Áp dụng BĐT tìm cực trị.doc

CHUYÊN ĐỀ
ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM CỰC TRỊ
A.Mục tiêu
•
Học sinh biết áp dụng bất đẳng thức vào giải một số dạng toán
tìm cực trị
•
Rèn kĩ năng vận dụng nhận dạng, đưa bài toán vế các dạng cơ
bản để thuận tiện cho việc tìm cực trị
•
Giáo dục lòng đam mê toán học cho học sinh
B.Chuẩn bị
•
Sách “Bất đẳng thức chọn lọc cấp II”
•
Sách “ 263 bài toán bất đẳng thức chọn lọc”
•
Các loại sách nâng cao THCS và một số tài liệu khác
C.Nội dung
I.Các ví dụ minh họa

Dạng 1: Đưa về dạng
2
( ) ( )f x a g x= ±
Ví dụ 1
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2 1
2
2
x

y
x
+
=
+
Giải: ta có
2 2 2
2 2 1 ( 1)
1 1
2 2
2 2
x x x x
y
x x
+ − + − −
= = − ≤
+ +
dấu bằmg xảy ra khi x=1
Do đó Maxy=1 khi x=1
Ví dụ 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của y=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
Giải: ta có y=[(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)] = (x
2
+5x-6)(x
2
+5x+6)
§µo Anh Dòng 1
=(x
2
+5x)

2
-36≥ -36
Dấu bằng sảy ra khi: x
2
+5x=0 ↔ x=0 hoặc x= -5 .
Vậy Miny=-36 khi x=0 hoặc x=-5
Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức
F(x,y)=xy-x
2
-y
2
-2x-3y
Giải: 1/2[(2xy-x
2
-y
2
)-(x
2
+4x+4)-(y
2
-4y+4)]+4
=4-1/2[(x-y)
2
+(x-2)
2
+(y+2)
2
]≤ 4
Vậy f(x,y) đạt giá trị lớn nhất bằng 4 khi y=x=-2


Dạng 2:Dùng tam thức bậc hai (Đưa vềdạng ax
2
+bx+c)
Ví dụ1: Xác định tham số a,b sao cho mỗi hàm số
ax+b
2
x 1
y =
+
đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất
bằng -1
Giải: Vậy ta phải tìm a,b để
ax+b
1 4
2
x 1
− ≤ ≤
+
với mọi x thuộc R
↔
ax+b
4
2
x 1
ax+b
1
2
x 1


≤


+


≥ −

+

với mọi x thuộc R
↔
2
4 ax+4-b 0
2
x ax+b+1 0
x

− ≥



+ ≥

với mọi x thuộc R
↔
2
1 16(4 ) 0 3
2 4
2 4( 1) 0

a b b
a
a b

∆ = − − = =


↔
 
= ±


∆ = − + =

vậy a=4 , b=3 hoặc a=-4 , b=3 thì f(x,y)=
ax+b
2
x 1+
đạt giá trị lớn
nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
§µo Anh Dòng 2
T= │x-1|+│x-2| + │x-3| +│x-4|
Giải: ta có |x-1| + |x-4|= |x-1|+|4-x| ≥ |x-1+4-x|=3
dấu bằng sảy ra khi (x-1)(4-x)≥0 hay 1≤ x ≤4 (1)
tương tự │x-2|+│x-3|=│x-2|+│3-x| ≥ │x-2+3-x|=1.
Dấu bằng sảy ra khi (x-2)(3-x)≥0 hay 2≤x≤3 (2)
Tứ (1) và (2) ta có T= │x-1|+│x-2| + │x-3| +│x-4|≥ 3+1=4
Dấu bằng sảy ra khi 2 ≤x≤3
Vậy min T=4 khi 2≤x≤3


Dạng 3: dựa vào miền xác định của hàm số
-
Phương pháp: gọi f(x
0
)=0 tìm biến f(x
0
) ≠0 dùng
∆
tính giá trị
lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Y=2x+1/x
2
+2 có nghiệm
↔ y
0
x
2
+y
0
-2=2x+1
↔ y
0
x
2
-2x+2y
0
-1=0 có nghiệm (1)
1)Nếu y

0
=0 ↔ x=-1/2
2)Nếu y
0
≠0 ↔ (1) có nghiệm ↔ Δ’=1-y
0
(2y
0
-1)≥0 ↔
-2y
0
2
+y
0
+1≤0
↔ -1/2≤y
0
≤1
Vậy Miny=-1/2 và Maxy=1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
1
2
1
x
y
x x
+
=
+ +
có nghiệm

↔ yx
2
+ (
y-1)x+y-1=0 có nghiệm (1)
1) Nếu y1=0 ↔ x=-1 (2)
2) Nếu y1≠0 thì (1) có nghiệm
§µo Anh Dòng 3
Δ=(y1-1)
2
-4y1(y1-1)≥0
↔ (y1-1)(-3y1-1)≥0
↔ -1/3≤y1≤1 (3)
Từ (2) và (3) ↔ -1/3≤y≤1
Vậy Miny=-1/3 và Maxy=1

Dạng 4: dùng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopsky
+với a
1
,a
2
,a
3
,…,a
n
≥0 ta luôn có:
n
a1+a2+...+an n a2.a2...an≥
dầu bằng xảy ra ↔ a
1
=a

2
=…=a
n
(cauchy)
+Với 2n số a
1
,a
2
,…,a
n
; b
1
,b
2
,…,b
n
ta luôn có
(a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
)

2
≤ (a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
)( b
1
2
+b
2
2
+…+b
n
2
)
dấu bằng xảy ra ↔ a
1
/b
1
= a
2
/b
2
= …= a
n

/b
n
Ví dụ 1: Cho x,y là các số thay đổi sao cho x≤3 , 0≤y≤4 Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức
A= (3-x)(4-y)(2x+3y)
Giải: Ta có A=1/6.2(3-x)3(4-y)(2x+3y)=1/6(6-2x)(12-3y)
(2x+3y)
Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số không âm ta được
(6-2x)(12-3y)(2x+3y)≤ [(6-2x)(12-3y)(2x+3y)]
2
/3=6
3
→ A≤36
MaxA=36 ↔ 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của
S=abc(a+b)(b+c)(c+a) với a,b,c>0 và a+b+c=1
Giải:
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số ta có

3
1 a b c abc= + + ≥
↔ abc=1/27 (1)
§µo Anh Dòng 4
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/3

3
2=(a+b)+(b+c)+(c+a) 3 (a+b)(b+c)(c+a)≥

↔ (a+b)(b+c)(c+a)≤2/27 (2)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/2

Từ (1) và (2) ↔ S≤ 8/729
Vậy MaxS=8/729 khi a=b=c=1/3
Ví dụ 3: Cho ab+bc+ac=1 tìm giá trị nhỏ nhất của a
4
+b
4
+c
4
Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacopsky ta có
1=(ab+bc+ca)
2
≤ (a
2
+b
2
+c
2
)(a
2
+b
2
+c
2
)= (a
2
+b
2
+c
2
)

2
(1)
Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho ba cặp số (1,1,1) và
a
2
+b
2
+c
2
Ta có (a
2
+b
2
+c
2
)
2
≤ 3(a
4
+b
4
+c
4
) (2)
từ (1) và (2) ↔ a
4
+b
4
+c
4

≥1/2
Vậy Min(a
4
+b
4
+c
4
)=1/3 ↔
3
a=b=c=
3
±
II.Bài tập áp dụng
1.Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
Y=(4x+3)/(x
2
+1)
3.Tìm giá trị lớn nhất của
S=x
6
+y
6
biết x
2
+y
2
=1
4.Tìm Giá trị nhỏ nhất của

Y=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
5. Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình
x
2
+2(m-2)x-3m+10=0
§µo Anh Dòng 5