Rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ TUẤN NHÃ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ
VECTƠ VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ TUẤN NHÃ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ
VECTƠ VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 8 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Thành Văn

HÀ NỘI – 2017

Lời cảm ơn
Qua một thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Giáo dục –
Đại học Quốc gia Hà Nội, Luận văn Thạc sĩ Sư phạm toán với đề tài “Rèn luyện
kỹ năng giải toán chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian cho học
sinh lớp 11 Trung học phổ thông” của tác giả đã được hoàn thành.
Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo
của trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã giúp đỡ và tạo nhiều
điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập để hoàn thành các học phần và
nghiên cứu để làm luận văn này.
Đặc biệt, tác giả cũng xin bày tỏ sự biết ơn tới PGS.TS. Nguyễn Thành
Văn, người đã trực tiếp hướng dẫn và có những góp ý xác đáng nhất vơi những
nội dung trong luận văn để tác giả nghiên cứu, chỉnh sửa và hoàn thiện.
Qua đây, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu, các thầy
giáo, cô giáo và các em học sinh trường THPT Na Dương, huyện Lộc Bình, tỉnh
Lạng Sơn đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 3 tháng 11 năm 2017
Tác giả

Lê Tuấn Nhã

i


Danh mục các chữ viết tắt
HHKG: Hình học không gian
NXB: Nhà xuất bản
SGK: Sách giáo khoa

THPT: Trung học phổ thông

ii


MỤC LỤC
Lời cảm ơn .............................................................................................................. i
Danh mục các chữ viết tắt ...................................................................................... ii
Danh mục các bảng ...............................................................................................iii
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................... 6
1.1.

Khái niệm bài toán. Phương pháp giải toán ................................................. 6

1.1.1. Bài toán ........................................................................................................ 6
1.1.2. Phân loại bài toán ......................................................................................... 6
1.1.3. Phương pháp giải bài toán ........................................................................... 7
1.1.4. Chức năng của bài tâp toán ........................................................................ 11
1.2.

Kỹ năng giải toán ....................................................................................... 11

1.2.1. Kỹ năng ...................................................................................................... 11
1.2.2. Đặc điểm của kỹ năng ................................................................................ 12
1.2.3. Kỹ năng giải toán ....................................................................................... 13
1.2.4. Yêu cầu về rèn luyện kỹ năng giải toán của học sinh ................................ 14
1.2.5. Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán HHKG lớp 11............................... 14
1.3.

Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT ................... 23

1.3.1. Mục tiêu dạy học môn Toán ở THPT ........................................................ 23
1.3.2. Yêu cầu nhiệm vụ môn Toán ở THPT ....................................................... 23
1.3.3. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT ................... 24
1.4.

Nội dung của chương trình và yêu cầu của dạy học chủ đề bài tập về vectơ

và quan hệ vuông góc trong không gian .............................................................. 25
1.4.1. Nội dung của chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong chương trình
HHKG lớp 11 ....................................................................................................... 25
1.4.2. Mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc
trong không gian .................................................................................................. 26


1.5.

Thực trạng dạy học giải bài tập chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong

không gian ở trường THPT .................................................................................. 27
1.5.1. Thực trạng dạy học giải bài tập HHKG chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc
ở trường THPT ..................................................................................................... 27
1.5.2. Thực trạng kỹ năng giải bài tập HHKG chủ đề vectơ và quan hệ vuông
góc ở trường THPT .............................................................................................. 29
1.6.

Kết luận chương 1 ...................................................................................... 30

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN ... 32

2.1.

Một số nguyên tắc khi xây dựng phương pháp .......................................... 32

2.1.1. Phù hợp với đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT ... 32
2.1.2. Phù hợp với lý luận dạy học bộ môn ......................................................... 33
2.1.3. Phù hợp với yêu cầu của chương trình ...................................................... 33
2.1.4. Phù hợp với đối tượng học sinh ................................................................. 33
2.2.

Kỹ năng giải toán hình học không gian ..................................................... 34

2.2.1. Kỹ năng chứng minh .................................................................................. 34
2.2.2. Kỹ năng tính góc ........................................................................................ 49
2.2.3. Kỹ năng tính khoảng cách.......................................................................... 62
2.2.4. Kỹ năng tìm lời giải theo bốn bước giải toán của G.Polya........................ 81
2.3.

Kết luận chương 2 ...................................................................................... 90

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ......................................................... 91
3.1.

Mục đích thực nghiệm ............................................................................... 91

3.2.

Đối tượng thực nghiệm .............................................................................. 91

3.3.

Nội dung thực nghiệm................................................................................ 91

3.4.

Tổ chức và đánh giá thực nghiệm .............................................................. 91

3.4.1. Phương pháp và tiến trình thực nghiệm ..................................................... 91
3.4.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................... 95
3.5.

Minh họa giáo án thực nghiệm ................................................................ 101


3.6.

Kết luận chương 3 .................................................................................... 109

KẾT LUẬN ........................................................................................................ 110
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 111


Danh mục các bảng
Bảng 1.1 Kết quả kiểm tra
Bảng 3.1 Kết quả khảo sát trước thực nghiệm
Bảng 3.2 Kết quả kiểm tra sau thực nghiệm

iii

MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Đổi mới giáo dục là một vấn đề đã, đang được cả xã hội quan tâm và dõi

theo. Nhiều chủ trương chính sách cho đổi mới giáo dục đã được Đảng và Nhà
nước đề ra nhằm mục tiêu đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc Việt Nam, Xã hội chủ nghĩa.
Trong tất cả những yếu tố có vai trò quyết định làm thay đổi một nền giáo
dục thì không thể không nhắc đến đổi mới nội dung và phương pháp giáo dục.
Định hướng phương pháp dạy học được chỉ rõ trong Luật Giáo dục (2005):
“...Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ

động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học;
bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng
thú học tập cho học sinh...”
Việc đổi mới đang diễn ra ở tất cả các cấp học, bậc học, môn học trong đó
có môn Toán tại các trường THPT. Do đó, môn Toán có vị trí cũng như vai trò
quan trọng vì nó là môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho nhiều ngành khoa học
khác. Toán học giúp người học rất nhiều trong việc rèn luyện cách suy nghĩ,
phương pháp lập luận, giải quyết vấn đề, giải quyết các tình huống thực tiễn xảy
ra trong cuộc sống từ đó đặt ra những nhiệm vụ quan trọng với người dạy.
Khi dạy học môn Toán, rèn luyện kỹ năng làm toán có vị trí đặc biệt vì
không có kỹ năng thì sẽ không phát triển được tư duy và không tìm được lối
thoát cho việc giải quyết vấn đề. Vì vậy việc rèn luyện kỹ năng giải toán là một
yêu cầu công việc rất cần thiết.
Trong các phần của toán, một nội dung hay và thiết thực là Hình học

không gian, bởi thông qua việc dạy và học nội dung này, các phẩm chất cần thiết

1


cho cuộc sống lao động, học tập của người học sẽ được phát triển như trí tưởng
tượng, khả năng phân tích quan sát. Tuy nhiên, thực tế cho thấy rằng nội dung
này được xem là một chủ đề hay nhưng khó dạy và khó học. Ví dụ như trong
chương trình môn Toán THPT, nội dung của chương “Vectơ trong không gian.
Quan hệ vuông góc trong không gian” trong SGK Hình học lớp 11. Kiến thức
của chương này thường gặp trong kỳ thi THPT quốc gia hiện nay qua các dạng
bài tính khoảng cách, tính góc và chứng minh vuông góc. Để học tốt phần này,
học sinh cần rất những kiến thức về Hình học từ các lớp của cấp trung học cơ sở
và đặc biệt là các lớp 7, 8. Qua thực tế tại địa phương, nơi tác giả đang công tác,
học sinh thường lúng túng khi giải bài tập, có tư tưởng ngại và sợ làm bài tập
hình không gian.
Từ những kinh nghiệm của bản thân qua quá trình công tác, theo tác giả,
kiến thức và bài tập về Hình học không gian không quá khó và phức tạp như suy
nghĩ chung của nhiều học sinh do kỹ năng của các em tốt. Từ đó tác giả đã tổng
kết, sắp xếp một cách có hệ thống các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải các bài
toán về chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian trong chương trình
hình học 11 THPT.
Dó là lý do để tác giả chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề
vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 Trung học
phổ thông”.
2.

Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1.

Mục đích nghiên cứu
Đề xuất được một số biện pháp khả thi và hiệu quả trong rèn luyện các kỹ

năng giải bài tập về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian trong SGK
Hình học lớp 11 ban cơ bản.
2.2.

Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.

2


- Kỹ năng giải bài tập về hình học trong không gian.
- Nội dung cũng như mục tiêu dạy học “vectơ trong không gian, quan hệ
vuông góc trong không gian”
- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán về “vectơ trong
không gian, quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11 Trung
học phổ thông.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả
trong nội dung được đề cập đến của đề tài.
3.

Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1.

Đối tượng nghiên cứu
Quá trình dạy học các nội dung của Hình học không gian chương vectơ

trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian trong SGK Hình học lớp
11 ban cơ bản.
3.2.

Khách thể nghiên cứu
Hoạt động dạy và học môn Toán ở trường THPT Na Dương – Lạng Sơn.

4.

Vấn đề nghiên cứu
Rèn luyện kỹ năng giải toán chương vectơ trong không gian, quan hệ

vuông góc trong không gian trong SGK Hình học lớp 11 ban cơ bản cho học sinh
theo những cách nào để mang lại hiệu quả?
5.

Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng những biện pháp đề xuất trong luận văn thì sẽ rèn luyện cho

học sinh THPT kỹ năng giải quyết các bài toán thuộc chủ đề vectơ và quan hệ
vuông góc trong không gian, từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học Hình
học không gian ở trường phổ thông.

3


6.

Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Các nghiên cứu khảo sát được tiến hành trên phạm vi trường THPT Na

Dương. Số liệu được sử dụng để nghiên cứu đề tài này được thu thập trong năm
2016, 2017.
7.

Những đóng góp của luận văn
- Cung cấp cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.
- Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy và

học nội dung quan hệ vuông góc trong Hình học 11 cơ bản.
- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi dạy nội dung quan hệ
vuông góc trong Hình học 11 cơ bản.
- Kết quả từ những nghiên cứu của luận văn có thể trở thành tài liệu tham
khảo cho giáo viên và học sinh khi dạy và học toán ở trường THPT.
8.

Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Phân tích và hệ thống hóa trên các

nghiên cứu đã có, SGK, sách giáo viên cũng như các tài liệu liên quan.
- Phương pháp quan sát: Trao đổi với đồng nghiệp cùng chuyên môn
thông các buổi dự giờ để biết được học sinh học tập thế nào, các buổi sinh hoạt
trong tổ chuyên môn, đưa ra các nhận định trên kết quả học tập của học sinh để
tìm hiểu thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán khi dạy nội dung quan hệ vuông
góc trong Hình học 11 THPT.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy học theo những cải
tiến mới tại trường THPT Na Dương, rồi sau đó kiểm tra kết quả.
- Phương pháp thống kê toán học: Các số liệu trong thu được sau khi điều
tra sẽ được xử lý để đưa ra những phân tích định lượng về kết quả đã điều tra

được.

4


9.

Cấu trúc luận văn
Phần chính trong luận văn được chia thành 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Trước nội dung ba chương này có phần mở đầu, sau đó là phần kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.

5


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.

Khái niệm bài toán. Phương pháp giải toán

1.1.1. Bài toán
Trong các tài liệu về lý luận dạy học môn Toán, người ta hầu như không
định nghĩa khái niệm “Bài toán” vì vậy có nhiều cách hiểu khác nhau:
- Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa [1]: “Khái niệm bài toán hiểu là
một công việc hoàn thành được nhờ những phương thức đã biết trong những

điều kiện cho trước”.
- Theo G.Polya [3]: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách
có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng
nhưng không thể đạt được ngay”.
Do vậy bài toán cùng nghĩa với đề toán, vấn đề, nhiệm vụ...
1.1.2. Phân loại bài toán
Để dùng các bài toán một cách tiện dụng nhất và đạt được những mục đích
nhất định thì các bài toán phải được phân loại theo nhiều cách khác nhau.
Theo G.Polya [4] “Một sự phân loại tốt phải chia bài toán thành những
loại (kiểu, dạng) sao cho mỗi loại bài toán xác định trước một phương pháp
giải”. Dựa vào mục đích của các bài toán, ông chia bài toán thành hai loại: các
bài toán về tìm tòi và các bài toán về chứng minh.
- Bài toán dạng tìm tòi: gồm các bài toán tính toán, dựng hình, tập hợp
điểm, toán giải phương trình hoặc bất phương trình... Yêu cầu của các bài toán
thuộc dạng này thường được thể hiện bằng các từ: tính, tìm, giải, xác định,
dựng...
- Bài toán dạng chứng minh: Yêu cầu với các bài toán ở dạng này thường
được thể hiện bằng các cụm từ: chứng minh rằng, chỉ ra, tại sao... Phần chính
của bài toán bao gồm những điều đã cho (giả thiết) và những điều cần phải

6


chứng minh (kết luận). Để giải được những bài toán ở dạng này cần phải tìm ra
được mối liên hệ giữa những cái đã cho biết với cái cần chứng minh.
Trong thực tế học sinh thường gặp bài toán mà trong đó có phần là bài
toán tìm tòi, có phần là bài toán chứng minh và bài toán có nội dung thực tiễn.
Những bài toán đó được gọi là bài toán tổng hợp. Ngoài ra dựa vào nội dung, bài
toán có được phân chia thành các loại: bài toán số học, bài toán đại số và bài
toán hình học.

Nói riêng với các bài toán hình học, chúng thường có thể phân thành các
loại như: tính toán, chứng minh, tìm quỹ tích và dựng hình.
1.1.3. Phương pháp giải bài toán
Có thể nêu ra phương pháp chung để giải bài toán theo những gợi ý chi
tiết của G.Polya về cách thức giải một bài toán, những tư tưởng tổng quát cùng
với những đã được kiểm nghiệm thông qua quá trình thực tiễn dạy học, như sau:
- Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (hiểu bài toán)
+ Phát biểu đề bài với những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán.
+ Phân biệt cái đã cho với cái phải tìm, phải chứng minh.
+ Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
- Bước 2: Tìm cách giải (xây dựng chương trình giải)
+ Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi
cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái
phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ
tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào
đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như
chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích...
+ Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa
kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,...
+ Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để có cách giải hợp lý nhất.

7


- Bước 3: Trình bày lời giải (thực hiện chương trình giải)
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
- Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả của lời giải.
+ Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

[8, tr.391,392]
Ví dụ 1: Cho biết hình chóp S.ABC với tam giác ABC ở đáy vuông cân tại A. Biết
AB

AC b và cạnh bên SA

b 6
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính góc
2

giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
Hướng dẫn giải
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Học sinh

Giáo viên
Yêu cầu học sinh:
- Đọc kỹ nội dung đầu bài

- Đọc kỹ nội dung đề bài

- Xác định giả thiết, kết luận của bài

- Xác định rõ giả thiết, kết luận của bài

- Vẽ hình

- Tiến hành vẽ hình

Bước 2: Tìm cách giải (xây dựng chương trình giải toán)

Học sinh

Giáo viên

Hỏi học sinh về cách xác định góc giữa Cách 1: Xác định hai đường thẳng a, b
lần lượt vuông góc với (P) và (Q).

hai mặt phẳng (P) và (Q)?

(( P),(Q)) (a, b) .

Cách 2:
- Xác định đường thẳng d chung (giao
tuyến) của hai mặt phẳng (P) và (Q).

8


Học sinh

Giáo viên

- Trong (P) và (Q) lần lượt xác định
các đường thẳng a, b vuông góc với d.
(( P),(Q)) (a, b)

Vậy ta nên dùng cách nào để tính được Ta sử dụng cách 2 để tính góc giữa
góc giữa (SBC) và (ABC).

(SBC) và (ABC).

- Giao tuyến giữa (SBC) và (ABC): BC
- Gọi N là trung điểm của BC, ta chứng
minh được SN và AN cùng vuông góc
với BC.
- Góc (( SBC ),( ABC )) ( SN , AN ) .

Bước 3: Thực hiện chương trình giải toán
S

Chóp S.ABC, SA

( ABC ) .

ΔABC có
M

GT

β
C

A
φ

SA

||
N

||

Hình 1.1

KL

B

Từ SA

A 90 , AB

( ABC )

SA
SA

AB
AC

SAB SAC

AC b .

b 6
.
2

(( SBC ),( ABC )) ?

(1)

90

Xét tam giác SAB và SAC có
SA (lµ c¹nh chung )
SAB SAC 90 (1)
AB AC (gi¶ thiÕt )

SAB

Do đó ΔSBC cân tại S.

9

SAC

SB

SC


Gọi N là trung điểm BC suy ra SN

BC (SN, AN lần lượt là đường

BC, AN

trung tuyến ứng với đỉnh cân của tam giác SBC và ABC).
Từ đó ta có (( SBC ),( ABC )) ( SN , AN ) SNA

.

b 2
(nửa đường
2

b 6
(giả thiết), AN
2

Trong tam giác SNA vuông tại A có SA
chéo hình vuông cạnh b) nên

SA
AN

tan SNA

3

SNA 60

60 .

(( SBC ),( ABC ))

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra lại toàn bộ lời giải và từ bài tập này
rút ra các bước tính góc giữa hai mặt phẳng theo cách 2. Tiếp sau đó, giáo viên
yêu cầu học sinh thử tìm lời giải theo cách 1. Với cách này học sinh có thể trình

bày lời giải như sau:
Từ A kẻ AM
SN

AM

BC , AN

SN tại M. Ta chứng minh được AM

BC

( SNA) và AM

BC

SN (vẽ hình) và BC

1
AM 2

1
SA2

1
AM 2

2
b 6

( SNA) suy ra BC

AM (chứng minh trên) suy ra AM

Do đó (( SBC ),( ABC )) ( SA, AM ) SAM
Ta có

( SBC ) . Thật vậy

AM ,
( SBC ) .

.

1
( ΔSNA vuông tại A, AM là đường cao)
AN 2
2

2

2

b 2

Mà ΔSAM vuông tại M nên có cos

8
. Khi đó, ta có AM
3b 2

AM
SA

b 6
4

b 6
2

b 6
.
4
1
2

60 .

Qua hai cách giải, học sinh nắm được các bước xác định và tính góc tạo
bởi hai mặt phẳng. Hơn nữa bài toán trong ví dụ 1 khi giải theo cách 2 sẽ ngắn
gọn và hay hơn cách 1. Tuy nhiên cách 1 là cách cơ bản mà học sinh phải biết.

10


1.1.4. Chức năng của bài tâp toán
Ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học, mỗi bài tập toán đều có thể
có những chức năng sau: chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng
phát triển, chức năng kiểm tra. Trong đó (theo Vũ Dương Thụy):
- Chức năng dạy học: qua giải bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho
học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình

dạy học.
- Chức năng giáo dục: giải bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế
giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
- Chức năng phát triển: bài toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất
của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: bài tập toán nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy
học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức
và trình độ phát triển của học sinh.
Các chức năng nói trên đều hướng tới việc thực hiện mục đích dạy học.
Việc dạy toán ở trường phổ thông có hiệu quả hay không phụ thuộc vào sự khai
thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có thể có của bài tập bằng năng lực sư
phạm của giáo viên.
1.2.

Kỹ năng giải toán

1.2.1. Kỹ năng
Thực tiễn cuộc sống buộc con người phải giải quyết các vấn đề dựa vào
việc vận dụng vốn hiểu biết cùng với kinh nghiệm của bản thân. Khi đó con
người cũng dần dần hình thành cho mình những kỹ năng giải quyết các vấn đề
đặt ra. Có khá nhiều khái niệm về kỹ năng.

11


Theo [12] “kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái
niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của
các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”.

Theo [13] “kỹ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo,
linh hoạt, sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau”.
Theo G.Polya [3, tr.386] “kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận
dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng
còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định; kỹ năng là khả năng
làm việc có phương pháp”. G.Polya còn khẳng định rằng [4] “ trong toán học, kỹ
năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích
có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.
Từ những quan điểm, trên ta có thể hiểu: kỹ năng là sự thực hiện thành
thạo và có kết quả một hành động nào đó bằng cách vận dụng tri thức, những
kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với ngữ cảnh và điều kiện cụ thể.
1.2.2. Đặc điểm của kỹ năng
Đặc điểm của kỹ năng:
- Tất cả các kỹ năng đều phải dựa trên kiến thức vì đó là cơ sở lý thuyết để
hiểu mục đích thì sẽ phải tìm cách đi đến kết quả từ đó hiểu về những điều kiện
để có thể thực hiện các cách thức đó.
- Các thuộc tính bản chất của đối tượng được thể hiện đầy đủ, được kiểm
chứng từ thực tiễn và tồn tại với tư cách của hành động sẽ tạo nên các kiến thức
làm cơ sở của kỹ năng.
- Kỹ năng không tồn tại cố định mà nó thay đổi tùy thuộc vào người học,
các hoạt động của người học và những mối quan hệ của họ trong cuộc sống lao
động, học tập ở cộng đồng.
- Các kỹ năng về hành đồng có được thì cần:
+ C ó đủ các kiến thức để hiểu được mục đích, điều kiện, cách thức làm

12


+ Thực hiện hành động với các yêu cầu cần phải có.
+ Kết quả thu được phải phù hợp với mục đích đề ra.

+ Với các điều kiện khác nhau thì hành động vẫn có hiệu quả.
+ Qua một thời gian thích hợp có thể hình thành được kỹ năng thông qua việc
bắt chước.
Trong thực tế giáo dục cho thấy, việc vận dụng khái niệm và kiến thức
được biết vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể của học sinh gặp phải những
khó khăn nhất định. Khó khăn đó chính là học sinh không tìm ra được các dấu
hiệu bản chất từ đó phát hiện ra sự liên hệ giữa tri thức và đối tượng. Trong
trường hợp này, việc nhận thức của học sinh không vận dụng được tri thức. Như
vậy cơ sở của các kỹ năng không được hình thành vì các kiến thức mà học sinh
nhận được chỉ là kiến thức khô khan, cứng ngắc và không liên kết với thực tiễn.
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng, phong phú. Thông qua đó các thuộc
tính khác nhau cũng như bản chất của sự vật được thể hiện. Như vậy việc chọn
lựa tri thức hợp lý và đúng đắn chính là cách để chúng trở thành một cơ sở cho
các hành động. Nói cách khác, lựa chọn tri thức là cần thiết và phải lựa chọn
đúng thì mới thể hiện được phù hợp thuộc tính bản chất với mục tiêu hành động.
1.2.3. Kỹ năng giải toán
Theo G.Polya, kỹ năng trong toán học là khả năng giải các bài toán, thực
hiện các chứng minh cũng như phê phán các lời giải và chứng minh nhận được.
Muốn thực hiện được nhiệm vụ của môn Toán ở trường THPT thì một
trong những yêu cầu về tri thức và kỹ năng cần chú ý đặc biệt là những tri thức
về phương pháp. Cụ thể hơn là những phương pháp có tính chất thuật toán, thuật
giải và những kỹ năng tương ứng với chúng. Tuy nhiên, những yêu cầu về rèn
luyện kỹ năng có thể khác nhau tùy theo nội dung toán học.

13


1.2.4. Yêu cầu về rèn luyện kỹ năng giải toán của học sinh
Một trong những nhiệm vụ quan trọng ở môn Toán đó là truyền thụ tri
thức đi liền với rèn luyện kỹ năng. Toán học và việc vận dụng toán học vào thực

tiễn chính là một trong các kỹ năng. Yêu cầu đầu tiên của kỹ năng này chính là
kỹ năng giải toán với các yêu cầu sau:
- Giúp học sinh hình thành và nắm vững mạch kiến thức cơ bản xuyên
suốt cho cả chương trình.
- Giúp học sinh phát triển năng lực về trí tuệ. Cụ thể hơn là rèn luyện và
phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy giải toán (tư
duy thuật giải); Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong
không gian; Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát,...cùng với
sự độc lập, linh hoạt và sáng tạo trong tư duy để lầm nên các phẩm chất trí tuệ.
- Rèn luyện kỹ năng tính toán ở các tiết học cũng cần được coi trọng.
- Giúp cho các phẩm chất về đạo đức và thẩm mỹ của học sinh luyện rèn;
khắc phục và hạn chế những sai lầm thông qua tính kiên trì, cẩn thận, chính xác
và thói quen tự kiểm tra, đánh giá.
1.2.5. Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán HHKG lớp 11
1.2.5.1. Nhóm kỹ năng chung khi giải bài tập toán
Khi giải một bài toán ta cần có các kỹ năng cơ bản sau:
Kỹ năng 1. Kỹ năng tìm hiểu và phân tích đề bài
Khi giải một bài toán, điều đầu tiên cần phải thực hiện là phân tích để làm
rõ giả thiết và kết luận của bài toán. Một khâu cần phải tìm khi chưa biết hay
một quy tắc tổng quát hoặc cách làm có yếu tố thuật giải sẽ là cách để giải bài
nếu bài toán là một vấn đề. Khi đó xâu chuỗi các kiến thức có liên quan để tiến
hành tìm lời giải. Đây chính là kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, một trong
những kỹ năng quan trọng nhất để giải một bài tập toán hay một vấn đề toán học.
Cần làm rõ các thành phần, mối liên hệ qua các yếu tố trong một bài toán.

14


Kỹ năng 2. Kỹ năng xây dựng chương trình giải toán
Khó khăn nhất mà học sinh gặp phải khi đứng trước một bài toán, đặc biệt

là bài toán hình học đó là xác định được đường lối giải. Đâu sẽ là điểm khởi
động để học sinh đi và tìm đến kết quả của bài.
Việc giải một bài toán, về mặt nhận thức chính là dựa vào kết quả của sự
phân tích đề bài. Từ đó học sinh huy động các kiến thức, kinh nghiệm đã có của
bản thân mà có liên quan đến bài toán để xây dựng chương trình giải toán. Có
thể là học sinh tự nghĩ, tư duy tích cực để tìm ra lời giải, cũng có thể là “quy lạ
về quen” thông qua các dạng toán đã biết.
Kỹ năng 3. Kỹ năng trình bày lời giải
Khi học sinh đã tìm ra lời giải, giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày lời
giải theo ý hiểu của mình, giúp học sinh học được cách suy luận, học được cách
trình bày và luyện tập được cách diễn đạt. Từ đó, học sinh sẽ biết được cách
trình bày lời giải cho một bài hay một dạng bài toán. Trong quá trình trình bày
lời giải mà học sinh vướng mắc ở một bước nào đó thì giáo viên lại tiếp tục gợi ý
hay là hướng dẫn để học sinh có thể vượt qua được những khó khăn đang gặp
phải. Khi đó, học sinh sẽ hiểu được sâu, nhớ được lâu hơn những tri thức và
phương pháp mà giáo viên đã ngầm cung cấp trong quá trình giúp người học
thực hiện được chương trình giải. Kỹ năng này giúp người học rèn luyện thao tác
tư duy và phương pháp suy luận logic để thực hiện một chương trình giải.
Chương trình giải có thể có một hoặc nhiều cách giải khác nhau. Khi được luyện
tập, học sinh có thể lựa chọn được một phương pháp thích hợp tương ứng cho
từng loại bài toán hoặc có những điều chỉnh về hướng giải khi nhận thấy không
phù hợp.
Kỹ năng 4. Kỹ năng nghiên cứu, kiểm tra kết quả của bài
Sau khi giải xong bài toán, việc xem lại lời giải một hoặc nhiều lần nữa sẽ
giúp học sinh hiểu bài toán đòi hỏi những gì, đã sử dụng những kiến thức nào khi

15


giải, những mối liên hệ giữa các kiến thức như thế nào để tìm ra được lời giải...

Qua đó, giáo viên giúp học sinh hình dung lại cách suy nghĩ trước một bài toán,
cách làm các bài toán tương tự. Trong những điều kiện cho phép, giáo viên có
thể nêu những bài toán nâng cao thêm một chút cho học sinh tiếp tục suy nghĩ
hoặc yêu cầu học sinh tìm cách giải khác nếu có để giúp họ học tập theo các
hướng phát triển.
Học sinh cần được rèn luyện để tạo thói quen xem lại lời giải của bài toán
nhằm mục đích:
- Kiểm tra các bước giải toán. Việc kiểm tra các bước giải toán ngoài phát
hiện để sửa chữa những sai lầm mắc phải, còn có ý nghĩa quan trọng hơn đó là
rút ra kết luận khái quát về hướng giải một loại bài tập cùng với những tri thức
thu nhận được. Việc kiểm tra chính là thực hiện một nhiệm vụ kép. Thứ nhất là
kiểm tra các bước trong tiến trình giải toán. Thứ hai là kiểm tra kết quả của bài
toán. Kiểm tra kết quả bằng các cách định tính và định lượng; kiểm tra giá trị
chân lý của lời giải; kiểm tra cách suy luận và kỹ thuật tính toán. Phát hiện và xử
lý các sai lầm về chiến lược, chiến thuật giải, về hình thức, logic hay khái niệm...
để tiến trình giải toán mang tính tối ưu.
- Học sinh có thể khái quát hóa, tương tự hóa... biến bài toán thành tri thức
và kinh nghiệm của bản thân.
- Có thể tìm ra được kết quả bằng một hay nhiều cách khác với cách giải
đã làm.
- Có thể suy nghĩ để vận dụng kết quả hoặc phương pháp giải của bài toán
cho những bài toán khác.
1.2.5.2.

Nhóm kỹ năng cơ bản của nội dung HHKG lớp 11

Các kiến thức về HHKG thường là trừu tượng, mới đối với học sinh và có
nhiều kiến thức tổng hợp. Học sinh thường gặp khó khăn trong khi vẽ và nhìn
hình không gian, khả năng vận dụng các kiến thức đã có để giải bài tập còn có
16

những hạn chế nhất định. Như vậy, cần chú trọng rèn luyện cho học sinh những
kỹ năng giúp chúng làm quen với hình học không gian và các bài tập về hình học
không gian. Đó là các kỹ năng nền tảng của chương trình, là cơ sở để củng cố và
khắc sâu kiến thức. Cụ thể hơn trong các bài dạy, tiết dạy thì giáo viên cần xác
định các kỹ năng chủ chốt nào cần rèn luyện. Ở phạm vi kiến thức về HHKG lớp
11, có thể đưa ra một số nhóm kỹ năng cơ bản cần rèn luyện khi giải toán sau.
Nhóm 1. Kỹ năng biểu diễn hình, xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện
Kỹ năng 1.1. Kỹ năng vẽ hình biểu diễn của một hình không gian
Một khâu rất cần thiết trong khi học và giải bài tập hình học nói chung và
hình không gian nói riêng là vẽ hình. Có được hình vẽ chính xác, trực quan là
một trong những yếu tố quyết định giúp học sinh tìm ra hướng chứng minh,
hướng giải bài toán. Muốn vẽ được hình cho một bài tập hình không gian thì
trước hết cần vẽ được hình biểu diễn của một hình không gian. Do đó, ngay từ
những tiết học đầu tiên, giáo viên cần luyện cho học sinh biết cách biểu diễn
đường thẳng, mặt phẳng và vị trí tương đối của chúng trong không gian sau khi
đã biết những hình ảnh thực tế của chúng, rồi đến các loại hình chóp, hình lăng
trụ, hình hộp,...
Ví dụ như sau khi cho học sinh quan sát mô hình hình chóp tam giác, hình
chóp tứ giác dưới các góc nhìn khác nhau, giáo viên gọi học sinh lên bảng vẽ
hình biểu diễn dưới các góc nhìn đó. Nhiệm vụ này muốn làm tốt được thì học
sinh cần nắm vững được các quy tắc sau:
- Hình biểu diễn của đường thẳng, đoạn thẳng là đường thẳng, đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song,
của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng
- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn
cho đường bị che khuất. [5, tr.45]

17