CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: GÓC

CHỦ ĐỀ 22: GÓC – BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I - NỬA MẶT PHẲNG
1/ Hình gồm đường thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a được gọi là một nửa
mặt phẳng bờ a .
Nhận xét: bất kỳ đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa
mặt phẳng đối nhau.

y

2/ Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy , nếu tia Oz

B•

cắt đoạn thẳng AB tại điểm M nằm giữa A và

z

•
M

B ( A Î Ox, B Î Oy; A và B khác O )

O•

Nhận xét: Nếu hai tia Ox và Oy đối nhau
thì mọi tia Oz khác Ox , Oy đều nằm giữa hai tia

•

A

x

Ox , Oy .

3/ Hai điểm A và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a thì đoạn thẳng AB không cắt a
4/ Hai điểm A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a thì đoạn thẳng AC cắt d tại
điểm M nằm giữa A và C .

B•

A•

M
•

d

•

C

II - GÓC, SỐ ĐO GÓC. CỘNG SỐ ĐO HAI GÓC
1/ Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau
·
xOy
có hai tai chung gốc là Ox và Oy

tia Ox là tia đối của tia Oy

y

O•

·
Góc bẹt xOy
có

x

y

O
•

x


2/ Mỗi góc có một số đo dương. Số đo của góc bẹt là 1800 . Số đo của mỗi góc không vượt
qua 1800 .
3/ So sánh góc.
µA = B
µ Û A
µ và B
µ cùng số đo
µA < B
µ Û số đo µA < số đo B
µ
µA > B
µ Û số đo µA > số đo B

µ

4/ Các loại góc:
0
0
00 < góc nhọn < góc vuông (90 ) < góc tù < bẹt (180 )

5/ Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt
phẳng đối nhau có bờ là cạnh chung.
6/ Góc phụ. Góc bù
µ Û A
µ +B
µ = 900
µA phụ với B
µ Û A
µ +B
µ = 1800
µA bù với B

Hai góc vừa kề vừa bù gọi là hai góc kề bù.
Hai góc kề bù có tổng bằng 1800 và hai cạnh ngoài là hai tia đối nhau
·
·
7/ Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì xOy
+ ·yOz = xOz
·
·
+ ·yOz = xOz
Ngược lại, nếu xOy
thì Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

·
·
Nếu xOy
+ ·yOz ¹ xOz
thì Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz .

Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz ; tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz thì:
·
· = xOz
·
xOy
+ ·yOt + tOz
.

8/ Hai góc AOB và AOC là hai góc kề, tia OA¢ là tia đối của OA
B
A′

O
•

A
•

C

- Nếu ·AOB + ·AOC <1800 thì tia OA nằm giữa hai tia OB và OC
- Nếu ·AOB + ·AOC >1800 thì tia OA¢ nằm giữa hai tia OB và OC .

III - VẼ GÓC CHO BIẾT SỐ ĐO
1/ Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox , bao giờ cũng vẽ được 1 và chỉ 1 tia
z

·
Oy sao cho xOy
= m (độ).

y

O
•

x
·
·
2/ Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứ tia Ox , có xOy
= m 0 , xOz
= n 0 ; nếu m < n thì tia Oy

nằm giữa hai tia Ox, Oz .
·
·
· = p 0 . Nếu m < n
3/ Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox , có xOy
= m0 , xOz
= n 0 ; xOt

thì Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot .
t

z

y

O•

x

IV - TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
1/ Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai
góc bằng nhau

z

y

O
•
x

·

xOy
·
·
2/ Nếu tia Oz là tia phân giác của góc xOy thì: xOz
= zOy
=
.
2

·

xOy
·
=
3/ Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy và xOz
tia Oz là tia phân giác của góc xOy .
2


4/ Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó. Mỗi
góc có một đường phân giác duy nhất.
- Ba cạnh: AB, BC , AC
- Ba góc: µA, Bµ , Cµ
3/ Nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của một tam giác và cắt một cạnh của tam
giác ấy thì nó cắt một và chỉ một trong hai cạnh còn lại.
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH SỐ GÓC TẠO THÀNH TỪ CÁC ĐIỂM (HOẶC TỪ CÁC TIA)
CHO TRƯỚC.
* Nếu có n tia chung gốc thì số góc tạo thành là

n(n - 1)
góc
2

Giải thích:
- Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc.
- Xét 1 tia, tia đó cùng với n - 1 tia còn lại tạo thành n - 1 góc.
- Làm như vậy với n tia ta được n.(n-1) góc.

- Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần do đó có tất cả

n(n - 1)
góc
2

Bài tập 1: Cho 10 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm đó với
nhau. Hỏi tất cả có bao nhiêu góc tạo thành (có đỉnh là các điểm đã cho) ?
Hướng dẫn
Giả sử có 10 điểm A1, A2,…A10 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
* Xét đoạn thẳng A1A2
Nối A1 với 8 điểm còn lại ta được 8 góc có đỉnh là A1
Nối A2 với 8 điểm còn lại ta được 8 góc có đỉnh là A2
Vậy với đoạn thẳng A1A2 ta được 16 góc
Mà ở đây có tổng cộng

10.9
= 45 đoạn thẳng do đó có 45. 16 góc.
2

Nhưng nếu vậy mỗi góc đã được tính hai lần. Vậy số gúc là

1045.16
= 360 góc.
2


Bài tập 2: Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006
tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?
Hướng dẫn

Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành
2009 góc. Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009 góc
Nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần .
Vậy có tất cả

2010.2009
= 2 019 045 góc
2

Bài tập 3: Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác
của các góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. Cần vẽ thêm bao nhiêu tia
phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300
góc.
Hướng dẫn
Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong
hình để tạo thành tất cả 300 góc.
Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6
Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn
lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên
tạo thành:
(n + 5)(n + 6) góc
Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi
góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là:

(n

+ 5) ( n + 6 )
góc
2

Vì có 300 góc được tạo thành nên:
24.25
⇔ n + 5 = 24 ⇔ n = 19

(n

+ 5) ( n + 6 )
= 300 ⇔ (n + 5)(n + 6) = 600 =
2


Bài tập 4: Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox 1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho:
·
·
·
·
·
·
·
·
xOx
2 = 2xOx1 ; xOx 3 = 3xOx1 ; xOx 4 = 4xOx 1 ; ...; xOx n = nxOx1 . Tìm số n nhỏ nhất để trong

các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc.
Hướng dẫn
·
·
Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: xOx
2 = 2xOx1 ;
· 3 = 3xOx

·
·
·
·
·
xOx
1 ; xOx 4 = 4xOx 1 ; ...; xOx n = nxOx1
· 1 = x· Ox = x· Ox = ... = x· Ox
⇒ xOx
1
2
2
3
n −1
n

Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó Ox 2017 là tia phân giác chung của 2017
·
·
·
·
góc: xOx
4034 = x1Ox 4033 = x 2 Ox 4032 = ... = x 2016 Ox 2018

Bài tập 5: Cho n tia chung gốc O: Ox1,Ox2,..., Oxn cùng nằm trong một nửa mặt phẳng bờ
chứa tia Ox1. Có tất cả bao nhiêu góc được tạo thành?
Hướng dẫn
Số góc có được từ n tia chung gốc là:

n(n − 1)

2

Bài tập 6: Cho n tia chung gốc tạo thành tất cả 190 góc. Tính n ?
Hướng dẫn
n(n - 1)
= 190 được n bằng 20 .
2

Bài tập 7:
a) Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ? Vì sao?
b) Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ.
Hướng dẫn
a) Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 5 tia còn lại
tạo thành 5 góc. Làm như vậy với 6 tia ta được 5.6 góc. Nhưng mỗi góc đã được tính 2
lần do đó có tất cả là

5.6
= 15 góc.
2

b) Từ câu a suy ra tổng quát. Với n tia chung gốc có

æn - 1÷
ö
nç
÷
(góc).
ç
÷
ç

è 2 ø


DẠNG 2: BÀI TẬP LIÊN QUAN TỚI TÍNH ĐO GÓC.
* Cho biết tia phân giác tính số đo góc
* Cho biết số đo góc chứng minh một tia là phân giác của góc
* Chứng minh góc bằng nhau, so sánh hai góc.
* Dựa vào việc tính số đo góc chỉ ra hai góc kề bù, hai tia đối nhau.
Bài tập 1: Vẽ 2 góc kề bù xÔy và yÔx’ , biết xÔy = 700. Gọi Ot là tia phân giác của xÔy,
Ot’ là tia phân giác của x’Ôy. Tính yÔx’; tÔt’; xÔt’
Hướng dẫn
HD: Ta có xÔy và yÔx’ là 2 góc kề bù
⇒ xÔy + yÔx’ = 1800
⇒ yÔx’= 1800 – 700 = 1100
y

Vì Ot’ là tia phân giác của yÔx’
1
1
⇒ t’Ôx’ = tÔy = yÔx’ = .1100 = 550
2
2

Vì Ot là tia phân giác của xÔy
1
1
⇒ xÔt = tÔy = xÔy = .700= 350
2
2

t'

t
700
x

O

x'

Vì Ox và Ox’ đối nhau
⇒ Ot và Ot’ nằm giữa Ox và Ox’ ⇒ xÔt + tÔt’ + t’Ôx’= 1800
⇒ tÔt’ = 1800 – 350 – 550 = 900

xÔt’ và t’Ôx’ là 2 góc kề bù ⇒ xÔt’ + t’Ôx’ = 1800 ⇒ xÔt’ = 1800 – 550 = 1250
Bài tập 2: Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng năm lần góc
AOB.
a) Tính số đo mỗi góc.
b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD.
c)* Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia
phân biệt (không trùng với các tia OA; OB; OC; OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?
Hướng dẫn
a) Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên:


·
·
+ BOC
=1800
AOB

B

D

·
·
·
mà BOC
= 5 AOB
nên: 6 AOB
= 1800
Do đó:

C
A

O

·
·
= 1800 : 6 = 300; BOC
= 5. 300 = 1500
AOB
1
·
·
·
b)Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên BOD
= DOC

= BOC
= 750.
2

·
·
·
·
Vì góc DOA
và góc DOC
là hai góc kề bù nên: DOA
+ DOC
=1800
·
·
Do đó DOA
=1800 - DOC
= 1800- 750 = 1050
c) Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia còn
lại thành n+3 góc. Có n+4 tia nên tạo thành (n + 4)(n + 3) góc, nhưng như thế mỗi góc
được tính hai lần . Vậy có tất cả
Bài tập 3: Cho hai góc kề bù

(n + 4)(n + 3)
góc
2

·
xOy

và

·yOz . Biết xOy
·
= 620 . Om là tia phân giác của

góc xOy; On là tia phân giác của góc yOz

·
·
·
a/ Tính số đo góc xOm
và mOy
; ·yOn và nOz
b/ Tính số đo các góc

·
·
và xOn
mOz

·
c/ Tính số đo góc mOn
Rồi rút ra nhận xét
Hướng dẫn
·
·
a/ Ta có : xOy
= 1800 − 620 = 1180
+ ·yOz = 1800 ( kề bù ) ⇒ ·yOz = 1800 − xOy

·
Vì Om là phân giác của xOy
nên ta có

·
xOy
620
·xOm = mOy
·
=
=
= 310
2
2
Vì On là phân giác của ·yOz nên ta có

·yOz 1180
·yOn = nOz
·
=
=
= 590
2
2


·
·
b/ Vì xOy
và ·yOz là hai góc kề bù và Om là phân giác của xOy

On là phân giác của ·yOz nên tia Oy nằm gữa các tia
Om và Oz ; Ox và On ; Om và On
+ Oy Nằm giữa Om và Oz . Ta có

·
·
·
mOy
+ ·yOz = mOz
⇒ mOz
= 310 + 1180 = 1490
+ Oy nằm giữa Ox và On . Ta có

·
·
·
xOy
+ ·yOn = xOn
⇒ xOn
= 620 + 590 = 1210
c/ Vì Oy nằm giữa Om và On nên ta có
·
·
·
mOy
+ ·yOn = mOn
⇒ mOn
= 310 + 590 = 90 0

Nhận xét : Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì tạo thành một góc vuông
Bài tập 4: Cho góc ·AOB = 1100 , tia OC nằm trong góc đó. Gọi OM , ON theo thứ tự là các
·
tia phân giác của các góc AOC , BOC . Tính MON
?

Hướng dẫn
·AOC COB
·
·AOC + COB
·
·AOB 1100
·
·
·
MON
= MOC
+ CON
=
+
=
=
=
= 550
2
2
2
2
2

Bài tập 5: Cho góc ·AOB = 1000 và OC là tia phân giác của góc đó. Trong góc ·AOB vẽ các
·
·
tia OA, OE sao cho ·AOD = BOE
.
= 200 . Chứng tỏ rằng tia OC là tia phân giác của góc DOE

Hướng dẫn
·
·
Chứng tỏ rằng COD
= COE
= 300 .

Bài tập 6: Cho góc tù xOy . Bên trong góc xOy , vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và
vẽ tia On sao cho góc yOn bằng 900 .
a) Chứng minh góc xOn bằng góc yOm .
b) Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy . Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của góc
mOn .

Hướng dẫn
a) Lập luận được:


·
·
·
·
·
xOm

+ mOy
= xOy
= xOy
hay 900 + mOy
·yOn + nOx
·
·
·
·
·
= xOy
hay 900 + nOx
= xOy
Þ xOn
= ·yOm

b) Lập luận được:

· = tOy
·
xOt
· = xOn
·
·
xOt
+ nOt
· = ·yOm + mOt
·
tOy

· = mOt
·
Þ nOt
Þ Ot là tia phân giác của góc mOn .

Bài tập 7: Trên đường thẳng xx ¢ lấy một điểm O . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường
thẳng xx ¢ vẽ 3 tia Oy, Ot , Oz sao cho góc x ¢Oy = 400 ; xOt = 970 ; xOz = 540 .
a) Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz .
b) Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy .
Hướng dẫn

a) Theo đề bài ta có x ¢Ox = 1800 mà góc x ¢Oy và góc yOx kề bù. Mà góc x ¢Oy = 400 Þ
góc yOx = 1800 - 400 = 1400 . Suy ra góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox và
Oy . Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox . Vậy tia Ot nằm giữa

hai tia Oz và Oy .
b) Theo câu a) ta có tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy Þ Góc zOt + góc tOy = góc
zOy .

Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy
Þ Góc xOt + góc tOy = góc xOy

Hay góc tOy = 430 (vì góc xOt = 970 và góc xOy = 540 ).


Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot
=> Góc xOz + góc zOt = góc xOt
Hay góc zOt = 430 (vì góc xOt = 970 và xOy = 540 )
Suy ra góc tOy = góc zOt = 430 .
Vậy tia Ot là tia phân giác của góc zOy .

Bài tập 8: Cho tia Ox . Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox . Vẽ hai tia Oy và Oz
sao cho góc xOy và xOz bằng 1200 . Chứng minh rằng:
a) Góc xOy = góc xOz = góc yOz .
b) Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại.
Hướng dẫn
a) Ta có: góc x ¢Oy = 600 , góc x ¢Oz = 600 và tia Ox ¢ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên góc
yOz = yOx ¢+ x ¢Oz = 1200 .

Vậy góc xOy = góc xOz = góc yOz
b) Do tia Ox ¢ nằm giữa hai tia Oy, Oz và góc x ¢Oy = góc x ¢Oz nên Ox ¢ là tia phân giác
của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz . Tương tự tia Oy ¢ (tia đối của Oy ) và tia Oz ¢ (tia đối của tia
Oz ) là phân giác của góc xOz và xOy .

Bài tập 9: Cho góc AOB = 1350 , C là một điểm nằm trong góc AOB biết góc BOC = 900 .
a) Tính góc AOC .
b) Gọi OD là tia đối của tia OC . So sánh hai góc AOD và BOD .
Hướng dẫn
a) Theo giả thiết C nằm trong góc AOB nên tia OC
nằm giữa hai tia OB và OA
Þ góc AOC + góc BOC = góc AOB
Þ

góc

AOC =

góc

AOB -

góc

BOC Þ

góc

AOC = 1350 - 900 = 450

b) Vì OD là tia đối của tia OC nên C , O, D thẳng
hàng. Do đó góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù).
Þ góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 = 1350


Góc BOD = 1800 - 900 = 900
Vậy góc AOD > góc BOD .
Bài tập 10: Cho tam giác ABC và BC = 5cm . Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho
CM = 3cm

a) Tính độ dài BM
b) Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 . Tính góc CAM .
c) Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của góc BAC và CAM . Tính góc xAy .
d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1cm . Tính độ dài BK .
Hướng dẫn
a) M , B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM
Þ C nằm giữa B và M
Þ BM = BC + CM = 8(cm)

b) C nằm giữa B, M
=> Tia AC nằm giữa tia AB, AM
·

·
·
Þ CAM
= BAM
- BAC
= 200
1·
1·
1 ·
1·
1
· = xAC
·
·
·
+ CAy
= BAC
+ CAM
= ( BAC
+ CAM
) = BAM
= .800 = 400 .
c) Có xAy
2

2

2

2

2

d)
- Nếu K Î tia CM Þ C nằm giữa B và K1 Þ BK1 = BC + CK1 = 6(cm)
- Nếu K Î tia CB Þ K 2 nằm giữa B và C Þ BK 2 = BC = CK 2 = 4(cm) .
Bài tập 11: Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trên tia Oy lấy
hai điểm M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm.
a) Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn
thẳng AB.

t

b) Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho tOy = 1300, zOy = 300. Tính số đo tOz.
Hướng dẫn

z

x

A

O

M

y

B

z'


a) Trên tia Oy ta có OM = 1 cm < OB = 4 cm
Vậy M là điểm nằm giữa O và B
Do M nằm giữa O và B ta có OM + MB = OB
=> MB = OB – OM = 4 – 1 = 3
Do A thuộc tia Ox M thuộc tia Oy nên O nằm giữa hai điểm A và M
=> OM + OA = MA => MA = 2 + 1 = 3 cm
Mặt khác do A, B nằm trên hai tia đối nhau, M lại nằm giữa O và B
=> M nằm giữa A và B
Vậy M là trung điểm của AB
b)
TH1: Tia Ot và tia Oz trên cùng một nữa mặt phẳng
·
·
Do yOt
= 1030 , yOz
= 300 suy ra tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy.
·
·
·
Ta có tOz
= tOy
– yOz
= 1300 – 300 = 1000

TH2: Tia Ot và tia Oz không nằm trên cùng một nữa mặt phẳng bờ là xy
=> tia Oy nằm giữa hai tia Ot và Oz
·

·
·
Ta có tOz
= tOy
+ yOz
= 1300 + 300 = 1600

Bài tập 12: Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy
điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.
a) Tính BD.
·
·
·
b) Biết BCD
.
= 850, BCA
= 500. TínhACD

c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK.
Hướng dẫn


y
C

D

A

B

x

a) Tính BD
Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax
⇒ A nằm giữa D và B
⇒ BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 (cm)
·
·
·
b) Biết BCD
= 850, BCA
= 500. Tính ACD

Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD
·
·
·
=> ACD
+ BCA
= BCD
·
·
·
=> ACD
= BCD
- BCA
= 850 - 500 = 350

c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK

* Trường hợp 1: K thuộc tia Ax
- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B
- Suy ra: AK + KB = AB ⇒ KB = AB – AK = 5 – 1 = 4 (cm)

* Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax
- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B
- Suy ra: KB = KA + AB ⇒ KB = 5 + 1 = 6 (cm)

* Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 6 cm
Bài tập 13: Cho góc xBy = 550.Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C (A ≠ B, C ≠
B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho góc ABD = 300
a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm


b/ Tính số đo góc DBC
c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho góc DBz = 900. Tính số đo ABz.
Hướng dẫn
TH1

TH2

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C:
AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm
b) Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
Ta có đẳng thức:
·
·
·
·
·

·
ABC
= ABD
+ DBC
=> DBC
= ABC
− ABD
= 55o − 30o = 25o

c) Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia
BA nằm giữa hai tiaBz và BD
·
·
Tính được ABz
= 90o − ABD
= 90o − 30o = 60o

- Trường hợp 2:Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD
nằm giữa hai tia Bz và BA
·
·
Tính được ABz
= 90o + ABD
= 90o + 30o = 120o

Bài tập 14: Trên đường thẳng x ' x lấy điểm O tuỳ ý. Vẽ hai tia Oy và Oz nằm trên cùng
· .
·
một nửa mặt phẳng có bờ x ' x sao cho: xOz

= 400, x· ' Oy = 3.xOz
a) Trong ba tia Ox, Oy, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại ?
z,

y
· '?
b) Gọi Oz ' là tia phân giác của góc x· ' Oy . Tính góc zOz
z

Hướng dẫn
x,

400
O

x


·
a) Theo bài ra: x· ' Oy = 3. xOz
nên: x· ' Oy = 3.400 = 1200
·
Hai góc xOy
và x· ' Oy là 2 góc kề bù nên
·
= 1800 - x· ' Oy = 1800 -1200 = 600
xOy
Hai tia Oy, Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia x’x
·
·

lại có xOz
nhỏ hơn xOy
nên tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy
·
·
·
Ta có: xOz
+ zOy
= xOy
·
·
·
Hay zOy
= xOy
- ∠xOz
= 600 - 400 = 200
1
1
Mà ·yOz ' = . x· ' Oy = . 1200 = 600 (Oz, là tia phân giác x· ' Oy )
2

2

· ' = ·yOz ' + ·yOz = 600 + 200 = 800
Vậy: zOz
Bài tập 15: Cho tam giác ABC có BC = 6cm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho
BD bằng 3cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính độ dài đoạn thẳng BM.
c) Biết góc DAC = 120O. Vẽ Ax và Ay lần lượt là các tia phân giác của góc BAC và

góc BAD. Tính số đo góc xAy.
d) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm D, nếu vẽ thêm n tia
gốc A phân biệt không trùng với các tia AB, AC, Ax thì có tất cả bao nhiêu góc đỉnh A
được tạo thành?
Hướng dẫn


a) Vì điểm D thuộc tia đối của tia BC nên điểm B nằm giữa hai điểm C và D, ta có:
CD = BC+ BD = 6+3 = 9 (cm)
b) Vì M là trung điểm của đoạn CD nên
CM = MD = CD: 2= 4,5 (cm)
CM < CB nên điểm M nằm giữa hai điểm C và B
Ta có: BC= BM + CM ⇒ BM = BC- CM= 6 – 4,5 =1,5 (cm)
1·
c) Vì Ax là tia phân giác của góc BAC nên ·xAB = BAC
2

1·
Vì Ay là tia phân giác của góc BAD nên ·yAB = BAD
2

Vì điểm B nằm giữa hai điểm C và D nên tia AB nằm giữa hai tia AC và AD
·
·
·
⇒ BAC
= DAC
=1200.
+ BAD

Vì Ax là tia phân giác của góc BAC, Ay là tia phân giác của góc BAD
=> tia AB nằm giữa hai tia Ax, Ay
1·
1·
1 ·
1·
·
·
·
·
⇒ xAy
= xAB
+ BAy
= BAC
+ BAD
= = ( BAC
+ BAD
) = DAC
= 600
2
2
2
2

d) Ta có n + 3 tia gốc A phân biệt (kể cả các tia AB, AC, Ax)
Mỗi tia trong n + 3 tia hợp với n + 2 tia còn lại một góc. Có n + 3 tia như vậy nên có
tất cả (n + 3)(n + 2) góc. Tính như thế mỗi góc đã được tính hai lần nên có tất cả (n + 3)(n
+ 2): 2 góc đỉnh A
Bài tập 16: Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác
của các góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om.

a) Tính số đo góc mOn
· 'Oz = 300
b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết m

Hướng dẫn
·
·
·
·
a) Vì xOy
kề bù với zOy
nên: xOy
+ zOy
= 1800
·
Vì tia Om là tia phân giác của xOy
nên:
1·
·
mOy
= xOy
2


·
Vì tia On là tia phân giác của zOy
nên:
1·
·
nOy

= zOy
2
·
·
Vì xOy
kề bù với zOy
nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân
·
·
giác của xOy
và tia On là tia phân giác của zOy
nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi

đó:
·
·
·
mOy
+ yOn
= mOn
⇔

1·
1·
·
xOy + zOy
= mOn
2
2

⇔

1 ·
·
·
xOy + zOy
= mOn
2

⇔

1
·
.1800 = mOn
2

(

)

·
⇔ mOn
= 900
· 'Oz kề bù với zOm
·
b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó m
· 'Oz + zOm
·
⇒ m
= 1800

⇔
⇔

300

·
+ zOm
= 1800
·
= 1500
zOm

·
·
Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó zOm
kề bù với mOx
·
·
⇒ zOm
+ mOx
= 1800
·
⇔ 1500 + mOx
= 1800
⇔

·
= 300
mOx

·
·
·
Vì tia Om là tia phân giác của xOy
nên: mOy
= mOx
= 300
·
·
'
Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó yOm
kề bù với yOm
·
·
⇒ yOm
+ yOm
' = 1800
·
⇔ 300 + yOm
' = 1800
⇔

·
yOm
' = 1500


Bài tập 17: Cho góc xOy . Vẽ tia Oz là tia phân giác của góc xOy . Vẽ tia Ot là tia phân
giác của góc xOz . Vẽ tia Om là tia phân giác của góc xOt .
a) Giả sử góc xOm = 120 . Hãy tính số đo góc xOy ?

b) Tính giá trị lớn nhất của góc xOm ?
Hướng dẫn
a) Tính được: xOy = 8.xOm = 8.120 = 960
b)Vì xOy = 8.xOm , nên xOm có giá trị lớn nhất khi
xOy = 1800 ⇒ xOm = 22,50
Bài tập 18: Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d. Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C
sao cho AB = 6cm, AC= 2cm.
a) Tính BC.
·
·
b) Giả sử cho OAB
.
= 80o , tính OAC
c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C). Hỏi có bao nhiêu
góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d.
Hướng dẫn

a) Tính BC.
Vì A, B, C thuộc đường thẳng d và AB > AC nên xảy ra 2 trường hợp
TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)
⇒AB = AC + CB ⇒ BC = AB – AC = 6cm – 2cm = 4cm
TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)
⇒ BC = AC + AB = 6cm + 2cm = 8cm
Vậy BC = 4cm hoặc BC = 8cm


·
b) Tính OAC
.
TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)

·
·
Tia AC và tia AB trùng nhau ⇒OAC
= OAB
= 80o
TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)

·
·
·
·
Tia AC và tia AB đối nhau ⇒OAC;
là hai góc kề bù ⇒OAC
OAB
+ OAB
= 180o
·
·
Suy ra: OAC
= 180o − OAB
= 180 o − 80o = 100o

·
·
Vậy OAC
= 80o hoặc OAC
= 100o
c)
+) Trên đường thẳng d có 2018 điểm phân biệt

+) Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được một góc đỉnh O.
Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O.
Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là :

2018.2017
= 2035153 (góc)
2
Vậy có 2035153 góc đỉnh O
Bài tập 19: Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho
·
·
·
AOB
= 1200 , AOC
= 800 . Gọi OM là tia phân giác của BOC
.
·
a) Tính AOM
.
·
b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của CON
.

Hướng dẫn
·
·
a) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có AOC
< AOB
(800 < 1200)

Þ Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB
·
·
·
·
·
Þ AOC
+ BOC
= AOB
⇒ 800 + BOC
= 1200 ⇒ BOC
= 400
·

BOC 40
·
·
·
⇒ BOM
= COM
=
=
= 200
Vì OM là tia phân giác của BOC
2

2

·
·

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OB có BOM
< BOA


(200< 1200) nên tia OM nằm giữa hai tia OA và OB
·
·
·
⇒ BOM
+ MOA
= AOB
·
·
=> 200 + MOA
= 1200 ⇒ MOA
= 1000
·
·
b) Vì OM và ON là hai tia đối nhau nên hai góc AOM
và AON
là hai góc kề bù.
·
·
⇒ AOM
+ AON
= 1800
·
·
⇒ 1000 + AON
= 1800 ⇒ AON

= 800
·
·
Suy ra AOC
( vì cùng bằng 800)
= AON

(1)

Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia OA nên tia OA
nằm giữa hai tia OM và ON

(2)

·
Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của CON

Bài tập 20: Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của
tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM.
a) Tính BN khi BM = 2cm.
b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao
·
·
·
·
cho BAx
= 400 , BAy
= 1100 . Tính yAx,
NAy
.

y

c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng
x

AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất.
Hướng dẫn
a) Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB
Þ AM + 2 = 5 ⇒ AM = 3 cm

400

N

)

M

A

Có AN = AM ⇒ AN = 3 cm
Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B
BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm
·
·
< BAy
(400 < 1100 )
b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: BAx
·

·
·
Þ Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có: BAx
+ xAy
= BAy
·
·
= 1100 Þ xAy
= 1100 - 400 = 700
hay 400 + xAy

B


·
·
+ Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có BAy
và NAy
là hai góc kề bù .
·
·
Þ BAy
+ NAy
= 1800
·
·
=1800 Þ NAy
= 1800 - 1100 = 700
hay 1100 + NAy

c) Vì BN = AB + AN = 5 + AN
Suy ra BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất
Mà AN = AM ⇒ BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất
Có AM ≤ AB ⇒ AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B.
Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất.