

&'nh
&'
nh ngh N a.
a.  Gi/  s@  toán
  toán t @ 
@  vi
vi phân

∂  L
+   g -i là toán t @ 
@  Parabolic
Parabolic m%nh
∂t 

n: u t En t %i mt hN ng
ng s'   θ  > 0  sao cho
n

(4)

∑ a ( x, t )  ξ ξ
ij

i j

i , j =1

$ úng
úng v7 i m-i ( x, t ) ∈U T  , ξ ∈ R.n .  

Gi7 sY r Tng

≥θ ξ 2 ,  


 

 22
 

a ij , bi , c ∈ L∞ (U T  ) ( i , j = 1, n),  

(5)
(6)

 f ∈ L2 (U T ) ,

(7)

 g ∈ L2 (U ) ,
ij

ji

trong &ó a = a
(i, j = 1, n).  
Kí hi=u d.ng song tuyLn tính phQ thu3c vào th9 i gian
(8)

 B [u, v; t ] :=

n

n

∫ ∑ a (., t)u v +∑ b (., t)u v +c(., t)uvdx,  
ij

U  i , j =1

 xi x j

i

i =1

xi

1
  a.e. t ∈ [0,T ] .
v/ i u, v ∈ H 0 (U )  và

Chúng tôi gCi bài toán (1) là bài toán biên ban &Au thB  nh?t &Pi v/ i
 ph') ng
ng trình Parabolic c? p hai.

2.1.2. Mô típ cD
cDa @'
@'nh
nh ngh N a nghiA
nghiAm suy rQ
rQng
OG mô t7 &Inh ngh S a nghi=m suy r 3ng, chúng ta gi7 sY r Tng u = u(x,t) 
u(x,t) 
là m3t hàm nghi=m tr )) n  c5a bài toán (1). Coi u là m3t ánh x. 
u : [ 0, T ] → H 01 (U )  

xác &Inh b> i

 

[u (t )] ( x) : = u ( x, t ) ( x ∈U ; t ∈ [0, T ]) . 

Trong &Inh ngh S a &ó xét u không giPng nh' hàm

 hàm x
 x và
 và t  cùng
 cùng nhau
nh'ng giPng nh' m3t ánh x. u c5a t  vào
 vào không gian  H 01 (U )  c5a các hàm x
hàm x..

Oi;u này ch+ ra biGu diXn sau &ây
>  ll.i bài toán (1) ta có &Inh ngh S a t') ng
tr > 
ng t* 
 f : [ 0, T ] → L2 (U )  

 b> i

[ f (t )] ( x) : = f ( x, t ) ( x ∈U ; t ∈ [0, T ]) .

1
Khi &ó nLu cP &Inh hàm v ∈ H 0 (U ) , ta có thG nhân ph') ng
ng trình &.o hàm

riêng

∂u
+ Lu = f   b> i v và tích phân chúng, ta &'( c
∂t 


 

 23
 

d 
(u ', v) + B [u , v; t ] = ( f , v)  ' =  ,  
dt 

(9)

ng trong  L2 (U ) .
v/ i mbi t ∈ [0, T ] ,  cN p kí hi=u ( , ) là tích vô h'/ ng
Ta th?y
0
(10) ut = g +

0

Cho

: =  f −

n

∑ g 

x j

 j =1

n

∑b u
i

i =1

 xi

 trong U TT  . 

− cu  và

 j

:=

n

∑a u
ij

( j = 1,
1, n).  

 xi

i =1

T] (10) và &Inh ngh S a không gian &Pi ng1u kéo theo vL  ph7i c5a (10) thu3c

không gian Sobolev  H −1 (U )  ta &'( c

u
t 



n

1

 H −

(U )

 j = 0
≤  ∑

g  j

2
 L2 (U )

1
2

 

  ≤
 

C u

(

1
H 0 (U )

f

+

2

L (U )

.  

) 

Oánh giá này g( i ý r Tng có thG tìm nghi=m suy r 3ng v/ i u ' ∈ H −1 (U )  
'9 ng
a.e. t ∈ [0,T ] ,  trong tr '9 
ng h(  p này sP  h.ng tY  &Au tiên trong (9) có thG  biGu
diXn giPng < u ', v >,  < , > kí hi=u là m3t cN p c5a  H −1 (U )  và  H 01 (U ) .

2.1.3. NghiA
NghiAm suy rQ
rQng
2

1
&'nh
&'
nh ngh N a.
a.  M t hàm u ∈ L2 (0, T ; H 01 (U )) ,  v7 i u ' ∈ L (0, T ; H − (U )) , 

$3B c g -i là nghiQm suy r ng c*a bài toán biên ban $Fu thS   nh. t n: u nó thIa

mãn các $ iA u kiQn sau

(i) < u ', v > + B [u, v; t ] = < f , v > , ∀v ∈ H 01 (U ) , a.e. t ∈ [0, T ] ,  
và

(ii) u(0) = g.    

Chú ý 1. 
Theo &Inh lí 2 c5a 1.2.2. ch') ng
ng 1 th?y u ∈ C ([0, T ] ; L2 (U ) ) ,    và do &ó

&Rng thBc (ii) hiGu theo ngh S a trù mt.


 

 24
 M t hàm u $3B c g -i là nghiQm cW   $ iX n c*a bài toán (1) n: u

 

u ∈ C 2,1(U T ) ∩ C (U T )  và

  tho/ mã
 mãn (1).

Gi7  sY u là nghi=m c U  &iGn c5a bài toán trên. Khi &ó ∀v ∈ C0∞ (U ) . Nhân
hai vL  c5a &Rng thBc ut  + Lu = f   v  / i η   r 8i l?y tích phân hai vL trên tr Q  U T    ta

&'( c
(11)

n
 ∂u

∂  ij ∂u   n i ∂u
v + ∑ b v + cuv  dx = ∫ fvdx  
 a
 
∫U  ∂t v − i∑
 
∂
x
∂
x
∂xi
, j =1
i =1

i 
j  
U 

Áp dQng công thBc tích phân t]ng phAn và &i;u ki=n biên ta có
n
∂  ij ∂u  
ij ∂u ∂v
=
−
a
v
d
x
a
dx.  

 
∑
∫U i∑
∫ 

 
 x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
, j =1
i 
j  

j
i
U  i , j =1
n

Thay vào (11) ta &'( c
n
n
 ∂u

i ∂u
ij ∂u ∂v
∞
+
+
+
=
∀
∈
,
(U ).   
v
a
b
v
c
u
v
d
x

f
v
d
x
v
C


∑
∑
0
∫U  ∂t i, j=1 ∂x j ∂xi i=1 ∂xi
∫ 

U 

Oi;u này có ngh S a là

< u ', v > + B [u, v; t ] = < f , v >, ∀v ∈ C0∞ (U ) , a.e. t ∈ [0, T ] .
 Nh'ng do C0∞ (U )  trù mt trong  H 01 (U )   suy ra &Rng thBc trên &úng v/ i

∀v ∈ H 01 (U ).   MNt khác t]  u ∈ C 2,1 (U T ) ∩ C (U T  )   và &i;u ki=n biên c5a bài toán
(1) suy ra u ∈ H 01 (U ).  
Ta th?y r Tng nLu bài toán có nghi =m cU &iGn thì luôn có nghi =m suy r 3ng
tuy nhiên &i;u ng'( c l.i không &úng vì nghi=m cU  &iGn &òi hKi hàm u có &.o
hàm theo  xi   &Ln c? p c5a ph') ng
ng trình c? p hai và &.o hàm theo t &Ln c? p m3t
Trong khi &ó nghi=m suy r 3ng c5a bài toán ch+  &òi h Ki &.o hàm suy r 3ng theo

&Ln c? p m3t.

B> i vy trong ph') ng
ng trình &.o hàm riêng hi=n &.i ng'9 i ta &i tìm
nghi=m suy r 3ng c 5a bài toán và chBng minh t8n t .i duy nh?t nghi=m suy r 3ng.


 

 25
Sau &ó &i tìm m3t sP &i;u ki=n &G nghi=m suy r 3ng có thG thành nghi=m cU &iGn
hoNc nghi=m hAu khD p n) i c5a bài toán .

2.2. S_ 
S_  t`
 t`n t;
t;i duy nhS
nhSt cD
cDa nghiA
nghiAm suy rQ
rQng
2.2.1. MQ
MQt ss66 @ánh giá tiên nghiA
nghiAm
Chúng ta &ã xây d*ng nghi=m suy r 3ng c5a bài toán biên ban &Au thB nh?t
 bTng ph') ng
ng pháp x? p x+  Galerkin.
Gi7  sY các hàm ωk = ωk ( x)  ( k =1,…) là
=1,…) là tr ) 
)n  và
  ∞

(12) {ωk }k =1  là tr *c giao c5a  H 01 (U ),  
  ∞

và (13) {ωk }k =1  là tr *c chuWn c5a  L2 (U ).  
CP &Inh m3t sP nguyên d') ng
ng m, ta tìm &'( c m3t hàm
1
(14) um : [0, T ] → H 0 (U )  

có d.ng um (t ) : =

d mk  (t )

m

∑d
k =1

(t )  ωk ,   

là h= sP, ( 0 ≤ t ≤ T ; k = 1, ..., m).  

do &ó (15) d mk  (0) = ( g , ω k  )
và

k 
m

 

( k = 1, ..., m).  

(0  ≤ t ≤ T , k
(16) (um′ , ω  k ) + B [um , ω k ; t ] = ( f , ωk ) (0

= 1, ..., m) .

Ta tìm &'( c m3t hàm um  có d.ng (14) tho7 mãn nh'  là m3t phép chiLu
m

(16) c5a bài toán (1) lên không gian con hMu h.n biGu diXn b> i {ωk }k =1 .
&'nh
&'
nh lí 1. ( C   u tr
tr úc c $a ng
ng hi 'm x  
 p
  x  )
**  
 M GG i  s'  nguyên
  nguyên m = 1,…sY   xu. t hiQn duy nh. t mt hàm um  có d %ng (14)
tho/  mãn (15), (16).

Ch< 
Ch
< ng
ng minh
Gi7 sY um có c?u trúc nh' (14), t] (13) ta có
(17)
MNt khác

um′ (t ),   ωk  =

m

∑d
k =1

m

k 
m

(t )  ω k , ω k  =

∑

k =1

d mk ' (t )  ω k , ω k  = d mk ′ ( t ) .