Bất đẳng thức luyện thi ĐH

1. BĐT Cô-si (AM-GM):
. Dấu bằng xảy ra khi
BĐT suy rộng: Cho là các số hữu tỉ dương mà
Cho dãy số không âm . Khi đó
2. BĐT Bunhiacopski:
Giả sử và là hai dãy số tùy ý.
Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
3. BĐT Svac-xơ:
Cho và là hai dãy số, trong đó với .
Khi đó
4. BĐT Trêbưsep:
Cho hai dãy đơn điệu tăng và (hoặc đơn điệu giảm)
Ta có:
Dấu bằng có hoặc
5.BĐT Becnuli:
Cho dãy số trong đó mọi cùng dấu lớn hơn -1.
Khi đó
6. BĐT Nesbit:
+3 biến: Cho . Khi đó
+4 biến: . Khi đó
+6 biến: . Khi đó
BĐT Minkowski:
Cho hai dãy số không âm và khi đó:
Với các bạn vẫn thường gặp BĐT sau đây:
7)BDT schur :
Dạng thường sử dụng nhất của BDT schur là khi n =1
Nói đến Schur người ta thường nhớ đến người anh em của nó Vornicu schur:
Với là các số thực không âm;
là các số thực không âm thỏa mãn và hoặc thì :
8)Bất đẳng thức Holder

Nhìn khủng bố thế nhưng đây là hệ quả hay được sử dụng
9)Bất đẳng thức Jensen
Nêú f là hàm lồi trên khoảng I thì với mọi ta đêù có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n biến bằng nhau.
Chúng ta vẫn quen gọi hàm lồi là hàm liên tục,khả vi cấp 2 và có đaọ hàm cấp 2
với mọi x thuộc miền I(Nói vậy chứ tớ mới đaọ hàm cấp 2 được đến bây giờ là 3 lần nên không hiêụ quả
cho lắm).Tuy nhiên với kiến thức THCS thì BĐT Jensen có thể phát biêủ dưới dạng đơn giản và dễ áp dụng
hơn:
Cho thoả mãn với mọi x,y thuộc miền I .Khi đó với mọi n số
thuộc miền I ta có BĐT :
10)Bất đẳng thức hoán vị
Cho 2 dãy đơn điệu tăng và
Giả sử (i_1,i_2...i_n) là một hoán vị bất kì của ( ) ta luôn có
Nếu 2 dãy trên đơn điệu ngược chiều thì BDT đổi chiều
11)Bất đẳng thức Newton và Maclaurin
Đặt
...
...
Hay nói cách khác , chúng là hệ số trong khai triển của đa thức
BDT Newton, với mọi không âm ta có
BDT Maclaurin
12)BDT Diaz
Cho hai dãy số và trong đó khác 0; .Giả sử m,M là hai số thỏa mãn
CMR:
13)Thêm BDT Minkowski
Cho m.n số không âm trong đó j nhận giá trị từ 1 đến m ,i nhận giá trị từ 1 đến n .Khi đó ta luôn có
BDT