Phương trình tham số và phương trình xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỷ phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
———————o0o——————–

NGUYỄN THỊ THU TRANG

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ
PHƯƠNG TRÌNH XẤP XỈ CỦA ĐƯỜNG
CONG ĐẠI SỐ HỮU TỈ PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ


Mã số: 60 46 01 04

Huế, tháng 11 năm 2019
2


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
———————o0o——————–

NGUYỄN THỊ THU TRANG

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ
PHƯƠNG TRÌNH XẤP XỈ CỦA ĐƯỜNG

CONG ĐẠI SỐ HỮU TỈ PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 01 04


Cán bộ hướng dẫn khoa học:
TS. TRẦN QUANG HÓA

Huế, tháng 11 năm 2019
2



Mục lục

Mục lục

1

Bảng các ký hiệu

5

Lời nói đầu

7

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

11

Vành đa thức nhiều biến . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1

Vành đa thức nhiều biến . . . . . . . . 12

1.1.2

Iđêan trong vành đa thức . . . . . . . 14

1.2

Phép chia Euclid trong vành đa thức một biến 15

1.3

Đa thức bất khả quy và phân tích đa thức
thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4

Kết thức của hai đa thức. . . . . . . . . . . . 17
2


1.5

1.4.1

Định nghĩa kết thức của hai đa thức . 18

1.4.2

Tính chất của kết thức . . . . . . . . . 19

Đường cong đại số trong mặt phẳng . . . . . . 21
1.5.1

Không gian affine và đường cong đại
số trong mặt phẳng affine . . . . . . . 21

1.5.2

Không gian xạ ảnh và đường cong đại
số trong mặt phẳng xạ ảnh . . . . . . . 22

1.5.3

Mầm của đường cong đại số . . . . . . 23

2 Đường cong đại số hữu tỉ phẳng và phương
trình tham số của nó

25

2.1

Đường cong đại số hữu tỉ phẳng . . . . . . . . 26

2.2

Tham số hóa một số họ đường cong . . . . . . 28
2.2.1

Tham số hóa các đường cong bậc hai . 28

2.2.2

Tham số hóa các đường cong bậc bậc ba 29

2.2.3

Tham số hóa của đường cong bậc d có
điểm bội d − 1

. . . . . . . . . . . . . 30

3 Phương trình xấp xỉ của đường cong đại số
3


hữu tỉ phẳng
3.1

32

Tìm phương trình xấp xỉ của đường cong đại
số hữu tỉ bằng kết thức . . . . . . . . . . . . . 33

3.2

Tìm phương trình xấp xỉ của đường cong đại
số hữu tỷ bằng µ-cơ sở của đường cong phẳng

34

3.2.1

µ-cơ sở của đường cong phẳng . . . . . 35

3.2.2

Phương trình xấp xỉ của đường cong
phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.3

Thuật toán tìm µ-cơ sở và phương trình
xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỉ
phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4

BẢNG CÁC KÝ HIỆU

Ký hiệu

Nghĩa ký hiệu

N

Tập hợp các số tự nhiên

N∗

Tập hợp các số tự nhiên khác 0

Z

Tập các số nguyên

Q

Tập hợp các số hữu tỉ

R

Tập hợp các số thực

C

Tập hợp các số phức

k

Trường k

Ank

Không gian affine n-chiều trên k

Pnk

Không gian xạ ảnh n-chiều trên k

C

đường cong đại số

k[x]

Vành đa thức một biến x

k[x1 , . . . , xn ]

Vành đa thức n biến x1 , . . . , xn

k(x1 , . . . , xn )

Trường các hàm hữu tỉ theo biến x1 , . . . , xn

f1 , . . . , f s

Iđêan sinh bởi f1 , . . . , fs

∂f
∂x

Đạo hàm riêng của hàm f theo biến x

deg(f )

Bậc của đa thức f

deg(C)

Bậc của đường cong đại số C

gcd(f, g)

Ước chung lớn nhất của f và g

5


det(M )

Định thức của ma trận vuông M

genus(C)

Mầm của đường cong đại số C

LT(f )

Phần tử dẫn đầu của đa thức f

LV(v)

Vectơ hệ số dẫn đầu của vectơ đa thức v

multP (C)

Bội của điểm P trên C

Res(f, g, x)

Kết thức của hai đa thức f và g ứng với biến x

Sing(C)

Tập các điểm kỳ dị của đường cong C

Syl(f, g, x)

Ma trận Sylvester của hai đa thức f và g ứng với biến

Syz(I)

Môđun của các syzygy của iđean I

6

LỜI NÓI ĐẦU
Đường cong đại số là một đối tượng nghiên cứu cơ bản
trong hình học đại số. Các đường cong đại số hữu tỉ có thể
biễu diễn bằng một vài cách khác nhau, chẳng hạn như biểu
diễn tham số và biểu diễn xấp xỉ. Biểu diễn tham số là mô
tả một đường cong đại số hữu tỉ như là ảnh đóng của một
ánh xạ hữu tỉ, trong khi đó biểu diễn xấp xỉ mô tả nó như
tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức. Chẳng hạn,
đường tròn đơn vị trong mặt phẳng có thể cho dưới dạng
x2 + y 2 = 1, cũng có thể biểu diễn như là tập hợp các điểm
2

2t
1−t
M (x, y) trong mặt phẳng với (x, y) = ( 1+t
2 , 1+t2 ), với t ∈ R.

Cả hai cách biểu diễn này đều có vai trò quan trọng trong
thiết kế đồ họa các đối tượng hình học bằng công cụ máy
tính. Mỗi cách biểu diễn có những thuận lợi riêng tùy thuộc
vào vấn đề chúng ta cần giải quyết. Chẳng hạn, nếu chúng
ta muốn vẽ một đường cong hữu tỉ trên màn hình máy tính
7


thì sử dụng biểu diễn tham số của nó tốt hơn nhưng nếu
chúng ta muốn biết xem một điểm cho trước có nằm trên
đường cong đó không thì biểu diễn xấp xỉ giúp ta dễ dàng

xác định hơn, cũng như xác định giao của hai đường cong thì
một đường biểu diễn tham số và đường còn lại biểu diễn xấp
xỉ giúp ta dễ dàng xác định giao của chúng hơn. Vì vậy, việc
tìm một biểu diễn xấp xỉ của đường cong khi biết biểu diễn
tham số và ngược lại là một vấn đề cơ bản và quan trọng
trong lý thuyết cũng như trong ứng dụng và được nghiên cứu
rộng rãi bởi nhiều nhà khoa học, đặc biệt các nhà hình học
đại số và hình học mô hình. Do đó, tôi chọn đề tài luận văn:
"Phương trình tham số và phương trình xấp xỉ của
đường cong đại số hữu tỉ phẳng" để tìm hiểu sâu hơn
về vấn đề này.
Khi xem xét một đường cong đại số, chúng ta cần xem
xét xem chúng nằm trong một mặt phẳng hay không? Nếu
đường cong C nằm trong một mặt phẳng thì chúng ta nói
C là đường cong đại số phẳng. Tuy nhiên, một đường cong
trong không gian nhiều chiều luôn có thể chiếu một cách song
hữu tỉ vào một đường cong phẳng, nghĩa là tồn tại một phép
chiếu từ đường cong trong không gian nhiều chiều vào đường
cong phẳng. Sử dụng phép chiếu này và ánh xạ ngược của

8


nó, chúng ta có thể thu về nghiên cứu đường cong phẳng. Do
đó, Luận văn này chỉ nghiên cứu các đường cong đại số hữu
tỉ phẳng, tức là tập hợp các điểm M (a, b) trong mặt phẳng
sao cho f (a, b) = 0, trong đó f ∈ k[x, y] là một đa thức hai
biến trên một trường số k.
Đường cong phẳng có thể xét trong mặt phẳng affine
A2k hoặc trong mặt phẳng xạ ảnh P2k . Thật vậy, nếu đường

cong C ⊂ A2k được xác định bởi một đa thức f ∈ k[x, y] có
bậc tổng d, thì
x y
g(x, y, z) = z d f ( , ) ∈ k[x, y, z]
z z
là một đa thức thuần nhất bậc d (tổ hợp của các đơn thức
theo x, y, z và mỗi đơn thức có cùng bậc d). Khi đó, tập hợp
{(a : b : c) ∈ P2k | g(a, b, c) = 0}
cũng biểu diễn chính đường cong C.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này hệ
thống một số kiến thức về vành đa thức nhiều biến, iđêan
trong vành đa thức, kết thức của hai đa thức, đa tạp đại số
affine và đa tạp đại số xạ ảnh. Đặc biệt, chúng tôi giới thiệu
một số khái niệm liên quan đến đối tượng nghiên cứu chính
9


của Luận văn là đường cong đại số affine và đường cong đại
số xạ ảnh.
Chương 2: Đường cong đại số hữu tỉ phẳng và
phương trình tham số của nó. Chương này trình bày
một cách có hệ thống về phương pháp tham số hóa đường
cong đại số hữu tỉ phẳng: chúng tôi nghiên cứu một số tính
chất của đường cong đại số hữu tỉ và đưa ra một số phương
pháp tham số hóa một số họ đường cong đặc biệt.
Chương 3: Phương trình xấp xỉ của đường cong
đại số hữu tỉ phẳng. Chương này trình bày một số phương
pháp tìm phương trình xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỉ
phẳng: sử dụng kết thức của hai đa thức từ phương trình

tham số và sử dụng µ-cơ sở của đường cong đại số.

10


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kết quả
cơ bản và cần thiết để sử dụng trong các chương sau. Cụ
thể, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản liên quan
đến vành đa thức một biến hoặc nhiều biến trên một trường,
iđêan trong vành đa thức, phép chia Euclid trong vành đa
thức, đa thức bất khả quy và phân tích đa thức thành tích
các đa thức bất khả quy, kết thức của hai đa thức và đường
cong đại số trong mặt phẳng. Tài liệu tham khảo chính của
chương này là [1, 2, 4, 5, 8].

11


1.1

Vành đa thức nhiều biến

1.1.1

Vành đa thức nhiều biến

Trong mục này, chúng ta nhắc lại định nghĩa và một số
tính chất cơ bản của vành đa thức n biến x1 , x2 , . . . , xn với

hệ số trong một trường tùy ý k. Chúng ta bất đầu với định
nghĩa đơn thức.
Định nghĩa 1.1.1. Một đơn thức trong x1 , . . . , xn là một
tích dạng
xα1 1 xα2 2 · · · xαnn ,
ở đây tất cả các lũy thừa α1 , . . . , αn là những số nguyên
không âm. Bộ (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn được gọi là bộ số mũ của
đơn thức. Bậc của đơn thức này là α1 + · · · + αn .
Để cho đơn giản, với mỗi α = (α1 , . . . , αn ) là một bộ
n số nguyên không âm, chúng ta viết xα = xα1 1 xα2 2 · · · xαnn .
Khi α = (0, . . . , 0), thì ta viết xα = 1. Ta ký hiệu |α| =
α1 + · · · + αn là bậc của đơn thức xα .
Định nghĩa 1.1.2. Một đa thức trong x1 , . . . , xn với hệ số
trên k là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn (với hệ số trong k)
12


của những đơn thức. Mỗi đa thức f sẽ được viết dưới dạng
aα x α ,

f=

aα ∈ k,

α

ở đây tổng chạy trên một số hữu hạn n-bộ α = (α1 , . . . , αn )
với aα = 0. Tập của tất cả các đa thức trong các biến
x1 , . . . , xn với hệ số trên trường k được kí hiệu là k[x1 , . . . , xn ].
Hai đa thức bằng nhau: Hai đa thức f =

α∈Nn bα x

g =

α

α∈Nn

aα xα và

được xem là bằng nhau nếu aα = bα với

mọi α ∈ Nn .
Định nghĩa phép cộng hai đa thức: Cho hai đa thức
f=

α∈Nn

aα xα và g =

α∈Nn bα x

α

. Khi đó phép cộng của

hai đa thức được định nghĩa như sau:
(aα + bα )xα .

f +g =

α∈Nn

Định nghĩa phép nhân hai đa thức: Cho hai đa thức :
βa xa . Khi đó phép nhân hai

αa xa và g(x) =

f (x) =
a∈Nn

a∈Nn

đa thức được định nghĩa như sau:
f (x)g(x) = (

αa xa )(

a∈Nn

trong đó γa =

a∈Nn

α b βc .
b,c∈Nn ,b+c=a

13

β a xa ) =

γa xa ,
a∈Nn


Mệnh đề 1.1.3. Tập hợp k[x1 , . . . , xn ] với hai phép toán
cộng và nhân lập thành một vành giao hoán có đơn vị, ta
gọi là vành đa thức theo các biến x1 , . . . , xn với hệ số trên
trường k.

1.1.2

Iđêan trong vành đa thức

Định nghĩa 1.1.4. Một tập con I ⊂ k[x1 , . . . , xn ] là một
iđêan nếu nó thỏa mãn:

(i) 0 ∈ I.

(ii) Nếu f, g ∈ I thì f + g ∈ I.

(iii) Nếu f ∈ I và h ∈ k[x1 , . . . , xn ] thì hf ∈ I.

Mệnh đề 1.1.5. Cho f1 , . . . , fs là các đa thức trong k[x1 , . . . , xn ].
Khi đó,
s

hi fi | h1 , . . . , hs ∈ k[x1 , . . . , xn ]

f1 , . . . , f s =
i=1

là một iđêan của k[x1 , . . . , xn ].
14


1.2

Phép chia Euclid trong vành đa
thức một biến

Định nghĩa 1.2.1. Xét đa thức 0 = f ∈ k[x]. Giả sử f được
viết dưới dạng
f = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ,
ở đây ai ∈ k và a0 = 0, do đó n = deg(f ). Ta nói a0 xn là
phần tử dẫn đầu của f, và ta viết LT(f ) = a0 xn .
Mệnh đề 1.2.2. Với mọi đa thức f, g ∈ k[x], ta đều có
deg(f g) = deg(f ) + deg(g)
deg(f + g) ≤ max{deg(f ), deg(g)}.
Mệnh đề 1.2.3 (Thuật toán chia Euclid). Cho k là một
trường và 0 = g ∈ k[x]. Khi đó, mọi đa thức f ∈ k[x] có thể
viết dưới dạng
f = qg + r,
ở đây q, r ∈ k[x], và hoặc r = 0, hoặc deg(r) < deg(g). Hơn
nữa, q và r xác định duy nhất, và ta có thuật toán để tìm q
và r.
Một hệ quả quan trọng của thuật toán chia Euclid liên
quan đến số nghiệm của đa thức một biến.
15

Hệ quả 1.2.4. Cho k là một trường và 0 = f ∈ k[x] là một
đa thức bậc n. Khi đó f có nhiều nhất n nghiệm trong k.
Hệ quả 1.2.5. Cho k là một trường. Khi đó mọi iđêan I
trong k[x] đều là iđêan chính, nghĩa là tồn tại f ∈ I sao cho
I = (f ). Hơn nữa, nếu I = (g), thì f = cg, c ∈ k.
Định nghĩa 1.2.6. Ước chung lớn nhất của hai đa thức
f, g ∈ k[x] là một đa thức h thỏa mãn:
(i) h là ước của f và g.
(ii) Nếu p là một đa thức khác và là ước của f và g thì p
là ước của h.
Ta kí hiệu ước chung lớn nhất của f và g là gcd(f, g).
Mệnh đề 1.2.7. Cho f, g ∈ k[x]. Thì:
(i) gcd(f, g) là tồn tại và duy nhất sai khác một hằng số
trong k.
(ii) gcd(f, g) là phần tử sinh của iđêan (f, g), tức là (f, g) =
gcd(f, g). Nói cách khác tồn tại hai đa thức A, B ∈ k[x]
sao cho Af + Bg = gcd(f, g).
16


1.3

Đa thức bất khả quy và phân
tích đa thức thành nhân tử

Định nghĩa 1.3.1. Cho k là một trường. Một đa thức f ∈
k[x1 , . . . , xn ] được gọi là bất khả quy trên k nếu f khác
đa thức hằng và không thể viết được thành tích của hai đa
thức khác hằng trong k[x1 , . . . , xn ]. Một đa thức không bất
khả quy trên k thì ta gọi nó là đa thức khả quy trên k.

Định lý 1.3.2. Mọi đa thức khác hằng f ∈ k[x1 , . . . , xn ] có
thể được viết như là tích f = f1 · f2 · · · fr của những đa thức
bất khả quy trên k. Hơn nữa, nếu f = g1 · g2 · · · gs là một
phân tích khác của f thành tích của những đa thức bất khả
quy trên k, thì r = s và gi = ci fi , với ci ∈ k và đánh lại chỉ
số của các gi nếu cần.

1.4

Kết thức của hai đa thức.
Trong mục này, chúng tôi định nghĩa kết thức của hai

đa thức và một số tính chất của nó. Các kết quả này được
sử dụng trong chương 4, áp dụng kết thức của hai đa thức
để tìm phương trình xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỉ
phẳng.
17


1.4.1

Định nghĩa kết thức của hai đa thức

Trước khi định nghĩa kết thức, chúng ta cần kết quả
sau.
Định nghĩa 1.4.1. Cho hai đa thức f, g ∈ K[x] bậc dương.
Giả sử f, g có dạng
f (x) =a0 xn + a1 xn−1 · · · + an , a0 = 0,
g(x) =b0 xm + b1 xm−1 · · · + bm , b0 = 0.
Ma trận Sylvester của f và g tương ứng với biến x, ký

hiệu là Syl(f, g, x), là

a
 0

 a1


 a2

 ..
.


Syl(f, g, x) = 


 an








ma trận vuông cấp n + m có dạng:

b0




a0
b1 b0


...
...

a1
b2 b1

..

..
..
.
.
a0 .
b0 

..
..

.
a1
.
b1 




bm

..
.. 
an
.
bm
. 


..
..

.
.

an
bm

ở đây những phần tử để trống là phần tử 0. Kết thức của
f và g tương ứng với biến x, ký hiệu là Res(f, g, x), là định
18


thức của ma trận Syl(f, g, x).
Res(f, g, x) = det(Syl(f, g, x)).
Chúng ta thường ký hiệu Res(f, g) nếu không gây nhầm lẫn
gì về biến x của hai đa thức f và g.

1.4.2

Tính chất của kết thức

Mệnh đề 1.4.2. Cho f, g ∈ k[x] lần lượt là hai đa thức có
bậc n, m. Khi đó
Res(f, g) = (−1)nm Res(g, f ).
Định nghĩa 1.4.3. Một đa thức được gọi là đa thức nguyên
nếu tất cả các hệ số của nó là những số nguyên.
Mệnh đề 1.4.4. Cho f, g ∈ k[x] có bậc dương. Khi đó, kết
thức Res(f, g, x) ∈ k là một đa thức nguyên theo các hệ số
của f và g. Hơn nữa, f và g có nhân tử chung trong k[x] khi
và chỉ khi Res(f, g) = 0.
Để kết nối giữa kết thức và lý thuyết khử biến, đầu tiên
ta xét ví dụ sau: Xét hai đa thức f = xy−1 và g = x2 +y 2 −4.
Ta xem f và g là các đa thức theo biến x với hệ số là các đa
thức theo y. Khi đó
Res(f, g, x) = y 4 − 4y + 1.
19


Tổng quát hơn, nếu f, g là hai đa thức trong k[x, y] với
bậc dương theo biến x. Khi đó, ta xem f và g là đa thức theo
biến x với hệ số là các đa thức theo y và do đó Res(f, g, x)
là một đa thức theo y. Nói cách khác, Res(f, g, x) khử biến
x.
Định lý 1.4.5. Cho f, g ∈ k[x] là hai đa thức bậc dương.
Khi đó, tồn tại hai đa thức A, B ∈ k[x] sao cho
Af + Bg = Res(f, g).
Hơn nữa, hệ số của A và B là các đa thức nguyên trong hệ

số của f và g.
Cho f, g ∈ k[x1 , . . . , xn ] có bậc dương theo biến x1 . Ta
viết
= a0 xn1 + · · · + al ,

a0 = 0,

g = b 0 xm
1 + · · · + bm ,

b0 = 0,

f

(1.1)

ở đây ai , bi ∈ k[x2 , . . . , xn ] và ta định nghĩa kết thức của f và
g tương ứng với biến x1 là định thức của ma trận Syl(f, g, x1)
được xác định như trong Định nghĩa 1.4.1. Các tính chất của
kết thức trong n biến cũng tương tự trường hợp một biến.
Định lý 1.4.6. Cho f, g ∈ k[x1 , . . . , xn ] có bậc dương theo
biến x1 . Khi đó
20


(i) Res(f, g, x1 ) là iđêan khử biến thứ nhất x1 , tức là
Res(f, g, x1 ) ∈ f, g ∩ k[x2 , . . . , xn ].
(ii) Res(f, g, x1 ) = 0 khi và chỉ khi f và g có một nhân tử
chung trong k[x1 , . . . , xn ] có bậc dương theo biến x1 .

1.5

Đường cong đại số trong mặt
phẳng

1.5.1

Không gian affine và đường cong đại
số trong mặt phẳng affine

Định nghĩa 1.5.1. Cho k là một trường bất kỳ và n là một
số nguyên dương. Tập hợp
Ank = {(a1 , . . . , an ) | a1 , . . . , an ∈ k}
được gọi là không gian affine n-chiều trên k. Ta gọi A1k là
đường thẳng affine and A2k là mặt phẳng affine.
Định nghĩa 1.5.2. Một đường cong đại số phẳng C ⊂ A2k
là tập hợp
C = {(a, b) ∈ A2k | f (a, b) = 0},
trong đó 0 = f (x, y) ∈ k[x, y].
21