Bài Tập Rèn Luyện về tc 2 tiếp tuyến

HUYNH MINH KHAI.THCSTT CKE.
TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
• Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một
điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp
điểm.
Dạng 1. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
1. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường
tròn với M, N là các tiếp điểm.
a) Lấy C là điểm đối xứng với N qua O. Chứng minh rằng
.MC AOP
Hướng dẫn: Chứng
minh MC và AO cùng vuông góc với MN.
b) Tính độ dài các cạnh của tam giác
AMN
biết
3 , 5OM cm OA cm= =
. Hướng dẫn: Tìm
được
4 ; 4,8 .AM AN cm MN cm= = =
2. Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến
,MD ME
với đường
tròn
(
,D E
là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ
DE
, kẻ tiếp tuyến với đường tròn,

cắt
,MD ME
theo thứ tự ở
,P Q
. Biết
4MD cm=
. Tính chu vi tam giác
MPQ
. Đáp số:
8 .cm
3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi
,Ax By
là các tia vuông góc với
AB
(
,Ax By
và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng mặt phẳng bờ
AB
). Gọi M là điểm
bất kì thuộc tia
Ax
. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt
By
ở N. Chứng minh rằng
góc
·
MON
vuông và
2
. .AM BN R=

Dạng 2. Đường tròn nội tiếp tam giác
• Đường tròn nội tiếp tam giác:
- Là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường
tròn.
- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác trong các góc của
tam giác.
• Cho tam giác
.ABC
Ta thường ký hiệu độ dài các cạnh
; ; .a BC b CA c AB= = =
Nửa chu
vi
( )
1
.
2
p a b c= + +
Diện tích tam giác
.
ABC
S S
∆
=
4. Chứng minh rằng nếu r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì diện tích của tam
giác là
.S pr=

HUYNH MINH KHAI.THCSTT CKE.
5. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp điểm trên AC, AB, BC theo thứ tự là D, E,
F. Chứng minh rằng

; ; .AE p a BF p b CD p c= − = − = −
6. Cho tam giác ABC vuông tại A.
a) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính của đường tròn nội tiếp. Chứng
minh rằng
( )
2 .AB AC R r+ = +
b) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng
. .
ABC
S DB DC=
7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn
( ; )A AH
. Kẻ các tiếp tuyến
BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC. Hướng dẫn: Chứng tỏ
·
0
180 .DAE =
c) DE vuông góc với AM với M là trung điểm của BC.
Dạng 3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
• Đường tròn bàng tiếp tam giác:
- Là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai
cạnh kia.
- Tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC là giao điểm của hai đường phân giác
ngoài các góc B, C và đường phân giác trong góc A.
8. Cho tam giác
ABC
, đường tròn (J) bàng tiếp góc A tiếp xúc với các tia AB, AC theo thứ tự
tại E và F. Cho

, , .BC a AC b AB c= = =
Chứng minh rằng:
a)
2
a b c
AE AF
+ +
= =
b)
2
a b c
BE
+ −
=
c)
2
a c b
CF
+ −
=
9. Chứng minh rằng:
a)
( )
.
a
S p a r= −
Hướng dẫn: Sử dụng
.
ABJ ACJ BCJ
S S S S= + −

b)
( ) ( ) ( )
.S p p a p b p c= − − −
Hướng dẫn: Ta có
( )
2
. ,
a
S pr p a r= −
mà
a
r
r
p c p b
=
− −
suy ra ĐPCM.
Bài tập tổng hợp
10. Cho nửa đường tròn tâm (O) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By nằm cùng về một
phía với với nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Tiếp
tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.
a) Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
Hướng dẫn: Chứng minh tam giác COD vuông tại O. Gọi I là trung điểm của CD, suy ra
.IC ID IO= =
Cuối cùng, chứng tỏ IO vuông góc với AB.

HUYNH MINH KHAI.THCSTT CKE.
b) Tìm vị trí điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất. Hướng dẫn: Chu vi bằng
2 .AB CD+
Chu vi này nhỏ nhất bằng

3AB CD AB M⇔ = ⇔
là điểm chính giữa của cung
»
.AB
c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng
14 ,cm
biết
4 .AB cm
=
Hướng
dẫn: Đặt
, .AC x BD y= =
Chu vi bằng
( )
4 2 14 5.x y x y+ + = ⇔ + =
Mặt khác
2
. 4.xy MC MD MO= = =
Từ đó
1x
=
hoặc
4.x
=
d) Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng MN
vuông góc với AB và
.MN NH=
Hướng dẫn:
/ /AC BD

NA AC MC
ND BD MD
⇒ = =
/ / .MN AC MN AB⇒ ⇒ ⊥
Dễ thấy
.MN NH=