Giáo án dạy học TOÁN 11 theo định hướng phát triển phẩm chất năng lực

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Thời lượng dự kiến: 04 tiết
Giới thiệu chung về chủ đề: Trong tốn học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là
các hàm tốn học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hồn. Các
hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vng chứa
góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Những định
nghĩa hiện đại hơn thường coi các hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một số phương
trình vi phân, điều này cho phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số phức bất kì. Các
hàm lượng giác khơng phải là các hàm số đại số và có thể xếp vào loại hàm số siêu việt. Hàm số lượng giác
diễn tả các mối liên kết và được dùng để học những hiện tượng có chu kỳ như: sóng âm, các chuyển động cơ
học,… Nhánh toán này được sinh ra từ thế kỷ thứ 3 trước Cơng ngun và nó là một trong những lý thuyết
cơ bản cho ngành thiên văn học và ngành hàng hải hiện nay . Ta sẽ tiếp cận chủ đề này trong tiết học hôm
nay.
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Nắm được định nghĩa, tính tuần hồn, chu kỳ, tính chẵn lẻ, tập giá trị, tập xác định, sự biến thiên
và đồ thị của các hàm số lượng giác.
2. Kĩ năng
- Tìm được tập xác định của các hàm số đơn giản
- Nhận biết được tính tuần hồn và xác định được chu kỳ của một số hàm số đơn giản
- Nhận biết được đồ thị các hàm số lượng giác từ đó đọc được các khoảng đồng biến và nghịch biến
của hàm số
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Tìm số giao điểm của đường thẳng ( cùng phương với trục hoành) với đồ thị hàm số
3.Về tư duy, thái độ
- Phân tích vấn đề chi tiết, hệ thống rành mạch.
- Tư duy các vấn đề logic, hệ thống.
- Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm
- Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tịi nghiên cứu liên hệ thực tiễn
- Bồi dưỡng đạo đức nghề nghiệp, tình yêu thương con người, yêu quê hương, đất nước
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng

cao.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề,
năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
- Đọc trước bài
- Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng …
- Làm việc nhóm ở nhà, trả lời các câu hỏi được giáo viên giao từ tiết trước (thuộc phần HĐKĐ), làm thành
file trình chiếu.
- Kê bàn để ngồi học theo nhóm

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận đến khái niệm hàm số lượng giác.
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
hoạt động
- Nội dung: Đặt vấn đề dẫn đến tình huống việc cần thiết phải nghiên
cứu về hàm số lượng giác.
- Dự kiến sản phẩm:
- Phương thức tổ chức: Hoạt động các nhân – tại lớp
+ Trên các đoạn đó đồ thị có hình dạng
Phát (hoặc trình chiếu) phiếu học tập số 1 cho học sinh, đưa ra hình giống nhau.


ảnh kèm theo các câu hỏi đặt vấn đề.

+ Qua phép tịnh tiến theo v

(b a; 0) biến

đồ thị đoạn a;b thành đoạn b; 0 và biến
đoạn b; 0 thành …
ĐVĐ: Chúng ta thấy các đồ thị đã học
khơng có đồ thị nào có hình dạng như thế.
Vậy chúng ta sẽ nghiên cứu tiếp các hàm
số đồ thị có tính chất trên.
- Đánh giá kết quả hoạt động: Học sinh
tham gia sơi nổi, tìm hướng giải quyết vấn
đề. Ban đầu tiếp cận khái niệm hàm số
lượng giác.
B

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Mục tiêu: Xây dựng các hàm số lượng giác. Xác định được tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác .
y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x. . Nắm được khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ T. Sự biến thiên và đồ
thị của các hàm số lượng giác.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
I. ĐỊNH NGHĨA
1. Hình thành định nghĩa hàm số lượng giác:

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động
* Xây dựng được hàm số lượng giác và tập

xác định của chúng.

Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân tại lớp. (Đưa ra cho
* Kết quả phiếu học tập số 2
học sinh phiếu học tập số 2 cùng 4 câu hỏi đặt vấn đề)
TL1:Theo thứ tự là trục Ox, Oy, At, Bs
TL2:
sin  = OM 2 , cos  = OM 1

sin 
cos 
, cot  = OS =
cos 
sin 
TL3: Cứ một giá trị .  .xác định được
duy nhất sin  ;cos  ; tan  ;cot  tương
ứng
TL4:
sin  ;cos  xác định với mọi 
tan  xác định khi
tan  = OT =

cos   0   



+ k
2
cot  xác định khi sin   0    k

VD 1: Hoàn thành phiếu học tập số 3
Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm, làm việc độc lập tại
lớp.
- GV: chia lớp làm 04 nhóm , giao mỗi nhóm 01 bảng
phụ và bút dạ. Yêu cầu HS hoàn thiện nội dung trong phiếu học
tập số 3
- HS: Suy nghĩ và trình bày kết quả vào bảng phụ.
VD 2: Hàm số nào dưới đây có tập xác định là


D = \  + k , k   .
2


* Giáo viên nhận xét bài làm của học sinh,
từ đó nêu định nghĩa hàm số LG và tập xác
định của chúng.
* Học sinh xác định được tính chẵn lẻ của
các hàm số lượng giác.
- Hàm số y = cos x là hàm số chẵn .
- Các hàm số
y = sin x, y = tan x, y = cot x là hàm số
lẻ.
* GV nhận xét bài làm của các nhóm và
chốt lại tính chẵn lẻ của hàm số LG.
* Học sinh chọn được đáp án đúng cho các
ví dụ


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

A. y =

2x +1
cos x

B. y = cot x

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động
* GV nhận xét và cho kết quả đúng.

sin x + 3
.
sin x
VD 3: Hàm số nào là hàm số chẵn trong các hàm số dưới đây ?
2
A. y = x cos x
B. . y = ( x + 1) cos x .

C. y = cos x

D. . y =

2
C. y = cos x.cot x
D. y = ( x + 1) tan x
II. TÍNH TUẦN HỒN CỦA HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC
Khái niệm: Hàm số y = f ( x) xác định trên tập D được gọi là
hàm số tuần hồn nếu có số T  0 sao cho với mọi x  D ta có
( x  T )  R và f ( x + T ) = f ( x ) .

Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì
hàm số y = f ( x) được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T .
Kết luận: Hàm số y = sin x; y = cos x là hàm số tuần hoàn với
chu kỳ 2
Hàm số y = tan x; y = cot x là hàm số tuần hoàn với
chu kỳ 
Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp (Giáo viên
trình chiếu câu hỏi-Phiếu học tập số 4. Học sinh suy nghĩ trả
lời)
III. SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG
GIÁC
1. Hàm số y = sinx
- TXĐ: D = R và −1  sin x  1

* Hiểu và nắm được tính tuần hồn và chu
kì của hàm số lượng giác
* Kết quả phiếu học tập số 4
TL1: f ( x + 2 ) = f ( x)
TL2: g ( x +  ) = g ( x)
TL3: f ( x + k 2 ) = f ( x)
TL4: g ( x + k ) = g ( x)
TL5: T = 2
TL6: T = 
* GV nhận xét câu trả lời của học sinh và
nêu khái niệm tính tuần hồn và chu kì của
hàm số LG.

- Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hồn với chu kì 2
1.1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sin x. trên đoạn  0;  

*HS Quan sát hình vẽ kết hợp nghiên
cứu SGK nhận xét và đưa ra được sự
biến thiên của hàm số y = sin x trên
đoạn  0;  
* Lập được bảng biến thiên

 
Hàm số y = sin x đồng biến trên 0;  và nghịch biến trên
 2
 
 2 ;  
Bảng biến thiên

* Gv nhận xét câu trả lời của học sinh
và chốt kiến thức.


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động

Phương thức tổ chức : Hoạt động các nhân - tại lớp
1.2. Đồ thị của hàm số y = sin x trên đoạn  − ;  

* Từ các tính chất của hàm số y = sin x
học suy ra đồ thị của hàm số y = sinx
trên đoạn  − ;  
* Gv đặt một số câu hỏi gợi mở cho học

sinh để học sinh hiểu rõ hơn về đồ thị
của hàm y = sinx trên đoạn  − ;  

Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp (Gv gọi học
sinh lên bảng vẽ)
1.3. Đồ thị hàm số y = sinx trên R
Dựa vào tính tuần hồn với chu kỳ 2 . Do đó muốn vẽ đồ thị
của hàm số y = sin x trên tập xác định R , ta tịnh tiến tiếp đồ thị
hàm số y = sin x trên đoạn .  − ;   . theo các véc tơ v = ( 2 ; 0 )

* Học sinh biết vẽ đồ thị của hàm số
y = sinx trên R

và −v = ( −2 ;0 ) . Ta được đồ thị của hàm số y = sin x trên tập
xác định R

Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp (Gv gọi học
sinh lên bảng vẽ)
1.4. Tập giá trị của hàm số y = sinx
Tập giá trị của hàm số y= sinx là  −1;1 .
VD 4: Cho hàm số y = 2sinx - 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của hàm số trên R.
Ta có: −1  sin x  1  −2  2sin x  2  −6  2sin x − 4  −2
Vậy: GTLN của hàm số là -2 và GTNN của hàm số là -6
Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp (Gv gọi học
sinh lên bảng trình bày lời giải)
2. Hàm số y = cosx
- TXĐ: D = R và −1  cos x  1
- Là hàm số chẵn
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2



- x  ta ln có sin  + x  = cos x
2


* Gv nhận xét và chốt kiến thức
* Từ đồ thị hàm số y = sinx tìm ra được
tập giá trị của hàm số.
* Tìm ra được GTLN và GTNN của hàm
số đã cho
* Gv nhận xét lời giải của học sinh,
chỉnh sửa và đưa ra lời giải đúng hoàn
chỉnh.


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

  
Tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo véc tơ v =  − ;0  (tức là
 2 
sang bên trái một đoạn có độ dài bằng


) thì ta được đồ thị
2

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động
* HS hiểu được đồ thị của hàm số

y = cosx có được qua sự tịnh tiến đồ thị
hàm số y = sinx.

hàm số y = cosx.

- Bảng biến thiên
x

−



0

* Từ đồ thị lập được bảng biến thiên của
hàm số y = cosx

1
y = cosx
-1

-1

- Tập giá trị của hàm số y = cosx là : [-1 ; 1].
Đồ thị của hàm số y = sinx và y = cosx được gọi chung là các
đường hình sin
VD 5.Cho hàm số y = cosx. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên đoạn  − ;0 .
B. Hàm nghịch biến trên đoạn  0;   .
C. Hàm số đồng biến trên đoạn  0;  

  
D. Hàm số nghịch biến trên  − ;0 
 2 
VD 6: Cho hàm số y = cosx. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1
C. Đồ thị của hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng
D. Là hàm số chẵn
Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – tại lớp
3. Hàm số y = tanx


- TXĐ: D = \  + k , k  
2

- Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 
3.1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tanx trên nửa
 
khoảng 0; 
 2

* Từ đồ thị lấy được tập giá trị của hàm
số y = cosx
* GV nhận xét bài làm của học sinh,
phân tích nhấn mạnh và chốt nội dung
kiến thức cơ bản.
* Học sinh chọn được đáp án đúng cho
các ví dụ.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động
* Học sinh quan sát hình vẽ nêu được sự
biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa
 
khoảng 0; 2  và từ đó nhận biết được


đồ thị của hàm số.

 
Từ hình vẽ, ta thấy với x1 , x2  0;  và x1  x2 thì . Điều đó
 2
 
chứng tỏ hàm số y = tan x đồng biến trên nửa khoảng 0;  .
 2
Bảng biến thiên
x


2

0

+

y = tan x

0

 −  
3.2. Đồ thị hàm số y = tanx trên 
; 
 2 2
y

x
-


2

0


2

* Dựa vào định nghĩa và tính chất của
hàm số y = tanx vẽ được đồ thị trên
 −  
khoảng  2 ; 2 



3.3. Đồ thị của hàm số y = tanx trên tập xác định D
* Biết dùng phép tịnh tiến để suy ra đồ

thị hàm số y = tanx trên tập xác định D
( Gọi học sinh lên bảng vẽ)

- Tập giá trị của hàm số y = tanx là R
Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – tại lớp

* Dựa vào đồ thị hàm số y = tanx nêu
được tập giá trị.
* GV nhận xét các câu trả lời và bài
làm của học sinh, chốt nội dung kiến
thức cơ bản.


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động

3 

VD 7: Hãy xác định giá trị của x trên đoạn  − ;  để hàm số
2

y = tanx:
a) Nhận giá trị bằng 0
b) Nhận giá trị -1
c) Nhận giá trị âm
d) Nhận giá trị dương.

* Học sinh quan sát đồ thị hàm số

y = tanx đưa ra lời giải. Đại diện nhóm
lên trình bày.
KQ7
a) x  − ;0;  

Phương thức tổ chức :Hoạt động nhóm – tại lớp
4. Hàm số y = cotx
- TXĐ: D = \ k , k 



 3  5 
b) x  − ; ; 
 4 4 4 
 −    
c) x  
;0    ;  
 2  2 
d)

−      3 

x   − ;
   0;     ; 
2   2  2 

* GV nhận xét lời giải của các nhóm,
các nhóm chỉnh sửa lời giải ( nếu sai)

- Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 
4.1 Sự biến thiên của hàm số y = cot x trong nửa khoảng

( 0;  )
- Hàm số y = cot x nghịch biến trong khoảng ( 0;  )
- Bảng biến thiên
x

y = cot x

0
+



* Nêu được SBT và lập được BBT của
hàm số y = cotx trên khoảng ( 0;  )

−
Đồ thị hàm số trên y = cot x khoảng ( 0;  )

* Vẽ được đồ thị hàm số y = cotx trên
khoảng ( 0;  ) . Dựa đồ thị suy ra được
tập giá trị của hàm số.

4.2. Đồ thị hàm số y = cotx trên D (SGK)

Tập giá trị của hàm số y = cotx là R

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – tại lớp (Gọi học
sinh lên bảng vẽ đồ thị)

 
VD 8: Hãy xác định giá trị của x trên đoạn  ;   để hàm số
2 
y = cotx:
a) Nhận giá trị bằng 0
b) Nhận giá trị -1
c) Nhận giá trị âm
d) Nhận giá trị dương.
Phương thức tổ chức :Hoạt động nhóm – tại lớp

C

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động
* GV nhận xét các câu trả lời và bài
làm của học sinh, chốt nội dung kiến
thức cơ bản.

* Học sinh quan sát đồ thị hàm số
y = cotx đưa ra lời giải. Đại diện nhóm
lên trình bày.
KQ8

3

a) x=

b) x=
c)  x  
2
2
4
d) Khơng có giá trị x nào để cotx
nhận giá trị dương.
* GV nhận xét lời giải của các nhóm,
các nhóm chỉnh sửa lời giải ( nếu sai)

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học
sinh

Bài tập 1: Tìm tập xác định các các hàm số sau:
1 + cos x
1 + cos x
a) y =
b)
s inx
1 − cos x




c) y = tan  x − 
d ) y = cot  x + 
3

6


Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm- tại lớp

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt
động
* Học sinh biết cách tìm tập xác định của
các hàm số LG
KQ1
a) D = \ k , k  

b) D = \ k 2 , k  

 5

\  + k , k  
6


d) D = \ − + k , k  
 6

* GV nhận xét bài làm của các nhóm, các
nhóm chỉnh sửa bài.
Bài tập 2:Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ
*Học sinh biết cách vẽ đồ thị của hàm số
* KQ2
thị của hàm số y = s inx
sinx,sinx  0

*Kiến thức sử dụng: Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta có thể suy sinx = 

ra đồ thị hàm số y = |f(x)| bằng cách giữ nguyên phần đồ thị
− sinx,sinx  0
nằm phía trên trục hồnh, lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới sinx < 0  x  ( + k 2 ; 2 + k 2 ) , k 
trục hoành qua trục hoành.
Nên lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị
của hàm số y = sinx trên các khoảng này,
còn giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y =
sinx trên các đoạn còn lại, ta được đồ thị của
hàm số y = s inx

Ta được đồ thị hàm số y = |sin x| là phần nét liền hình phía
trên trục Ox
Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân- tại lớp

c) D =

* GV nhận xét bài làm của học sinh và cho
điểm


Bài tập 3: Chứng minh rằng sin 2( x + k ) = sin 2 x với mọi
số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.

Phương thức hoạt động: Cá nhân
Bài tập 4. Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị
1
của x để cos x = .
2

KQ4
1
Cắt đồ thị hàm số y = cosx bởi đường thẳng y = , ta được
2
các giao điểm có hồnh độ tương ứng là:


+ k 2  vµ - + k 2 , k 
3
3
Phương thức hoạt động: Cá nhân
Bài tập 5. Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng
giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.
Phương thức hoạt động: Cá nhân

* Học sinh chứng minh và vẽ được đồ thị
* KQ3
sin 2( x + k ) = sin(2 x + 2k ) = sin 2 x, k 
 y = sin2x tuần hồn với chu kì  , là
hàm số lẻ  Vẽ đồ thị hàm số y = sin2x
 
trên đoạn 0;  rồi lấy đối xứng qua O,
 2
  
được đồ thị trên đoạn  − ;   tịnh tiến
 2 2
song song với trục Ox các đoạn có độ dài
 , ta được đồ thị của hàm số y = sin2x trên
R.
* GV nhận xét bài làm của học sinh và cho

điểm.
* Biết sử dụng đồ thị hàm số y = cosx để tìm
các giá trị của x thỏa mãn ĐK bài ra

* GV nhận xét bài làm của học sinh và cho
điểm.
* Biết sử dụng đồ thị hàm số y = sinx để tìm
các giá trị của x thỏa mãn ĐK bài ra
KQ5
sinx > 0 ứng với phần đồ thị nằm phía trên
trục Ox. Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x
ta thấy:
s inx  0

 x  ( −2 ; − )  ( 0;  )  ( 2 ;3 )  ...
 x  ( k 2 ;  + k 2 ) , k 
Bài tập 6. Tìm gái trị lớn nhất của các hàm số:
b) y = 3 − 2sin x
a) y = 2 cos x + 1
KQ6
a) Ta có:
0  cos x  1  0  2 cos x  2

* HS biết sử dụng tập giá trị của hàm số y =
sinx và y = cosx để tìm GTLN và GTNN
của hàm số LG.

 1  2 cos x + 1  3
Vậy Maxy = 3  x = k 2 , k 
b) Ta có

−1  sinx  1  3 − 2sinx  5



+ k 2 , k 
2
Phương thức hoạt động: Hoạt động nhóm (Các nhóm trình
bày vào bảng phụ, đại diện nhóm trình bày lời giải)

Vậy Maxy = 5 khi x = −

* Gv nhận xét bài làm của các nhóm, các
nhóm chỉnh sửa lời giải.


D,E HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI MỞ RỘNG

Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết những vấn đề thực tế trong cuộc sống, những
bài toán thực tế,…
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
của học sinh
Tìm hiểu về hàm số lượng giác theo link
Bài tốn. Một guồng nước có dạng hình trịn bán
kính 2,5 m , trục của nó đặt cách mặt nước 2m ( như
%B0%E1%BB%A3ng_gi%C3%A1c
hình vẽ bên). Khi guồng quay đều , khoảng cách h (
mét)từ một chiêc gầu gắn tại điểm A của guồng đến
nước được tính theo cơng thức h = y , trong đó
l%C6%B0%E1%BB%A3ng-gi%C3%A1c1 


n%C3%B3i-v%E1%BB%81-c%C3%A1iy = 2 + 2,5sin 2 ( x − )  . Với x là thời gain quay
4 

g%C3%AC/
của guồng ( x  0) , tính bằng phút ; ta quy ước rằng
- Hơm nay, có thể bạn sẽ nghe nhạc. Bài hát bạn y  0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y  0 khi gầu
nghe được ghi âm kỹ thuật số (một quá trình sử ở dưới mặt nước .
dựng phép chuyển đổi Fourier, có sử dụng lượng a. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất.
giác) được nén thành định dạng MP3 sử dụng nén b. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất.
giảm dữ liệu (áp dụng kiến thức về khả năng phân c. Chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tiên khi nào
biệt âm thanh của tai của con người), phép nén này ?
đòi hỏi các kiến thức về lượng giác.

- Nếu bạn sống gần biển, thủy triều ảnh hưởng đến
những gì bạn có thể làm vào những thời điểm khác
nhau trong ngày. Các biểu đồ thủy triều xuất bản
cho ngư dân là những dự đoán về thủy triều năm
trước. Những dự báo này được thực hiện bằng cách
sử dụng lượng giác. Thủy triều là ví dụ về một sự
kiện xảy ra có chu kỳ, tức xuất hiện lặp đi lặp lại.
Chu kỳ này thường mag tính tương đối.Thủy triều
là ví dụ về một sự kiện xảy ra có chu kỳ, tức xuất
hiện lặp đi lặp lại. Chu kỳ này thường mang tính
tương đối.

KQ
a. Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất
 
1 

khi sin 2  x −  = −1
4 
 
Ta có:
 
1 
1


sin  2  x −   = −1  2  x −  = − + k 2
4 
4
2

 
 x = k, k 
Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí thấp nhất
tại các thời điểm 0 phút ; 1 phút ; 2 phút ; 3 phút…

Hình ảnh thủy triều


b. Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi
 
1 
1 

sin  2  x −   = 1  2  x −  = + k 2
4 
4 2


 

x=

1
+ k, k 
2

Điều đó chứng tỏ chiếc gàu ở vị trí cao nhất tại các
thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút ; 2,5 phút ; 3,5 phút …

ECG của một bệnh nhân 26 tuổi

c. Chiếc gàu cách mặt nước 2 mét khi
 
1 
1

sin  2  x −   = 0  2  x −  = k 2
4 
4

 
1 1
 x = + k, k 
4 2
1 1
nghĩa là tại các thời điểm x = + k , k 
4 2

(phút);

do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước 2 mét khi quay
1
được x = phút (ứng với k=0).
4
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC
1

NHẬN BIẾT

Câu 1: Khẳng định nào dưới đây là sai ?
A. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.
C. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.

B. Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
D. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
Lời giải

Chọn A
Ta có các kết quả sau:
+ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
+ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
+ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
+ Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
Câu 2: Tập xác định của hàm số y = − tan x là:
A. D =



\  + k , k   .
2


B. D =

\ k , k 

C. D =

\ k 2 , k 

D. D =



\  + k 2 , k   .
2


.

Lời giải
Chọn A
Hàm số y = − tan x xác định khi: x 
Vậy tập xác định của hàm số là: D =



2

+ k , k  .



\  + k , k   .
2


.


Câu 3: Tập giá trị của hàm số y = sin 2 x là:
A.  −2; 2 .

B.  0; 2 .

C.  −1;1 .

D.  0;1 .

Lời giải
Chọn C
Ta có −1  sin 2x  1 , x 

.

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là  −1;1 .
Câu 4: Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì  .

B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì  .

C. Hàm số y = cot x tuần hồn với chu kì .  .. D. Hàm số y = sin 2 x tuần hoàn với chu kì  .
Lời giải
Chọn B
Hàm số y = tan x ; y = cot x tuần hoàn với chu kì 
Hàm số y = sin x ; y = cos x tuần hồn với chu kì 2
Hàm số y = sin 2 x = sin ( 2 x + 2 ) = sin 2 ( x +  ) . Vậy hàm số tuần hồn với chu kì  .
Vậy đáp án B sai.
Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin 2 x − 5 lần lượt là:
A. 3 ; −5 .

B. −2 ; −8 .

C. 2 ; −5 .
Hướng dẫn giải

D. 8 ; 2 .

Chọn B
Ta có −1  sin 2x  1  −8  3sin 2x − 5  −2  −8  y  −2 .
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là −2; − 8 .



Câu 6: Tập xác định của hàm số y = tan  2 x −  là:
3



 5
A. \  + k  , k  .
2
 12
C.


 5
\ +k , k .
2
6

B.
D.

 5

\  + k  , k  .
 12

 5

\  + k  , k  .
6


Lời giải
Chọn A

 
5



+k , k .
Hàm số đã cho xác định khi cos  2 x −   0  2 x −  + k  x 
3 2
12
2
3


 5
Vậy TXĐ: D = \  + k  , k  .
2
 12
Câu 7: Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x.
A. x 

k
, k .
2

B. x 


2

+ k , k  . C. x  .

D. x  k , k  .

Lời giải
Chọn A
k
(k  ) .
2
Câu 8: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A , B , C , D . Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Điều kiện: sin x.cos x  0  sin 2 x  0  2 x  k  x 


A. y = 1 + sin x .

B. y = 1 − sin x .

C. y = sin x .

D. y = cos x .

Lời giải
Chọn D
Dựa vào lý thuyết đây là đồ thị của hàm y = cos x .
Câu 9: Tập giá trị của hàm số y = cos x là ?
A.

.

C.  0; + ) .

B. ( −;0 .

D.  −1;1 .

Lời giải
Chọn D
Với x 

, ta có cos x   −1;1 .

Tập giá trị của hàm số y = cos x là  −1;1 .
Câu 10: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2 .
B. Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì  .
 
C. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng  0;  .
 2
D. Hàm số y = cot x nghịch biến trên .
Lời giải
Chọn C
Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì   đáp án A sai.
Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì 2  đáp án B sai.

Hàm số y = cot x nghịch biến trên mỗi khoảng ( k ;  + k ) , k 
2

 đáp án D sai.

THÔNG HIỂU

Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = tan 2 x :
A. D =



\  + k 2 | k   .
4


B. D =



\  + k | k   .
2


C. D =



\  + k | k   .
4


D. D =





\  + k | k  .
2
4


Giải:
Chọn D
Hàm số xác định khi cos 2 x  0  2 x 
Tập xác định của hàm số là: D =


2

+ k  x 


4

+k


2




\  + k | k  .
2

4


Câu 2: Chọn phát biểu đúng:
A. Các hàm số y = sin x , y = cos x , y = cot x đều là hàm số chẵn.
B. Các hàm số y = sin x , y = cos x , y = cot x đều là hàm số lẻ.
C. Các hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x đều là hàm số chẵn
D. Các hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x đều là hàm số lẻ.

(k  ) .


Giải:
Chọn D
Hàm số y = cos x là hàm số chẵn, hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x là các hàm số lẻ.



Câu 3: Tập xác định của hàm số y = tan  2 x −  là:
3


 5
A. \  + k  , k  .
2
 12
C.

B.


 5
\ +k , k .
2
6

D.

 5

\  + k  , k  .
 12

 5

\  + k  , k  .
6


Lời giải
Chọn A

 
5



+k , k .
Hàm số đã cho xác định khi cos  2 x −   0  2 x −  + k  x 
3 2

12
2
3


 5
Vậy TXĐ: D = \  + k  , k  .
2
 12
Câu 4: Tìm tập giá trị của hàm số y = 3 sin x − cos x − 2 .
A. −2; 3  .



B.  − 3 − 3; 3 − 1 . C.  −4;0 .


Lời giải

D.  −2;0

Chọn C






Xét y = 3 sin x − cos x − 2 = 2  sin x.cos − cos x.sin  − 2 = 2sin  x −  − 2
6

6
6






Ta có −1  sin  x −   1  −4  2sin  x −  − 2  0  −4  y  0 với mọi x 
6
6


Vậy tập giá trị của hàm số là  −4;0 .

Câu 5: Trong bốn hàm số: (1) y = cos 2 x , (2) y = sin x ; (3) y = tan 2 x ; (4) y = cot 4 x có mấy hàm số tuần
hồn với chu kỳ  ?
A. 1 .

B. 0 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn A
Do hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2 nên hàm số (1) y = cos 2 x tuần hoàn chu kỳ  .
Hàm số (2) y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2 .
Do hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kỳ  nên hàm số (3) y = tan 2 x tuần hoàn chu kỳ

Do hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kỳ  nên hàm số (4) y = cot 4 x tuần hoàn chu kỳ

x
là số nào sau đây?
2
B. 2 .
C. 4 .
Lời giải

Câu 6: Chu kỳ của hàm số y = 3sin
A. 0 .
Chọn C
Chu kì của hàm số T =

2
= 4 .
1
2

D.  .


.
2

4

.

 k

\
k   là tập xác định của hàm số nào sau đây?
 2

A. y = cot x .
B. y = cot 2 x .
C. y = tan x .

Câu 7: Tập D =

D. y = tan 2 x

Lời giải
Chọn B
Hàm số y = cot 2 x xác định khi 2x  k  x 

k
.
2

 5 7 
Câu 8: Khi x thay đổi trong khoảng  ;
 thì y = sin x lấy mọi giá trị thuộc
 4 4 

2
A.  −1; −
.

2 


 2 
;0
B.  −
 2 

C.  −1;1 .

 2 
;1 .
D. 
 2 

Lời giải
Chọn A

 5 3 
 Trong nửa khoảng  ;  :
 4 2 
Hàm số y = sin x giảm nên sin

3
5
2
.
 sin x  sin
 −1  sin x  −
2

4
2

 3 7 
 Trong nửa khoảng  ;
:
 2 4 
Hàm số y = sin x tăng nên sin

3
7
2
.
 sin x  sin
 −1  sin x  −
2
4
2

 5 7 
 Vậy khi x thay đổi trong khoảng  ;
 thì y = sin x lấy mọi giá trị thuộc
 4 4 


2
.
 −1; −
2 


Câu 9: Hãy nêu tất cả các hàm số trong các hàm số y = sin x , y = cos x , y = tan x , y = cot x thỏa mãn điều

  
kiện đồng biến và nhận giá trị âm trong khoảng  − ;0  .
 2 
A. y = tan x .

B. y = sin x, y = cot x .

C. y = sin x , y = tan x .

D. y = tan x , y = cos x .
Lời giải

Chọn C
Vì hàm số y = cot x luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định nên loại ngay đáp án B.

  
Dựa vào đồ thị của các hàm số lượng giác y = sin x , y = cos x và y = tan x trên khoảng  − ;0 
 2 
ta thấy hàm y = sin x và y = tan x thỏa.
Câu 10: Trong các hàm số sau đây, hàm nào có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?
A. y = cos x − sin 2 x .
B. y = tan x .
C. y = sin 3 x cos x .
D. y = sin x .
Lời giải
Chọn A
Trong 4 hàm số trên chỉ có hàm số y = cos x − sin 2 x là hàm số chẵn nên có đồ thị nhận trục tung

làm trục đối xứng.
Thật vậy:
Tập xác định của hàm số là D =

nên x 

 −x 

.


Và y ( − x ) = cos ( − x ) − sin 2 ( − x ) = cos x − sin 2 x = y ( x )
Nên hàm số y = cos x − sin 2 x là hàm số chẵn.

3

VẬN DỤNG

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x + 3 .
A. max y = 5, min y = 1 .

B. max y = 5, min y = 2 5 .
D. max y = 5, min y = 3 .
Lời giải

C. max y = 5, min y = 2 .
Chọn A
Ta có −1  s inx  1; x 

 1  2s inx+3  5; x 

 1  y  5; x 

Câu 2: Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng:


 

A.  − + k 2 ; + k 2  với k  .
2
 2

5


C.  + k 2 ;
+ k 2  với k  .
2
2


5
 3

B.  −
+ k 2 ;
+ k 2  với k  .
2
 2




D.  + k 2 ;  + k 2  với k  .
2

Lời giải

Chọn A
Nhìn vào đồ thị hàm số y = sin x ta thấy đồ thị hàm số là đường cong đi lên từ trái qua phải


 

trong các khoảng  − + k 2 ; + k 2  với k 
2
 2

Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y = sin x cos 3 x .
B. y = cos 2 x .

nên đáp án là A.

D. y = sin x + cos x .

C. y = sin x .
Lời giải

Chọn B
Hàm số y = sin x cos 3 x có TXĐ: D =

, nên x 

 −x 

và có

y ( − x ) = sin ( − x ) cos ( −3x ) = − sin x cos3x = − y ( x ) suy ra hàm số y = sin x cos 3 x là hàm số lẻ.
y = cos 2 x

Hàm số

là hàm số chẵn vì TXĐ:

D=

, nên

x 

 −x 

và

y ( − x ) = cos ( −2 x ) = cos 2 x = y ( x ) .
Xét tương tự ta có hàm số y = sin x là hàm số lẻ, hàm số y = sin x + cos x không chẵn cũng khơng
lẻ.
Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số sau y =
A. D =
C. D =

cot x
.
2sin x − 1




\ k , + k 2 , − + k 2 ; k 
6
6


5

\ k , + k 2 ,
+ k 2 ; k 
6
6



.


B. D =


.


D. D =
Lời giải

Chọn C
Hàm số y =

cot x
xác định khi:
2sin x − 1

5


\  + k 2 ,
+ k 2 ; k   .
6
6


2


\ k , + k 2 ,
+ k 2 ; k   .
3
3




 x  k
sin x  0

sin x  0







 x  + k 2 , ( k 
1
6
2sin x − 1  0
sin x  2

5

 x  6 + k 2
1
.
sin x − cos x

Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y =
A. D =

\ k | k 

C. D =



\  + k | k   .
4


).

.

B. D =



\  + k | k   .
2


D. D =

\ k 2 | k 

.

Lời giải

Chọn C

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi




sin x − cos x  0  sin  x −   0  x  + k , ( k 
4
4

4

).

VẬN DỤNG CAO

Câu 1: Gọi M , m lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2018 x + cos 2018 x trên

. Khi

đó:
A. M = 2 , m =

1
1008

2

.

B. M = 1 , m =

1
1009

2

. C. M = 1 , m = 0 .

D. M = 1 , m =

Lời giải
Chọn D
Ta có: y = sin 2018 x + cos 2018 x = ( sin 2 x )

1009

+ (1 − sin 2 x )

1009

.

Đặt t = sin 2 x , 0  t  1 thì hàm số đã cho trở thành y = t1009 + (1 − t )

1009

trên đoạn  0;1 .

Xét hàm số f ( t ) = t1009 + (1 − t )

1009

Ta có: f  ( t ) = 1009.t1008 − 1009. (1 − t )

1008

f  ( t ) = 0  1009t1008 − 1009 (1 − t )

1008

 1− t 


 t 

1008

=1 

=0

1− t
1
=1  t =
t
2

1
1
Mà f (1) = f ( 0 ) = 1, f   = 1008 .

2 2
1
1
Suy ra max f ( t ) = f ( 0 ) = f (1) = 1 , min f ( t ) = f   = 1008
0;1
0;1
2 2
1
Vậy M = 1 , m = 1008 .
2
Câu 2. Tìm m để hàm số y = 5 sin 4 x − 6 cos 4 x + 2 m − 1 xác định với mọi x .

.

1
1008

2

.


A. m  1

B. m 

61 − 1
2

C. m 

61 + 1
2

D. m 

61 + 1
2

Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x  5sin4x − 6cos4x  1 − 2m x
Do min(5sin 4 x − 6 cos 4 x) = − 61  − 61  1 − 2m  m 

61 + 1
.
2

Vậy chọn D
Câu 3: Cho các góc nhọn x, y thỏa mãn sin 2 x + sin 2 y = sin( x + y) (*). Chứng minh rằng: x + y =
Lời giải:
 


 
Ta có hàm số y = sin x, y = cos x đồng biến trên khoảng  0;  Và x , y , − x , − y   0;  .
2
2
 2
 2






sin x  sin  − y  = cos y

x

−
y
 

2

2

• Giả sử x + y   
2
 y   − x sin y  sin   − x  = cos x
2



2


Suy ra: sin 2 x + sin 2 y = sin x.sin x + sin y.sin y  sin x cos y + sin y cos x = sin( x + y)
Mâu thuẫn với ()






sin x  sin  − y  = cos y

x

−
y
 

2

2
• Giả sử x + y   

2
 y   − x sin y  sin   − x  = cos x
2



2


Suy ra: sin 2 x + sin 2 y = sin x.sin x + sin y.sin y  sin x cos y + sin y cos x = sin( x + y)
Mâu thuẫn với ()


 () đúng.
2

Vậy ()  x + y = .
2
• Nếu x + y =


2


V. PHỤ LỤC
1

PHIẾU HỌC TẬP

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Phiếu học tập dành cho phần khởi động
Khi ta gõ trống, gảy đàn, thổi sáo hay mở miệng ra nói chuyện, tai ta sẽ nghe và cảm nhận được âm thanh
phát ra. Vật tạo ra âm thanh được gọi là nguồn phát âm, hay nguồn âm. Âm thanh (sound) là dao động cơ
lan truyền trong môi trường và tai ta cảm nhận được. Âm thanh nói riêng và các dao động cơ nói chung
khơng lan truyền qua chân khơng vì khơng có gì để truyền sóng. Âm thanh là phương tiện trao đổi thông
tin, liên lạc với nhau (communication media) phổ biến nhất của con người, bên cạnh phương tiện hình ảnh.
Như vậy nghiên cứu âm thanh có hai mặt: Đặc trưng vật lý (lý tính) và đặc trưng sinh học. Vật lý khách
quan: nguồn tạo ra âm thanh, tính chất lan truyền, đặc tính âm thanh...
Nếu ta biểu diễn tín hiệu của âm thanh trên gắn vào hệ trục tọa độ như hình vẽ trên ( giả thiết a;d , b;c là
các tập đối xứng và

a

2b ).

CH1:Ta có nhận xét gì về đồ thị hàm số trên các đoạn a;b ; b; 0 ; 0;c ; c;d ?
CH2:Liệu có xác định đồ thị trên là đồ thị của hàm số nào mà chúng ta đã được học không?

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
Phiếu học tập dành cho phần hình thành định nghĩa hàm số LG
Cho đường trịn lượng giác (Hình vẽ bên
cạnh). Điểm M nằm trên đường trịn đó. Điểm
M 1 ; M 2 lần lượt là hình chiếu vng góc của
điểm M trên đường tròn. Tia OM lần lượt cắt
trục At và Bs tại T và S . Giả sử sđ
AM
;
R.
CH1. Hãy chỉ ra đâu là trục sin, côsin, tang,
côtang
CH2. Hãy tính sin ; cos ; tan ; cot
CH3. Cứ một giá trị của thì xác định được
bao nhiêu giá trị của sin ; cos ; tan ; cot
CH4. Tìm các giá trị của
để
sin ; cos ; tan ; cot xác định.

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
Phiếu học tập dành cho phần nhận biết tính chẵn lẻ của hàm số LG
Hàm số

f (x )

f (x )

sin x
cos x

Tập xác định

Tính f ( x )

So sánh f (x ) và f ( x )

Kết luận về tính chẵn
lẻ của hàm số f (x )


f (x )
f (x )

tan x
cot x

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4
Phiếu học tập dành cho phần nhận biết tính tuần hồn và chu kì của hàm số LG
Cho hàm số f (x ) sin x ; và g(x ) tan x . .
CH1: Hãy so sánh f (x 2 ) và f (x ) . ;x R
CH 2 : Hãy so sánh g(x

) và g (x ) . ; x

R\

CH 3: Hày so sánh f (x

k 2 ) và f (x ) với k

CH 4: Hày so sánh g(x

k ) và g (x ) vói k

2

Z;x
Z;x

k ,k

Z

R.
R\

2

k ,k

Z .

CH 5: Tìm số T dương nhỏ nhất thỏa mãn (x

T)

R và f (x

T)

f (x ), x

R. .

CH 6: Tìm số T dương nhỏ nhất thỏa mãn (x

T)

R và g(x

T)

g(x ), x

R. \

2

Nội dung

2

k ,k

Z

MƠ TẢ CÁC MỨC ĐỘ

Nhận biết
Thơng hiểu
Vận dụng
Nhận biết được các Tính chẵn lẻ của Tìm tập xác định
hàm số, tập xác hàm số
của hàm số
định của các hàm
số

Vận dụng cao
Xác định tính chẵn
Định nghĩa
lẻ của một hàm số
mở rộng. Giải
quyết một số bài
tốn thực tế (nếu
có)
Tính tuần hoàn Nắm được khái Chu kỳ của hàm số Chứng minh hàm Liên quan đến các
của hàm số lượng niệm hàm số tuần tuần hồn
số tuần hồn và mơn học (Vật lý,..),
giác
hồn
tính chu kỳ.
bài tốn thực tế.
Sự biến thiên và Sự biến thiên và Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số
đồ thị của hàm số bảng biến thiên của trên đoạn 0;
trên tập xác định

y sin x
hàm số trên đoạn
. Biết được tập giá
trị của hàm số
0;

Vẽ đồ thị một số
hàm số khác thông
qua đồ thị hàm số
y sin x

Tìm giá trị nhỏ nhất
và lớn nhất của
hàm số . Giải quyết
một số bài tốn
thực tế (nếu có)
Sự biến thiên và Sự biến thiên và Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số Vẽ đồ thị một số
đồ thị của hàm số bảng biến thiên của trên đoạn
trên tập xác định . hàm số khác thông
;
y cos x
hàm số trên đoạn
Biết được tập giá qua đồ thị hàm số
y cos x
trị của hàm số
;
Tìm giá trị nhỏ nhất
và lớn nhất của
hàm số . Giải quyết

một số bài tốn
thực tế (nếu có)
Sự biến thiên và Sự biến thiên và Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất
đồ thị của hàm số bảng biến thiên của trên nửa khoảng trên tập xác định
và lớn nhất của
y tan x
hàm số trên nửa
Tập giá trị của hàm hàm số.Giải quyết
0;
.
số
một số bài tốn
2
khoảng 0;
thực tế (nếu có)
2
Sự biến thiên và Sự biến thiên và Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số
đồ thị của hàm số bảng biến thiên của trên khoảng 0;
trên tập xác định
y cot x
hàm số trên khoảng
Tập giá trị của hàm
số
0;

Tìm giá trị nhỏ nhất
và lớn nhất của
hàm số. Giải quyết
một số bài toán

thực tế (nếu có)


Chủ đề 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Thời lượng dự kiến: 6 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
− Nắm được điều kiện của a để các phương trình sinx = a và cosx = a có nghiệm.
− Biết cách viết cơng thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản trong trường hợp số đo
được cho bằng radian và bằng độ.
− Biết cách sử dụng các kí hiệu arcsina, arccosa, arctana, arccota khi viết cơng thức nghiệm của
phương trình lượng giác.
2. Kĩ năng
− Giải thành thạo các PTLG cơ bản.
− Giải được PTLG dạng sinf(x) = sina, cosf(x) = cosa.
− Tìm được điều kiện của các phương trình dạng: tanf(x) = tana, cotf(x) = cota.
3.Về tư duy, thái độ
− Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng từng trường hợp cụ thể.
− Tư duy các vấn đề của tốn học một cách lơgic và hệ thống.
4.Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển:
− Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều
chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.
− Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân
tích được các tình huống trong học tập.
− Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc
sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân cơng nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên
nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hồn thành được nhiệm vụ được
giao.
− Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có
thái độ tơn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

− Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng
góp hồn thành nhiệm vụ của chủ đề.
− Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngơn ngữ Toán học.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
− Chuẩn bị phương tiện dạy học: Phấn, thước kẻ, máy chiếu,…
− Kế hoạch bài học.
2. Học sinh
− Đọc trước bài.
− Kê bàn để ngồi học theo nhóm.
− Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng …
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Mục tiêu: Tạo ra tình huống để học sinh tiếp cận khái niệm phương trình lượng giác cơ bản và một số ví
dụ minh họa cho phương trình sinx = a, cosx=a, tanx=a, cotx = a.
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động
+ Chuyển giao: Hôm trước các em đã được học các hàm số + Báo cáo, thảo luận: các nhóm trình
lượng giác và các tính chất của nó, ở lớp 10 các em đã được bày kết quả vào giấy cử đại diện báo
học các công thức lượng giác. Sau đây hãy trả lời các câu hỏi cáo, các nhóm khác thảo luận cho ý
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

1


sau:

kiến

-Tình huống 1: Với mỗi điểm M trên đường trịn lượng giác ta +Đánh giá: Giáo viên nhận xét đánh
xác định được bao nhiêu góc (cung) lượng giác có điểm đầu là giá chung và dẫn dắt vào bài mới.
điểm A, điểm cuối là điểm M.
-Tình huống 2:Với mỗi số thực m ta tìm được bao nhiêu điểm
M(x,y) để:
+ Sinm = y
+ Cosm = x
-PTLG cơ bản có dạng:
+ Cho ví dụ một vài PTLG cơ bản
sinx = a, cosx = a,
1
tanx = a, cotx = a
Đ. sinx = 1; cosx = ; tanx = 0; …
2
• Giải PTLG là tìm tất cả các giá trị của ẩn số thoả mãn pt đã
cho. Các giá trị này là số đo của các cung (góc) tính bằng
radian hoặc bằng độ.
Phương thức tổ chức: Chia lớp học thành 4 nhóm cho thảo luận
báo cáo kết quả trên giấy.

B

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Mục tiêu: Tiếp cận phương trình sinx = a; cosx = a; tan x = a; cotx = a , biết cách giải phương trình
sinx = a; cosx = a; tan x = a; cotx = a ,
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

hoạt động
-Dự kiến sản phẩm: Học sinh nắm
1. Phương trình sinx = a
được cách giải phương trình sinx = a.
- Đánh giá hoạt động: Học sinh tham
• a > 1: PT vơ nghiệm
gia hoạt động nhóm sơi nổi để tìm ra
phương pháp giải và cơng thức
• a  1: PT có các nghiệm
nghiệm.
x = arcsina + k2, k  Z; x =  – arcsina + k2, k  Z
Kết quả 1.
Chú ý:


 f ( x) = g ( x) + k 2
 x = 3 + k 2
a) sinf(x) = sing(x)  
(k  Z )
a) 
 f ( x) =  − g ( x) + k 2
 x = 2 + k 2
0
0
 x =  + k 360
0

3
b) sinx = sin   
(k  Z )

0
0
0
x
=
180
−

+
k
360



x
=
−
+ k 2
c) Các trường hợp đặc biệt:

4
b) 

sinx = 1  x =
+ k2
 x = 5 + k 2
2

4


sinx = –1  x = –
+ k2
1

2
 x = arcsin 3 + k 2
c) 
sinx = 0  x = k
 x =  − arcsin 1 + k 2
VD1: Giải các phương trình:

3
1
3
2
a) sinx =
b) sinx = –
c) sinx =
 x = k
3
2
2
d) 
d) sin3x = sinx
 x =  + k

4
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp
2. Phương trình cosx = a
• a > 1: PT vơ nghiệm

-Dự kiến sản phẩm: Học sinh nắm
được cách giải phương trình sinx = a.
2


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

• a  1: PT có các nghiệm
x = arccosa + k2, k  Z;
x = – arccosa + k2, k  Z
Chú ý:
a) cosf(x) = cosg(x)  f(x) =  g(x) + k2, k  Z
b) cosx = cos0  x =  0 + k3600, k  Z
c) Các trường hợp đặc biệt:
cosx = 1  x = k2
cosx = –1  x =  + k2

cosx = 0  x =
+ k
2
VD2: Giải các phương trình:
1

a) cosx = cos
b) cosx =
2
6
1
2

c) cosx = –
d) cosx =
3
2
VD3: Giải các phương trình:
1
2
a) cos2x =
b) cos(x + 450) =
2
2
c) cos3x = cos2x
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp

Kết quả 2.


+ k2
6

b) x = 
+ k2
3
3
c) x = 
+ k2
4
1
d) x =  arccos + k2
3

Kết quả 3.
a) x = 


+ k2
3
b) x + 450 = 450 + k3600
c) 3x = 2x + k2
 x = k 2
 
 x = k 2
5

Giáo viên nhận xét lời giải, sửa chữa
và củng cố kiến thức.
-Dự kiến sản phẩm: Học sinh nắm
được cách giải phương trình sinx = a.
- Đánh giá hoạt động: Học sinh tham
gia hoạt động nhóm sơi nổi để tìm ra
phương pháp giải và cơng thức
nghiệm.
Kết quả 4.

a) x =
+ k
5

b) x =
+ k
6


c) x = –
+ k
3
d) x = arctan5 + k
Kết quả 5.

a) 2x =
+ k
4
b) x + 450 = 300 + k1800


2 x  + m


2
c) ĐK: 

 x  + n


2
a) 2x = 

3. Phương trình tanx = a

• ĐK: x  + k (k  Z).
2
• PT có nghiệm x = arctana + k, k  Z;

Chú ý:
a) tanf(x) = tang(x)  f(x) = g(x) + k, k  Z
b) tanx = tan0  x = 0 + k1800, k  Z
c) Các trường hợp đặc biệt:

tanx = 1  x =
+ k
4

tanx = –1  x = – + k
4
tanx = 0  x = k
VD4. Giải các phương trình:
1

a) tanx = tan
b) tanx =
5
3
c) tanx = – 3
d) tanx = 5
VD5: Giải các phương trình:
a) tan2x = 1

b) tan(x + 450) =

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động
- Đánh giá hoạt động: Học sinh tham
gia hoạt động nhóm sơi nổi để tìm ra

phương pháp giải và cơng thức
nghiệm.

3
3
3


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
c) tan2x = tanx
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp
4.Phương trình cotx = a
• ĐK: x  k (k  Z).
• PT có nghiệm. x = arccota + k, k  Z;
Chú ý:
a) cotf(x) = cotg(x) f(x) = g(x) + k, k  Z
b) cotx = cot0  x = 0 + k1800, k  Z
c) Các trường hợp đặc biệt:

cotx = 1  x =
+ k
4

cotx = –1  x = – + k
4

cotx = 0  x =
+ k
2
VD6: Giải các phương trình:

1

a) cotx = cot
b) cotx =
c) cotx = – 3
5
3
d) cotx = 5
VD7: Giải các phương trình:

3
c) cot3x = cotx
3
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp
a) cot2x = 1

C

b) cot(x + 450) =

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động
2x = x + k  x = k
Đối chiếu với đk: x = k
Dự kiến sản phẩm: Học sinh nắm
được cách giải phương trình sinx = a.
- Đánh giá hoạt động: Học sinh tham
gia hoạt động nhóm sơi nổi để tìm ra
phương pháp giải và cơng thức
nghiệm.

Kết quả 6.


a) x =
+ k
b) x =
+ k
5
3

c) x = –
+ k d) x = arccot5 + k
6
Kết quả 7.

a) 2x =
+ k
4
b) x + 450 = 600 + k1800
3x  m

c) ĐK: 
xm
3
 x  n

3x = x + k  x = k
2

Đối chiếu đk: x = + k

2
Giáo viên nhận xét lời giải, sửa chữa
và củng cố kiến thức.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
1. Giải các phương trình sau:
1
 3x  
 2x  
a) sin  −  = 0
b) cos  −  = −
 2 4
2
 3 3
2
3
c) sin ( 2 x + 200 ) = −
d) cos(x – 1) =
3
2

3

e) tan  3x +  = −1
f) cot ( 3x + 100 ) =
6


3
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp

2. Giải các phương trình sau:
a) sin(3x + 1) = sin(x – 2)
b) cos3x = sin2x
4

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động
Đ1.
2x 
− = k
a)
3 3
3x 
2
− =
+ k 2
b)
2 4
3
 2 x + 200 = −600 + k 3600
c) 
0
0
0
 2 x + 20 = 240 + k 360
2
d) x – 1 =  arccos + k2

3


e) 3 x + = − + k
6
4
0
f) 3x + 10 = 600 + k1800
Giáo viên nhận xét lời giải, sửa chữa
và củng cố kiến thức.
Đ2.