D08 tìm GTLN GTNN của biểu thức muc do 2

Câu 39:

1
với x  2 là:
x2
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải

[0D4-1.8-2] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 
A. 1 .

B. 2 .

Chọn D
Ta có x  2  x  2  0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

1
1
 1 
  x  2  
24
  2  2  x  2.
x2
x2
 x2
Vậy GTNN của P  4
1
Dấu bằng xảy ra khi x  2 
 x  3.

x2
P  x

Câu 13. [0D4-1.8-2] Cho biểu thức P  a  a với a  0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
1
1
A.Giá trị nhỏ nhất của P là .
B.Giá trị lớn nhất của P là .
4
4
1
1
C.Giá trị lớn nhất của P là .
D. P đạt giá trị lớn nhất tại a  .
2
4
Lời giải
Chọn B

 

2

1 
1 1
Ta có: P  a  a   a  a    a    .
4 
2 4
2
Câu 14. [0D4-1.8-2] Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   2

bằng
x  5x  9
11
11
4
A. .
B. .
C. .
11
8
4
Lời giải
Chọn D
2

D.

8
.
11

2

5  11 11

Ta có: x  5 x  9   x     ; x  .
2
4 4

8

2
8
Suy ra: f  x   2
.
 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng
11
x  5 x  9 11
Câu 15. [0D4-1.8-2] Cho f  x   x  x 2 . Kết luận nào sau đây là đúng?
2

1
.
2
1
D. f  x  có giá trị lớn nhất bằng .
4

1
.
4
1
C. f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng  .
4

B. f  x  có giá trị lớn nhất bằng

A. f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng

Lời giải
Chọn D

2

1 1 1 
1 1

1 1
f  x   x  x 2    x 2  x       x    và f    .
4 4 4 
2 4

2 4
Câu 36. [0D4-1.8-2] Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x  y  2 . Gọi m  x 2  y 2 . Khi đó ta có:

A. giá trị nhỏ nhất của m là 2 .
C. giá trị lớn nhất của m là 2 .

B.giá trị nhỏ nhất của m là 4 .
D.giá trị lớn nhất của m là 4 .
Lời giải

Chọn A
Ta có: x  y  2  y  2  x .


Do đó: m  x2  y 2  x 2   2  x   2 x 2  4 x  4  2  x  1  2  2; x 
2

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 2 .

Câu 37. [0D4-1.8-2] Với mỗi x  2 , trong các biểu thức:
nhỏ nhất?
2
A. .
x

B.

2
.
x 1

.

x 1 x
2
2
2
,
,
,
, giá trị biểu thức nào là
2
x x 1 x 1 2

C.

2
.
x 1

D.

x
.
2

Lời giải
Chọn B

x x 1
2
2
2
và 
.
 
x  1 x x 1
2
2
x
2
x 2  x  4  x  2  x  2   x
x
2
Mặt khác: 
.


 0; x  2  

2 x  1 2  x  1
2  x  1
2 x 1

Ta có:

Câu 38. [0D4-1.8-2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  
A. 2 .

B.

5
.
2

x
2
với x 1 là

2 x 1

C. 2 2 .

D. 3.

Lời giải
Chọn B

x
2

x 1
2
1
x 1 2
1 5



 2
.
  .
2 x 1
2
x 1 2
2 x 1 2 2
5
Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng .
2
1
Câu 40. [0D4-1.8-2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   2 x  với x  0 là
x
1
A. 2 .
B.
.
C. 2 .
2
Lời giải
Chọn D
1

1
Ta có: f  x   2 x   2 2 x.  2 2 .
x
x
Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 .
Ta có: f  x  

D. 2 2 .

Câu 13. [0D4-1.8-2] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y   x 2  5x  6 trên đoạn  2;3 .
A.

5
.
2

B.

1
.
4

C. 1 .

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn D
2

1
5
1 
5 1
Ta có: y    x    , x   2;3 và y   x  .
4
2
4 
2 4

Câu 15. [0D4-1.8-2] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y   x6  8x3 trên đoạn  0; 2 .
B. 16 .

A. 8
Chọn B

C. 4 .
Lời giải

Ta có: y  16   x3  4   16, x  0; 2 và y  16  x  3 4  0; 2 .
2

D.

3

4.


Câu 5:

[0D4-1.8-2] Cho f  x   x  x 2 . Kết luận nào sau đây là đúng?

1
.
4
1
C. f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng  .
4
A. f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng

1
.
2
1
D. f ( x) có giá trị lớn nhất bằng .
4
Lời giải
B. f ( x) có giá trị lớn nhất bằng

Chọn D
2

1 1 1
1 1 1



Ta có: f  x   x  x    x 2  2.x.       x     .
2 4 4
2 4 4


1
Đẳng thức xảy ra khi x  .
2
1
Vậy, f ( x) có giá trị lớn nhất bằng .
4
2

Câu 6:

[0D4-1.8-2] Cho hàm số f  x  

1

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
x2  1
A. f ( x) có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1 .
B. f ( x) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1 .
C. f ( x) có giá trị nhỏ nhất là 1 , giá trị lớn nhất bằng 2 .
D. f ( x) không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
Lời giải
Chọn B
Ta có: f  x   0 nên không có giá trị nhỏ nhất.
1

 1 . Đẳng thức xảy ra khi x  0 .
x2  1
Vậy, f ( x) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1 .

Ta có:

Câu 7:

x2  1  1 

x  y  1
[0D4-1.8-2] Với giá trị nào của a thì hệ phương trình 
có nghiệm ( x; y) với
 x  y  2a  1
x. y lớn nhất
A. a 

1
.
4

B. a 

1
.
2

1
C. a   .

2
Lời giải

D. a  1 .

Chọn B
Hệ phương trình có nghiệm x  a , y  1  a
2

1 1 1
1 1 1


Ta có: xy  a 1  a   a  a    a 2  2a.       a    
2 4 4
2 4 4


1
Đẳng thức xảy ra khi a  .
2
1
Vậy xy lớn nhất khi a  .
2
2

Câu 8:

[0D4-1.8-2] Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3 . Khi đó, tích hai số a và b

9
.
4
3
C. có giá trị lớn nhất là .
2
A. có giá trị nhỏ nhất là

B. có giá trị lớn nhất là

9
.
4

D. không có giá trị lớn nhất.
Lời giải

Chọn B
2

3 9 9
3 9 9


Ta có: ab  a  3  a   a  3a    a  3a     a 2  2a.       a    
2 4 4
2 4 4



3
Đẳng thức xảy ra khi a  .
2
9
Vậy, ab có giá trị lớn nhất là .
4
2

Câu 9:

2

[0D4-1.8-2] Cho a  b  2 . Khi đó, tích hai số a và b
A. có giá trị nhỏ nhất là 1 .
B. có giá trị lớn nhất là 1 .
C. có giá trị nhỏ nhất khi a  b .
D. không có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ab  a  a  2   a 2  2a   a  1  1  1
2

Đẳng thức xảy ra khi a  1
Vậy, ab đạt giá trị nhỏ nhất là 1 .
Câu 12: [0D4-1.8-2] Với mỗi x  2 , trong các biểu thức:
là nhỏ nhất?
2
A. .
x

B.

2
.
x 1

x 1 x
2
2
2
,
,
,
, giá trị biểu thức nào
x x 1 x 1 2 2

C.

2
.
x 1

D.

x
.
2

Lời giải
Chọn B

x 1 3 x
2
2
2
2
 1,
 ,
 , 1.
 2,
x  1 3 x 1
x
2
2 2
2
Vậy giá trị của biểu thức
là nhỏ nhất.
x 1
Nếu x  2 thì

Câu 13: [0D4-1.8-2] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2  3x với x 
27
9
3
A.  .
B.  .
C.  .
4
2
4

Lời giải
Chọn B
2

9
3 9 9 
3 9
Ta có: x  3x  x  2.x.     x     
4
2 4 4 
2 4
2

2

Đẳng thức xảy ra khi x  

3
2

9
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là  .
4

là:
D. 

81
.
8

Câu 14: [0D4-1.8-2] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2  3 x với x  là:

9
A.  .
4

3
B.  .
2

C. 0 .

D.

3
.
2

Lời giải
Chọn C
Ta có: x 2  3 x  0
Đẳng thức xảy ra khi x  0 .
Câu 15: [0D4-1.8-2] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x 2  6 x với x 
B. 6 .

A. 9 .

là:

D. 3 .

C. 0 .
Lời giải

Chọn A





Ta có : A  x 2  6 x  x  6 x  x  6 x  9  9   x  3  9  9
2

2

2

 Amin  9 khi x  3  0  x  3 .

Câu 16: [0D4-1.8-2] Cho biểu thức P  a  a với a  0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
1
1
A. Giá trị lớn nhất của P là .
B. Giá trị nhỏ nhất của P là .
4
4
1
1
C. Giá trị lớn nhất của P là .

D. P đạt giá trị nhỏ nhất tại a  .
2
4
Lời giải
Chọn A



2



1 1 1 
1 1

Ta có : P  a  a   a  a    a  a       a   
4 4 4 
2 4


 Pmax 

1
khi
4

a

1
1

0a .
2
4

2
bằng
x  5x  9
11
C. .
8
Lời giải

Câu 17: [0D4-1.8-2] Giá trị lớn nhất của hàm số f  x  
A.

11
.
4

B.

4
.
11

2

D.

8

.
11

Chọn D
Ta có : f  x  

2
 f  x  đạt giá trị lớn nhất khi A  x2  5x  9 đạt giá trị nhỏ nhất.
x  5x  9
2

2

5
25  11 
5  11 11
11

khi x 
A  x  5 x  9   x 2  5 x      x      Amin 
2
4  4 
2
4 4
4

2

Vậy f  x  đạt giá trị lớn nhất là

8
5
khi x  .
11
2

Câu 18: [0D4-1.8-2] Cho biểu thức f  x   1  x 2 . Kết luận nào sau đây đúng?


A. Hàm số f ( x) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số f ( x) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.
C. Hàm số f ( x) có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
D. Hàm số f ( x) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
Lời giải
Chọn C
TXĐ : D   1;1
x  D  0  1  x2  1  ymin  0; ymax  1.

Vậy hàm số có GTLN và GTNN.
Câu 19: [0D4-1.8-2] Cho a là số thực bất kì, P 
A. P  1.

B. P  1 .

2a
. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi a?
a2  1
C. P  1 .
D. P  1 .
Lời giải

Chọn D

2a
2a  a 2  1   a  1
Cách 1. Xét P  1  2
1 

 0  P  1.
a 1
a2  1
a2  1
2

Vậy, chọn đáp án D.
Cách 2. Khi a  1  P  1  loại đáp án A, B và C.
Câu 32: [0D4-1.8-2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x 
A. 4 .

B.

1
.
2

2
với x  0 là
x

C.

2.

D. 2 2 .

Lời giải
Chọn D
Vì x  0 nên ta có

2
0.
x

Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số x và
chỉ khi x 

2
2
2
ta có x   2 x.  2 2 . Dấu "  " xảy ra khi và
x
x
x

2
 x  2,  x  0  .
x

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 2 khi x  2 .
Câu 33: [0D4-1.8-2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  2 x 

A. 4 3 .

B.

6.

Chọn D
Vì x  0 nên ta có 2 x  0 và

3
0.
x

3
với x  0 là
x

C. 2 3 .
Lời giải

D. 2 6 .


Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số 2x và
và chỉ khi 2 x 

3
3
3
ta có 2 x   2 2 x.  2 6 . Dấu "  " xảy ra khi

x
x
x

3
3
x
,  x  0 .
x
2

3
.
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 6 khi x 
Câu 34: [0D4-1.8-2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 
A. 2 .

B.

5
.
2

x
2

với x 1 là
2 x 1

C. 2 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn B

x 1
x
2
2
1
x 1 2
1 5



 2
.
  .
2
2 x 1
x 1 2
2 x 1 2 2
x 1
2

 x  3,  x  1 .
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi
2

x 1
5
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là khi x  3 .
2
Ta có f  x  

Câu 35: [0D4-1.8-2] Cho x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 
A.

1
2 2

.

B.

2
.
2

x2
bằng
x

2
.
2

C.

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Với x  2  y  0 .
x2
 y 2 .x 2  x  2  0 ,   
x
Nếu y  0  x  2 .

Ta có y 

Nếu y  0 khi đó hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi   có nghiệm
Vậy ta có   0  1  8 y 2  0  

1
2 2

 y

1
2 2

.

x  4
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x 2  8 x  16  0  
.
 x  1,  ktm 
1
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất y 
khi x  4 .
2 2
Cách 2: (Sử dụng kiến thức 12).
x  4
Ta có y  2
; y  0  x  4 .
2x x  2

Lập BBT và dựa vào BBT ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất y 

1
2 2

khi x  4 .


Câu 36: [0D4-1.8-2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  2 x 
A. 2 .

B.

1
.
2

1
với x  0 là
x

C.

2.

D. 2 2 .

Lời giải
Chọn D
Ta có f  x   2 x 

1
1
 2 2 x.  2 2 .
x
x

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi 2 x 

1
2
x
,  x  0 .
x
2
2

.
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 2 khi x 
Câu 37:

[0D4-1.8-2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  2 x 
A. 1 .

1
với x  0 là
x2
D. 2 2 .

C. 3 .
Lời giải

B. 2 .

Chọn C
Ta có f  x   2 x 

1
1
1
1
 x  x  2  3 3 x.x. 2  3 . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  x  2
2
x
x

x
x

 x 2  1  x  1 do x  0  .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 khi x  1 .
Câu 39: [0D4-1.8-2] Chọn mệnh đề đúng.
A. Giá trị lớn nhất của hàm số y  x  1  3  x với 1  x  3 là 2 khi x  2
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  1  3  x với 1  x  3 là 2 khi x  2

17
5
khi x 
8
4
17
5
khi x 
D. Giá trị lớn nhất của hàm số y  2 x 2  5x  1 là
8
4
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x 2  5x  1 là

Lời giải
Chọn A
Với 1  x  3 thì ta có y  0 1 .
Khi đó ta có y 2 



x 1  3  x

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi



2

 




 
2

x 1 

x 1  3  x  x  2 .

Hay ta có y  4  2  y  2  2  .
2

Từ 1 và  2  ta có 0  y  2 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là y  2 khi x  2 .
Câu C,D sai vì:



2

3  x  12  11   4 .



2

17
5  17

Ta có y  2 x  5x  1  2  x      .
8
4
8

5
17
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là y  
khi x  .
4
8
2

2
2
Câu 1589.
[0D4-1.8-2] Cho x  0 ; y  0 và xy  2 . Gía trị nhỏ nhất của A  x  y là:
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 4 .

Lời giải
Chọn D

A  x 2  y 2   x  y   2 xy  4 x  0, y  0, xy  2 .
2