Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
HÀM SỐ
(Giáo án nâng cao)
I. Mục tiêu:
1) Về kiến thức:
– Nắm vững định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của
đồ thị hàm số.
– Nắm được cách tìm các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận
xiên của đồ thị hàm số.
2) Về kỹ năng:
– Thực hiện thành thạo việc tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
– Nhận thức được hàm phân thức hữu tỉ (không suy biến)có những đường
tiệm cận nào.
3) Về tư duy và thái độ:
– Tự giác, tích cực trong học tập.
– Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh
thần hợp tác xây dựng cao.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Giáo viên: - Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập .
Học sinh: – Sách giáo khoa.
– Kiến thức về giới hạn.
III. Phương pháp:
Dùng các phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, hoạt
động nhóm..
IV. Tiến trình bài học:
1. Ổn định lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (5’)
Câu hỏi 1: Tính các giới hạn sau:



x
x
1
lim ..., 

x
x
1
lim ..., 


x
x
1
lim
0
..., 


x
x
1
lim
0
...

Câu hỏi 2: Tính các giới hạn sau:
a.
2
12

lim



x
x
x
b.
2
12
lim



x
x
x

+ Cho học sinh trong lớp nhận xét câu trả lời của bạn.
+ Nhận xét câu trả lời của học sinh, kết luận và cho điểm.


3. Bài mới:.
HĐ1: Hình thành định nghĩa tiệm cận đứng , tiệm cận ngang
Thời gian
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
18’ + Treo bảng phụ có vẽ đồ thị
của hàm số y =
x
1

.Theo kết quả
kiểm tra bài cũ ta có
.0
1
lim,0
1
lim 

xx
xx



Điều này có nghĩa là khoảng
cách MH = |y| từ điểm M trên
đồ thị đến trục Ox dần về 0 khi
M trên các nhánh của hypebol
đi xa ra vô tận về phía trái
hoặc phía phải( hình vẽ). lúc
đó ta gọi trục Ox là tiệm cận
ngang của đồ thị hàm số y =
x
1
.
+Cho HS định nghĩa tiệm cận
ngang.(treo bang phụ vẽ hình
1.7 trang 29 sgk để học sinh
quan sát)
+Chỉnh sửa và chính xác hoá
định nghĩa tiệm cận ngang.

+Tương tự ta cũng có:



)(lim,)(lim
00
xfxf
xx

Nghĩa là khoảng cách NK = |x|
từ N thuộc đồ thị đến trục
tung dần đến 0 khi N theo đồ
thị dần ra vô tận phía trên hoặc
phía dưới.Lúc đó ta gọi trục
Oy là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số y =
x
1
.
- Cho HS định nghĩa tiệm cận
đứng.( treo bảng phụ hình 1.8
+ HS quan sát bảng phụ.

+ Nhận xét khi M dịch chuyển
trên 2 nhánh của đồ thị qua
phía trái hoặc phía phải ra vô
tận thì MH = y dần về 0


Hoành độ của M

thì
MH = |y|
0
.




HS đưa ra định nghĩa.






+Hs quan sát đồ thị và đưa ra
nhận xét khi N dần ra vô tận
về phía trên hoặc phía dưới thì
khoảng cách NK = |x| dần về
0.

+HS đưa ra định nghĩa tiệm
1. Đường tiệm cận
đứng và đường tiệm
cận ngang.




* Định nghĩa 1:SGK

* Định nghĩa 2: SGK
trang 30 sgk để HS quan sát)
- GV chỉnh sửa và chính xác
hoá định nghĩa.
- Dựa vào định nghĩa hãy cho
biết phương pháp tìm tiệm cận
ngang và tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số.
cận đứng.


+HS trả lời.

HĐ2 :Tiếp cận khái niệm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Thời gian
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
11’

10’






2’
- Cho HS hoạt động nhóm.
- Gọi đại diện 2 nhóm lên bảng
trình bày bài tập 1,2 của VD 1.
- Đại diện các nhóm còn lại
nhận xét.
- GV chỉnh sữa và chính xác
hoá.



- Cho HS hoạt động nhóm.
Đại diện nhóm ở dưới nhận xét.
+ câu 1 không có tiệm cận
ngang.
+ Câu 2 không có tiệm cận
ngang.
- Qua hai VD vừa xét em hãy
nhận xét về dấu hiệu nhận biết
phân số hữu tỉ có tiệm cận
ngang và tiệm cận đứng.

+ Đại diện nhóm 1 lên trình
bày câu 1, nhóm 2 trình bày
câu 2







+Đại diện hai nhóm lên giải..





+HS ; Hàm số hữu tỉ có tiệm
cận ngang khi bậc của tử nhỏ
hơn hoặc bằng bậc của mẫu, có
tiệm cận đứng khi mẫu số có
nghiệm và nghiệm của mẫu
không trùng nghiệm của tử.
Ví dụ 1: Tìm tiệm
cận đứng và tiệm cận
ngang của đồ thị
hàm số.
1, y =
23
12



x
x

2, y =
x
x 1
2




Ví dụ 2:Tìm tiệm
cận đứng và tiệm cận
ngang của các hàm
số sau:
1, y =
2
1
2


x
x

2 , y =
2
4
2
2



x
x
.

Tiết 2 HĐ3: Hình thành và tiếp cận khái niệm tiệm cận xiên:
Thời gian
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

15’





- Treo bảng phụ vẽ hình 1.11
trang 33 SGK.
+ Xét đồ thị (C) của hàm số
y = f(x) và đường thẳng (d)
y = ax+ b (a
0
) . Lấy M trên
(C ) và N trên (d) sao cho M,N
có cùng hoành độ x.
+ HS quan sát hình vẽ trên
bảng phụ.

2,Đường tiệm cận
xiên:
Định nghĩa 3(SGK)

















3’

7’







3’






+ Hãy tính khơảng cách MN.
+ Nếu MN
0
khi x

(
hoặc x  ) thì ( d) được gọi
là tiệm cận xiên của đồ thị (d).

- Từ đó yêu cầu HS định nghĩa
tiệm cận xiên của đồ thị hàm
số.
- GV chỉnh sửa và chính xác
hoá .

+Lưu ý HS: Trong trường
hợp hệ số a của đường
thẳng
y = ax + b bằng 0 mà
 
0)(lim 

bxf
x
(hoặc
 
0)(lim 

bxf
x
) Điều đó có
nghĩa là bxf
x


)(lim (hoặc
bxf
x



)(lim )
Lúc này tiệm cận xiên của đồ
thị hàm số cũng là tiệm cận
ngang.
Vậy tiệm cận ngang là trường
hợp đặc biệt của tiệm cận xiên.

+Gợi ý học sinh dùng định
nghĩa CM.Gọi một học sinh lên
bảng giải.
Gọi 1 HS nhận xét sau đó chính
xác hoá.

Qua ví dụ 3 ta thấy hàm số
y =
2
1
12
2
132
2




x
x
x
xx

có tiệm cận xiên là y = 2x + 1
từ đó đưa ra dấu hiệu dự đoán
tiệm cận xiên của một hàm số
hữu tỉ.




+HS trả lời khoảng cách
MN = |f(x) – (ax + b) | .


+HS đưa ra đinh nghĩa

+HS chứng minh.
Vì y – (2x +1) = 0
2
1

x
khi
x
và x  nên đường
thẳng y = 2x + 1 là tiệm cận
xiên của đồ thị hàm số đã cho
(khi x

và x  )

Ví dụ 3: Chứng
minh rằng đường
thẳng y = 2x + 1 là
tiệm cận xiên của đồ
thị hàm số y =
2

132
2


x
xx




*Chú ý: về cách tìm
các hệ số a,b của
tiệm cận xiên.

 
axxfb
x
xf
a
x
x




)(lim
,
)(
lim

CM (sgk)








12’







+ Cho HS hoạt động nhóm:
Gợi ý cho HS đi tìm hệ số a,b
theo chú ý ở trên.
+ Gọi HS lên bảng giải
Cho HS khác nhận xét và GV
chỉnh sửa , chính xác hoá.

HS lên bảng trình bày lời giải.


Hoặc
x
xf
a
x
)(
lim



 
axxfb
x


)(lim



Ví dụ 4:Tìm tiệm
cận xiên của đồ thị
hàm số sau:
1/y=
3
22
2



x
xx

2/ y = 2x + 1
2
x
4.Củng cố 3’
* Giáo viên cũng cố từng phần:
- Định nghĩa các đường tiệm cận.
- Phương pháp tìm các đường tiệm cận .
5. Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà: (2’)
+ Nắm vững các kiến thức đã học: khái niệm đường tiệm cận và phương
pháp tìm tiệm cận của hàm số, dấu hiệu hàm số hữu tỉ có tiệm cận ngang , tiệm
cận đứng, tiệm cận xiên. Vận dụng để giải các bài tập SGK.

V. Phụ lục:

1. Phiếu học tập:
PHIẾU HỌC TÂP 1
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1, y =
23
12


x
x

2, y =

x
x 1
2



PHIẾU HỌC TÂP 2
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các hàm số sau:
1, y =
2
1
2


x
x

2 , y =
2
4
2
2


x
x
.