D02 bài tập áp dụng bất đẳng thức cauchy muc do 3

Câu 44: [0D4-1.2-3] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hai số
thực x  0 , y  0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:  x  y  xy  x 2  y 2  xy . Giá trị lớn nhất của biểu
thức: M 

1
x3



1
y3

là:
C. 16 .
Lời giải

B. 18 .

A. 9 .

D. 1 .

Chọn C
Ta có:  x  y  xy  x 2  y 2 - xy   x  y  xy   x  y   3xy (1)
2

  x  y  3 xy   x  y   xy 
2

 x  y 2
x y3

(vì nếu x  y  3 thì 0  9 vô lý)

t2
.
t 3
Dễ thấy t  0 vì nếu t  0 thì từ (1) cho ta x  y  0 trái giả thiết.

Đặt x  y  t suy ra xy 

2
t  1
t2
t2
1
1
 x y
Mặt khác: xy  
.

 (Vì t  0 nên t 2  0 )  



t 3 4
t 3 4
 2 
t  3

Khi đó M 

1
x3



1
y3



x3  y 3
x3 y 3

3
x  y   3xy  x  y 



x3 y 3



t 2  6t  9
t2

.

t 2  6t  9
Xét hàm số f  t  

trên khoảng  ; 3  1;  
t2
6t  18
f  t  
, f   t   0  t  3 .
t3
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là 16 , đạt được khi t  1  x  y 
Câu 26. [0D4-1.2-3] Cho a, b  0 và ab  a  b . Mệnh đề nào đúng?
A. a  b  4.

C. a  b  4.
Lời giải

B. a  b  4.

D. a  b  4.

Chọn B
2
 ab 
 ab 
Vì a, b  0 , ta có a  b  ab  
  ab  
  4  a  b    a  b  (*).
 2 
 2 
Lại có a, b  0 nên chia hai vế của (*) cho a  b  0 , ta được a  b  4 .
2

Câu 34. [0D4-1.2-3] cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức

2

1
.
2


 a  b  c 
I) 1  1  1    8
 b  c  a 
2
 2
 2

II)   b  c   c  a   a  b   64
a
 b
 c

III) a  b  c  abc
Chọn khẳng định đúng.
A. Chỉ I) đúng.
B. Chỉ II) đúng.

C. Chỉ I) và II) đúng. D. Cả I), II), III) đúng.
Lời giải

Chọn C
 a  b  c  b  a c  b a  c 2 ba 2 cb 2 ac



 8 nên I) đúng .
.
.
1  1  1   
b
c
a
b
c
a
 b  c  a 
Lại có

4
2
2
bc
,
 b  c   2 bc  4
a
a
a

4
4

2
ca 2
ab
tương tự  c  a  4
,
, ab  4
b
b c
c
4
bc 4 ca 4 ab
2
 2
 2

suy ra   b  c   c  a   a  b   4
4
4
 64 nên II) đúng.
a
b
c
a
 b
 c

Dễ thấy III) sai.
1 a
1 b
Câu 21. [0D4-1.2-3] Cho a  b  0 và x 

, y
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
1 a  a
1  b  b2
A. x  y .
B. x  y .
C. x  y .
D. Không so sánh được.
Lời giải
Chọn B
1
1
1
1
Ta có:  a 
và  b 
.
y
b 1
x
a 1

Suy ra:



1 1
1
   a  b  1 


x y
  a  1 b  1 

Do a  b  0 nên a  1  1 và b  1  1 suy ra:

1

 a  1 b  1

 1  1

1

 a  1 b  1

0.

1 1
1 1
1 1
  0   do x  0 và y  0 nên   x  y .
x y
x y
x y
Câu 25. [0D4-1.2-3] Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức sau:
Vậy

a b
a b c

1 1
II)    3 .
III)  a  b      4 .
  2.
b a
b c a
a b
Bất đẳng thức nào đúng?
A. Chỉ I) đúng.
B. Chỉ II) đúng.
C. Chỉ III) đúng.
D. Cả ba đều đúng.
Lời giải
Chọn D
a b
a b
a b c
a b c
Ta có:   2 .  2   I  đúng;    3 3 . .  3   II  đúng;
b a
b a
b c a
b c a

I)


a  b  2 ab 

1 1

1 1
1    a  b   a  b   4  ( III ) đúng.


 2

a b
ab 
Câu 27. [0D4-1.2-3] Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức:
I) a  b  c  3 3 abc

1 1 1
II)  a  b  c       9
a b c

Bất đẳng thức nào đúng:
A. Chỉ I) và II) đúng.
C. Chỉ I) đúng.

III)  a  b  b  c  c  a   9 .

B. Chỉ I) và III) đúng.
D. Cả ba đều đúng.

Lời giải
Chọn A
a  b  c  3 3 abc   I 

đúng;
1 1 1

1
1 1 1
9
    33
1 1 1
  a b c
  II  đúng;
abc   a  b  c       9    
a b c abc
a b c
a  b  c  3 3 abc

 a  b  2 ab ; b  c  2 bc ; c  a  2 ca   a  b  b  c  c  a   8abc   III  sai.
Câu 28. [0D4-1.2-3] Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức:
2
 2
 2

 a  b  c 
I) 1  1  1    8 .
II)   b  c   c  a   a  b   64 .
a
 b
 c

 b  c  a 
III) a  b  c  abc . Bất đẳng thức nào đúng?
A. Chỉ I) đúng.
B. Chỉ II) đúng.
C. Chỉ I) và II) đúng.

D. Cả ba đều đúng.
Lời giải
Chọn C
b
a
c
b
a
c
abc
 a  b  c 
1  2
; 1  2
; 1  2
 1  1  1    8
 8   I  đúng.
b
a
c
b
a
c
bca
 b  c  a 

c
1
b 1
2
bc

bc
b  2
  b  c  2 4 2  44 2 .
; c  2
a
a
a a
a
a
a
2
ab
ac 2
 c  a  44 2 ;  a  b  44 2 .
b
b c
c
2
 2
 2

Suy ra:   b  c   c  a   a  b   64   II  đúng.
a
 b
 c

Tương tự:

Ta có: 3 3 abc  a  b  c  abc 

3

 abc 

2

 3  abc  3 3   III  sai.

Câu 29. [0D4-1.2-3] Cho x, y, z  0 và xét ba bất đẳng thức(I) x3  y3  z 3  3xyz ; (II)

x y z
   3 . Bất đẳng thức nào là đúng?
y z x
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ I và III đúng. C. Chỉ III đúng.
Lời giải
Chọn B

1 1 1
9
  
;
x y z x yz

(III)

D. Cả ba đều đúng.


x3  y 3  z 3  3 3 x3 y 3 z 3  3xyz   I  đúng;

1 1 1
1
    33
1 1 1
9
1 1 1
xyz       x  y  z   9    
  II  sai;
x y z
x
y
z
x

y

z
x
y
z



3
 x  y  z  3 xyz
x y z
x y z
   3 3 . .  3   III  đúng.
y z x
y z x

Câu 30. [0D4-1.2-3] Cho a, b  0 và ab  a  b . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  b  4 .

B. a  b  4 .

C. a  b  4 .

D. a  b  4 .

Lời giải
Chọn B
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
Do đó:

 a  b
ab  a  b 

2

 a  b
ab 
4

2

.

 a  b   a  b   4  a  b   0   a  b  a  b  4   0
2

4
 a  b  4  0 (vì a  b  0 )  a  b  4 .

a
b
c
. Mệnh đề nào sau đây đúng?


bc ca a b
4
3
C.  P .
D.  P .
3
2
Lời giải

Câu 41. [0D4-1.2-3] Với a, b, c  0 . Biểu thức P 
A. 0  P 

3
.
2

B.

3
 P.
2

Chọn D
1
1 
 1
Ta có: P  3   a  b  c  


.
bc ca a b 
1 1 1
9
1
1
1
9



Áp dụng bất đẳng thức   
suy ra:
.
x y z x yz
b  c c  a a  b 2a  b  c

Do đó P  3 

9
3
 P  ; đẳng thức xảy ra khi a  b  c .

2
2

---------------- ok -------------------Lớp 10 Chuyên đề 1 BĐT
Câu 2: Chỉnh ID (Đã chỉnh)

Câu 9.

[0D4-1.2-3] Cho a, b, c dương. Câu nào sau đây sai ?
A. (1  2a)(2a  3b)(3b  1)  48ab .
B. (1  2b)(2b  3a)(3a  1)  48ab .
1
1
1
11 1 1
C.


    .
2
2
2
1 a 1 b 1 c
2a b c


 a  b  c 
D.   1  1  1  8 .
 b  c  a 

Lời giải
Chọn C
A đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có 1  2a  2 2a ; 2a  3b  2 6ab ; 3b  1  2 3b
B đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có 1  2b  2 2b ; 2b  3a  2 6ab ; 3a  1  2 3a
C sai với a  1, b  2, c  3 .
D đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có

a
b c
a b
c
1  2
; 1  2
; 1  2
b
b c
a
c a

Câu 10. [0D4-1.2-3] Cho a, b, c dương. Bất đẳng thức nào đúng?
1 1 1
B. (a  b  c)      9 .
a b c
1 1 1
D. (a  b  c)      3 .
a b c
Lời giải

1 1 1
A. (a  b  c)      3 .

a b c
1 1 1
C. (a  b  c)      9 .
a b c

Chọn C
C đúng vì a  b  c  3 3 abc và

1 1 1
1
   33
, nhân vế theo vế ta chọn C .
a b c
abc

Câu 1432: [0D4-1.2-3] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  2 x 
A. 1 .

1
với x  0 là
x2

C. 3 .
Lời giải

B. 2 .

D. 2 2 .

Chọn C

x  0  2x  0 ,

1
0 .
x2

Áp dụng bdt cosi ta có:

f ( x)  2 x 

1
1
1
 x  x  2  3 3 x.x. 2  3 .
2
x
x
x

Dấu “=” xảy ra khi x  x 
Câu 1527:

1
 x3  1  x  1 .
2
x

[0D4-1.2-3] Cho hai số x, y dương thỏa x  y  12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng?
 x y

2
2
B. xy  
  36 . C. 2xy  x  y .
2


Lời giải
2

A. 2 xy  x  y  12 .

D. 2 xy  x  y  12 .

Chọn A
Ta có: x  y  2 xy nên A đúng.
Câu 1530:

[0D4-1.2-2 Với hai số dương thỏa , bất đẳng thức sau đây đúng?


A. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .

B. . C. .

D. .