CHUYÊN ĐỀ TÌM X, BỒI DƯỠNG TOÁN 6

CHUYÊN ĐỀ TÌM X
Dạng 1: TÌM X THÔNG THƯỜNG
Bài 1: Tìm x biết:
x �3x 13 � �7 7 �
 �  � �  x �
2 �5 5 � �5 10 �

13
5
6


b, x  1 2 x  2 3 x  3

a,
HD:
a,

x �3x 13 � �7 7 � x 3x 13 7 7
x 3 x 7 x 7 13
 �  � �  x �     x   
 
2 �5 5 � �5 10 � 2 5 5 5 10
2 5 10 5 5

a,

4 x  6   9  5  3x  2
2 x  3 3 5  3 x 1
18



 

 4 x  15  3  3 x  7 x  18  x 
3
2
6
3
6
6
7

b,

2 3 4 �7
2 7 4 1
23 61
� 2 1 4 7
   �  2 �     2      2 

3x 12 5 �x
3x x 5 4
3x 20
� 3x 4 5 x

4
6
6 4 3
3
x

 x 
:

x
5
5 5 2 . Vậy
2
=> 5
13
5
6
78
15
12
93
12







 93  12
x  1 2 x  2 3x  3
6x  6 6x  6 6x  6
6x  6 6x  6
b,
(Vô lý)
Bài 2: Tìm x biết:

2 3 4 �7
�
2 x  3 3 5  3 x 1
   �  2�



�
2
6
3
a, 3
b, 3x 12 5 �x
HD:

 3x 

460
460
 x 
61
183

Bài 3: Tìm x biết:
1
2 �3 6 � 5
 �  �
a, x  1 3 �4 5 � 2  2 x
HD:
a,

9
13
5
x  15 x  20 x  16
17
17
b, 17

1
3
5
1
5
3
7
3
 





x  1 10 2  2 x
x  1 2  x  1 10
2  x  1 10

70
35
32

 x  1 
 x 
3
3
3
13
5�
�9
�  15  20 �x  16  4. x  16  x  4
17
17
17 �
b,
=> �
Bài 4: Tìm x biết:
3
720 : �
41   2 x  5  �
6 x  11  7  2  x   26
�
� 2 .5
a,
b, 
HD:
23
23
720 :  46  2 x   40  46  2 x  18  2 x  46 :18 
 x 
9
18

a,
=>
 2  x  1  

b,

=> 6 x  66  14  7 x  26  13 x  26  x  2

1


Bài 5: Tìm x biết:
4 x  x  5   2 x  8  2 x   3
a,

b,

7  x  9   3  5  x   2

HD:
a,
b,

 4 x 2  20 x  16 x  4 x 2  3  4 x  3  x 

3
4

=> 7 x  63  15  3 x  2  4 x  78  2  4 x  80  x  20
7 �33 3333 333333 33333333 �

 x� 


� 22
12 2020 303030 42424242 �
Bài 6: Tìm x biết : 4 �
HD:
7 �33 33 33 33 �
7
1 �
�1 1 1
 x �    � 22  x.33 �    � 22
12 20 30 42 � => 4
12 20 30 42 �
�
Ta có : 4 �

7
7
4
�1 1 �
 x.33 �  � 22 
x.33.  22  x  2
4
21
�3 7 �
=> 4

1
1

: 2015 x 
2015
Bài 7: Tìm x biết: 2016
HD:
1
1
1
1
x
 x 
:
 2016
2016.2015
2015
2015 2016.2015
2  x  1  3  2 x  2   4  2 x  3  16
Bài 8: Tìm x biết :
1 � 1� 1
1
� 1� 1
x �x  � x 
x �x  � x 
10 � 2 � 3
6
� 2� 5
.
3
5
Bài 9: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị bằng 0:
HD :

1
� 1� 1
x �x  � x   0  10 x 2  3 x  1  0   2 x  1  5 x  1  0
10
Quy đồng trên tử ta có : � 2 � 5

Làm tương tự với tử còn lại
Bài 10: Tìm x, biết 4 – 2(x + 1) = 2
HD :
4 – 2(x + 1) = 2 => 4 – 2x – 2 = 2 => x = 0
Bài 11: Tìm x biết: |2x – 3| - 1 = 2
HD :
2x  3  3
x 3
�
�
��
�
2x  3  3 �
x0
|2x – 3| - 1 = 2 => |2x – 3| = 3 => �
Bài 12: Tìm x, biết: 3\f(1,3 x + 16 \f(3,4 = - 13,25
HD :
3\f(1,3 x + 16 \f(3,4 = - 13,25 => \f(10,3 x + \f(67,4 = \f(-53,4 => \f(10,3 x = \f(-53,4 - \f(67,4
=> \f(10,3 x = -30 => x = -9

2


2

Bài 13: Tìm x biết: 60% x + 3 x = - 76

HD :
x = - 60
Bài 14: Tìm x, biết:
a) 11 - (-53 + x) = 97
b) -(x + 84) + 213 = -16
HD :

a) 11 - (-53 + x) = 97 � x  11  97  (53)  33
b) -(x + 84) + 213 = -16
� (x  84)  16  213
� (x  84)  229
� x  84  229
� x  229  84  145

Bài 15: Tìm x biết :
7
a) + = 3
�
 3x  54  .8�
�: 4  18
b) �

HD :
a) + = 4 = 4 TH1: - 2x =

=

2x = - 2x =

x=

TH2: - 2x = 2x = + 2x =

x=

Vậy x= ; x =
�
 3x  54  .8�
�: 4  18 =>  3x  54  .8  72  3x  54  9  3x  63  x  21
b) �

Vậy x = 21
3x
1
Bài 16: Tìm x biết ( 7 + 1) : (-4) = 28 .

HD :

3x
1
3x 1
 1
�
( 7 + 1) : (-4) = 28 � 7 7

3 x  6 � x   2

Bài 17: Tìm số nguyên x, biết: 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7

HD :
3


a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7
2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7
2016 : [25 – (3x + 2)] = 63
25 – (3x + 2) = 2016 : 63
25 – (3x + 2) = 32
3x + 2 = 25 – 32
3x + 2 = – 7
3x

=–9

x

=–3

4


Dạng 2: ĐƯA VỀ TÍCH BẰNG 0
Bài 1: Tìm x biết:
x 3 x 3 x 3 x 3
x 1 x  3 x  5 x  7







14
15
16
63
61
59
a, 13
b, 65
HD:
x3 x3 x3 x3
�1 1 1 1 �




 0   x  3  �    � 0
13
14
15
16
13 14 15 16 �
�
a,

1 1
1 1
1 1 1 1
 0

 0
   0
=> x  3 vì 13 15
và 14 16
nên 13 14 15 16
�x  1 � �x  3 � �x  5 � �x  7 � x  66 x  66 x  66 x  66
 �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�



65
63
61
59
�65
� �63
� �61
� �59
�
b,
1
1 1 1 �
1 1 1 1
 x  66  �
   0
�    � 0  x  61

�65 63 61 59 �
=>
vì 65 63 61 59
Bài 2: Tìm x, biết:
29  x 27  x 25  x 23  x 21  x
x  10 x  14 x  5 x  148




 5



0
23
25
27
29
43
95
8
a, 21
b, 30
HD:
�29  x � �27  x � �25  x � �23  x � �21  x �
 �
 1� �
 1� �
 1� �

 1� �
 1� 0
21
23
25
27
29
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a,
1
1
1
1 �
�1
50  x 50  x 50  x 50  x 50  x




 0  50  x  �     � 0
�21 23 25 27 29 �

23
25
27
29
=> 21
=>
�x  10
� �x  14
� �x  5 � �x  148
�
 3 � �
 2 � �
 1� �
 6 � 0
�
� � 43
� �95
�� 8
�
b,
=> � 30
1
1 1�
�1
x  100 x  100 x  100 x  100



 0  x  100  �    � 0
�30 43 95 8 �

43
95
8
=> 30
=>
Bài 3, Tìm x, biết:
x  5 x  4 x  3 x  100 x  101 x  102
x  2 x 1 x  4 x  3








5
4
3
8
5
6
a, 100 101 102
b, 7
HD:
�x  5 � �x  4 � �x  3 � �x  100 � �x  101 � �x  102 �
 �
 1� �
 1� �
 1� �

 1� �
 1� �
 1�
�100
� �101
� �102
�� 5
�� 4
�� 3
�
a,
x  105 x  105 x  105 x  105 x  105 x  105





101
102
5
4
3
=> 100

b,

=> x  105  0  x  105
�x  2 � �x  1 � �x  4 � �x  3 � x  9 x  9 x  9 x  9
 1�
�

 1� �
 1�
�
 1�



�
7
8
5
6
� �8
��5
��6
�
=> � 7
=> x  9  0  x  9

5


Bài 4, Tìm x, biết:
x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6
2 x  19 2 x  17 2 x  7 2 x  5









93
92
91
90
89
23
33
35
a, 94
b, 21
HD:
�x  1 � �x  2 � �x  3 � �x  4 � �x  5 � �x  6 �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�
�
94
93
94
91
90
89
�
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a,
=>

x  95 x  95 x  95 x  95 x  95 x  95





93
92
91
90
89
=> 94

b,

=> x  95  0  x  95
�2 x  19 � �2 x  17 � �2 x  7 � �2 x  5 �

 1� �
 1� �
 1� �
 1�
�
� � 23
� � 33
� � 35
�
=> � 21



2 x  40 2 x  40 2 x  40 2 x  40



21
35
33
23

 2 x  40  0  x  20
Bài 5, Tìm x, biết:

x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6
x 1 x  2 x  3 x  4









58
57
56
55
54
14
13
12
a, 59
b, 15
HD:
�x  1 � �x  2 � �x  3 � �x  4 � �x  5 � �x  6 �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�
�
� �58
� �57
� �56
� �55
� �54
�

a,
=> �59

x  60 x  60 x  60 x  60 x  60 x  60





59
58
57
56
55
54
x

60

0

x

60
=>
�x  1 � �x  2 � �x  3 � �x  4 � x  16 x  16 x  16 x  16
 �
 1� �
 1� �
 1� �

 1�



�15
� �14
� �13
� �12
�
15
14
13
12
b,
=> x  16  0  x  16
Bài 6, Tìm x, biết:
x  5 x  15 x  1990 x  1980
x 1 x  3 x  5 x  7






5
15
a, 1990 1980
b, 2015 2013 2011 2009
HD:
�x  5 � �x  15 � �x  1990 � �x  1980 �

 1� �
 1� �
 1� �
 1�
�
1990
1980
5
15
�
�
�
�
�
�
�
�
a,
=>
x  1995 x  1995 x  1995 x  1995




1990
1980
5
15
 x  1995  0  x  1995
�x  1 � �x  3 � �x  5 � �x  7 �

 �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�
�2015 � �2013 � �2011 � �2009 �
b,
x  2016 x  2016 x  2016 x  2016




 x  2016  0  x  2016
2015
2013
2011
2009


6


Bài 7, Tìm x, biết:
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
315  x 313  x 311  x 309  x








 4
11
12
13
14
103
105
107
a, 10
b, 101
HD:
�1 1 1 1 1 �
  x  1 �     � 0  x  1  0  x  1
10 11 12 13 14 �
�
a,
b,

�315  x � �313  x � �311  x � �309  x �
 �
 1�
�
 1 � �
 1 � �
 1 � 0
� 101
� � 103
� � 105

� � 107
�

416  x 416  x 416  x 416  x



 0  416  x  0  x  416
103
105
107
=> 101
Bài 8: Tìm x, biết:
x 1 x  2 x  3 x  4
59  x 57  x 55  x 53  x 51  x







 5
43
45
47
49
a, 2009 2008 2007 2006
b, 41
HD:

�x  1 � �x  2 � �x  3 � �x  4 �
 �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�
2009
2008
2007
2006
�
�
�
�
�
�
�
�
a,
x  2010 x  2010 x  2010 x  2010




2009
2008
2007
2006  x  2010  0  x  2010
�59  x � �57  x � �55  x � �53  x � �51  x �
 �

 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� 0
41
43
45
47
49
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
b,
100  x 100  x 100  x 100  x 100  x





 0  100  x  0  x  100
41
43

45
47
49
Bài 9: Tìm x, biết:
x  14 x  15 x  16 x  17
x  90 x  76 x  58 x  36 x  15



 4




 15
86
85
84
83
10
12
14
16
17
a,
b,
HD:
�x  14 � �x  15 � �x  16 � �x  17 �
 �
 1� �

 1� �
 1� �
 1� 0
� 86
� � 85
� � 84
� � 83
�
a,
x  100 x  100 x  100 x  100




 0  x  100  0  x  100
86
85
84
83
�x  90 � �x  76
� �x  58 � �x  36
� �x  15
�
 1�
�
 2�
�
 3 � �
 4�
�

 5 � 0
�
� � 12
� � 14
� � 16
� � 17
�
b,
=> � 10
x  100 x  100 x  100 x  100 x  100





 0  x  100  0  x  100
10
12
14
16
17
Bài 10, Tìm x, biết:
x 1 x  2 x  3 x  4
x 1 x 1 x 1 x 1







12
13
14
a, 2011 2010 2009 2008
b, 11
HD:
�x  1 � �x  2 � �x  3 � �x  4 �
 �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� 0
�2011 � �2010 � �2009 � �2008 �
a,
x  2012 x  2012 x  2012 x  2012



 0  x  2012  0  x  2012
2010
2009
2008
=> 2011
7


b,

�1 1 1 1 �
  x  1 �    � 0  x  1  0  x  1

11 12 13 14 �
�

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1




11
12
13
14
Bài 11, Tìm x, biết: 10
HD:
�1 1 1 1 1 �
  x  1 �     � 0  x  1  0  x  1
10 11 12 13 14 �
�
Bài 12, Tìm x, biết:
2
4
6
x



x  2   x  4   x  4   x  8   x  8   x  14   x  2   x  14 
a, 
HD:
1 ��1

1 ��1
1 �
x
�1
 �



� �
� �
�
�x  2 x  4 � �x  4 x  8 � �x  8 x  14 �  x  2   x  14 

1
1
x
12
x




x  2 x  14  x  2   x  14 
 x  2   x  14   x  2   x  14   12  x
x  10 x  14 x  5 x  148



0
43

95
8
Bài 13: Tìm x thỏa mãn: 30
HD:
�x  10 � �x  14
� �x  5 � �x  148
�
 3�
�
 2 � �
 1� �
 6 � 0
�
� 30
� � 43
� �95
�� 8
�
x 1 x  3 x  5 x  7



Bài 14: Tìm x biết: 2015 2013 2011 2009
x  2 x  3 x  4 x  5 x  349




0
5

Bài 15: Tìm x biết: 327 326 325 324


8


Dạng 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LŨY THỪA
Bài 1: Tìm x biết:

� 1 � x2 � 1 �
3�x  � �x  � 0
2 � 3 � 2�
a, �


c,

x  1  x 2
2

b,



x3

10

 1024.1252.252

Bài 2: Tìm x biết:
x

�64 � 4.59.710  511.79
�27 �
359.4
b, � �

9 5x  1  16 5x  1  36 5x  1  15

a,
Bài 3: Tìm x biết:
a,

16 x  1  9x  9  5

b,

Bài 4: Tìm x biết:
10
20
3x  1   3x  1

a,
HD:

b,

 x  1

5

 243

x  6  x

2003

2 4 n
7
c, 3 .3 .3  3

  6  x

2003

  3 x  1   3x  1  0   3 x  1 �
 3x  1
�
20

10

10

x
x 2
c, 5  5  650

10

a,
b,

=>

c,

=>

x  6  x

2003

  6  x

2003

 0   6  x 

2003

� 1
3x  1  0
�
x
 1� 0  �
 � 3
10
�

 3x  1  1 �3x  1  �1
�
�
6 x  0
x6
�
�
 �
x 1  0
x 1
�
�

 x  1  0  �

5 x  5 x.52  650  5x  1  25   650  5 x  25

Bài 5: Tìm x biết:
x
x 2
a, 5  5  650
Bài 6: Tìm x biết:
1 n
.2  4.2n  9.5n
2
a,
Bài 7: Tìm x biết:

2 x 1  5.2 x 2 

2

n

4

c,

�1
�
2n �  4 � 9.5n
�
b, �2

n 1
n
c, 2 .9  9.5

 x  2015
b,

n 3 n
a, 2 .2  144

 2 : 4  .2

2 n
5
b, 3 .3  3

x2

  x  2015

x 12

0

 2 x  1
c,

8

  2 x  1

6

7
32

Bài 8: Tìm x biết:
HD:
7 7
1
� 5� 7
 2 x 1 �
1  �
 2 x 1. 
 2 x 1 
 24  x  3

2 32
16
� 2 � 32
Bài 9: Tìm x biết:
x 1
x 11
5
3
x  2 x 1 x
x  7   x  7
0
2 x  15    2 x  15


2
.3
.5

10800
a,
b,
c,
HD:
x7  0
�
x7
�
x 1
10
1   x  7  � 0  �

 �
 x  7 �
10
�
�
 x  7   1 �x  7  �1
�
a,
10800
x
2 x.4.3x.3.5 x  10800  2 x.3 x.5 x 
 900   2.3.5   900  30 x  900  30 2  x  2
12
b,
9


 2 x  15 

c,
Bài 10: Tìm x biết:
2
2
 x  5    1  3x 
a,
HD:

5

2 x  15  0

�
3
3
2
  2 x  15   0   2 x  15  �
 0  �
�2 x  15   1�
�
2 x  15  �1
�
2
b, x  x  0

4 n
7
c, 3 .3  3

� 3
x  5  1  3x
4x  6
x
�
�
 �
 � 2
�
�
x  5  3x  1 �
2 x  4
�

x  2
�
=>
x0
x0
�
�
 x  x  1  0  �
 �
x 1  0
x  1
�
�

a,
b,

 3n  37 : 34  33  n  3
c,
Bài 11: Tìm x biết:
4
2
4 x  3   4 x  3 

a,
b, (x-1)3 = 125
HD:

4x  3  0
�

2
2
2
  4 x  3  0   4 x  3  �
 0  �
�4 x  3  1�
�
4 x  3  �1
�

 4 x  3

4

b,

 x  1

 53  x  1  5  x  6

b,

3n  37 : 32  35  n  5

a,

3

x2
x

c, 2  2  96

2 x  2  2 x  96  2 x  4  1  96  2 x  32  25  x  5
c,
Bài 12: Tìm x biết:
2
2008
2 n
7
 4x  7  5 7  4x
 y 2010
a,
b, 3 .3  3
c, y
HD:
2
7  4 x  a   4 x  7   a 2
a,
Đặt:
a0
�
a 2  5a  a 2  5a  0  a  a  5   0  �
a5
�
Khi đó ta có:

�
y 2008  0
 y 2010  y 2008  0  y 2008  y 2  1  0  �2
y 1

�
c,
Bài 13: Tìm x biết:
2
1
1 4 n
9x2 1  x   0
.3 .3  37
3
a,
b, 9
HD:





a,

1 n
.27  3n
c, 9

�
9 x2 1  0
1
�
9 x 2  1  x   0  � 1

1

2
3
9 x  1 �0, x  �0
�x  3  0
3
�
Vì
, để





2

10


1
�
x�
�
1
�
3
 x 
�
3
�x  1
=> � 3

b,

1
 3n.  37 : 34  33  3n  33.32  35
9
n



3n
1
�1 � 1
  � � 2  n  2
n
27
9
�3 � 3

c,
Bài 14: Tìm x biết:

x 1
x 1
x 2
a, 3  5.3  162
b, 5  625
HD:
3x 1  1  5   162  3x 1  27  33  x  1  3  x  4
a,
=>

x2
4
b,
=> 5  5  x  2  4  x  2
2x 1  0
�
49
 0  �
 2 x  1 �
 2 x  1  1�
�
�
2x 1  1
�
c,
=>

c,

 2 x  1

c,

2

Bài 15: Tìm x biết:
x 1
x 1
200
a, 3  5.3  486

b, x  x
HD:
3x 1  1  5   486  3x 1  81  34  x  1  4  x  5
a,
=>
x0
�
x  x199  1  0  �
x 1
�
b,
=>

 2n  4  22  n  2
c,
Bài 16: Tìm x biết:
x2
x4
n
n 2
 x  1   x  1
a,
b, 5  5  650
HD:
x2
�
x  1  0

x2
x2

  x  1 �
 0  �
 x  1  1�
x2
�
�
�
x  1  1

�
a,
b,

2

50

 2x 1

: 4  .2n  4

n
c, 2008  1

 5n  1  52   650  5n  25  52  n  2

n
0
c,
=> 2008  1  2008  n  0

Bài 17: Tìm x biết:
2000
2008
�y
�
�y
�
1 n
n
n

5


5
.2  4.2  9.5
�
�
�
�
�
�x
�
a, 2
b, �3
HD:
9
�1
�
 2n �  4 � 9.5n  2n.  9.5n  2n 1.9  9.5n  2n 1  5n

2
�2
�
a,
Vô lý

11


�y
8
�3  5  0
�
�
�y
� �y
�
�  5� �
�  5 � 1� 0  �y
�3
� �
�3
� �
�  5  �1
�
�3
b,
Bài 18: Tìm x biết:
n
n

1 n
n 1
a, 32 .16  1024
b, 3 .3  5.3  162
HD:
 25 n.24 n  1024  2 n  210  n  10
a,
2000

n3 n
c, 2 .2  128

b,

 3n 1  5.3n 1  162  3n 1.6  162  3n 1  27  33  n  1  3  n  4

c,

22 x 3  128  27  2n  3  7  n  2

12


Bài 19: Tìm x biết:
x
2x
3 x
a, 2  15  17
b, 2.2  4 .4  1056
HD:

x
5
a,
=> 2  32  2  x  5

2.22 x  43.22 x  1056  22 n  2  64   1056  22 n  16  2 4  2n  4  n  2
b,
=>
Bài 20: Tìm x biết:
2 n1
�1 �
2x 1 x  5
5

�� 3
2
a, �3 �
b, 3
HD:
1 2 n
 35  1  2n  5  n  2
a,
=> 3

2  2 x  1  3  x  5   4 x  2  3 x  15  x  17
b,
Bài 21: Tìm x biết:
3
x 2
x 4

x2
x 1
 2 x  1  8
 x  1   x  1
a, 4  4  1040
b,
c,
HD:
x 2
x 2 3
x2
x2
2
a,
=> 4  4 .4  1040  4 .65  1040  4  16  4  x  2  2

b,

 2 x  1
=>

3

  2   2 x  1  2
3

�
 x  1  0
2
�

 0  �
�x  1  1�
x 2
�
�
 x  1  �1
�
x 2

 x  1
c,
=>
Bài 22: Tìm x biết:
1 n
n
5
a, 2 .2  4.2  9.2
HD:

x 2

x 1
x 1
b, 3  5.3  162

9
�1
�
 2n �  4 � 9.25  2 n.  9.25  2n1  25  n  6
2

�2
�

a,

n 1
n 1
3
b,
=> 3 .6  162  3  27  3  n  4
Bài 23: Tìm x biết:

n 
a,

54 2

n

x2
x 1
b, 4  4  1040

HD:
a,

n0
�
n108  n  n  n107  1  0  �
n 1

�
=>

x 2
x 2 3
x 2
x 2
2
=> 4  4 .4  1040  4 .65  1040  4  16  4  x  4
b,
Bài 24: Tìm x biết:
x2
x
a, 2  2  96
b, (2x-1)50 = 2x-1
HD:
2 x.4  2 x  96  3.2 x  96  2 x  32  25  x  5
a,
2x 1  0
�
49
 0  �
 2 x  1 �
�2 x  1  1�
�
2x 1  1
�
b,

Bài 25: Tìm x biết:

2
2
a, ( x  5)  (1  3 x)

n
n
b, 32 .16  1024

13


HD:
x  5  1  3x
4x  6
�
�
 �
 �
x  5  3x  1 �
2 x  4
�

5 n 4 n
10
n
10
a,
b, 2 .2  2  2  2  n  10
Bài 26: Tìm x biết:
3

5 x  7   512
( x  2  2)( x 2  4)  0

a,
b, (2x-15)5 = (2x-15)3
c,
HD:
3
 5 x  7   83  5 x  7  8  5 x  15  x  3
a,
2 x  15  0
�
3
2
  2 x  15  �
 0  �
�2 x  15  1�
�
2 x  15  �1
�
b,

�x  2  2
x  2  �2
�
 �2
 �
x  �2
x 40
�

�
c,
Bài 27: Tìm x biết:
x
y
y
x 5  x 8  6
a, 10 : 5  20
b,
( với x > 5)
HD:
 10 x  20 y.5 y  100 y  102 y  x  2 y
a,

b,

Vì

x  5  x  5  x  5

, Khi đó ta có:

x 1 y
x
c, 2 .3  12

x  5  x  8  6  2 x  19  x 

19
2

�x  1  0
2 x 1.3 y  22 x.3x  2 2 x : 2 x 1  3 y : 3x  2 x1  3 y  x  �
 x  y  1
�y  x  0
c,
Bài 28: Tìm x biết:
2
2
7
�11 � �29 �
6
8
x  � � � � x  y 2
 x  2   x  2 
�12 � �12 �
a,
b, 3
HD :
x2 0
�
6
2
 0  �
 x  2 �
�x  2   1�
�
x  2  �1
�
a,

2

b,

2

7
11 � 10
3
�29 � �
 x  x  � � � � x  5  x 
3
12 �
3
2 Thay vào tìm đc y
�12 � �
2

2

� 31 � �49 �
x�
 � � � x  y 2
12 �
� 12 � �
Bài 29: Tìm x,y biết rằng :
HD :
2

2

�49 � �31 �
 x  x  � � � � 2 x  10  x  5
12 �
�12 � �
Thay vào tìm đc y
2
2
2
2
2
2
x
y
z
x y z

 
3
4
5
Bài 30: Tìm x,y,z biết: 2
HD :
�x 2 x 2 � �y 2 y 2 � �z 2 z 2 �
 �  � 0  x  y  z  0
�  � �  �
5 � �4 5 �
�2 5 � �3

14

7 x  2  7 x 1  7 x 52 x  52 x 1  52 x 3

57
131
Bài 31: Tìm x biết:
HD :
7 x  49  7  1 52 x  1  5  125 


 7 x  25 x  x  0
57
131

15


45  45  45  45 65  65  65  65  65  65
.
 2n
5
5
5
5
5
3

3


3
2

2
Bài 32: Tìm n biết:
HD :
5

4.45 65.6
�24 � 24

. 5  2 n  � �.  2n  45.4  2n  46  2n
5
3.3 2.2
�6 � 6
 212  2n  n  12

 23 

12005

.x  20050.x  994  15 : 3  12005
Bài 33: Tìm x biết:
HD :
 8.x  x  990  9 x  990  x  110
x
x 1
x 2
x 3
Bài 34: Tìm x biết: 2  2  2  2  480

HD :
 2 x  1  2  4  8   480  2 x  32  25  x  5
t 2
27  x 3  z  3

 2 

3
y
4
8
Bài 35: Tìm các số nguyên x, y, z, t biết: 4
HD :
3.27 81
  x 

4
4 Làm tương tự tìm y,z,t
2

Bài 36: Tìm m,n thỏa mãn :
HD :

 7 x

4

y m  .  5 x n y 4   35 x 9 y15

n49

�
 35.x n  4 . y m 4  35.x9 . y15  �
m  4  15
�
x 1  y 2 1

.32012  91006
Bài 37: Tìm x, y nguyên biết : 2012
HD :
2
2
2012 x 1  y 1.32012  32012  2012 x 1  y 1  1  x  1  y 2  1  0
=>
�x  1  0
�x  1  1
�
�
x  1  y 2  1  � 2
�2
�y  1 hoặc �y  0
=>
2
2
2
2
2
2
Bài 38: Tìm các số x,y,z nguyên dương biết: x  y  x  1: x  1: y  1: z  6
45  45  45  45 65  65  65  65  65  65
.

 8x
5
5
5
5
5
2 2
Bài 39: Tìm x biết: 3  3  3
HD :
5
4.45 65.6
�24 � 24
3n
3n
5
3n
6
3n

.

2

� �.  2  4 .4  2  4  2  3n  6  n  2
3.35 2.25
6
6
� �

 x 5   x 6 

 x 7 

 x  4
Bài 40: Tìm giá trị của biểu thức biết:
với x=7
HD :
7 5
 7  4   32  9
Thay x=7 vào ta được :
x  2 x 1 x
Bài 41: Tìm x biết: 2 .3 .5  10800
HD :
4 3 2
x  2 x 1 x
Phân tích 10800  2 .3 .5  2 .3 .5  x  2
16


Bài 42: Tìm x biết:

 x  7

x 1

  x  7

x 1

 x  7

10

0

2

x 1  y 1 2012
.3  91006
Bài 43: Tìm x, y nguyên biết : 2012

x
Bài 44: Tìm x biết:
Bài 45: Tìm x biết:

2

 3 x  5    x 2  5 x  1
2

 x  1

x
Bài 46: Tìm x biết:

2

2

2

  x  1  x  1  0

 1   x 2  2 x  5
2

2

x  2 x 1 x
Bài 47: Tìm x biết : 2 .3 .5  10800

Bài 48: Trong ba số a, b, c có 1 số dương, 1 số âm, và 1 số bằng 0, Tìm 3 số đó biết:
HD :
b0
�
a  0  b 2  b  c   0  �  VL 
bc
�
Xét

a  b2  b  c 

bc
�
a �0  a  b 2  b  c   0  �
 c  0, b  0, a  0
b

0
�

Xét
x3  y z  x
Bài 48: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn:
, Biết rằng trong ba số đó có 1 số bằng 0, một số âm,
một số dương, hãy chỉ rõ số nào bằng 0, số nào âm, số nào dương?
3
3
x  x  y 
y  x  y 
10 và
50
Bài 49: Tìm x,y biết:
HD :
2
9
2
� 3�
 x  y   x  y     x  y   �� �
25
� 5�
Trừ theo vế ta được :
3
3
3
a2  2  b  c
Bài 50: Tìm các số nguyên dương a, b, c biết rằng: a  b  c  3abc và
HD:
2
a2  2  b  c
Vì

=> a là 1 số chẵn => a chẵn, mà a, b, c nguyên dương nên từ
2
a 3  b3  c 3  3abc  a  b và a  c => 2a  b  c  4a  2  b  c   4a  a  a  4
=> a = 2 và b = c = 1
b
c
d
a
Bài 51: Tìm các số nguyên dương a, b, c, d biết : a  b  c  d và a  b  c  d  20

a
b
Bài 52: Tìm các số nguyên dương a, x, y biết: 4 x  19  3 ; 2 x  5  3
y
x
y
xy
Bài 53: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 5  17  2 và x  y  5, 2 x  3  xy

xyz
x  2 y   y  7   x  192

x

2
y

3
z


5
Bài 54: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết :
và
(xyz>0)
Bài 55: Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0
HD :

Biến đổi về dạng

 2 x  1  1  2 y 

 1

 2008a  3b  1  2008a  2008a  b   225
Bài 56: Tìm các số tự nhiên a,b sao cho:
HD:
Do a,b là số tự nhiên nên:
Nếu a �1 thì 2008a+2008a+b >225 (loại)
Nên a=0 khi đó (3b+1)(b+1)=225=3.75=5.45=9.25 vì 3b+1 không chia hết cho 3 và 3b+1>b+1
17


3b  1  25
�
 b  8
�
b

1


9
�
=>
Bài 57: Chứng minh rằng với a, b là số nguyên thì giá trị của biểu thức:
A  2021a2  2019b  1 2017a2  2015b  2018
là một số chẵn.







18


2018m  4035  n  n  2018
Bài 58: Tìm các số tự nhiên m, n sao cho
(1)
HD:
TH1: n  2018  0  n  2018
(1)  2018m  4035  n   n  2018  2n  2018
Khi đó:
m
m
Vì 2n là 1 số chẵn nên 2n 6053 là 1 số lẻ, khi đó: 2018 là 1 số lẻ khi 2018  1  m 0
m
TH2: Nếu n  2018  0  n  2018  (1)  2018  4035  n  n  2018  2018
 2018m  6053 loại vì m là số tự nhiên.
2015

2016
Bài 59: Tìm x nguyên biết: x  2015x  2017
HD:
x x2014  2015  20172016
Ta có:
, Vì VP là tích của 2016 số 2017, nên ta có:
2014
 2  20172015  2017  2017 20172014  1
2014
2015  x
x

2017

x

2015

2017
TH1 :









19

Dạng 4: TÌM X DẠNG PHÂN THỨC
Bài 1: Tìm x nguyên biết:
1 1 1
 
a, x y 5
HD:
a,

b,

  x  5   y  5   25  1.25  5.5

 2 y  x  3xy  3xy  x  2 y  0  x  3 y  1  2 y 

3 12

1
b, y xy

a,

x 1 1
 
c, 8 y 4

=>

x 2 y  x  4   xy  x 2 y  xy  x  4  0  xy  x  1  x  1  3  0

=>

xy  x  1   x  1  3

=>

xy  1  x  1  3  1.3
=> 
3x  12  xy  xy  3x  12  x  y  3   12  1.12  2.6  3.4

xy  8  2 y  xy  2 y  8  y  x  2   8  1.8  2.4
c,
=>
Bài 3: Tìm x nguyên biết:
2 2
4 2
  1
 1
a, x y
b, x y

HD:

2 2
� 1� 2
  x  3 y  1  2 �y  �
3 3
� 3� 3

3x 3 y  1  2  3 y  1  2   3 x  2   3 y  1  2
=> 
 2 x  y  8  xy  xy  2 x  y  8  x  y  2   y  2  10   x  1  y  2   10

HD:

b,

2 1 8
 
1
c, y x xy

 5( x  y )  xy  xy  5 x  5 y  0  x  y  5  5 y  25  25  x  y  5   5  y  5   25

c,
Bài 2: Tìm x nguyên biết:
1 4
x 
 1
y xy
a,

a,

2 1
 3
b, x y

3 y 5

 
c, x 3 6

 2 y  2 x   xy  xy  2 x  2 y  0  x  y  2   2 y  4  4  x  y  2   2  y  2   4

x  2  y  2  4
=> 
 4 y  2 x  xy  xy  2 x  4 y  0  x  y  2   4 y  8  8   y  2   x  4   8
b,
3 5 y 5  2y
  
 x  5  2 y   18
6
c, => x 6 3
Bài 4: Tìm x nguyên biết:
x 4 1
x 2 1
5 y 1
 
 
 
3
y
5
6
y 30
x
3
6
a,

b,
c,

HD:
a,
b,

5 1 y
5 1 2y
   
 x  2 y  1  30
x 6 3
x
6
x 1 4
5x  3 4
  
  y  5 x  3  60
3
5
y
15
y
=>


20


c,

x 1
2
5x  1 2

 
  y  5 x  1  60
6
30
y
30
y
=>

21


Bài 5: Tìm x nguyên biết:
x 3 1
25 x
5
4 y 5
 

 2
 
a, x 3 6
b, 9 y 18
c, 5 3 y
HD:

4 5 y 5  2y
   
 x  5  2 y   24
x 6 3
6
a,
x 1
3
2x  1 3
 
 
  y  2 x  1  54
9 18 y
18
y
b,
 x 

 25  3
 5 

c,
Bài 6: Tìm x nguyên biết:
7
9
2 359

 
a, 15 x 10 y 5 30 xy

 15

và

y2 

 5 .5
25

 1  y  �1

x 1
1
 
b, 7 2 y  1

5 y 1
 
c, x 4 8

HD:
a,

b,
c,

Quy đồng ta được:
14 y  27 x 12 xy  359



 12 xy  27  14 y  359  6 x  4 y  9   7  4 y  9   781
30 xy
30 xy
  4 y  9   6 x  7   781  11.71
2x  7
1

  2 x  7   y  1  14
14
y

1
=>

5 1 y 1 2y
  
 x  1  2 y   40
8
=> x 8 4

22


Dạng 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ
7  x  2004   23  y 2
Bài 1: Tìm số tự nhiên x,y biết:
HD:
2
7  x  2004  �0
23  y 2 �0  y 2 �23  y � 0;1; 2;3; 4

Từ giả thiết ta thấy
nên
23  y 2 M7  y � 3; 4
Mà 7 là số nguyên tố nên
. Thay y vào ta tìm được x
2
2
25  y  8  x  2002 
Bài 2: Tìm số tự nhiên x,y biết:
HD:
2
8  x  2002  �0  25  y 2 �0  y 2 � 0,1, 2,3, 4,5
Từ giả thiết ta có:
8( x  200)2 M
8  25  y 2 M
8  y � 1;3;5
Mà
. Thay y vào tính x
1 1 1 4
  
Bài 3: Tìm ba số tự nhiên a, b, c biết: a b c 5
HD :
4 1 1 1 1 1 1 3
a �b �c     �     c �3
5 a b c c c c c
Giả sử :
1 1
4
1 1 4
c  1    1      1  0

a b
5
a b 5
TH1 : Với
( Loại)
1 1 4 1 3
c  2       3ab  10a  10b
a b 5 2 10
TH2 : Với
1 1 4 1 7
c  3       7ab  15a  15b
a b 5 3 15
TH3 : Với
1 1 1 4
  
Bài 4: Tìm ba số từ nhiên a, b, c khác 0 biết: a b c 3
HD:
�
c 1
1 1 1 3 4
a �b �c    �   �
a b c c 3
c 2
�
Không mất tính tổng quát: Giả sử:
�
b 6 �
b 4
1 1
4

1 1 2 1
c  1   1    �   b �6  �
,�
a b
3
a b b 3
a 6 �
a  12
�
Với
1 1 1 4
1 1 5
c  2         b  3, a  2
a b 2 3
a b 6
Với
a b c a c b
      abc  3
Bài 5: Tìm các số nguyên a, b, c �0, biết: b c a c b a
HD:
�a b c � �a c b �
�a c � �b a � �c b �
 �   � �   � 3  9  �   1� �   1� �   1� 9
�b c a � �c b a �
�b b � �c c � �a a �
abc abc abc
�1 1 1 �


 9   a  b  c  �   � 9

b
c
a
�a b c �
=>
1 1 1
1
1
1
1 1 1
�1, �1, �1    �3  a  b  c  1
  3
b
c
a b c
=> a b c
, do a, b, c �Z nên a
2

23


24


Bài 6: Tìm số nguyên x, y biết:
HD:

42  3 y  3  4  2012  x 

42  3 y  3  4  2012  x 

4

4

3 y  3 �0, y �Z

, Do
=>
4
  2012  x  �11  24  2012  x  0

4  2012  x  �42
4

nên

hoặc 2012  x  �1, Vì 2012 - x là số nguyên nên
38
38  3 y  3  y  3 
2012  x  �1=> x = 2011 hoặc x = 2013 thì
3 (loại)

+ Nếu
42  3 y  3  y  3  14
+ Nếu: 2012 - x = 0 => x = 2012 và
=> y= 17 hoặc y = - 11
2
25  y 2  8  x  2009 

Bài 7: Tìm số tự nhiên x,y biết:
(Tự luyện)
HD :
2
8  x  2009  �0  25  y 2 �0  y 2 � 0,1, 2,3, 4,5
Từ giả thiết ta có:
8( x  2009)2 M
8  25  y 2 M
8  y � 1;3;5
Mà
. Thay y vào tính x
1 1
1
 
Bài 8: CMR không tìm được hai số x, y nguyên dương sao khác nhau sao cho x y x  y

HD :

y  x   x  y   xy
Quy đồng chéo ta được : 
, Vì x - y và y - x là hai số đối nhau nên VT < 0,
Và nếu x, y nguyên dương thì VP > 0=> Mẫu thuẫn
Vậy không tồn tại hai số x, y nguyên dương
1 1 1
  2
Bài 9: Tìm ba số nguyên dương x, y, z sao cho: x y z

HD :
Giả sử :
Với

x �y �z  2 

z  1 

1 1 1 1 1 1 3
3
  �     z �  z  1
x y z z z z z
2

1 1
1 1
  1  2    1  x  y  xy   x  1  y  1  1
x y
x y

1
1
1


1
: Tìm bộ ba số tự nhiên khác 0 sao cho: a a  b a  b  c
Bài 10
HD:

1
1
1

1 1 1 3


 1      a  3  a � 1;2;3
a a a a
Vì a a  b a  b  c
1
1
1
1
a  1 

 1  1 

0
b 1 b  c 1
b 1 b  c 1
TH1 : Với
( Loại)
1
1
1
1
1
1
1
1
2
a  2 


  1 

 


b2 bc2 2
b2 bc2 2 b2 b2 b2
TH2 : Với
 b  2  4  b  2  b � 1; 2
1
1
1

  c
Nếu b=1 thì 3 c  3 2
25