CHUYÊN ĐỀ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH, BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 6

CHUYÊN ĐỀ : THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
1.Các kiến thức vận dụng:
+ Tính chất của phép cộng , phép nhân
+ Các phép toán về lũy thừa:
a1.a2....
3a
n
an =
; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a �0, m �n)
(am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn

a
an

( ) n  n (b �0)
b
; b

2.Các dạng bài tập
Dạng 1: RÚT GỌN
Bài 1: Thực hiện phép tính:
212.35  46.92 510.7 3  255.492

2
6
(2

.3)
(125.7)3  59.143
a,

218.187.33  315.215
10 15
14
13
b, 2 .6  3 .15.4

HD :

46.95  69.120
4 12
11
c, 8 .3  6

212.35   22  .  32 
6

2 .3  4 .9
5 .7  25 .49 

2

6
(2 .3)
(125.7)3  59.143
a, Ta có:
12

5

6

2

10

3

5

2

212.36

2

510.73   52  .  7 2 
5



5 

3 3

2

.73  59.23.73

12 4
10 3
212.35  212.34 510.73  510.7 4 2 .3  3  1 5 .7  1  7 
2 5.6 28

 9 3 9 3 3
 9 3
212.36
5 .7  5 .2 .7
212.36
5 .7  1  8   32  9  9

218.187.33  315.215
218.27.314.33  315.215
225.317  315.215


10 15
14
13
210.215.315  314.3.5.228 225.315  315.2 28.5
b, Ta có: 2 .6  3 .15.4



215.315  210.32  1
225.315  1  23.5 

2


.32  1

10

210 41

 2  .  3   2 .3 .2 .3.5  2 .3  2 .3 .5 2 .3  1  5 2.6 4
2 .3  2 .3  2 .3  2.3  1  3.5  5
2  .3  2 .3

=
2 6

4 .9  6 .120
4 12
11
c, Ta có: 8 .3  6

Bài 2: Thực hiện phép tính:
5.415.99  4.320.89
29 16
29
6
a, 5.2 .9  7.2 .27
HD :
6

5

9

2 5

3 4

12

9

9

11

3

11

12

10

12

24.52.112.7

3 3 2
b, 2 .5 .7 .11

12

12

11

10

11

12

11

10

11

511.712  511.711
12 11
11 11

c, 5 .7  9.5 .7

229.318  5.2  32 
5.230.318  229.320
5.415.99  4.320.89
32
9

29 16
29 18
29 16
2


5.2
.3

7.2
.3
29 16
29
6
2
.3
5


7.3


a, Ta có: 5.2 .3  7.2 .27 =
= 58 58
24.52.112.7 2.11 22

3 3 2
b, Ta có: 2 .5 .7 .11 = 5.7 35
511.711  7  1 8 4
511.712  511.711

 
11 11
12 11
11 11
5
.7
5

9
14 7



c, Ta có: 5 .7  9.5 .7 =
Bài 3: Thực hiện phép tính:
11.322.37  915
210.310  210.39
45.94  2.69
10 8
8
(2.314 ) 2
29.310
a,
b,
c, 2 .3  6 .20

HD :
1


11.322.37  915 11.329  330 329.  11  3  3.8


6
2 28
(2.314 ) 2
22.328
4

a, Ta có:
= 2 .3
210.310  210.39 210.39  3  1 2.2 4



29.310
29.310
3
3
b, Ta có:

10 8
10 8
10 9
45.94  2.69  2 .3  2 .3  2 .3  1  3  2  1
10 8
8
210.38  210.38.5 210.38  1  5 
6
3
c, Ta có: 2 .3  6 .20

Bài 4: Thực hiện phép tính:

212.35  46.92
510.73  255.492
5.415.99  4.320.89

9 19
29
6
(22.3)6  84.35 (125.7)3  59.143
a,
b, 5.2 .6  7.2 .27
HD:
212.35  46.92

510.73  255.49 2

2
6
4 5
3
9
3
a, Ta có : (2 .3)  8 .3 (125.7)  5 .14
=

45.94  2.69

10 8
8
c, 2 .3  6 .20

12 4
10 3
212.35  212.34 510.73  510.7 4 2 .3  3  1 5 .7  1  7  5.  6  10






212.36  212.35 59.73  59.73.23 212.35  3  1 59.7 3  1  8 
9
3

229.318  5.2  32  2
5.230.318  320.229
5.415.99  4.320.89

 2
9 19
29
6

5.228.319  7.229.318 228.318  5.3  7.2  1
5.2
.6

7.2
.27
b, Ta có :
=
10 8
210.38  1  3 2 1
2 .3  210.39
45.94  2.69




10 8
8
210.38  210.38.5 210.38  1  5  6
3
2
.3

6
.20

c, Ta có :
=
Bài 5: Thực hiện phép tính:
15.412.97  4.315.88
315.2 22  616.44
163.310  120.69
24 14
12
5
9 7
5 23
6 12

11
a, 19.2 .3  6.4 .27
b, 2.9 .8  7.27 .2 c, 4 .3  6

HD :

224.315  5  22 
5.224.315  226.315
3
15.412.97  4.315.88

 3

24 14
25 16
24 24
2
19.2 .3  2 .3
24 14
12
5
2 .3  19  2.3  1
a, Ta có: 19.2 .3  6.4 .27 =
222.315  1  22.3 13 13
315.222  224.316

315.2 22  616.44



222.318  7.315.2 23 222.315  33  7.2  5
5
9 7
5 23
2.9
.8

7.27

.2
b, Ta có :
=

 2  .3  2 .3.5.  2.3
 2  .3   2.3
c, Ta có:
4 3

10

2 6

3

12

9

11

Bài 6: Thực hiện phép tính :
212.35  46.92
510.73  255.492

A

6
3
 22.3  84.35  125.7   59.143
a,
Bài 7: Thực hiện phép tính:
212.35  4 6.9 2
A
6
2 2.3  84.35


a,
Bài 8: Thực hiện phép tính :
310.11  310.5
39.2 4
a,
Bài 9: Thực hiện phép tính:



12 10
212.310  212.310.5 2 .3  1  5 
2.6 12




12 12
11 11
11 11
2 .3  2 .3
2 .3  2.3  1 3.7 21

5.415.99  4.320.89
10 12
29

6
b, 5.2 .6  7.2 .27

b,

B

45.9 4  2.69
210.38  68.20

210.13  210.65
28.104

b,
2


 3 

2 .5  2 .5
27 7
10 27
a, 2 .5  2 .5
Bài 10: Thực hiện phép tính:
30

7

13

27

b,

6

.155  93.  15

 3 

10

6

.55.2 3

219.273.5 15. 4 .94
9

A

5 .6 .16  6 .12 .15
12
4
2
3
a, 2.6 .10  81 .960
Bài 11: Thực hiện phép tính:
� 0,8  5 215.94 � 4510.520
 6 3 �:
�

6
15
6 .8 �
0,4 

�
� 75
�
a,
2

11

2

2

6

2

69.210   12

b,

10



15
14
2.522  9.521 5 3.7  19.7
A
:
2510
716  3.715

b,
7

3



3

�2 � 7 �9 � �3 �
�5�.5  �4 �: �
16 �

A  � � 7 7� � � �
2 .5  512
Bài 12: Tính giá trị của biểu thức:
3 3
1
0,6  
1  0,875 0,7
14
7 13 : 6
B  2  1,21 
6
6

1
25
1,2  
 0,25 0,2
7 13
3
Bài 13: Tính biểu thức:

�1 1 1 �
33.126
A  84�   � 51. 37  51. 137 
3

�3 4 7�
27.42



Bài 14: Tính biêu thức:
Bài 15: Thực hiện phép tính:
5
5
a, 1024: (17.2  15.2 )
HD :



3
0
3
b, 5 .2  (23  4 ) : 2

5
4
2
c, (5.3  17.3 ) : 6

10
5 5
5
5  210 : �
25  17  15  �
�
� 2 :  2 .2   1
a, Ta có: 1024: (17.2  15.2 )
3
0
3
3

3
b, Ta có: 5 .2  (23  4 ) : 2  5 .2  24 : 2  250  3  253

34.25
4
2 2
4
2 2
�
�
3
3.5


17
:
3
.2

3
.32
:
3
.2


 9.8  72




�
�
32.22
c, Ta có: (5.3  17.3 ) : 6
Bài 16: Thực hiện phép tính:
(102  112  122 ) : (132  142 )
(23.94  93.45) : (9 2.10  9 2 )

b,
a,
HD :
(102  112  122 ) : (132  142 )   100  121  144  :  169  196   365 : 365  1
a, Ta có:
38  8  33.5  36.143
3 8
11
2
2
2
.3


3
.5
:
3
.10

3


 13.36


 

3 4
3
2
2
2
(2
.9

9
.45)

:
(9
.10

9
)
3 .11
11
c Ta có :
=
5

4

2

Bài 17: Thực hiện phép tính:
4
�
(314.69  314.12) : 316  7 �
�: 2
a, �
HD :
a, Ta có:

4
4
12
12
b, 24 : 3  32 :16









4
15
16
4
� 15
� 4
 �314.3.23  314.3.22 : 316  7 �
�
(314.69  314.12) : 316  7 �

�: 2  �3 .23  3 .4 : 3  7 �: 2
�
�: 2 �

4
4
�
315.27 : 316  7 �
�
�: 2   9  7  : 2 

1

23

4
4
12
12
24 : 3   32 :16   84  212  212  212  0
b, Ta có: 24 : 3  32 :16 = 
Bài 18: Thực hiện phép tính :
4

12

3


20102010  710 : 78  3.24  22010 : 22010 
 2100  2101  2102  :  297  298  299 
a,
b,
HD :
2010 2010  710 : 78  3.24  22010 : 22010   20102010  49  3.16  1  0
a, Ta có :
5

11
 3
2 1 4
1
3
1
A
4
2
1
3
3

B
 5
1 3
5 42
2 
3 7
5 3
Bài 19: Tính:
1

1 1 �
�1 �1 �

�
45 �
1
� � � ���
19 �2 �
3 �4 � �
��
� �
�

Bài 20: Thực hiện phép tính :
HD :

45
1
45 26




1
19 1  1
19 19
2 14
3

�3 2 1 ��3 2 1 �
A  �   ��
:
  �
2
5
10
2
3 12 �
�
��
Bài 21: Rút gọn :

4


Dạng 2 : TÍNH ĐƠN GIẢN
1
1
1
2
2
2





2003 2004 2005  2002 2003 2004
5
5
5
3
3
3





2003 2004 2005 2002 2003 2004

Bài 1: Thực hiện phép tính:
HD:
1
1
1
2
2
2





2003 2004 2005  2002 2003 2004
5
5
5
3
3
3





2003 2004 2005 2002 2003 2004
Ta có :
=
1
1 �
�1
1
1
1

2�




�
2003 2004 2005  �2002 2003 2004 �
1
1 � �1
1
1 � 1 2 7
�1

5�




� 3�
�  
�2003 2004 2005 � �2002 2003 2004 � 5 3 15
3 3 �
�
�1,5  1  0, 75 0,375  0,3  11  12 �1890


 115
�
�:
�2,5  5  1.25 0, 625  0,5  5  5 �2005
3
11 12 �
�
Bài 2: Thực hiện phép tính:
HD:
3 3 �
�
�1,5  1  0, 75 0,375  0,3  11  12 �1890


:
 115
�
�
�2,5  5  1.25 0, 625  0,5  5  5 �2005
3
11 12 �
�
Ta có :
�3 3 3 3 3 3 3 �
�2  3  4 8  10  11  12 �378

 115
�5 5 5  5 5 5 5 �:
378
�3 3 �378
401
� 
�
:
 115  0 :
 115  115
  
�

�
401
�2 3 4 8 10 11 12 �
�5 5 �401
=
=
1 1 1
3
3
3
 
0, 6  


9 7 11 
25 125 625
4 4 4 4
4
4
 
 0,16 

125 625
Bài 3: Thực hiện phép tính: 9 7 11 5
HD:

Ta có :

1 1 1
3
3
3
 
0, 6  

9 7 11 
25 125 625

4 4 4 4
4
4
 
 0,16 

9 7 11 5
125 625

1 3
 1
4

4
=

3 3
3 �
� 12 12 12
12   
3  
�
7 25 71 :
13 19 101 �
564. �

�
�4  4  4  4 5  5  5  5 �
13 19 101 �
� 7 25 71
Bài 4: Thực hiện phép tính:
HD:
3 3
3 �
� 12 12 12
12   
3  
�

7 25 71 :
13 19 101 �
564. �
�
12 3 �
�4  4  4  4 5  5  5  5 � 564. �
� : � 564.5  2820
13 19 101 �=
� 7 25 71
�4 5 �
Ta có :
5

Bài 5: Thực hiện phép tính:
1 1 1 1
1   
2 4 8 16
1 1 1 1
1   
2 4 8 16
a,

5 5 5

15 15
5  
15  
3 9 27 :
11 121
8 8 8
16 16
8  
16  
3 9 27
11 121
b,

HD:
1 1 1 1�
1 1 1 1 16 �
1    �
�
1   
� 2 4 8 16 � 16  8  4  2  1  31
2 4 8 16
1 1 1 1 � 16  8  4  2  1 11
1 1 1 1 16 �
1    �

1   
�
2 4 8 16 = � 2 4 8 16 �
a, Ta có :
5 5 5
15 15
5  
15  
3 9 27 :
11 121
5 15 5 16 2
8 8 8

16 16
:  . 
8  
16  
3 9 27
11 121 = 8 16 8 15 3
b, Ta có :
Bài 6: Thực hiện phép tính:
2 2
2
4
4

4
12 12 12
3
3
3
2  
4
 
12  

3 


19 43 1943 :
29 41 2941
7 289 85 :
13 169 91
3 3
3
5
5
5
4
4
4

7
7
7
3  
5
 
4 

7 

19 43 1943
29 41 2941

7 289 85
13 169 91
a,
b,
HD:
2 2
2
4
4
4
 
4

 
19 43 1943 :
29 41 2941
2 4 2 5 5
3 3
3
5
5
5
:  . 
3  
5

 
19 43 1943
29 41 2941 = 3 5 3 4 6
a, Ta có :
12 12 12
3
3
3
12  

3 


7 289 85 :
13 169 91
12 3
7
4
4
4
7
7
7
:  3.  7
4 


7 

7 289 85
13 169 91 = 4 7
3
b, Ta có :
Bài 7: Thực hiện phép tính:
�5 7 9 11 � 3
3 3
3
3

(3  )
�    �
3




7
9
11
13
4

�
�
7 11 1001 13
10 14 6 22 �
2
�
9
9 9 9
  �: (2  )
   9
� 
21

27
11
39
3
�
a, �
b, 1001 13 7 11
2

HD:
�5 7 9 11 � 3
�5 7 9 11 �9

9
(3  )
�    �
.
�    �
�7 9 11 13 � 4
�7 9 11 13 �4  4  9 : 1  9
10 14 6 22 �
2
2 �5 7 9 11 �4 2 3
4 2 2
�

.
  �: (2  )
�    �:
� 
3
4
3 = 3 �7 9 11 13 �3
a, Ta có : �21 27 11 39 �
1
1�
� 1 1
3 3

3
3
3�
1  
 �
3  

� 7 11 1001 13 � 3  1
7 11 1001 13
1
1� 9 3
� 1 1

9
9 9 9
1  
 �
    9 9�
b, Ta có : 1001 13 7 11
= � 7 11 1001 13 �

6


4 2 2

 
13 15 17
8 4 4
100   
13 15 17
Bài 8: Tính nhanh:
50 

HD:
4 2 2
4 2 2
50   

 
13 15 17  1
13 15 17
4 4 4� 2
�
8 4 4
2�
50    �
100   
13 15 17 = � 13 15 17 �
Ta có :
Bài 9: Tính:

50 

2

3 3
3
3
3  

24.47  23
7 11 1001 13
.

9
9 9 9
24  47.23
   9
1001 13 7 11
a, A=
HD:

2
2 �5 �
 3.  � �
3

3 �6 �
7 � 35
35
105
35 �
:�



�
b, 60 �31.37 37.43 43.61 61.67 �

24.47  23 47  23  1  23 47.23  24


1
47.23  24
47.23  24
a, Ta có : 24  47.23
1
1�
� 1 1
3�
1  

 �
� 7 11 1001 13 � 3  A  3  1
1
1� 9
9 3
� 1 1
9�
1  
 �
và � 7 11 1001 13 �
b, Ta có :
2

2 25 8 25 71
TS   3.    
3
3 36 3 36 36
35 � 6
6
18
6 �
�
7 � 5.7
5.7
3.5.7

5.7 � 7 �
MS 
:�



�
� 6 : �6 �31.37  37.43  43.61  61.67 �
60 �31.37 37.43 43.61 61.67 �
�
� �
�

7 �
35 �1 1
1
1
1 1 1 1 �
�
MS 
:� �        �
�
60 �6 �31 37 37 43 43 61 61 67 �
�
MS 

7 �
35 �1 1 �
� 2077
71 2077
:� �  �
B :
� 1800
60 �6 �31 67 �
�
36 1800
=>

Câu 10: Thực hiện phép tính:
10 5 5
3 3
155   
  0,9
7 11 23  5 13
A
26 13 13 7
3
402 
 

 0, 2 
7 11 23 91
10
a,
3
3
0, 375  0,3  
11 12  1,5  1  0, 75
A
5 5
5
0,625  0,5  

2,5   1, 25
11 12
3
b,

7


Dạng 3 : TÍNH TỔNG TỰ NHIÊN
Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1)
b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1)
1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)

Với n là số tự nhiên khác không.
HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2
b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : 3
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
= n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +…..+ an
c

c
c

 ...... 
an 1.an với a – a = a – a = … = a – a = k
b) Tính tổng : A = a1.a2 a2 .a3
2
1
3
2
n
n-1

HD:
a) S = 1+ a + a2 +…..+ an
�
nhân vào hai vế của đẳng thức với số a, ta được:
aS = a + a2 +…..+ an + an+1
Lấy a.S – S, theo vế ta được : aS – S = an+1 – 1 � ( a – 1) S = an+1 – 1
Nếu a = 1 � S = n
a n 1  1
a 1
Nếu a khác 1 , suy ra S =
c
c 1 1

 (  )
b) Áp dụng a.b k a b với b – a = k
c 1 1
c 1 1
c 1
1
(  )  (  )  .....  (
 )
k a1 a2
k a2 a3
k an 1 an
Ta có : A =

c 1 1 1 1
1
1
(     ...... 
 )
an 1 an
= k a1 a2 a2 a3
c 1 1
(  )
k
a1 an
=

Bài 3: Tính tổng S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +…..+ 2100

HD:
2.S = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 +…..+ 2101
2S – S = S = 2101 - 1
Bài 4 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + …. + n2
b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + …..+ n3
HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2
8

Bài 5: Tính tổng tự nhiên
a, A= 9  99  999  ...  999...9 ( 10 số 9)
b, B= 1  11  111  ...  111...1 (10 số 1)
HD:
A   10  1   102  1   103  1  ...   1010  1
a, Ta có:
  10  102  103  ...  1010   10  111...10  10  111...100
( 9 số 1)
b, Ta có: 9 B  9  99  999  ....  9999...99 ( 10 số 9). Tính như câu a
Bài 6: Tính tổng tự nhiên
a, C= 4  44  444  ...  444...4 (10 số 4)
b, D= 2  22  222  ...  222...2 (10 số 2)

HD:
C  4  1  11  111  ...  111...11
a, Ta có:
( 10 số 1)
9C  4  9  99  999  ...  999...99 
( 10 số 9). Tính như tính ở trên
b, Ta có :

D  2  1  11  111  ...  111...11

9 D  2  9  99  999  ...  999...99 

(10 số 1)

(10 số 9)
3

33

333

...

333...3

Bài 7: Tính tổng sau: E=
(10 số 3)

9


Dạng 4 : TÍNH TỔNG PHÂN SỐ
Bài 1: Tính nhanh tổng sau:
1
1
1


 ... 
24.25
a, A= 5.6 6.7

2
2
2
2


 ... 
99.101

b, B= 1.3 3.5 5.7

HD:
1 � 1 1
4
�1 1 � �1 1 �
�1
A  �  � �  � ...  �  � 

�5 6 � �6 7 �
�24 25 � 5 25 25
a, Ta có :

1 1 � �1 1 � �1 1 �
1 �
1 100
�
�1
B  �  � �  � �  � ...  � 

� 1 
1 3 � �3 5 � �5 7 �
�
�99 101 �
101 101

b, Ta có :
Bài 2: Tính nhanh tổng sau:
4
4
4
4
52
52
52


 ... 


 ... 
61.66
26.31
a, D= 1.6 6.11
b, K= 11.16 16.21 21.26
HD :
5
5
5 � � 1 1 1 1 1
1
1 �

�5
D  5� 

 .... 
1       ... 
 �
� 5 �
1.6 6.11 11.16
26.31 � � 6 6 11 11 16
26 31 �
�
a, Ta có :

� 1 � 30 150
D  5�
1  � 5. 
� 31 � 31 31
1
1
1 �
5
5
5 �
�1
�5

K  4�


 ... 


 ... 
� 5 K  4 �
�
11.16 16.21 21.26
61.66 �
11.16 16.21 21.26

61.66 �
�
�
b, Ta có:
1
1 � �1 1 �
55
4
2
�1 1 1 1
5 K  4 �     ...   � 4 �  � 5K  4.
 K 


11 16 16 21
61 66 � �
11 66 �=>
�
11.66
66 33
Bài 3: Tính nhanh tổng sau:

4
4
4

4


 ... 
99.101
a, N= 1.3 3.5 5.7
HD :

b,

F

1
1
1
1


 ... 
1.1985 2.1986 3.1987
16.2000

2
2

2 � � 1 � 200
�2
N  2� 

 ... 
1
� 2 �
�
1.3 3.5 5.7
99.101 � � 101 � 101
�
a, Ta có :

5
5
5
5
5


 ... 

3.7 7.11 11.15
81.85 85.89

Bài 4: Tính tổng sau:
1
1
1
1
A

 ... 

25.24 24.23
7.6 6.5
Bài 5: Tính tổng sau:

5
5
5
5
A


 ... 
3.6 6.9 9.12
99.102
Bài 6:Tính tổng sau:
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:

K

3
3
3
25
25 �
�3
� � 25
A� 

 ... 


 ... 
� �
�
1.8 8.15 15.22
106.113 � �50.55 55.60
95.100 �
�

HD:
Ta có :

B

7
7
7
3
3
3
3
�7
�
 7 B  3 � 


 ... 


 ... 
�
1.8 8.15 15.22
106.113 �
�
1.8 8.15 15.22
106.113

1 1 1 1 1
1
1
1 � � 1 � 112
3.112 48
�
 7 B  3 �     
 ... 

1
 B 


� 3 �
� 3.
1 8 8 15 15 22
106 113 � � 113 � 113
7.113 113
�

và

C

25

25
25
5
5
5

 ... 
 5C 

 ... 
50.55 55.60
95.100

50.55 55.60
95.100
10


1
1
1
1
48
1



 C 
A  BC 

50 100 100
500 . Khi đó :
113 500
1
9
9
9



 ... 
1999.2009
Bài 8: Tính nhanh: 19 19.29 29.39
 5C 

HD:

1
9
9
9

9
9
9
9


 ... 
 A 


 ... 
1999.2009 =

9.19 19.29 29.39
1999.2009
Ta có : 19 19.29 29.39
10
10
10
1 �
�10
� �1
10 A  9 �



 ... 
� 9 � 
�
1999.2009 � �9 2009 �
�9.19 19.29 29.39
=>

2000 2000
200

 A 
9.2009 2009

2009
2 2 2 2
2
   
Bài 9:Tính tổng sau: C= 15 35 63 99 143
Bài 10: Tính nhanh tổng sau:
1 1
1
1
1
1
2 2 2 2

2
 



   
a, E= 7 91 247 475 755 1147
b, C= 15 35 63 99 143
10 A  9.

HD:

1
1
1
1
1 1 1
1 1
1 36


 ... 
 1     ...    1  
1.7 7.13 13.19

31.37
7 7 13
31 37
37 37
a, Ta có :
2
2
2
2
2
1 1 8
C





  
3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 3 11 33
b, Ta có :
Bài 11: Tính nhanh tổng sau
2 2
2
2
9

9
9
9
 
 ... 
1 

 ... 
(5n  4)(5n  1)
45 105 189
29997
a, F= 6 66 176

b, G=
E

HD:
�1 1
� �1
1
1
1
1
1
F  2�




...

 2�



�
�6 66 176
�

�
 5n  4   5n  1 � �1.6 6.11 11.16  5n  4   5n  1
�
a, Ta có :
�5
�
5
5
5
1 �
5n
2n

�
5F  2 �



...

�
 2�
1
 2.
F


�
�
�
1.6
6.11
11.16
5
n

4
5

n

1


 � � 5n  1 � 5n  1 =>
�
5n  1

G  1

�

�
�
�

3 3 3
3
3
3
3
3
   ... 
 1



 ... 
15 35 63
9999
3.5 5.7 7.9
99.101

b, Ta có :
1
1 �
2

2 �
�1
�2
G  1 3� 
 ... 
 ... 
� 2G  2  3 � 
�
99.101 �
99.101 �
�3.5 5.7
�3.5 5.7

98
98 300
150
�1 1 �
2G  2  3 � 
 2

 G 
� 2  3.
3.101
101 101
�3 101 �

101
1
1
1
6


 ... 
87.90
Bài 12: Tính nhanh tổng sau : M= 2.15 15.3 3.21
HD:
Ta có :

M

6
6
6
6


 ... 
12.15 15.18 18.21
87.90

3
3 � �1 1 1 1
1
1 � �1
1 �
�3
M  2�

 ... 
 � 2�  �
� 2 �     ... 

12.15 15.18
87.90 � �
12 15 15 18
87 90 �= �
12 90 �
�
11


50 25 20 10 100
100
1

   
 ... 

3 3 4 3 6.7
98.99 99
Bài 13 : Tính :
3 3 3
3
1     ... 
15 35 63
99.101
Bài 14: Tính:

50 

1 1 1
1
1
1
1
     ...  
6 12 20 30 42
90 110
Bài 15: Tính:
1 1 1 1

1
1
   

Bài 16: Tính: 2 14 35 65 104 152
1 1 1 1 1 1 1 1
B       
10 15 21 28 36 45 55 66
Bài 17: Tính tổng:
Bài 18: Tính nhanh tổng sau
38 9 11 13 15 17
197 199

3
5
7
201
      ... 



 ... 
4851 4950
100.101
a, H= 25 10 15 21 28 36

b, I= 1.2 2.3 3.4
A

HD:

H 38 9 11 13 15
197 199
      ... 

9702 9900
a, Ta có : 2 50 20 30 42 56
H 38 9 11 13 15

197
199
 



 ... 

2 50 4.5 5.6 6.7 7.8
98.99 99.100
H 38 �1 1 � �1 1 � �1 1 � �1 1 �
1 � �1

1 �
�1

 �  � �  � �  � �  � ...  �  � � 
�
2 50 �4 5 � �5 6 � �6 7 � �7 8 �
�98 99 � �99 100 �

H 38 1 1
76  25  1
  


 1  H  2
2 50 4 100
100

1 �
1 100
� 1 � �1 1 � �1 1 �
�1
I �
1  � �  � �  � ...  � 

� 1 

100 101 �
� 2 � �2 3 � �3 4 �
�
101 101
b, Ta có :

A  3.

1
1
1
1

1
 5.
 7.
 ...  15.
 17.
1.2
2.3
3.4
7.8
8.9

Bài 19: Thực hiện phép tính:

HD:
1
1
1
1
1
3
5
7
15 17
A  3.  5.
 7.

 ...  15.
 17.


 ... 

1.2
2.3
3.4
7.8
8.9 = 1.2 2.3 3.4
7.8 8.9

Ta có :
1 1 � �1 1 � �1 1 �
1 8
�
�1 1 � �1 1 �
 �  � �  � �  � ...  �  � �  � 1  
1 2 � �2 3 � �3 4 �
�
�7 8 � �8 9 �
9 9
5
4

3
1
13
B




2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
Bài 20: Không quy đồng, Hãy tính :
HD:

5
4
3
1
13
B
5
4
3
1
13










2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 => 7 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28
Ta có :
B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
7.13 13

             
B

7 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 28 =>
28
4
4
6
9
7
7
5

3
11
A



B



7.31 7.41 10.41 10.57 và
19.31 19.43 23.43 23.57

Bài 21: Tính :
B

HD:
Ta có :

12


A
4
6

9
7
1 � �1
1 � �1
1 � 1
1
�1 1 � �1




 �  � �  � �  � �  � 

5 31.35 35.41 41.50 50.57 �31 35 � �35 41 � �41 50 � �50 57 � 31 57
B
7
5
3
11
1 � �1
1 � �1
1 � 1
1
�1 1 � �1





 �  � �  � �  � �  � 
2 31.38 38.43 43.46 46.57 �31 38 � �38 43 � �43 46 � �46 57 � 31 57
A B
A 5
  
B 2
Khi đó : 5 2

1

1
1
1


 ... 
10.11.12
Bài 22: Tính nhanh tổng sau: P= 1.2.3 2.3.4 3.4.5
HD:
2P 

2

2
2
2
1 � �1
1 �
1 �
�1
�1


 ... 
� 


� � 
� ...  �
�
1.2.3 2.3.4 3.4.5
10.11.12 �
1.2 2.3 � �2.3 3.4 �
10.11 11.12 �
�

Ta có :
1

1
65
65
2P 


 P 
1.2 11.12 132
264
1 1 1
1
1

1
A   


10 40 88 154 238 340
Bài 23 : Tính :
1 1 1 1
1
1
A    

6 35 63 99 143 195

Bài 24 : Tính :
1
1 �1  3  5  ...  49
�1
A� 
 ... 
.
�
44.49 �
89
�4.9 9.14
Bài 25: Thực hiện phép tính:

HD:
Đặt :
=>

B

B

1
1
1
5

5
5
�1 1 � 45

 ... 
 5 B 

 ... 
 �  �
4.9 9.14
44.49
4.9 9.14

44.49 �4 49 � 4.49

9
4.49

1  3  5  ...  49 1   3  5  ...  49  1  612 611



89
89
89

89
và
9 611
A  B.C 
.
4.49 89
Khi đó :
1 1 1 1
(1  2  3  ...  100)(    )(63.1, 2  21.3, 6)
2 3 7 9
1


2

3
 4  ...  99  100
Bài 26: Thực hiện phép tính:
HD:
1 1 1 1
(1  2  3  ...  100)(    )(63.1, 2  21.3, 6)
2 3 7 9
63.1, 2  21.3, 6  0 
0
1  2  3  4  ...  99  100

Ta có:
A
1
1
1
1
A


 ... 
1.300 2.301 3.302
101.400 và

Bài 27: Tính tỉ số B biết :
1
1
1
1
B


 ... 
1.102 2.103 3.104
299.400
HD:

299
299
299
1
1 � �1
1 � �1
1 �
1 �
�
�1
299 A 


 ... 
 �
� � 
� � 
� ...  � 
�
1.300 2.301
101.400 �
1 300 � �2 301 � �3 302 �
101 400 �
�
C

13


1 � �1
1
1 �
� 1 1
 299 A  �
1    ... 
 ... 
� � 

�
101 � �300 301
400 �
� 2 3

101B 

101
101
101
101



 ... 
1.102 2.103 3.104
299.400

1 � �1
1 �
1 �
� 1 � �1
�1
�
1

� � 
� � 
� ...  � 
�
� 102 � �2 103 � �3 104 �
�299 400 �
1 � �1
1
1 � � 1 1
1 � �1
1
1 �

� 1 1
�
1    ... 
 ... 
1    ... 
 ... 
� � 
� �
� � 
�
299 � �
102 103

400 � � 2 3
101 � �300 301
400 �
� 2 3

A 101

B 299
Khi đó :
Bài 28: Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau:
299 A  101B 

a)
b)
HD:
a)

A

1 1 1
1
1
1
1

1
 
 ... 
 (


 ... 
)
20 30 42
90
4.5 5.6 6.7
9.10

1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
3
 (       ...   )   (  ) 
4 5 5 6 6 7
9 10
4 10
20

b)

B

5
4
3
1
13
5
4
3
1
13





 7.(




)
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
2.7 7.11 11.14 14.15 15.28

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
13
1
 7.(          )  7.(  )   3
2 7 7 11 11 14 14 15 15 28
2 28
4
4

Bài 29: Tính tổng

A

1 1 1
1
   ... 
10 15 21
120

HD:

A

1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
   ... 





 ... 

10 15 21
120 2.5 5.3 7.3 7.4
15.7 15.8

1 � �1
1 �
1 � 1 �1 1 � 1 �1 1 �
1 �1 1 �
�1

�1
� 
� � 
� ...  � 
� �  � �  � ...  �  �
15.7 15.8 � 5 �2 3 � 7 �3 4 �
15 �7 8 �
�2.5 5.3 � �7.3 7.4 �
�


1 1

1
1
1
1
1 1 3
  ... 


 ... 
  
6 12
56 2.3 3.4

7.8 2 8 8
A

Bài 30: Tính tỉ số biết

4
6
9
7




7.31 7.41 10.41 10.57

B

7
5
3
11



19.31 19.43 23.43 23.57

HD:

14


1
4
6
9
7
1 1 �

A



 
1
A 5
� 1
5
7.31 35.41 50.41 50.57 31 57 �
�� A  B � 
1

7
5
3
11
1 1
5
2
B 2
B




  �
�
2
19.31 19.43 23.43 23.57 31 57
A

Bài 31: Cho

34
51
85
68




7.13 13.22 22.37 37.49

B

39
65
52
26




7.16 16.31 31.43 43.49

Tính tỷ số
HD:
A

34
51
85
68

34 �1 1 �
68 �1 1 � 17 �1 1 �



 � �
 .....  �  �
 � �
7.13 13.22 22.37 37.49 6 �7 13 �
12 �37 49 � 3 �7 49 �

39

65
52
26
39 �1 1 �
26 �1 1 � 13 �1 1 �



 � �
 .....  �  �
 � �
7.16 16.31 31.43 43.49 9 �7 16 �

6 �43 49 � 3 �7 49 �
A 34 26 17
�  : 
B 49 49 3
B

A
Bài 32: Tính tỉ số B biết: A = ; B =

HD:
A=
=

=
B=


13 �7 5 � 13 �3 11 � � 24
28 � 13.52

�  � �  � 13 �
�
19 �31 43 � 23 �43 57 � �31.19 43.57 � 57
A 5.26 13.52 5


:

B 31.57 57
62

�

Bài 33: Tính tổng:
1
1
1
1

A


   
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
27.28.29.30
4
4
4
4
B



   
5.8 8.11 11.14
305.308
HD:
A=
=
B=
Bài 34: Tính tổng: A =
15

HD:
A=
Ta có
2
2 1 1
2
2 1 1
 (  );
 (  )
Tương tự: 4.7 3 4 7 7.10 3 7 10 ; ......;

A= =

16


Dạng 5: TÍNH TỔNG TỰ NHIÊN DẠNG TÍCH
Bài 1:Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (n – 1). n

(1)

HD:
Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1 => Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3
lần khoảng cách (nhân với 3) ta được.

3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3+ ….+ (n – 2).(n – 1) .3+ (n - 1).n.3
= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ….+ (n – 2).(n – 1).[n – (n – 3)] + (n -1).n.[(n + 1) – (n – 2)]
= (n – 1).n.(n + 1)
– 1 .n.  n  1
3
Bài 2: Tính nhanh các tổng sau
a, A= 1.2+2.3+3.4+…+98.99
b, B= 1.2  3.4  5.6  ...  99.100
HD:
3 A  1.2  3  0   2.3  4  1  3.4  5  2   ...  98.99  100  97 
a, Ta có:
3 A   1.2.3  0.1.2    2.3.4  1.2.3   3.4.5  2.3.4   ...   98.99.100  97.98.99 

S

n

98.99.100
3
B  2   2  1 .4   4  1 .6  ...   98  1 .100

3 A  98.99.100  A 

b, Ta có:
B  2   2.4  4    4.6  6   ...   98.100  100 

B   2.4  4.6  6.8  ...  98.100    2  4  6  ...  100 
Đặt M  2.4  4.6  6.8  ...  98.100

6 M  2.4  6  0   4.6  8  2   6.8  10  4   ...  98.100  102  96 

6 M   2.4.6  0.2.4    4.6.8  2.4.6    6.8.10  4.6.8   ...   98.100.102  96.98.100 
98.100.102
6
Tính N  2  4  6  ....  100 rồi thay vào B
Bài 3: Tính nhanh các tổng sau
a, D= 1.4+2.5+3.6+…+100.103

b, E= 1.3  2.4  3.5  ...  97.99  98.100
HD:
a, Ta có:
D  1.  1  3  2.  2  3  3  3  3  ...  100.  100  3 
6 M  98.100.102  M 

D   1.1  1.3   2.2  2.3   3.3  3.3  ...   100.100  100.3

D   1.1  2.2  3.3  ...  100.100   3  1  2  3  ...  100 
Đặt, A  1.1  2.2  3.3  ...  100.100 và B  1  2  3  4  ...  100
b, Ta có:
E  1 1  2   2  2  2   3  3  2   ...  97  97  2   98  98  2 

E   1.1  1.2    2.2  2.2    3.3  3.2   ...   97.97  97.2    98.98  98.2 

E   1.1  2.2  3.3  ...  97.97  98.98   2  1  2  3  4  ...  97  98 
Đặt A  1.1  2.2  3.3  ...  98.98 và B  1  2  3  4  ...  97  98
Tính rồi thay vào E

17


Bài 4: Tính nhanh các tổng sau
a, F= 1.3  5.7  9.11  ...  97.101

b, G= 1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+98.99.100
HD:
F  1.  1  2   5  5  2   9  9  2   ...  97  97  2 
a,
F   1.1  1.2    5.5  5.2    9.9  9.2   ...   97.97  97.2 

F   1.1  5.5  9.9  ...  97.97   2  1  5  9  ...  97 

Đặt A  1.1  5.5  9.9  ...  97.97, B  1  5  9  ...  97 , Tính rồi thay vào F
4G  1.2.3  4  0   2.3.4  5  1  3.4.5  6  2   ...  98.99.100  101  97 
b,
4G   1.2.3.4  0.1.2.3   2.3.4.5  1.2.3.4    3.4.5.6  2.3.4.5   ...   98.99.100.101  97.98.99.100 

4G  98.99.100.101  G 

98.99.100.101
4

Bài 5: Tính nhanh các tổng sau
1.99  2.98  3.97  ...  50.50
b, K= 1.99  3.97  5.95  ...  49.51
a, H=
HD:
H  1.99  2.  99  1  3.  99  2   ...  50  99  49 

a,
H  1.99   2.99  1.2    3.99  2.3  ...   50.99  49.50 

H   1.99  2.99  3.99  ...  50.99    1.2  2.3  3.4  ...  49.50 

A  99  1  2  3  ...  50  , B  1.2  2.3  3.4  ...  49.50
Đặt
Tính A và B rồi thay vào H
K  1.99  3  99  2   5.  99  4   ...  49  99  48 
b,
K  1.99   3.99  2.3   5.99  4.5   ...   49.99  48.49 
K   1.99  3.99  5.99  ...  49.99    2.3  4.5  ...  48.49 

A  99  1  3  5  ...  49  , B   2.3  4.5  6.7  ...  48.49 
Đặt
Tính A và B rồi thay vào K
1.3  3.5  5.7  ...  97.99
Bài 6: Tính nhanh các tổng sau : C=
HD:

C  1.  1  2   3.  3  2   5  5  2   ...  97.  97  2 

C   1.1  1.2    3.3  3.2    5.5  5.2   ...   97.97  97.2 
C   1.1  3.3  ...  97.97   2  1  3  5  ...  97 

Đặt A  1.1  23.3  5.5  ...  97.97, B  1  3  5  7  ...  97
Tính A và B rồi thay vào C
Bài 7: Tính tổng S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + …..+ 99.101
HD:
Ta có: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ 97.99 + 99.101
A = 1.(1 + 2) + 3.(3 + 2) + 5.(5 + 2) + … + 97.(97 + 2) + 99.(99 + 2)
A = (12 + 32 + 52 + … + 972 + 992) + 2.(1 + 3 + 5 + … + 97 + 99).
Đặt B = 12 + 32 + 52 + … + 992
18

k
B có dạng B = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 =

– 1 .k.  k  1
6

99.100.101
 166650
6
=> Với k = 100 có B =

=> A = 166650 + 2.(1 + 99).50 : 2

=> A = 166650 + 5000 = 171650.
Bài 8: Tính tổng M = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ….+ 49.51
HD:
Ta có: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ 47.49 + 49.51
A = 1.(1 + 2) + 3.(3 + 2) + 5.(5 + 2) + … + 47.(47 + 2) + 49.(49 + 2)
A = (12 + 32 + 52 + … + 472 + 492) + 2.(1 + 3 + 5 + … + 47 + 49).
Đặt B = 12 + 32 + 52 + … + 492

k
B có dạng B = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 =

– 1 .k.  k  1

6

49.50.51
 20825
6
=> Với k = 50 có B =

=> A = 20825 + 2.(1 + 49).25 : 2
=> A = 20825 + 1250 = 22075.
Bài 9: Tính tổng N = 2.4 + 4.6 + 6.8 + …..+ 100.102
HD:
A = 2.(2 + 2) + 4.(4 + 2) + 6.(6 + 2) + … + 98.(98 + 2)+ 100.(100 + 2)

A = (22 + 42 + 62 + … + 982 + 1002) + 2.(2 + 4 + 6 + … + 98 + 100).
Đặt B = 22 + 42 + 62 + … + 982 + 1002

k
B có dạng B = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 =

– 1 .k.  k  1
6

49.50.51
 20825
6

=> Với k = 50 có B =

=> A = 20825 + 2.(1 + 49).25 : 2
=> A = 20825 + 1250 = 22075.
Bài 10: Tính tổng P = 1.4 + 4.7 + 7.10 + ….+ 49.52
19


HD:
Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 3
 Nhân cả hai vế với 9 ta có:
9P = 1.4.9 + 4.7.9 + 7.10.9 + ….+ 46.49.9 + 49.52.9

= 1.4.(7 + 2) + 4.7.(10 – 1) + 7.10.(13 – 4) + …+ 46.49.(52 – 43) + 49.52.(55 – 46)
= 1.4.7 +1.4.2 + 4.7.10 – 1.4.7 + 7.10.13 – 4.7.10 +...+46.49.52 – 43.46.49 + 49.52.53 –
46.49.52
= 1.4.2 + 49.52.55
= 140148
 P = 15572
Bài 11: Tính tổng S = 2.6 + 6.10 + 10.14 + 14.18 + ….+42.46 + 50.54
HD:
Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 4 (trừ ra số hạng cuối)
 Nhân cả hai vế với 12 ta có:
12P = 2.6.12 + 6.10.12 + 10.14.12 + 14.18.12 + ….+42.46.12 + 50.54.12
= 2.6.(10 + 2) + 6.10.(14 – 2) + 10.14.(18 – 6) + 14.18.(22 – 10) +…+ 42.46.(50 – 38) +

50.54.12
= 2.2.6 + 42.46.50 + 50.54 .12
= 2350800
Bài 12: Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …..+ 16.17.18 + 17.18.19
HD:
Khoảng cách giữa các thừa số bằng 1 => Nhân hai vế với 4 ta được.
4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + …..+ 16.17.18.4 + 17.18.19.4
= 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + …+ 16.17.18.(19 – 15) + 17.18.19.(20 – 16)
= 17.18.19.20 = 116280
Bài 13: Tính tổng S = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + …+ 95.97.99
HD: Gợi ý: Nhân hai vế với 8
Bài 14: Tính tổng A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + 18.19.20.21 + 19.20.21.22

HD: Gợi ý: Nhân hai vế với 5

Bài 15: Tính:

A

1.99  2.98  ...  99.1
1.2  2.3  3.4  ...  99.100

20

Dạng 6: TÍNH TỔNG CÔNG THỨC
I. Phương pháp
Cần tính tổng: S = a1 + a2 + a3 + …. + an

(1)

Với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = d (các số hạng cách đều nhau một giá trị d)
Số số hạng trong tổng là n =

 a n  a1  : d  1

a1 là số hạng thứ nhất

an là số hạng thứ n
Tổng S = n.(a1 + an) : 2
Số hạng thứ n của dãy là an = a1 + (n – 1).d
II. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên.
HD:
Tổng 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
S = 1 + 3 + 5 + …+ 33 + 35 + 37.
Cách 1: Tính tổng theo công thức trong phương pháp:

S

 37  1 .19  361
2

Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành những cặp số có tổng bằng nhau:
Ta thấy: 1 + 37 = 38

5 + 33 = 38

1 + 35 = 38

7 + 31 = 38

……

=> Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta được các cặp số đều có tổng số là 38.
Số cặp số là: 19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng ở chính giữa dãy số là số 19.
Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 38 x 9 + 19 = 361
Cách nhóm khác:
Ta bỏ lại số hạng đầu tiên là số 1 thì dãy số có: 19 – 1 = 18 (số hạng)
Ta thấy:

3 + 37 = 40

7 + 33 = 40

5 + 35 = 40

9 + 31 = 40

………

=> Nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào được các cặp số có tổng là 40.
Số cặp số là: 18 : 2 = 9 (cặp số)
Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1 + 40 x 9 = 361
Bài 2: Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n.
HD:

Tổng S = 1 + 2 + 3 + ….+ n
Số các số hạng = n
Ta có:

S

 n  1 .n
2

Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + …+ 98,99 + 100
21

HD:
d = 11,12 – 10,11 = 12,13 – 11,12 = … = 1,01
Tổng này có (100 – 10,11) : 1,01 + 1 = 90 số hạng
E = 90.(10,11 + 100) : 2 = 4954,95
1
3
5
19
 1   2   ....  9 
2
2

2 .
Bài 4: Tính tổng S = 2

HD:
1
Các số hạng trong dãy cách đều nhau một giá trị d = 2

n=

 a n  a1  : d  1

19 1 �1

�
: 1
�  �
= �2 2 �2
= 19 số hạng

19 1 �
�
19. �  �
:2
2
2

�
�
S=
= 95

Bài 5: Tính tổng S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ….+ 100
HD:
Các số hạng cách đều nhau một giá trị d = 1
Tổng này có 100 số hạng
S = 100.(100 + 1) : 2 = 5050
Bài 6: Tính tổng S = 2 + 5 + 8 + 11 + …+ 47 + 50
HD:

Các số hạng cách đều nhau một giá trị d = 3
Tổng này có (50 – 2): 3 + 1 = 17 số hạng
S = 17.(50 + 2) : 2 = 442
Bài 7: Tính tổng: S = 5 + 10 + 15 + 20 + …+ 100
HD:
Các số hạng cách đều nhau một giá trị d = 5
Tổng này có (100 – 5): 5 + 1 = 20 số hạng
S = 20.(100 + 5) : 2 = 1050

1
1
1

1  (1  2)  (1  2  3)  ...  (1  2  ...  20)
3
20
Bài 8: Tính tổng: D = 2
HD:
1 2.3 1 3.4
1 20.21
3 4 5
21
D  1 .
 .
 ...  .

 1     ... 
2 2 3 2
20 2
2 2 2
2
Ta có:
1
1
  2  3  4  ...  20  21  .230  115
2
2

22


1
1
1
F  1  (1  2)  (1  2  3)  ... 
(1  2  ...  2016)
2
3
2016
Bài 9: Tính tổng:

HD:
1 2.3 1 3.4
1 2016.2017
F  1 .
 .
 .... 
.
2 2 3 2
2016
2
Ta có:
2 1 3 1 4 1

2016  1
1 1
1 2  3  4  ...  2016
F  1


 ... 
 1    ...  
2
2
2
2

2 2
2
2
1
2018.2015
2015.2019
F  1  .2015 
 1
2
2
2
1

1
1
1   1  2    1  2  3  ...   1  2  ...  16 
3
16
Bài 10: Tính: 2
HD:

1 2.3 1 3.4
1 16.17
F  1 .
 .

 ....  .
2 2 3 2
16 2
Ta có:
2 1 3 1 4 1
16  1
1 1
1 2  3  4  ...  16
F  1


 ... 

 1    ...  
2
2
2
2
2 2
2
2
1
1
1
G  1  (1  2)  (1  2  3)  ... 

(1  2  ...  100)
2
3
100
Bài 11: Tính tổng:
HD:

1  1  2  .2 1  1  3 .3
1  1  100  .100
G  1 .
 .
 ... 

.
2
2
3
2
100
2
Ta có:
2 1 3 1 4 1
100  1
1 1
1 2  3  4  ...  100

G  1


 ... 
 1    ...  
2
2
2
2
2 2
2
2

1 3.2 1 4.3
1 501.500
H  1 .
 .
 ... 
.
2 2 3 2
500
2
Bài 12: Tính tổng:

HD:

3 4 5
501
3  4  5  ...  501
H  1     ... 
 1
2 2 2
2
2
Ta có:
1
1

1

 ... 
1  2  ...  59
Bài 13: Tính: 1  2  3 1  2  3  4
HD:
1
1
1
1



 ... 
 1  3 .3  1  4  .4  1  5 .5
 1  59  .59
2
2
2
2
Ta có:=
2
2
2
2

1
1
1 � �1 1 � �
19 � 19
�1



 ... 
 2� 

 ... 

� 2 �  � 2 � �
3.4 4.5 5.6
59.60
59.60 � �3 60 � �60 � 30
�3.4 4.5 5.6

Bài 14: Tính:
HD:

50 

50 25 20 10 100

100
1
   
 ... 

3 3 4 3 6.7
98.99 99

100 100
100
100 �
� 50 25 20 10 � �

A�
50  

 � � 
 ... 

�
3
3
4
3 � �6.7 7.8
98.99 99.100 �

�
Ta có:
1
1
1
1 �
1
1 �
�1
�1
A  100 � 




 100 � 
 ... 
�
�
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 �
99.100 �
�
�6.7 7.8
23

1
1
1 �
�1
� 1 �
A  100 � 

 ... 
1
� 100. �
� 99

1.2 2.3 3.4
99.100 �
�
� 100 �

24


Dạng 7: TÍNH TÍCH
Bài 1: Tính tích
2 2 32 42
202

.
.
...
a, A= 1.3 2.4 3.5 19.21
HD:

12 22 32
102
.
.
...
b, B= 1.2 2.3 3.4 10.11

A

2.2 3.3 4.4 20.20  2.3.4...20   2.3.4...20  20.2 40
.
.
....



1.3 2.4 3.5 19.21  1.2.3....19   3.4.5...21
21

21

B

1.1 2.2 3.3 10.10  1.2.3....10   1.2.3...10  1
.
.
....


1.2 2.3 3.4 10.11  1.2.3...10   2.3.4...11 11

a, Ta có:
b, Ta có:

1
1
1
� 1 �
�
�
�
��
�

1
1
1
... �
1
�
�
�
�
�
�
�

� 1 2  3 �
� 1  2  3  4 � � 1  2  3  ...  2016 �
Bài 2: Tính tổng C = � 1  2 �
HD:
�
��
��
� �
�
�
��
��

� �
�
1
1
1
1
C �
1
.�
1
.�
1

.... �
1
�
�
�
�
�  1  2  .2 ��  1  3 .3 ��  1  4  .4 � �  1  2016  .2016 �
�
��
��
� �
�

�
2
��
2
��
2
� �
2
�
Ta có:

2 5 9

2017.2016  2 4 10 18 2016.2017  2
 . . .....
 . . ....
3 6 10
2016.2017
6 12 20
2016.2017
1.4 2.5 3.6 2015.2018 1004
C
. . ....

2.3 3.4 4.5 2016.2017 3009

�1 1 �
�1 1 �
�1 1 � �1 1 �
... �  �
� �
� �
� �
2
3
2
5

2
7
�
�
�
�
�
�
�2 99 �
Bài 3: Tính: A =
HD:

A
Ta có:

 1.3.5....97   1
1 3 5
97
. . ....
 49
2.3 2.5 2.7 2.99 2 .  3.5.7...99  249.99

� 1999 �
� 1999 � � 1999 �

1
1
... �
1
�
�
�
�
�
� 1 �
� 2 � � 1000 �
� 1000 �

� 1000 � � 1000 �
1
1
... �
1
�
�
�
�
�
1
2

1999 �
�
�
�
�
�
Bài 4: Tính:
HD:
1001 1002 1003 2999 �
�2000 2001 2002 2999 ��
A�
.

.
...
:
.
.
....
��
�
1
2
3
1000

1
2
3
1999 �
�
��
Ta có:
�2000.2001.2002...2999 �� 1.2.3...1999 � 1001.1002....1999
A�
.�
1
�

�
1001.1002....2999 � 1001.1002...1999
� 1.2.3.4...1000
��
� 1�
� 1�
� 1 �� 1 �
1 �
1 �
1 �
... �
1

�
�
�
�
� 9�
� 16 � � 400 �
Bài 5: Tính: � 4 �

HD:

 1.2.3...19   3.4.5...21
3 8 15 399 1.3 2.4 3.5 19.21

21 21
 . . ....

. . ...

4 9 16 400 2.2 3.3 4.4 20.20  2.3.4...20   2.3.4.5...20   20.2  40
Ta có:

25