D03 toán max min (1 biến) với hàm mũ, lôgarit muc do 3

Câu 23. [2D2-4.3-3] (SGD Bình Dương - HKI - 2017 - 2018 - BTN) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số y 
A. e3 và 1 .

ln 2 x
trên đoạn 1;e3  lần lượt là
x
9
B. 3 và 0 .
C. e 2 và 0 .
e
Lời giải

D.

4
và 0 .
e2

Chọn D

 x  1 1;e3 
ln x  0
2ln x  ln 2 x


2
Ta có y 
. Khi đó y  0  2ln x  ln x  0  
.


2
2
x
 x  e  1;e3 
ln x  2



4
9
y 1  0, y  e2   2 , y  e3   3 .
e
e
4
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là: 2 và 0 .
e
Câu 25:

[2D2-4.3-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Giá trị lớn nhất của
hàm số f  x    2 x  3 e x trên  0;3 là
B. max f  x   5e3 .

A. max f  x   e3 .

0;3

0;3

C. max f  x   4e3 .
0;3

D. max f  x   3e3 .
0;3

Lời giải
Chọn D
Hàm số f  x  liên tục và xác định trên  0;3 .

f   x   2e x   2 x  3 e x   2 x  1 e x , f   x   0   2 x  1 e x  0  x 

1
.
2

1
f  0   3 , f  3  3e3 , f    2e 2  max f  x   3e3 .
0;3
2
1

Câu 19: [2D2-4.3-3] (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - Lân 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho

m  log a



3



ab với a  1 , b  1 và P  log 2a b  16logb a . Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ

nhất.
A. m 

1
.
2

B. m  4 .

C. m  1 .

D. m  2 .

Lời giải
Chọn C
1
1
Theo giả thiết ta có m  log a  ab   1  log a b   log a b  3m  1.
3
3

Suy ra P  log 2a b 

8
16
8
16
2

2
.
 P   3m  1 
 P   3m  1 

log a b
3m  1 3m  1
3m  1

Vì a  1 , b  1 nên log a b  3m  1  0 .
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương ta có:
 P   3m  1 
2

8
8
64
2
 P  12 .

 3. 3  3m  1 .
2
3m  1 3m  1
 3m  1


Dấu bằng xảy ra khi  3m  1 
2

Câu 2199:

8
 m  1.
3m  1

[2D2-4.3-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho các số thực a, b thỏa mãn
3

ab

1
,b
2

4, a

A. Pmax

1. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P

log 1 a

3

log 1 b 1 . .

2

0.

B. Pmax

6.

C. Pmax

2

27
.
4

63 .

D. Pmax

9log 22 a

27 log 2 a 27

Lời giải
Chọn D
3

P

3

log 1 a
2

với

1
2

3 log 2 a

3

2

a

1.

4 do b

27
khi a
4

Khi đó Pmax
Câu 2227:

log32 a

log 1 b 1

3

.
2

[2D2-4.3-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho các số thực a, b thỏa mãn
3

ab

1
,b
2

4, a

A. Pmax

1. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P

log 1 a

3

log 1 b 1 . .

2

0.

B. Pmax

6.

C. Pmax

63 .

2

D. Pmax

27
.
4

Lời giải
Chọn D
3

P

3

log 1 a

log 1 b 1

2

1
2

Câu 2594:

a

log32 a

3 log 2 a

3

9log 22 a

27 log 2 a 27 với

2

4 do b

1 . Khi đó Pmax

27
khi a
4

3
.
2

[2D2-4.3-3] [THPT chuyên KHTN lần 1 - 2017] Giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của hàm

số f ( x)  2sin x  2cos x lần lượt là.
2

2

A. 2 và 3 .

B. 2 và 2 2 .

C. 2 2 và 3 .
Lời giải

D.

2 và 3 .

Chọn C
Đặt cos2 x  t ,(0  t  1)  f ( x)  2t  21t .

Xét hàm số g (t )  2t  21t , t [0;1]  g (t )   2t  21t  ln 2 .

g (t )  0  2t  21t

Câu 2608:


 g  0  3

1

.
 0  t  . Mà  g 1  3
2

 g  1   2 2  3
  2 

[2D2-4.3-3] [THPT Chuyên Quang Trung - 2017] Tìm giá trị lớn nhất của

y  2sin x  2cos x .
A. 5 .
2

2

B. 4 .

C. 3 .
Lời giải

D. 2 .


Chọn C
Đặt t  sin 2 x, t  0;1 .
Tìm GTLN của y  2t  21t trên  0;1 .
y  2t ln 2  21t ln 2  0  2t  21t  t 

1
.

2

1
f (0)  3; f (1)  3; f    2 2 .
2
Vậy max y  3 .
0;1

[2D2-4.3-3] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU - 2017 ] Cho 1  x  64 . Tìm giá trị lớn
8
nhất của biểu thức P  log 42 x  12log 22 x.log 2 .
x
A. 82 .
B. 96 .
C. 64 .
D. 81 .
Lời giải
Chọn D
8
P  log 42 x  12log 22 x.log 2  log 24 x  12log 22 x.  log 2 8  log 2 x   log 24 x  12log 22 x.  3  log 2 x  .
x
Đặt t  log 2 x , do 1  x  64 nên 0  t  6 .

Câu 2750.

f  t   t 4  12t 2 .  3  t  với 0  t  6 .

t  0
f   t   4t  36t  72t ; f   t   0  t  3
t  6

.
3

2

.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P  81 .
Câu 2759.

[2D2-4.3-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5 - 2017 ] Cho hai số nguyên dương a, b thỏa

mãn log 2 log 2a log 2b 21000
A. 5 .

0. Khi đó giá trị lớn nhất có thể có của a là.

B. 3 .

C. 4 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn C
log 2 log 2a log 2b 21000

Thử các phương án ta có a
Câu 2770.

log 2a log 2b 21000

0

1

log 2b 21000

2a

b

1000
.
2a

4 thỏa yêu cầu bài toán.

[2D2-4.3-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5 - 2017 ] Cho hai số nguyên dương a, b

thỏa mãn log 2 log 2a log 2b 21000
A. 5 .

B. 3 .

0. Khi đó giá trị lớn nhất có thể có của a là.
C. 4 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn C
log 2 log 2a log 2b 21000

Thử các phương án ta có a

0

log 2a log 2b 21000

1

4 thỏa yêu cầu bài toán.

log 2b 21000

2a

b

1000
.
2a


Câu 15.

[2D2-4.3-3] [THPT QUANG TRUNG] Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y  5sin x  5cos x là:
2

2

B. GTLN bằng 10 ; GTNN bằng 2 .

A. GTLN bằng 6 ; GTNN bằng 2 5 .
C. GTLN không tồn tại, GTNN bằng 2 5 .

D. GTLN bằng 2 5 , GTNN không tồn tại.
Lời giải

Chọn A
y  y  5sin x  5cos x  5sin x  51sin x  5sin x 
2

2

2

2

5

2

sin 2 x

5
2
t2  5

Đặt t  5sin x , t  1; 5 , Xét hàm số y 
, t  1; 5 
t
Từ đó suy ra được :

Maxf ( x)  Maxf (t ) = 6 ; Minf ( x)  Minf (t)  2 5
1;5

Câu 990:

1;5

[2D2-4.3-3] (THPT TRIỆU SƠN 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  log 22 x  4log 2 x  1 trên đoạn

1;8
A. min y  2 .

B. min y  1 .

x1;8

C. min y  3 .
x1;8

x1;8

D. Đáp án khác.

Lời giải.
Chọn C.

Câu 992:

[2D2-4.3-3] (THPT TIÊN LÃNG) Hàm số y  e

x 2 3 x
x 1

B. e3 .

A. e 2 .

có giá trị lớn nhất trên đoạn  0;3 là:

C. 1.

D. e.

Lời giải
Chọn C.

\ 1 .

Tập xác định D 

2
2
 x 2  3x  x x31x x 2  2 x  3 x x31x

.e

Ta có y  
.
 .e
2
 x  1
 x 1 

y  0 

x2  2 x  3

 x  1

2

.e

x2 3 x
x1

 x  1 0;3
.
 0  x2  2 x  3  0  
 x  3  0;3

1
Mà y 1  ; y  0   y  3  1 .
e

Vậy hàm số y  e

Câu 996:

x 2 3 x
x 1

có giá trị lớn nhất trên đoạn  0;3 là 1.

[2D2-4.3-3] (THPT CHUYÊN KHTN) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

f ( x)

2sin

2

x

A. 2 và 2 2 .

2

2cos x lần lượt là
B. 2 và 3 .

C.

2 và 3 .

D. 2 2 và 3 .

Lời giải
Chọn B.

Câu 998:

[2D2-4.3-3] (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Với giá trị nào của x để hàm số y  2

2log3 x log32 x

có giá trị lớn nhất?

A.

B. 3.

2.

D. 1.

C. 2.
Lời giải

Chọn B.
Tập xác định của hàm số y  22log3 x log3 x là D   0;   .
2



Ta có y  22log3 x log3 x

2

x
2
   x ln2 3  2log
x ln 3 
3

 2  2log3 x  2log3 x log32 x
.ln 2  
.ln 2 .
2
 x ln 3 

2log3 x  log32 x

2log3 x  2log3 x log32 x
 2
y  0  

2
.ln 3  0  log3 x  1  x  3 .
x ln 3 
 x ln 3

Bảng biến thiên
x
y



3

0





0

2
y

Dựa và bảng biến thiên ta có hàm số y  22log3 x log3 x đạt giá trị lớn nhất bằng 2 tại x  3 .
2

Câu 48.

[2D2-4.3-3] (THPT THÁI PHIÊN-HẢI PHÒNG-Lần 4-2018-BTN) Xét các số thực a, b thỏa mãn

a
a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  log 2a  a 2   3logb   .
b
b
A. Pmin  14 .
B. Pmin  13 .
C. Pmin  15 .
D. Pmin  19 .
Lời giải

Chọn C
4
3
4
a
P  log 2a  a 2   3logb   

3.
 3log b a  3 
2
 b  log 2  a 
1  log a b  log a b

b

a
b
4
3
Đặt t  log a b ( 0  t  1 )  P 
 3.
2
1  t  t
P 

8

1  t 

3



1
3 3t 3  t 2  9t  3
  0  t  . Bảng biến thiên:
P

;
3
2
3
t
t 2 1  t 

Vậy Pmin  15 .