Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG THỊ KIM ANH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT, BẬC HAI CHO HỌC SINH THÔNG QUA
CHỦ ĐỀ ĐƢỜNG TRÒN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG THỊ KIM ANH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT, BẬC HAI CHO HỌC SINH THÔNG QUA
CHỦ ĐỀ ĐƢỜNG TRÒN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH : LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 8.14.01.11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Định

HÀ NỘI – 2019

LỜI CẢM ƠN
Tác giả luận văn trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trƣờng Đại học
Giáo Dục Hà Nội đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong
suốt quá trình học tập tại Trƣờng. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô
giảng dạy bộ môn Toán đã nhiệt tình giảng dạy, trang bị những kiến thức
nền tảng cũng nhƣ những kinh nghiệm quý báu về dạy học bộ Toán,
công việc mà tôi yêu thích và sẽ gắn bó trong suốt cuộc đời của mình
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo
TS. Lê Đình Định, ngƣời đã truyền cảm hứng và nhẫn nại hƣớng dẫn tôi
những bƣớc đi đầu tiên trên con đƣờng nghiên cứu khoa học. Mặc dù rất
bận rộn trong công việc, thầy vẫn luôn quan tâm, lắng nghe, và khích lệ
để tôi tự tin, quyết tâm nghiên cứu, hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, cùng các thầy cô trong
tổ Toán và các em học sinh của trƣờng THPT Ngọc Tảo, Phúc Thọ đã
giúp đỡ cho quá trình thử nghiệm sƣ phạm của luận văn đƣợc diễn ra
thuận lợi, nghiêm túc.
Mặc dù đã rất cố gắng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Tác giả luận văn xin chân trọng lắng nghe những ý kiến đóng góp của
quý thầy cô và đồng nghiệp.
Hà Nội, tháng 10 năm 2019
Tác giả luận văn

Hoàng Thị Kim Anh

i


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Viết tắt Viết đầy đủ
SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tập

THPT

Trung học phổ thông

ii


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Phân phối tần số kết quả bài kiểm tra số 1 ........................... 80
Bảng 3.2. Phân phối tần suất kết quả bài kiểm tra số 1 ....................... 80

iii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ................................................................ ii
DANH MỤC CÁC BẢNG ............................................................................. iii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................... 2

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .......................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 3
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ......................................................................... 3
6. Giả thuyết khoa học ................................................................................. 4
7. Cấu trúc luận văn ..................................................................................... 4
CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................ 5
1.1. Kĩ năng ................................................................................................... 5
1.1.1. Khái niệm kĩ năng .......................................................................... 5
1.1.2. Đặc điểm của kĩ năng .................................................................... 5
1.2. Kĩ năng giải toán .................................................................................. 6
1.2.1. Khái niệm kĩ năng giải toán .......................................................... 6
1.2.2. Phânzloạizkĩznăngzgiảiztoán ........................................................ 6
1.2.3. Sự hình thành kĩ năng giải toán .................................................... 8
1.2.4. Vai trò của kĩ năng giải toán ......................................................... 9
1.3. Một số tri thức về hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai ....................... 9
1.3.1. Hệ gồm hai phƣơng trình bậc nhất ............................................... 9
1.3.2. Hệ gồm một phƣơng trình bậc nhất và một phƣơng trình bậc
hai ............................................................................................................. 11
1.4. Một số tri thức về đƣờng thẳng, đƣờng tròn ................................... 14
1.4.1. Đƣờng thẳng ................................................................................. 14

iv


1.4.2. Đƣờng tròn .................................................................................... 14
1.4.3. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn .................... 14
1.5. Thực trạng dạy và học giải toán hệ phƣơng trình bậc nhất và bậc
hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn. ...................................... 15
Kết luận chƣơng 1 ......................................................................................... 18
CHƢƠNG 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC

NHẤT, BẬC HAI CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỦ ĐỀ HÌNH
TRÒN .............................................................................................................. 19
2.1. Định hƣớng việc xây dựng và thực hiện các biện pháp rèn luyện kĩ
năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất và bậc hai cho học sinh thông qua
chủ đề đƣờng tròn ...................................................................................... 19
2.1.1. Tổ chức dạy học bám sát con đƣờng hình thành và phát triển kĩ
năng giải Toán, đặc biệt là quy trình hoạt động – kĩ năng giải hệ
phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn. .......... 19
2.1.2. Tổ chức hoạt động học tập chủ động, tích cực trong quá trình
học lí thuyết để làm cơ sở cho hoạt động giải Toán. .......................... 20
2.1.3. Tăng cƣờng thực hành luyện tập giải hệ phƣơng trình bậc nhất,
bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn. ................................................... 21
2.1.4. Chú trọng rèn luyện và củng cố kĩ năng giải hệ phƣơng trình
bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề hình tròn qua các tình huống chứa
sai lầm. ..................................................................................................... 24
2.2. Một số biện pháp sƣ phạmzzzz ............................................................. 25
2.2.1. Biện pháp 1: Củng cố và truyền thụ tri thức, phƣơng pháp một cách
hợp lí trong dạy học giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ
đề đƣờng tròn ............................................................................................ 25
2.2.2. Biện pháp 2: Xây dựng và sử dụng hợp lí hệ thống bài tập giải hệ
phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn. ................. 29
Dạng toán 1: Hệ gồm 2 phƣơng trình bậc nhất .................................... 30

v


Dạng toán 2: Hệ gồm 2 phƣơng trình bậc hai ..................................... 34
Dạng toán 3: Hệ gồm 1 phƣơng trình bậc nhất và 1 phƣơng trình bậc
hai ............................................................................................................. 36
Dạng toán 4: Một số bài toán liên quan đặc đặc biệt .......................... 44

c) Sử dụng hệ thống bài tập đã xây dựng để luyện tập cho học sinh những
hoạt động tƣơng ứng với các thành phần của kĩ năng giải hệ phƣơng trình
bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn ........................................ 62
2.2.3. Biện pháp 3: Sƣu tầm, chọn lọc và khai thác những ví dụ chứa đựng
khó khăn, sai lầm để tổ chức cho học sinh phát hiện và khức phục ......... 62
Kết luận chƣơng 2 ......................................................................................... 65
CHƢƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................... 66
3.1. Mục đích thực nghiệm ....................................................................... 66
3.2. Nội dung thực nghiệm....................................................................... 66
3.3. Tổ chức thực nghiệm .......................................................................... 66
3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm ................................................................ 66
3.3.2. Kế hoạch thực nghiệm ................................................................. 67
3.4. Kết quả thực nghiệm .......................................................................... 79
3.4.1. Phân tích định tính ....................................................................... 79
3.4.2. Phân tích định lƣợng .................................................................... 80
Kết luận chƣơng 3 ......................................................................................... 81
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .............................................................. 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 85

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trƣờng phổ thông, để thực hiện mục tiêu giáo dục thì
môn toán đóng một vai trò, vị trí và ý nghĩa rất quan trọng. Dạy học môn
Toán nhằm: cung cấp cơ bản, thiết thực các tri thức, kĩ năng, phƣơng
pháp toán học hƣớng tới hình thành, nâng cao các phẩm chất, phong
cách lao động khoa học, tạo thói quen tự giác học thƣờng xuyên, liên tục
với các cấp học cao hơn hay học nghề, vận dụng vào đời sống lao động

thực tiễn.Việc học tập môn toán đƣợc diễn ra trong nhà trƣờng phổ thông
chủ yếu là hoạt động giải toán. Điều này đòi hỏi giáo viên cần phải rèn
luyện kĩ năng giải toán cho học sinh.
Bên cạnh đó, năm 2017, lần đầu tiên xuất hiện hình thức bài thi tổ
hợp liên môn và cũng là lần đầu tiên hình thức thi trắc nghiệm khách
quan chiếm 4/5 số môn thi. Trong đó môn Toán thay đổi từ hình thức thi
tự luận truyền thống sang hình thức thi trắc nghiệm 50 câu/1 bài thi.
Điều này yêu cầu học sinh phải xử lý, tính toán linh hoạt hơn mới có thể
hoàn thành bài thi trong thời gian quy định.
Trong chƣơng trình học và thi môn Toán THPT thì bài tập và ứng
dụng của hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai là một trong những chủ đề
quan trọng. Ngoài những dạng cơ bản, đơn giản trong SGK, SBT, trong
các kì thi học sinh còn gặp những dạng toán đòi hỏi kĩ năng tổng hợp và
sự sáng tạo nhất định. Nếu giải các bài hệ phƣơng trình bậc nhất và bậc
hai chỉ theo cách giải đại số thông thƣờng thì học sinh sẽ khó đáp ứng
đƣợc thời gian yêu cầu của kì thi THPT quốc gia theo hình thức trắc
nghiệm.
Chính vì vậy việc rèn luyện kỹ năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất
và bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn là cần thiết, qua đó
học sinh: Nhận dạng, phân loại, tìm phƣơng pháp giải phù hợp, linh

1


hoạt, sáng tạo và nhanh chóng. Học sinh không thụ động chỉ giải hệ
phƣơng trình bằng phƣơng pháp đại số thông thƣờng mà có thêm các lựa
chọn về hƣớng làm, giúp học sinh chủ động, sáng tạo, tìm tòi đƣợc cách
giải nhanh và phù hợp nhất. Giúp học sinh phát triển về tƣ duy và liên
tƣởng hình học.
Xuất phát từ những lý do trên, để nâng cao hiệu quả dạy học, đáp

ứng nhu cầu đổi mới trong giáo dục, đồng thời để đảm bảo tính khả thi
của chủ đề nghiên cứu, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ là:
“ Rèn luyện kỹ năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai cho học
sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc vận dụng bốn bƣớc giải bài tập toán theo lƣợc đồ
của Polya vào giải một số bài tập theo phƣơng pháp hình học, cụ thể là
bằng cách xét vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn, nhằm rèn
luyện kỹ năng giải toán đại số bằng phƣơng pháp hình học , qua đó phát
triển năng lực giải toán cho học sinh.
Đồng thời đề xuất một số biện pháp dạy học nhằm nâng cao năng
lực giải toán hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai một cách đa dạng, phong
phú góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học môn toán.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu là phƣơng pháp rèn luyện kĩ năng giải
toán hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề
đƣờng tròn
- Phạm vi nghiên cứu là chƣơng trình toán đại số lớp 10 và 12, chủ
đề vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng, đƣờng tròn, các vận dụng của
chúng vào giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai.

2


4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Bám sát nghiên cứu các nội dung, chƣơng trình học trong SGK
để tìm tòi, phát triển chủ đề gắn liền với thực tiễn
- Xây dựng một số chủ đề toán học gắn liền với thực tiễn.
- Xây dựng hệ thống bài tập có chọn lọc và hệ thống hợp lý theo
các cấp độ

- Nghiên cứu phƣơng pháp dạy học phù hợp với chủ đề xây dựng
nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán của học sinh.
- Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm tại trƣờng THPT Ngọc Tảo để
đánh giá tính phù hợp của các biện pháp đã đề xuất trong việc rèn kỹ
năng giải bài tập toán cho học sinh trong dạy học môn Toán.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Cáczphƣơngzphápznghiênzcứuzlýzluận:zTìmzkiếmzvàzthuzthập
các tài liệu có liên quan đến đề tài. Sử dụng một số phƣơng pháp nhƣ
phân tích, đánh giá, tổng hợp, hệ thống hóa, khái quát hóa … các tài liệu
thu thập đƣợc.
- Cáczphƣơngzphápznghiênzcứuzthựcztiễn:
+ Tổng kết kinh nghiệm quá trình công tác của bản thân, học hỏi
và tiếp thu ý kiến của đồng nghiệp.
+ Quan sát quá trình học tập của học sinh qua các giờ học, trao đổi
trực tiếp với học sinh để tìm ra những khó khăn vƣớng mắc của học sinh
khi giải bài tập toán liên quan đến chủ đề này và tìm ra biện pháp khắc
phục.
- Phƣơngzphápzthựcznghiệmzsƣzphạm:
+ Thể hiện các biện pháp đã đề xuất trong dạy học giải hệ phƣơng
trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn cho học sinh THPT
Ngọc Tảo, Phúc Thọ.

3


+ Kiểm tra, phân tích kết quả thử nghiệm và đánh giá hiệu quả của
các biện pháp sƣ phạm.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu hƣớng dẫn học sinh cách tìm lời giải bài toán theo bốn bƣớc
trong lƣợc đồ của Polya và xây dựng đƣợc hệ thống bài tập nhằm rèn

luyện đƣợc kĩ năng giải toán cho học sinh bằng cách xét vị trí tƣơng đối
giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn trong chƣơng trình lớp 10, đồng thời có
các biện pháp sƣ phạm phù hợp sẽ góp phần phát triển năng lực giải toán
cho học sinh. Giúp học sinh không chỉ khắc sâu kiến thức đã học mà
còn mở rộng và kết nối thành một hệ thống các tri thức, phát huy tính
chủ động ,sáng tạo và tích cực trong việc tiếp thu kiến thức mới , góp
phần nâng cao chất lƣợng học tập môn Toán trong trƣờng THPT.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoàizphầnzmởzđầu,zkết luận,zkhuyến nghị,ztài liệu thamzkhảo,
phụ lục, nội dung chính của luậnzvăn đƣợcztrìnhzbàyztrongz3zchƣơng:
Chƣơng 1. Cơzsởzlýzluậnzvàzthựcztiễnzcủazđềztài
Chƣơng 2. Rèn luyện kĩ năng giải toán hệ phƣơng trình bậc nhất,
bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm

4


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Theo Từ điển Hán – Việt của Phan Văn Các ( 1992): “ Kĩ năng là khả
năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn”. Trong đó, khả năng đƣợc
hiểu là: Sức đã có ( có về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì” [2, tr548]
Theo giáo trình Tâm lí học đại cƣơng thì : Kĩ năng (KN) là năng lực sử
dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng
để phát triển những thuộc tính, bản chẩt của sự vật và giải quyết thành công
những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” [3,tr149]
“ Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các

chứng minh đã nhận đƣợc. Kĩ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so
với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn” [4, tr.99]
Có rất nhiều cách định nghĩa khác nhau về kĩ năng bắt nguồn từ góc
nhìn chuyên môn hay góc nhìn cá nhân của nhà nghiên cứu. Tuy nhiên trong
phạm vi luận văn này, ta sẽ hiểu về kĩ năng nhƣ sau: “ Kĩ năng là khả năng
vận dụng tri thức ( khái niệm, định nghĩa, định lí, thuật giải, phƣơng pháp) để
giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
1.1.2. Đặc điểm của kĩ năng
Trongzvậnzdụngztazthƣờngzchúzýzđếnzcáczđặczđiểmzcủazkỹz năng:
- Bất kì kĩznăng nào cũngzphải dựa trên cơzsởzlýzthuyết, đó chính là
kiếnzthức, bởi vì cấuztrúc của kĩznăng baozgồm: Hiểu mục đích – biết
cáchzthức đi đến kếtzquả - hiểu những điềuzkiện để triểnzkhai những
cáchzthức đó. Kiếnzthức là cơzsở của kĩznăng khi kiếnzthức đó phảnzánh
đầy đủ các thuộcztính bảnzchất của đốiztƣợng, đƣợc thửznghiệm trong
thựz tiễn và tồnztại trong ýzthức với tƣzcách là côngzcụ của hànhzđộng. Nhƣ

5


vậy, kĩznăngzgiảizToán cũng phải dựa trên cơzsở trizthức Toánzhọc ( bao
gồm kiếnzthức, kĩznăng, phƣơngzpháp). Do vậy, nói đến kĩ năng giảizToán
không thể táchzrời với phƣơngzpháp Toánzhọc nhằm hìnhzthành và
rènzluyện những kĩznăng đó.
- Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ thể
hóa, chính xác hóa lại kiến thức. Điều này vừa là tính chất, đồng thời là một
mục tiêu quan trọng trong dạy học.
- Kĩznăng chỉ cózthể hìnhzthành trong hoạtzđộng và bằng hoạtzđộng.
Kĩ năng và trizthức thốngznhất trong hoạtzđộng. Tri thức là cần thiết để định
hƣớng, tiến hành các thao tác. Mứczđộ thànhzthạo của các thaoztác đƣợc hiểu
nhƣ là kĩznăng. Các thaoztác này đƣợc thựczhiện dƣới sự kiểmztra của

trizthức. Conzđƣờng đi từ chỗ có trizthức đếnzchỗ có kĩznăng tƣơngzứng là
conzđƣờng luyệnztập.
1.2. Kĩ năng giải toán
1.2.1. Khái niệm kĩ năng giải toán
Theo G.Polya [8] : Trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài
Toán, thực hiện các chứng minh cũng nhƣ phân tích có phê phán các lời giải
và chứng minh nhận đƣợc. “Kĩ năng giải Toán là khả năng vận dụng các kiến
thức Toán học để giải các bài tập Toán học”. Kĩ năng giải Toán dựa trên cơ sở
của tri thức Toán học bao gồm: Kiến thức, kĩ năng và phƣơng pháp. Học sinh
sau khi nắm vững lí thuyết, trong quá trình tập luyện, củng cố, đào sâu kiến
thức thì kĩ năng đƣợc hình thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng
cố, cụ thể hóa tri thức Toán học.
1.2.2. Phânzloạizkĩznăngzgiảiztoán
Hệzthốngzkĩznăngzgiảiztoán của họczsinh có thể chia làm ba cấpzđộ:
biết làm, thànhzthạo và sángztạo trong việczgiảizcáczbàiztoán cụzthể.
Trongzgiảiztoán, họczsinh cầnzcó nhữngznhómzkĩznăngzsau:

6


- Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: học sinh đƣợc rèn
luyện kĩ năng này trong quá trình giải quyết yêu cầu của bài toán. Cần chú ý,
kĩ năng chuyển từ tƣ duy thuận sang tƣ duy nghịch để nắm vững và vận dụng
kiến thức (một thành phần của tƣ duy Toán học), kĩ năng biến đổi xuôi chiều
và biến đổi ngƣợc chiều diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tƣởng
thuận.
-

Kĩ năng tính toán: Đây là đòi hỏi cần thiết, thƣờng gặp trong thực

tiễn cuộc sống. Ởzđâuzcũngzcần kĩznăngztínhztoán, đó là tínhzđúng,
tínhznhanh và tính hợpzlý. Để có đƣợc kĩ năng này cần có các đức tính là cẩn
thận, tỉ mỉ, phản ứng nhanh và có sự cố gắng bền bỉ.
- Kĩznăngztrìnhzbàyzlờizgiảizkhoazhọc, sử dụngzbiểuzđồ, sơzđồ,
đồzthị, đọc, vẽzhình,... chính xác, rõ ràng
- Kĩ năng ƣớc lƣợng đo đạc: là một kĩ năng cần thiết và rèn luyện cho
học sinh một cách cẩn thận. Đặc biệt là đối với kĩ năng vẽ hình, học sinh cần
lƣu ý vẽ hình chính xác theo quy ƣớc, đúng với giả thiết mà đề bài cho, nét vẽ
rõ ràng và hình vẽ dễ nhìn.
- Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: xuất hiện trong giả
thiết và yêu cầu của bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều
kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức toán học trong nhà trƣờng
vào thực tiễn, tạo hứng thú trong học tập, giúp học sinh nắm đƣợc thực chất
nội dung vấn đề, tránh hiểu toán học một cách thô cứng, mang tính chống đối,
hình thức.
- Kĩznăngzhoạtzđộngztƣzduyzhàm:zTƣzduy hàm là quá trình nhận
thức liên quan đến sự tƣơng ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần
tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng.
Tƣzduyzhàmzđóngzvaiztròzquanztrọng và xuyên suốt trong chƣơng trình

7


toán phổ thông. Nhữngzhoạtzđộng tƣ duy hàm là: Hoạt động phát hiện và
thiết lập sự tƣơng ứng, hoạtzđộng nghiên cứu tƣơng ứng.
- Kĩznăngztổngzhợp: Đó là kĩznăngzliênzkết các dữzkiện trong
bàizToán; kháizquátzcáczdấuzhiệu, tómztắtznộizdung bàizToán; xác định rõ
giả thiết, kết luận; kếtzcấu lại đềzToán, định hƣớng tiến trình giảizToán
- Kĩznăngzphânztích: Cózkĩznăngznày, họczsinhzbiếtzphânztích các
quan hệ và cấuztrúczcủazbàizToán; nhậnzdạngzýztrọngztâm; dự đoán, phân

tích và khắc phục các saizlầm trong quáztrìnhzgiảizToán; phân loại các
khảznăng có lời giải hoặc cáchzđizđếnzlờizgiải; và xác định trọng tâm cần
giải quyết trong bài Toán.
- Kĩ năng mô hình hóa: Hành động mô hình hóa bài toán là hoạt động
chuyển bài Toán thành mô hình và phân tích quan hệ Toán học cũng nhƣ các
phƣơng pháp Toán học sử dụng trên mô hình đó. Đâyzlàzmột kĩ năng cần
thiết để giảizbài Toán có ứngzdụng thựcztiễn và các bài Toán liên mônzkhác.
- Kĩznăngzsửzdụngzthôngztin: Đó là kĩznăngznhậnzbiết, thuzthập và
ghi nhận thôngztin từ nộizdungzbàizToán; phânzloại, sắpzxếp và thểzhiện qua
các kênh thôngztin trong hoạtzđộngzgiảizToán để tạo cơzsở huyzđộng
kiếnzthức, vốn kinh nghiệm có liênzquanzhữuzích đến việc giải Toán.
- Kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai
lầm khi giải toán: Trongzhọcztậpzgiảiztoánzviệczphát hiện sai lầm và sửa sai
lầm của lời giải là một thành công của ngƣời học toán. Do vậy mà giáo viên
cần giúp học sinh có khả năng và thói quen kiểm tra lại bài, phát hiện ra sai
lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích nguyên nhân dẫn
đến sai lầm qua đó tìm hƣớng giải quyết đúng bài toán.
1.2.3. Sự hình thành kĩ năng giải toán
Kĩznăngzchỉzđƣợczhìnhzthànhzthôngzquazquáztìnhztƣzduyzgiải
quyết các nhiệm vụ đặt ra. Conzđƣờngzhìnhzthànhzkĩznăng rất phong
phú và nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố.

8


Cózhaizconzđƣờngzhìnhzthànhzkĩznăngzchozhọczsinhzlà:
- Truyền đạt cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra
những bài toán vận dụng phù hợp và bám sát tri thức đó cho cho học
sinh.
- Dạy những nhận biết những dấu hiệu nhận biết đặc biệt cho học

sinh mà từ đó có thể định hƣớng đƣợc phƣơng pháp và cách giải cho
một dạng bài toán và vận dụng đƣờng lối sáng tạo đó vào từng bài cụ
thể.
Vìzvậy,zkhizhìnhzthànhzkĩznăngzchozhọczsinhzgiáozviênzcần
giúp cho học sinh:
- Biết cách lọc ra các thông tin cốt lõi và phát hiện ra yếu tố đã
cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng
- Hìnhzthànhzmộtzmôzhìnhzkháizquátzđểzgiải quyết các đối tƣợng
cùngzloại
- Xáczlậpzđƣợczmốizliênzhệzgiữazbàiztậpzmôzhình và kháizquát
các kiến thức tƣơng ứng
1.2.4. Vai trò của kĩ năng giải toán
Việczrènzluyệnzkĩznăngzhoạtzđộngznóizchung,zkĩznăngztoánzhọc
nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảmzbảozmốizliênzhệzgiữazhọczvới
hành.
Nếu học sinh chỉ biết học vẹt các khái niệm, định nghĩa, định lí mà
học sinh thực sự không nắm đƣợc bản chất của các phát biểu đó dẫn tới
không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài
tập thì coi nhƣ hiệu quả của việc dạy học là chƣa đạt. Có thể nói, “ chìa
khóa” để rẻn luyện kĩ năng giải toán chính là bài tập toán.
1.3. Một số tri thức về hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai
1.3.1. Hệ gồm hai phương trình bậc nhất

9


a1 x  b1 y  c1
a2 x  b2 y  c2

Hệ phƣơng trình bậc nhất với hai ẩn x và y có dạng: 

a) Để giải hệ phƣơng trình cơ bản ta sử dụng hai phƣơng pháp giải
đã học từ lớp 9:
+ Phƣơng pháp thế
+ Phƣơng pháp cộng đại số
b) Để biện luận phƣơng trình này :
 Phƣơng pháp thế đã học ở chƣơng trình Toán lớp 9:
+ Rút y theo ẩn x từ một trong hai phƣơng trình đã cho rồi thế vào
phƣơng trình còn lại ta thu đƣợc phƣơng trình bậc nhất đối với ẩn x
+ Sau khi thu gọn ta giả sử phƣơng trình bậc nhất đối với x có dạng:
ax  b (1)

+ Đểzbiệnzluậnzphƣơngztrìnhz(1) :
Nếuz a  0 zthìz (1) ztrởzthànhz 0x  b z
 Nếu b  0 thì hệ phƣơng trình có vô số nghiệm
 Nếuz b  0 zthìzhệzphƣơngztrình vôznghiệmz
b
a

Nếuz a  0 zthìzphƣơngztrìnhz 1 zcózmộtznghiệmzduyznhấtz x  .
Thayzvàozbiểuzthứczcủazxztaztìmzđƣợczy.
Khizđózhệzphƣơngztrìnhzcó nghiệm duy nhất.
 Phƣơng zpháp zsử zdụngzđịnhzthức:
D

a1 b1
 a1.b2  a2 .b1
a2 b2

Dx 

c1 b1
 c1.b2  c2 .b1
c2 b2

Dy 

a1 c1
 a1.c2  a2 .c1
a2 c2

10


+ Nếuz D  0 zthìzhệzphƣơngztrìnhzcóznghiệmzduyznhấtz x 

Dy
Dx
; y
D
D

D  0

+ Nếu D  0 và  x
thìzhệzphƣơngztrìnhzvôznghiệmz
D

0
y


+ Nếuz D  Dx  Dy  0 zthìzhệzphƣơngztrìnhzcózvôzsốznghiệm.
 Giảizbằngzphƣơngzphápzhìnhzhọc:
a1x  b1 y  c1
a x  b1 y  c1  0
 1
a2 x  b2 y  c2
a2 x  b2 y  c2  0

Xétzhệzphƣơngztrìnhz 

(1)
(2)

Phƣơng trình (1) và (2) lần lƣợt là phƣơng trình đƣờng thẳng  d1  ,  d2 
- Hệzphƣơngztrìnhzvôznghiệmz
  d1  / /  d2  

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

(a2 , b2 , c2  0)

a
b
- Hệ phƣơng trình có 1 nghiệm   d1  cắt  d2   1  1
a2

b2

(a2 , b2  0)

- Hệzphƣơngztrìnhzcózvôzsốznghiệm
  d1    d2  

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

(a2 , b2 , c2  0)

1.3.2. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
Tổng quát:
ax2  bxy  cy 2  dx  ey  f  0

 Ax  By  C  0

Hệzphƣơngztrìnhzcózdạng:z  I  

(1)
(2)

Để giải hệ phƣơng trình ta có thể lựa chọn hai cách sau:
 Phƣơng pháp thế.
Đƣợc áp dụng cho mọi yêu cầu của dạng hệ trên và thông thƣờng bài
toán đƣợc phát biểu dƣới dạng:
“ Chozhệzphƣơngztrìnhz(I)z
a) Giải hệ với một giá trị cụ thể của tham số
b) Có thể là các câu hỏi:

11


- Giảizvàzbiệnzluậnzhệztheozthamzsốzz
- Tìmzđiềuzkiệnzcủazthamzsốzđểzhệzcóznghiệmz
- Tìmzđiềuzkiệnzcủazthamzsốzđểzhệzcóznghiệmzduyznhấtz
-

Tìmzđiềuzkiệnzcủazthamzsốzđểzhệzcóz2znghiệmzphânzbiệt

z z

Khi đó tốt nhất ta thực hiện theo 3 bƣớc sau:
Bƣớcz1:zTừzphƣơngztrìnhz(2)zrútzx hoặczyzrồizthếzvàozphƣơng trình
(1). Khi đó ta đƣợc phƣơng trình bậc hai theo ẩn x hoặc y, giả sử:
f  x, m  0

(3)

Bƣớcz2:zGiải câu a) bằng cách thay giáztrịzcụzthểzcủazthamzsố vào (3),
từ đó có đƣợc x rồi suy ra y.
Bƣớc 3: Giải câu b) phụ thuộc vào tham số m. Ta tính  theo ẩn m rồi
biện luận:
- Nếuz   0 zthìzphƣơng trìnhz(3)zcóz2znghiệm phânzbiệt. Suy ra
hệ phƣơng trình có 2 cặp nghiệp phân biệt
- Nếu   0 thì phƣơng trình (3) có 1 nghiệm duy nhất. Suy ra
hệzphƣơng ztrình zcóz1zcặp znghiệm
- Nếuz   0 zthìzphƣơngztrìnhz(3)zvôznghiệm.
Suyzrazhệzphƣơngztrình vô nghiệm.
 Phƣơngzphápzsửzdụngzhìnhzhọc:

Sử dụng khi bài toán yêu cầu biện luận theo tham số m
Khizđóztazthựczhiệnztheozcáczbƣớczsau:
Bƣớcz1:zTrongzhệztrụcztọazđộzOxy,zxétzcáczđƣờng:

C  : ax2  bxy  cy2  dx  ey  f

 0 zlàzmộtzđƣờngzcongzbậcz2.

(d): Ax  By  C  0 zlàzmộtzđƣờngzthẳngzz
Bƣớcz2:zDựazvàozvị
tríztƣơngzđốizcủaz(C)zvàz(d)ztazcózđƣợczcâuztrảzlời cho yêu cầu bài
toán

12


Chú ý: Để giải theo cách này bạn đọc cần có kiến thức về vị trí tƣơng
đói giữa đƣờng thẳng với đƣờng tròn, Elip, Hyperbol, Parabol.
Mộtzsốzdạngzbàiztoánzcụzthểzz
Bài 1: zBiệnzluậnzsốznghiệmzcủazhệzz
2
2
2

 x  u    y  v   r


ax  by  c

1

 2

Hƣớng dẫn giải
Phân tích:
+ Tập nghiệm của phƣơng trình (1) là tập điểm thuộc đƣờng tròn (C) tâm
I  u; v  bán kính r

+ Tập nghiệm của phƣơng trình (2) là tập điểm thuộc đƣờng thẳng (d)
Nhƣ vậy ta phải khảo sát số giao điểm của đƣờng tròn (C) và đƣờng
thẳng (d)
Cách 1: Lập công thức tính khoảng cách từ tâm I đến đƣờng thẳng (d).
Biện luận số giao điểm của đƣờng thẳng (d) và đƣờng tròn (C) bằng cách
so sánh khoảng cách đó với r.
Cách 2: Tìm dải mặt phẳng (Q) hoặc miền gốc P nhỏ nhất chứa (C).
Biệnzluậnzvịztrízcủazđƣờngzthẳngz(d)zđốizvớizmiềnzmặtzphẳngzđó.
Nếu đƣờngzthẳng đi qua một điểm trong đƣờng tròn thì hệz phƣơng trình
luônzcóz2znghiệm phân biệt.
Bài 2:zBiệnzluậnzsốznghiệmzcủazhệzphƣơngztrìnhzz
2
2

 px  qy  r


ax  by  c

1
 2

 p, q, r  0

Hƣớng dẫn giải:
Phân tích:
+ Tập nghiệm của phƣơng trình (1) là tập các điểm nằm trên đƣờng Elip
(E)

13


+

Tậpznghiệmzcủazphƣơngztrìnhz(2)zlàztậpzcáczđiểmzthuộczđƣờng

thẳng (d)
Nhƣ vậy ta cần khảo sát số giao điểm của Elip (E) và đƣờng thẳng (d)
Nếu đƣờng thẳng đi qua một điểm trong Elip (E) thì đƣờng thẳng luôn
cắt Elip (E) tại 2 điểm phân biệt
1.4. Một số tri thức về đƣờng thẳng, đƣờng tròn
1.4.1. Đường thẳng
Phƣơngztrìnhztổngzquátzcủazđƣờngzthẳngzcózdạng: ax  by  c  0
a1 x  b1 y  c1  0
a2 x  b2 y  c2  0

Vịztríztƣơngzđốizcủazhaizđƣờngzthẳng: 

Nếu

a2 , b2 , c2  0

( d1)

( d2 )

thì:

-

 d1  / /  d2  

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

-

 d1    d2  

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

-

 d1    d2  

a1 b1

a2 b2

-

 d1    d2   a1.a2  b1.b2  0

1.4.2. Đường tròn
Dạng 1: Phƣơng trình đƣơng tròn C  có tâm I  a, b , bán kính R>0

 x  a 2   y  b 2  R 2
Dạng 2: Phƣơng tình tổng quát
Đƣờng tròn (C) x2  y2  2ax  2by  c  0 có tâm I  a, b và bán kính
R  a 2  b2  c với điều kiện a2  b2  c  0

1.4.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
Giữa đƣờng thẳng   và đƣờng tròn tâm  I , R  có 3 vị trí tƣơng đối:

14


- Đƣờngzthẳngzcắtzđƣờngztrònztạizhaizđiểmzphânzbiệtz
 d (I , )  R

- Đƣờngzthẳngztiếpzxúczvớizđƣờngztrònz  d (I , )  R zzz
- Đƣờngzthẳngzvàzđƣờngztrònzkhôngzgiaoznhauz  d (I , )  R
1.5. Thực trạng dạy và học giải toán hệ phƣơng trình bậc nhất và
bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn.
Để đề ra đƣợc các giải pháp tốt cho việc rèn luyện kĩ năng giải hệ
phƣơng trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn thì
một nhiệm vụ quan trọng của đề tài là phải điều tra và đƣa ra đƣợc nhận xét
cụ thể về việc: Trong thực tế ở trƣờng phổ thông, giáo viên và học sinh đã
tiến hành “ Giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng
tròn” nhƣ thế nào? Những mặt nào tốt và những mặt nào còn chƣa tốt? Những
khó khăn, tồn tại nào mà học sinh đang gặp khi giải hệ phƣơng trình bậc nhất,

bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn? Do đó chúng tôi đã phát phiếu thăm dò
( hình 1) và trao đổi với 10 giáo viên trong tổ Toán, Trƣờng THPT Ngọc Tảo
về thực tế dạy và học giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề
đƣờng tròn trong nhà trƣờng hiện nay.
Phiếu thăm dò
Câu hỏi 1: Về rèn luyện kĩ năng sử dụng hình học đặc biệt là đƣờng
thẳng và đƣờng tròn để giải một số bài toán về hệ phƣơng trình có thật
sự quan trọng không? Tại sao?
Câu hỏi 2: Thầy cô có thƣờng xuyên rèn luyện kĩ năng sử dụng hình
học đặc biệt là đƣờng thẳng và đƣờng tròn để giải bài toán về hệ
phƣơng trình cho học sinh hay không?
Câu hỏi 3: Thầy cô thƣờng gặp khó khăn gì khi rèn luyện kĩ năng giải
hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng
tròn?

15


Sau khi thu nhận kết quả chúng tôi đã tổng hợp và phân tích đƣợc
một số vấn đề nhƣ sau:
- Nội dung 1: Đa số các thầy, cô coi việc rèn luyện kĩ năng giải hệ
phƣơng trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn
là thật sự quan trọng. Haizlízdozcơzbảnzđƣợczđƣazrazlà:
+ Thứ nhất, việc rèn luyện kĩ năng này giúp học sinh nhìn bài toán
dƣới nhiều góc độ khác nhau, tạo sự mới mới mẻ, hứng thú cho học sinh
khi học Toán.
+ Thứ hai, đây là một “công cụ” tốt để học sinh áp dụng vào hình
thức thi trắc nghiệm mới.
- Nội dung 2: Việc rèn luyện kĩ năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất,
bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn chƣa đƣợc chú trọng.

Hơn nửa thầy cô đƣợc hỏi đã không đề cập với học sinh rèn luyện kĩ
năng này. Một số thầy cô có đề cập tới nhƣng chƣa có kế hoạch và hệ
thống cụ thể. Đa số thầy cô cho rằng: có ít thời gian trong phân phối
chƣơng trình để rèn luyện kĩ năng cho học sinh vì hoạt động rèn luyện kĩ
năng cho học sinh luôn đòi hỏi nhiều thời gian và kiên trì. Ngoài ra, tài
liệu tham khảo về giải hệ phƣơng trình rất phong phú, song giải hệ
phƣơng trình bậc nhất, bác hai thông qua chủ đề đƣờng tròn chƣa đƣợc
chọn lựa có hệ thống và bài bản phù hợp với điều kiện thời gian, trình độ
của học sinh. Điều này gây khó khăn cho các giáo viên, đặt biệt là các
giáo viên trẻ.
- Nội dung 3: Theo các thấy, cô có chú ý đến rèn luyện kĩ năng này
cho học sinh, nội dung và phƣơng pháp luyện tập giải hệ phƣơng trình
bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn còn một số khó khăn, tồn
tại. Về mặt nội dung, kiến thức cần thiết để giải hệ phƣơng trình bậc
nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn là cả kiến thức đại số và hình
học điều này đòi hỏi học sinh phải có nền tảng vững ở cả hai mặt. Đối

16


với học sinh chỉ học khá một trong hai, đại số hoặc hình học thì việc liên
hệ sẽ chậm và khó hơn.
+ Học sinh không nhận ra đƣợc các dạng phƣơng trình của đƣờng
tròn hay thiếu điều kiện để phƣơng trình đó là một phƣơng trình đƣờng
tròn.
+ Học sinh chƣa xác định đƣợc điều kiện đủ và đúng về vị trí tƣơng
đối giữa đƣờng thẳng với đƣờng thẳng, đƣờng thẳng với đƣờng tròn và
đƣờng tròn với đƣờng tròn.
Trƣớc tình hình thực tế nhƣ vậy, chúng tôi nhận thấy rằng: Việc lựa
chọn, phân tích, phân loại hệ thống kiến thức và bài tập đa dạng, hợp lí

theo từng chủ đề và việc đề xuất những biện pháp sƣ phạm hợp lí khi sử
dụng hệ thống bài tập này là cần thiết với hoạt động rèn luyện kĩ năng
giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn nói
chung và trong việc giải các hệ phƣơng trình nói riêng.

17