Khảo sát ảnh hưởng của điện trường không đổi và tạp chất tích điện pha loãng lên sự chuyển pha điện tử trong graphane hai lớp

✣❸■ ❍➴❈ ❍❯➌
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

✣➱ ▲■◆❍ ❚❍➁◆●

❑❍❷❖ ❙⑩❚ ❷◆❍ ❍×Ð◆● ❈Õ❆ ✣■➏◆
❚❘×❮◆● ❑❍➷◆● ✣✃■ ❱⑨ ❚❸P ❈❍❻❚ ❚➑❈❍
✣■➏◆ P❍❆ ▲❖❶◆● ▲➊◆ ❙Ü ❈❍❯❨➎◆ P❍❆
✣■➏◆ ❚Û ❚❘❖◆● ●❘❆P❍❆◆❊ ❍❆■ ▲❰P

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❱❾❚ ▲Þ
❚❍❊❖ ✣➚◆❍ ❍×❰◆● ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯

❚❤ø❛ ❚❤✐➯♥ ❍✉➳✱ ♥➠♠ ✷✵✶✾


✣❸■ ❍➴❈ ❍❯➌
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

✣➱ ▲■◆❍ ❚❍➁◆●

❑❍❷❖ ❙⑩❚ ❷◆❍ ❍×Ð◆● ❈Õ❆ ✣■➏◆
❚❘×❮◆● ❑❍➷◆● ✣✃■ ❱⑨ ❚❸P ❈❍❻❚ ❚➑❈❍
✣■➏◆ P❍❆ ▲❖❶◆● ▲➊◆ ❙Ü ❈❍❯❨➎◆ P❍❆
✣■➏◆ ❚Û ❚❘❖◆● ●❘❆P❍❆◆❊ ❍❆■ ▲❰P
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❱❾❚ ▲Þ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❱⑨ ❱❾❚ ▲Þ ❚❖⑩◆
▼➣ sè✿ ✽✹✹✵✶✵✸
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❱❾❚ ▲Þ
❚❍❊❖ ✣➚◆❍ ❍×❰◆● ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯
◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈
P●❙✳❚❙✳ ❇Ò■ ✣➐◆❍ ❍Ñ■

❚❤ø❛ ❚❤✐➯♥ ❍✉➳✱ ♥➠♠ ✷✵✶✾
✐



ổ ổ tr ự ừ r tổ số
t q ự tr tr tỹ ữủ ỗ t
sỷ ử ữ tứ ữủ ổ ố tr t ý ởt ổ
tr
ồ t t

ộ





ổ tr trồ tọ ỏ t ỡ s s ố ợ t P ũ

ủ ữớ ú ù tổ rt t ữợ tổ
t t tr sốt tớ tỹ t
ổ ỷ ớ ỡ t t ổ tr t
ỵ trữớ P t ổ ỏ t s ồ
rữớ ồ ữ ồ t t ú ù tổ tr sốt q
tr ồ t
ỷ ớ ỡ ồ ợ ồ t ỵ ỵ tt
t ỵ t õ ở ú ù tổ tr sốt q
tr ồ t tỹ t tốt
t

ồ t t

ộ




▼Ö❈ ▲Ö❈
❚r❛♥❣ ♣❤ö ❜➻❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐✐
▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐✐✐
▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
❇↔♥❣ ❝❤ú ✈✐➳t t➢t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
❉❛♥❤ s→❝❤ ❤➻♥❤ ✈➩ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹

▼Ð ✣❺❯ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
◆❐■ ❉❯◆● ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ tê♥❣ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷
✶✳✶ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♠↕♥❣ ❣r❛♣❤❡♥❡ ✤ì♥ ❧î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷
✶✳✷ ▼æ ❤➻♥❤ ❧✐➯♥ ❦➳t ♠↕♥❤ tr♦♥❣ ❣r❛♣❤❡♥❡ ✤ì♥ ❧î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✶✳✷✳✶ ▲✐➯♥ ❦➳t ♠↕♥❤ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❧➙♥ ❝➟♥ ❣➛♥ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✶✳✷✳✷ ▲✐➯♥ ❦➳t ♠↕♥❤ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❧➙♥ ❝➟♥ ❦➳ t✐➳♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✶✳✷✳✸ ◆❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤✐➸♠ ❉✐r❛❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ✤✐➺♥ tû ❝õ❛ ❣r❛♣❤❡♥❡ ❤❛✐ ❧î♣ ❜à
❤②❞r♦ ❤â❛ ❦❤✐ ❝â ♠➦t ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ❦❤æ♥❣ ✤ê✐ ✈➔ t↕♣ ❝❤➜t
t➼❝❤ ✤✐➺♥ ♣❤❛ ❧♦➣♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾

✷✳✶ ●r❛♣❤❡♥❡ ❤❛✐ ❧î♣ ✈➔ ❣r❛♣❤❡♥❡ ❜à ❤②❞r♦ ❤â❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
✷✳✶✳✶ ●r❛♣❤❡♥ ❤❛✐ ❧î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾

✶


✷✳✶✳✷ ▲✐➯♥ ❦➳t ♠↕♥❤ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❧➙♥ ❝➟♥ ❣➛♥ ♥❤➜t tr♦♥❣
❤❛✐ ❧î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹
✷✳✷ ●r❛♣❤❡♥❡ ❤❛✐ ❧î♣ ❜à ❤②❞r♦ ❤â❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹
✷✳✷✳✶ ●r❛♣❤❡♥❡ ❤❛✐ ❧î♣ ❜à ❤②❞r♦ ❤â❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹
✷✳✷✳✷ ❷♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ❦❤æ♥❣ ✤ê✐ ✈➔ t↕♣ ❝❤➜t t➼❝❤
✤✐➺♥ ♣❤❛ ❧♦➣♥❣ ❧➯♥ ❍✲❇▲● ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❑➳t q✉↔ t➼♥❤ sè ✈➔ t❤↔♦ ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺
✸✳✶ ❉❖❙ ❝õ❛ ❇▲● ♥❣✉②➯♥ sì ✈➔ ❝→❝ ❤➺ ❍✲❇▲● ❦❤✐ ❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➺♥
tr÷í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻
✸✳✷ ❉❖❙ ❝õ❛ ❇▲● ♥❣✉②➯♥ sì✱ ❝→❝ ❤➺ ❍✲❇▲● ❦❤✐ ❝❤➾ ❝❤à✉ sü ✤✐➲✉
❝❤➾♥❤ ❝õ❛ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽
✸✳✸ ❉❖❙ ❝õ❛ ❇▲● ♥❣✉②➯♥ sì✱ ❝→❝ ❤➺ ❍✲❇▲● ❦❤✐ ❝â ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ✈➔ ❜à
♥❤✐➵♠ t↕♣ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷

❑➌❚ ▲❯❾◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✾

✷


❇❷◆● ❈❍Ú ❱■➌❚ ❚➁❚
❈❤ú ✈✐➳t t➢t ❈❤ú ✤➛② ✤õ
❈▲

❝❤❛✐r✲❧✐❦❡✳

❉❖❙

♠➟t ✤ë tr↕♥❣ t❤→✐ ✤✐➺♥ tû✳

❍✲❇▲●

❤②❞r♦❣❡♥❛t❡❞ ❜✐❧❛②❡r ❣r❛♣❤❡♥❡✳

r❈▲

r❡❞✉❝❡❞✲❝❤❛✐r✲❧✐❦❡✳

r❚▲

r❡❞✉❝❡❞✲t❛❜❧❡✲❧✐❦❡✳

❚▲

t❛❜❧❡✲❧✐❦❡✳

✸


❉❆◆❍ ❙⑩❈❍ ❍➐◆❍ ❱➇
✶✳✶ ▼↕♥❣ ❣r❛♣❤❡♥❡ ❬✸❪✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
✶✳✷ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ ❤➺ tå❛ ✤ë t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ✈à tr➼ ♥❣✉②➯♥ tû tr♦♥❣ ♠ët
♠↕♥❣ ❣r❛♣❤❡♥❡ ✈î✐ ❣è❝ ♥➡♠ ð ♠ët ♥❣✉②➯♥ tû ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥ ♠➔✉

①❛♥❤ ❞÷ì♥❣ B ❬✸❪✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✶✳✸ ❈→❝ ✈❡❝t♦r δm tr♦♥❣ ❝→❝ ♠↕♥❣ ❝♦♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶
✶✳✹ ❈→❝ ✈❡❝t♦r ∆s tr♦♥❣ ❝→❝ ♠↕♥❣ ❝♦♥ ❬✸❪✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✶✳✺ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ ✈ò♥❣ ❇r✐❧❧♦✉✐♥ ❝õ❛ ❣r❛♣❤❡♥❡ ✈➔ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❉✐r❛❝ ❦❤æ♥❣
t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ K+ ✈➔ K− ❬✸❪✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✷✳✶ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ ❣r❛♣❤❡♥❡ ❤❛✐ ❧î♣ ①➳♣ ❝❤ç♥❣ ❦✐➸✉ ❆❇✿ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ♠➔✉
①❛♥❤ ❞÷ì♥❣ ❧➔ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥ B ✈➔ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ♠➔✉
✈➔♥❣ ❧➔ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥ A✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥
tû ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥ A ð ❧î♣ tr➯♥ ♥➡♠ trü❝ t✐➳♣ ❧➯♥ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû
❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥ B ð ❧î♣ ❞÷î✐✳ ❙è ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❝á♥ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ♥➡♠
trü❝ t✐➳♣ ❧➯♥ ♥❤❛✉ ❬✸❪✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵

✹


✷✳✷ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ ❣r❛♣❤❡♥❡ ❤❛✐ ❧î♣ t❤❡♦ ❦✐➸✉ ①➳♣ ❝❤ç♥❣ ❆❆✿ ❝→❝ ❤➻♥❤
❝➛✉ ♠➔✉ ①❛♥❤ ❞÷ì♥❣ ❧➔ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥ B ✈➔ ❝→❝
❤➻♥❤ ❝➛✉ ♠➔✉ ✤ä ❧➔ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥ A✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣
❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥ A ð ❧î♣ tr➯♥ ♥➡♠ trü❝ t✐➳♣ ❧➯♥ ❝→❝
♥❣✉②➯♥ tû ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥ A ð ❧î♣ ❞÷î✐✳ ❚÷ì♥❣ tü ✈î✐ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥
tû ❧♦↕✐ B ❬✽❪✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶
✷✳✸ ▼æ ❤➻♥❤ ❣r❛♣❤❛♥❡ ❬✶✹❪✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
✷✳✹ ●r❛♣❤❡♥❡ ❤❛✐ ❧î♣ ①➳♣ ❝❤ç♥❣ ❦✐➸✉ ❆❆ ✈➔ ❝→❝ ❞↕♥❣ ❤②❞r♦ ❤â❛ ❝õ❛
♥â✿ ✭❛✮ ❞↕♥❣ ♥❣✉②➯♥ t❤õ②✱ ✭❜✮ t❛❜❧❡✲❧✐❦❡✱ ✭❝✮ ❝❤❛✐r✲❧✐❦❡✱ ✭❞✮ r❡❞✉❝❡❞
t❛❧❜❡✲❧✐❦❡✱
✭❡✮ r❡❞✉❝❡❞ ❝❤❛✐r✲❧✐❦❡ ❬✷❪✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻
✸✳✶ ❉❖❙ ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❇▲● ♥❣✉②➯♥ sì✱ ❍✲❇▲● ❚▲✱ ❈▲✱ r❚▲✱ r❈▲ ❦❤✐
❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ✈➔ t↕♣ ❝❤➜t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻
✸✳✷ ❉❖❙ ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❇▲● tr♦♥❣ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ V ❧➛♥ ❧÷ñt
0, 0.25, 0.5, 0.75

❡❱ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â t↕♣ ❝❤➜t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾

✸✳✸ ❉❖❙ ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❚▲ tr♦♥❣ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ V ❧➛♥ ❧÷ñt
0, 0.25, 0.5, 0.75

❡❱ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â t↕♣ ❝❤➜t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾

✸✳✹ ❉❖❙ ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❈▲ tr♦♥❣ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ V ❧➛♥ ❧÷ñt
0, 0.25, 0.5, 0.75

❡❱ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â t↕♣ ❝❤➜t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵

✸✳✺ ❉❖❙ ❝õ❛ ♠↕♥❣ r❚▲ tr♦♥❣ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ V ❧➛♥ ❧÷ñt
0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.5

❡❱ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â t↕♣ ❝❤➜t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵

✸✳✻ ❉❖❙ ❝õ❛ ♠↕♥❣ r❈▲ tr♦♥❣ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ V ❧➛♥ ❧÷ñt
0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.5

❡❱ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â t↕♣ ❝❤➜t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶
✺


✸✳✼ ❉❖❙ ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❇▲● ♥❣✉②➯♥ sì t❤❛② ✤ê✐ t❤❡♦ ♥ç♥❣ ✤ë ♣❤❛ t↕♣ ✈➔
t❤➳ t→♥ ①↕ t↕♣ ❝❤➜t ❦❤✐ ✤➦t tr♦♥❣ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ❝â V

= 0.75

❡❱✿ ✭❛✮

❦❤✐ vi/t = 0.1 ✈➔ ni ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ✺✱ ✶✵✱ ✶✺ ✷✵ ✪❀ ✭❜✮ ❦❤✐ ni = 20✪ ✈➔
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸

vi /t = 0.1, 0.3, 0.7, 1

✸✳✽ ❉❖❙ ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❚▲ t❤❛② ✤ê✐ t❤❡♦ ♥ç♥❣ ✤ë ♣❤❛ t↕♣ ✈➔ t❤➳ t→♥
①↕ t↕♣ ❝❤➜t ❦❤✐ ✤➦t tr♦♥❣ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ❝â V
vi /t = 0.1

= 0.75

❡❱✿ ✭❛✮ ❦❤✐

✈➔ ni ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ✺✱ ✶✵✱ ✶✺ ✷✵ ✪❀ ✭❜✮ ❦❤✐ ni = 20✪ ✈➔
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸

vi /t = 0.1, 0.3, 0.7, 1

✸✳✾ ❉❖❙ ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❈▲ t❤❛② ✤ê✐ t❤❡♦ ♥ç♥❣ ✤ë ♣❤❛ t↕♣ ✈➔ t❤➳ t→♥
①↕ t↕♣ ❝❤➜t ❦❤✐ ✤➦t tr♦♥❣ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ❝â V
vi /t = 0.1

= 0.75

❡❱✿ ✭❛✮ ❦❤✐

✈➔ ni ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ✺✱ ✶✵✱ ✶✺ ✷✵ ✪❀ ✭❜✮ ❦❤✐ ni = 20✪ ✈➔
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹

vi /t = 0.1, 0.3, 0.7, 1

✸✳✶✵ ❉❖❙ ❝õ❛ ♠↕♥❣ r❚▲ t❤❛② ✤ê✐ t❤❡♦ ♥ç♥❣ ✤ë ♣❤❛ t↕♣ ✈➔ t❤➳ t→♥
①↕ t↕♣ ❝❤➜t ❦❤✐ ✤➦t tr♦♥❣ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ❝â V
vi /t = 0.1

✈➔

ni

= 0.75

❧÷ñt ❧➔ ✺✱ ✶✵✱ ✶✺ ✷✵ ✪❀ ✭❜✮ ❦❤✐

❡❱✿ ✭❛✮ ❦❤✐

ni = 20

✪ ✈➔

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺

vi /t = 0.1, 0.3, 0.7, 1

✸✳✶✶ ❉❖❙ ❝õ❛ ♠↕♥❣ r❈▲ t❤❛② ✤ê✐ t❤❡♦ ♥ç♥❣ ✤ë ♣❤❛ t↕♣ ✈➔ t❤➳ t→♥
①↕ t↕♣ ❝❤➜t ❦❤✐ ✤➦t tr♦♥❣ ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ❝â V
vi /t = 0.1

= 0.75

❡❱✿ ✭❛✮ ❦❤✐

✈➔ ni ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ✺✱ ✶✵✱ ✶✺ ✷✵ ✪❀ ✭❜✮ ❦❤✐ ni = 20✪ ✈➔
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺

vi /t = 0.1, 0.3, 0.7, 1

✻


é
ỵ ồ t
ú t tr ở ổ tự tữ tớ
ổ ợ ởt ợ tr t t rts t
t ố trt t ổ ổ s ồ
õ õ ổ ọ tr ở õ ỳ
ự ử ừ t ồ t
r tớ tt tỷ ỹ t ợ s tr
ởt tữỡ ổ ữủ t r ự
s ự ử q trồ õ t t t t r sỹ
t ờ tr ở ổ tr t t ợ

r ởt ợ r ủ t ởt ử tờ
ợ t rr tr 0, 142
õ t tỹ sỹ t ừ ởt ồ
t ợ ừ t ỡ ợ rtr
st r tỷ
trú ỡ ừ q r ố r t
r t õ t t ở ự

ừ õ st t ỡ ữỡ rt r
ổ ũ ọ ợ t ử ỗ tỷ r
r tr t t õ trú t t
r tr sốt ữ õ t tử ữủ s



ố r ú ỏ t rt tốt

r ỡ ợ õ ữủ ừ õ ở rở ũ
ổ t ử tr tt õ trs
tr ự trữớ tt q tỷ ử ữủ
ũ ừ r ữớ t t r ữỡ
rở ũ tr ờ ữủ ừ r õ t
ởt số ữ ử trữớ ỡ trử
t t ử r r õ t
tữớ ữủ ồ r r õ ởt r
ủ t tữớ ữủ ồ trú tữỡ tỹ r r
strtrs r r õ t r t tỷ
tứ t r õ tr t ởt ự ỷ t
ủ tr tt õ ũ ữủ tt t
ỵ tt tỹ ỹ ử t ừ tỷ
r tr tỷ r tr r r ũ
tứ t àB àB số r t

ổ ố ữ r ỡ ợ ở rở ũ
t t tỷ tr r ợ ỡ ồ t
r r t t ừ r ợ ử tở
số ợ ợ r õ ỗ ỗ
ỗ st ỗ st

r ợ r õ ừ õ ố õ t ợ
tr ự ử tỹ t ỏ ợ õ t



út ữủ ồ ự t õ t
s tt õ ổ ố ự
r õ r ợ t sts r ts
r r ụ tr õ t
rt ự ở ở ừ r ợ
ỗ tt st
r r õ t
ự r õ r ợ
rt r r s tsts r
ụ tr t r r õ
ự trỏ ừ rố tr tở t tỷ tr
ừ r ỡ ợ ợ r srr t
tr trsrt rrts r r r
õ t
r r ự tở t tỷ ừ r
ợ tr rrts rs r ssts
õ t s r
ự t ử t ủ ừ tứ trữớ ổ õ t t t
sỹ tỷ ừ r ợ ỗ
r õ t t rr t
t r rt t tr s r
st rt r

t tr t t tỷ tr r ợ t

tr trữớ ổ ờ ữ ữủ ự õ tổ qt
ự sỹ tỷ tr r ợ ữợ



ữ ừ trữớ t t t ứ
ỳ tr tổ qt ồ t st ữ
ừ trữớ ổ ờ t t t
sỹ tỷ tr r ợ

t

ự t s ừ

ử t ừ
ử t ừ t t ữủ trữ ừ t ở tr t
trú tỷ ừ r ợ õ t trữớ ổ
ờ t t t

ử ự
qt t ự st trú
tỷ t ở tr t ừ r ợ r õ ỗ
r trú tữỡ tỹ r õ t trữớ ổ
ờ t t t

P ự
r ổ ờ tổ ự t t tỷ ừ
r ợ r õ ỗ t st
ổ t ỗ

Pữỡ ự
ự t tự ỵ tt ỡ ồ
ữủ tỷ t ỵ t r ú tổ sỷ ử ỵ tt r t
t t ở tr t tỷ tỹ t t số ỗ t
ú tổ sỷ ử t số t

ố ử
ử ử ử ử t t ữủ

P

r ỵ ồ t ử t ừ ử
ự ự ữỡ ự ố ử
P ở

ỗ ữỡ
ữỡ ởt số tờ q
ữỡ st t t tỷ ừ r ợ r
õ õ t trữớ ổ ờ t t t
ữỡ t q t số t
P t

r t q t ữủ ừ t ữợ t
tr ự

◆❐■ ❉❯◆●
❈❤÷ì♥❣ ✶
▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ tê♥❣ q✉❛♥
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ tæ✐ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② tê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♠↕♥❣ ❣r❛♣❤❡♥❡ ✤ì♥
❧î♣ ✈➔ ♠æ ❤➻♥❤ ❧✐➯♥ ❦➳t ♠↕♥❤ ❝❤♦ ♠↕♥❣ ♥➔②✳

✶✳✶ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♠↕♥❣ ❣r❛♣❤❡♥❡ ✤ì♥ ❧î♣
❈❛r❜♦♥ ❝â ♥❤✐➲✉ ❞↕♥❣ t❤ò ❤➻♥❤✱ ❝â t❤➸ ❦➸ ✤➳♥ ♠ët sè ❞↕♥❣ t❛ t❤÷í♥❣
✤÷ñ❝ ♥❣❤❡ ♥❤÷ ❦✐♠ ❝÷ì♥❣✱ ❣r❛♣❤✐t❡✱ ❝❛r❜♦♥ ✈æ ✤à♥❤ ❤➻♥❤✳ ●r❛♣❤❡♥❡ ❧➔
♠ët ❞↕♥❣ t❤ò ❤➻♥❤ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ ❝❛r❜♦♥ ✈➔ ❧➔ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝➜✉ tró❝ ❝ì
❜↔♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❞↕♥❣ t❤ò ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❝õ❛ ❝❛r❜♦♥ ❜❛♦ ❣ç♠ t❤❛♥ ❝❤➻✱ è♥❣
♥❛♥♦ ❝❛r❜♦♥ ✈➔ ❢✉❧❧❡r❡♥❡ ❬✸❪✱ ❬✶✸❪✳ ●r❛♣❤❡♥❡ ❝â ❝➜✉ tró❝ ♠↕♥❣ ❤➻♥❤ ❧ö❝
❣✐→❝ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ tê ♦♥❣ ✈î✐ ♠é✐ ♥❣✉②➯♥ tû ❝â ❜è♥ ✤✐➺♥ tû ❤â❛ trà✳ ❇❛ tr♦♥❣
sè ❜è♥ ✤✐➺♥ tû ð ❞↕♥❣ ❧✐➯♥ ❦➳t ♠↕♥❤ ✭❧✐➯♥ ❦➳t σ ✮ ✈î✐ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❧➙♥
❝➟♥ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❣r❛♣❤❡♥❡ ✈➔ ❞↔✐ ♥➔② s➩ ❧➜♣ ✤➛② ❝→❝ ❧î♣ t❤❡♦ ♥❣✉②➯♥
❧þ P❛✉❧✐✳ ❈❤ó♥❣ ❝â ❝➜✉ tró❝ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✭❧❛✐ ❤â❛ sp2 ❣✐ú❛
♠ët ♦r❜✐t❛♥ s ✈î✐ ❤❛✐ ♦r❜✐t❛♥ p✮✳ ▲✐➯♥ ❦➳t ♠↕♥❤ σ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû
❝❛r❜♦♥ ✭❈✮ ❧➔ ♥❣✉②➯♥ ♥❤➙♥ t↕♦ ♥➯♥ t➼♥❤ ❜➲♥ ✈ú♥❣ ❝ì ❤å❝ ❝õ❛ ❣r❛♣❤❡♥❡✳
❇❛ ✤✐➺♥ tû ❧✐➯♥ ❦➳t ♠↕♥❤ ❦❤æ♥❣ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá ❣➻ tr♦♥❣ t➼♥❤ ❞➝♥ ❝õ❛
❣r❛♣❤❡♥❡ ❬✸❪✳
✣✐➺♥ tû t❤ù t÷ ✤÷ñ❝ ①➨t ð tr↕♥❣ t❤→✐ 2pz ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ❝➜✉ tró❝
♣❤➥♥❣✱ ♥â ❧✐➯♥ ❦➳t ✤ç♥❣ ❤â❛ trà ✈î✐ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❝❛r❜♦♥ ❧➙♥ ❝➟♥✳ ❉↕♥❣
❝õ❛ ✤✐➺♥ tû t❤ù t÷ ❧➔ ♠ët ❧✐➯♥ ❦➳t π ✈î✐ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❝❛r❜♦♥ ❧➙♥ ❝➟♥✳
✶✷


õ ởt tỷ tr ộ rt 2pz ởt ỷ
t õ tỷ tự tữ õ trỏ tr ở
ứ õ t õ t r õ ởt tỷ tr

t 2pz
P ỏ ừ t t t tr t 2pz ừ
tỷ r st sỹ ỗ ỳ sõ tr t
tỷ r ừ t ở r tr ữỡ
ú t

r

r t ữớ t ồ A ọ

B ữỡ tữỡ ự ợ ừ r
t tt tr t õ ữỡ ọ
t
ớ t õ t t tt tr tr ừ tỷ tr
r ởt ử t ỹ tr ỡ s a1 a2 ữủ
ữ s


a1 =

3 3
,
2 2


a, a2 =

3 3
,
2 2

a,




˚ ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♥❣✉②➯♥ tû ❈ ❧✐➲♥ ❦➲
tr♦♥❣ ✤â a = 1.4 A
❬✸❪✱ ❬✻❪✱ ❬✽❪✳
❚❛ ♣❤↔✐ ❝❤å♥ ♠ët ✈à tr➼ ❧➔♠ ❣è❝✱ ✈➻ t❤➳✱ tæ✐ ❝❤å♥ ❣è❝ ð ♠ët ♥❣✉②➯♥
tû ♠↕♥❣ ❝♦♥ B ♥❤÷ tr♦♥❣ ❍➻♥❤ ✶✳✷✳ ❈→❝ ✈❡❝t♦r ✈à tr➼ Bm ❝❤➾ ❝→❝ ✈à tr➼
❝õ❛ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ð ♠↕♥❣ ❝♦♥ B ✱ ❞♦ ❣r❛♣❤❡♥❡ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ♥➯♥ m ❝❤➾ ❧➔
❝→❝ ❝❤➾ sè m1 ✈➔ m2 ✱ tr♦♥❣ ✤â m1 , m2 ∈ Z✳ ❈→❝ ✈❡❝t♦r Bm ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥
♠➔✉ ①❛♥❤ ❞÷ì♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t✿

Bm = Bm1 ,m2 = m1 a1 + m2 a2 .

✭✶✳✷✮

❍➻♥❤ ✶✳✷✿ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ ❤➺ tå❛ ✤ë t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ✈à tr➼ ♥❣✉②➯♥ tû tr♦♥❣ ♠ët ♠↕♥❣
❣r❛♣❤❡♥❡ ✈î✐ ❣è❝ ♥➡♠ ð ♠ët ♥❣✉②➯♥ tû ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥ ♠➔✉ ①❛♥❤ ❞÷ì♥❣ B ❬✸❪✳

❈→❝ ✈❡❝t♦r ♠↕♥❣ ❝♦♥ A ❦❤→❝ ✈î✐ ❝→❝ ✈❡❝t♦r ♠↕♥❣ ❝♦♥ B ❜ð✐ ♣❤➨♣ tà♥❤
t✐➳♥ d = a (0, 1) ✤÷ñ❝ ♠æ t↔ tr♦♥❣ ❍➻♥❤ ✶✳✷✳ ❱➔ ❝→❝ ✈❡❝t♦r ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥

✶✹

A An ú ữủ t
An = An1 ,n2 = n1 a1 + n2 a2 + d = Bm1 ,m2 + d.



é ữỡ tr tr n1 , n2 Z
õ t ỹ t tờ qt r ỗ tt
tỷ ợ tr ũ số m n ữ
t ự tr t t
N

gen =
H

N

nm

an bm

+

bm an

n,m

nm an am + bn bm + H.c.

+

n,m



gen,0 + H
gen,1 .
=H
gen,0 ố tr ữỡ tr tr tữỡ ự
ố H
ợ tt ữợ ỳ tỷ tở
A s B B s A ợ ữủ ỳ
út m,n

m,n an bm + bm an .

gen,0 =
H



m,n

gen,1 ố ừ ữỡ tr tữỡ ự
ố tự H
ợ tt ữợ ỳ tỷ tr ũ
A s A B s B ợ ữủ ỳ
út m,n

m,n am an + bm bn + H.c. .

gen,1 =
H



m,n

tỷ an (an ) s ừ ởt tỷ tr tr tỷ An ừ
A ọ t tỷ bm (bm ) s ừ ởt tỷ tr



tr tỷ Bm ừ B ữỡ tự
ộ t tỷ an bm

an , am = nm .



bn , bm = nm .



t tỷ ừ A an , an t tỷ ừ B
bm , bm ợ

{an , bm } = an , bm = an , bm = an , bm = 0.

tr tr t ừ sỹ ỗ ừ tr tr
t ởt tr ừ ởt

k = A Ak + B Bk .



số A B ữỡ tr tr số ự tr
tr t Ak Bk sỹ ỗ ừ tr t tỷ
ộ tr tỷ tr A ọ B ữỡ
tữỡ ự ữủ t ủ t ở tr tỷ ừ
tr r ỡ ợ ữ õ t ố ự tự
tr tr t Ak Bk t õ

Ak

1
=
N



Bk

1
=
N

N

e

ik.Au

u=1

N

e
v=1

ik.Bv

1
|u, A =
N

1
|v, B =
N


N

eik.Au au |0 ,



eik.Bv bv |0 .

u=1

N

v=1


❚r♦♥❣ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥✱ t❛ ✤➣ sû ❞ö♥❣ t♦→♥ tû s✐♥❤ a†u , b†v ✤➸ ✈✐➳t
❧↕✐ ❝→❝ ✈❡❝t♦r tr↕♥❣ t❤→✐ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû r✐➯♥❣ ❧➫ t❤✉ë❝ ❝→❝ ✈à tr➼ u, v
tr♦♥❣ ♠↕♥❣ ❣r❛♣❤❡♥❡ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝õ❛ t♦→♥ tû s✐♥❤ ✈➔ tr↕♥❣
t❤→✐ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ♥❣✉②➯♥ tû ❬✸❪✿

|u, A = a†u |0 ,

✭✶✳✶✸✮

|v, B = b†v |0 .

✭✶✳✶✹✮

✈➔

❈❤ó♥❣ ❧➔ ❝→❝ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ð ♠é✐ ♠↕♥❣ ❝♦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❬✸❪✱ ❬✾❪✿

x|u, A = ϕA (r − ru ) ,

✭✶✳✶✺✮

x|v, B = ϕB (r − rv ) .

✭✶✳✶✻✮

✈➔

❚r♦♥❣ ✤â |0 ❧➔ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝↔ ❤➺✱ t❛ ❝ô♥❣ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿

an |0 = bm |0 = 0.

✭✶✳✶✼✮

❚❛ ❧✉æ♥ ❧✉æ♥ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ✈❡❝t♦r tr↕♥❣ t❤→✐ ❝õ❛ ♥❣✉②➯♥ tû ✤➣ ✤÷ñ❝
❝❤✉➞♥ ❤â❛❀ ✤è✐ ✈î✐ ♠↕♥❣ ❝♦♥ A t❛ ❝â ❬✸❪✿

w, A|u, A = 0| aw a†u |0 = δwu ;

✭✶✳✶✽✮

✈➔ ✤è✐ ✈î✐ ♠↕♥❣ ❝♦♥ B t❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t÷ì♥❣ tü✿

w, B|v, B = 0| bw b†v |0 = δwv .

✶✼

✭✶✳✶✾✮


❈✉è✐ ❝ò♥❣ t❛ ❝â t➼❝❤ tr♦♥❣ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✈❡❝t♦r tr↕♥❣ t❤→✐ ♥❣✉②➯♥ tû ❝õ❛ ❤❛✐

♠↕♥❣ ❝♦♥ ❜➡♥❣ ✵ ❬✸❪✿

w, A|u, B = 0| aw b†u |0 = u, B|w, A = 0| bu aw† |0 = 0.

✭✶✳✷✵✮

❈→❝ ✈❡❝t♦r tr↕♥❣ t❤→✐ ❝õ❛ ♠é✐ ♠↕♥❣ ❝♦♥ Ak ✈➔ Bk ð tr➯♥ ✤➣ ✤÷ñ❝
trü❝ ❝❤✉➞♥✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â ❤➺ t❤ù❝ s❛✉ ❬✸❪✿

Ak Ak

1
=
N
1
=
N
1
=
N

N

eik.(Au −Aw ) w, A|u, A
u,w=1
N

eik.(Au −Aw ) δuw

✭✶✳✷✶✮

u,w=1
N

1 = 1.
u=1

❚÷ì♥❣ tü ✤è✐ ✈î✐ ✈❡❝t♦r Bk ❝õ❛ ♠↕♥❣ ❝♦♥ B ✿

Bk Bk = 1.

✭✶✳✷✷✮

❱➔ t❛ ❝â t➼❝❤ tr♦♥❣ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✈❡❝t♦r tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❝→❝ ♠↕♥❣ ❝♦♥ ❦❤→❝
♥❤❛✉ ❜➡♥❣ ✵ ❬✸❪✿

Ak Bk = Bk Ak = 0.

✭✶✳✷✸✮

✶✳✷ ▼æ ❤➻♥❤ ❧✐➯♥ ❦➳t ♠↕♥❤ tr♦♥❣ ❣r❛♣❤❡♥❡ ✤ì♥ ❧î♣
✶✳✷✳✶

▲✐➯♥ ❦➳t ♠↕♥❤ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❧➙♥ ❝➟♥ ❣➛♥ ♥❤➜t

❚❛ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤➾ ①➨t ❧✐➯♥ ❦➳t ❣✐ú❛ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❧➙♥ ❝➟♥
❣➛♥ ♥❤➜t✳ ❈→❝ ✈❡❝t♦r tr↕♥❣ t❤→✐ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ①❛ ❤ì♥ ❝â sü ❝❤ç♥❣
❝❤➨♦ r➜t ♥❤ä ✈î✐ ♥❤❛✉ ❝â t❤➸ ①❡♠ ❜➡♥❣ ✵✳ ❈â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ε˜m,n ❜➡♥❣ ✵ tr♦♥❣
✶✽

♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✹✮ ✈➔ εm,n ❝❤➾ ❦❤→❝ ✵ ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❣➛♥ ♥❤➜t ✈➔
❝â ❝ò♥❣ ❣✐→ trà ε0 ≈ 3 ❡❱✳ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❝❤♦ ❤➺ trð t❤➔♥❤ ❬✸❪✱ ❬✻❪✿

a†n bn+δm + b†n+δ an .

ˆ 0 = ε0
H

m

✭✶✳✷✹✮

n,m

❈❤➾ sè δm tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❧➔ ✈❡❝t♦r ✤➳♥ ♥❣✉②➯♥ tû ❧➙♥ ❝➟♥
❣➛♥ ♥❤➜t ❬✸❪✳ ❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✹✮ ✈➔ ✭✶✳✶✵✮✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❙❝❤r☎
♦❞✐♥❣❡r trð t❤➔♥❤✿

ˆ 0 |ψk = H
ˆ 0 (A |Ak + B |Bk ) = E(A |Ak + B |Bk ).
H

✭✶✳✷✺✮

❚❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦➳t ❤ñ♣✱ ♠ët ❝❤♦ ♠é✐ ✈❡❝t♦r tr↕♥❣ t❤→✐✳
✣➸ t➻♠ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ♣❤➙♥ ❜ê ❝❤♦ ❣r❛♣❤❡♥❡✱ t❛ ♣❤↔✐ ❣✐↔✐
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ trà r✐➯♥❣✳ ❚❛ ♥❤➙♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❧➛♥ ❧÷ñt ✈î✐ Ak | ✈➔

Bk |✱ ✤÷ñ❝ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉✿
ˆ 0 |ψk = A Ak | H
ˆ 0 |Ak + B Ak | H
ˆ 0 |Bk
Ak | H

✭✶✳✷✻✮

= EA Ak |Ak + EB Ak |Bk = E(k)A;
ˆ 0 |ψk = A Bk | H
ˆ 0 |Ak + B Bk | H
ˆ 0 |Bk
Bk | H

✭✶✳✷✼✮

= EA Bk |Ak + EB Bk |Bk = E(k)B.
❚r♦♥❣ ✤â t❛ ✤➣ sû ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ tø ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✶✮ ✈➔ ✭✶✳✷✸✮✳
❍❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ð tr➯♥ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ k ✱ t❛ ✈✐➳t
❝❤ó♥❣ ð ❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤r☎
♦❞✐♥❣❡r ❝õ❛ ❤➺ ❧➔ ❬✸❪✿



ˆ 0 |Ak
Ak | H



ˆ 0 |Ak

Bk | H

 
 
ˆ 0 |Bk
Ak | H
A
A
  = E  .
ˆ 0 |Bk
Bk | H
B
B

✶✾

✭✶✳✷✽✮


ˆ 0 tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✹✮ ✈➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝õ❛
◆➳✉ t❛ sû ❞ö♥❣ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ H
|Ak ✱ |Bk ð ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✶✮✱ ✭✶✳✶✷✮✱ t❛ ❝â t❤➸ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ tø♥❣ sè
❤↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ tr➯♥ ♥❤÷ s❛✉✿
3

ˆ 0 |Bk = ε0
Ak | H

eik.δm = −ε0 eikδ1 + eikδ2 + eikδ3
m=1

= ε0 g(k),
3

ˆ 0 |Ak = ε0
Bk | H

e−ik.δm = −ε0 e−ikδ1 + e−ikδ2 + e−ikδ3

✭✶✳✷✾✮

m=1
∗

= ε0 g(k) ,
ˆ 0 |Ak = Bk | H
ˆ 0 |Bk = 0.
Ak | H
❚❛ ✤➣ ✤➦t ❤➔♠ g(k)✿
3

✭✶✳✸✵✮

eik.δm = eikδ1 + eikδ2 + eikδ3 .

g(k) =
m=1

❱î✐ ❝→❝ ❣✐→ trà ✈❡❝t♦r δm ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❧➙♥ ❝➟♥ ❣➛♥ ♥❤➜t ❬✸❪✱ ❬✽❪✿

δ1 = (0, a); δ2 =

√
a 3 a
,−
2
2

; δ3 =

√
a 3 a
−
,−
2
2

,

✭✶✳✸✶✮

✈➔ ✈î✐ k = (kx , ky ) t❛ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ ❣✐→ trà g(k)✿

√
g(k) = 2 cos

3
kx a e−iky a/2 + eiky a .
2

✷✵

✭✶✳✸✷✮


✭❛✮ ♠↕♥❣ ❝♦♥ ❆

✭❜✮ ♠↕♥❣ ❝♦♥ ❇

❍➻♥❤ ✶✳✸✿ ❈→❝ ✈❡❝t♦r δm tr♦♥❣ ❝→❝ ♠↕♥❣ ❝♦♥✳

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✽✮ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ t❤➔♥❤✿

 
 
  
A
0
ε0 g(k)
A
A
ˆ 0 (k)   = 
  = E  .
H
∗
B
ε0 g(k)
0
B
B

✭✶✳✸✸✮

❚❛ ❝❤✉②➸♥ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ s❛♥❣ ✈➳ tr→✐ ✈➔ t❤✉ ✤÷ñ❝✿

 
  
A
−E ε0 g(k)
A
ˆ 0 (k) − EI   = 
   = 0,
H
∗
B
ε0 g(k)
−E
B

✈î✐ I = 

1 0
0 1

✭✶✳✸✹✮


.

❚❛ ❝â t❤➸ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈î✐ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛ ♠❛

ˆ 0 (k) − EI ❜➡♥❣ ✵ ❬✸❪✿
tr➟♥ H
ˆ 0 (k) − EI = 0.
det H

✭✶✳✸✺✮

E(k) = ±ε0 g(k) .

✭✶✳✸✻✮

❙✉② r❛✿

✷✶