biểu diễn toán động trong chủ đề các bài toán liên quan đến thực tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN HỌC


Đề tài:
BIỂU DIỄN TOÁN ĐỘNG TRONG CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN THỰC TẾ

Tiểu luận học phần:
Ứng dụng CNTT và truyền thông trong dạy học môn Toán

Giáo viên hướng dẫn:

Nguyễn Đăng Minh Phúc

Sinh viên thực hiện:

Đặng Thị Thu Trang

Mã sinh viên:

15S1011129

Huế, 11-2018


Lời nói đầu
Trong thời đại của sự bùng nổ của KH-KT mà đặc biệt là CNTT, diện mạo
đời sống xã hội của con người đã có những thay đổi vô cùng lớn. CNTT đã xâm
nhập vào tất cả mọi lịnh vực của đời sống và đặc biệt là trong hoạt động giáo dục,
có người nói rằng "mảnh đất giáo dục" chính là tấm gương phản chiếu của mỗi

bước phát triển của KH-KT mà trong đó có CNTT. Ngày nay, CNTT đã được sử
dụng phổ biến trong mọi cấp học, và nó đã tạo ra bước đột phá mới trong việc nâng
cao chất lượng giáo dục.
Hiện nay trên thế giới đã có nhiều phần mềm dạy học toán như Maple,
Cabri, GSP, v.v... Các phần mềm này đã phần nào đó giúp GV và HS đạt được hiệu
quả cao hơn trong việc dạy và học Toán. Tuy nhiên việc lựa chọn phần mềm sao
cho phù hợp và sử dụng nó một cách hiệu quả cũng là một vấn đề không mấy dễ
dàng đối với không ít GV và HS hiện nay. Trong khuôn khổ của một tiểu luận, với
đề tài “Giải quyết các vấn đề trên biểu diễn toán động trong chủ đề các bài toán
liên quan đến thực tế", tôi sẽ giải một số bài toán liên quan đến thực tếcùng với
phần mềm The Geometer's Sketchpad.
Hoàn thành đươc đề tài tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo
Nguyễn Đăng Minh Phúc - người hướng dẫn cũng như là người phụ trách môn học
"Ứng dụng CNTT và truyền thông vào dạy học môn Toán".

1


Một số kí hiệu viết tắt
CNTT:

Công nghệ thông tin

KH-KT:

Khoa học - Kỹ thuật

GSP:

Geometer's Sketchpad

HS:

Học sinh

GV:

Giáo viên

MTĐT:

Máy tính điện tử

SGK:

Sách giáo khoa

THPT:

Trung học phổ thông

GQVĐ:

Giải quyết vấn đề

2


Contents
Lời nói đầu.................................................................................................................1

Một số kí hiệu viết tắt................................................................................................2
Chương 1: Giới thiệu đê tài.......................................................................................4
1.

Tên đề tài.......................................................................................................4

2.

Mục tiêu của đề tài........................................................................................4

3.

Nội dung tóm tắt của đề tài...........................................................................4

4.

Tài liệu tham khảo phục vụ đề tài tiểu luận..................................................4

Chương 2:
1.

Giới thiệu chung..................................................................................5

Giải quyết vấn đề (giải bài toán)...................................................................5

a. Bản chất của giải quyết vấn đề.....................................................................5
b. Quy trình thực hiện.......................................................................................5
c. Ưu điểm........................................................................................................7
d. Hạn chế.........................................................................................................8
2.

Biểu diễn toán động......................................................................................8

a. Biểu diễn toán động là gì?............................................................................8
b. Vai trò của biểu diễn toán động trong dạy học Toán.....................................8
3.

Giới thiệu phần mềm dạy học Geometer’s Sketchpad..................................9

Chương 3: Sử dụng biểu diễn toán động để giải quyết một số bài toán thực tế......11
Bài toán 1: Trí khôn của thằng Bờm....................................................................11
Bài toán 2: Người đi lấy nước.............................................................................13
Bài toán 3: Bài toán cây cầu................................................................................16
Bài toán 4: Trò chơi bi-a......................................................................................20

3


Chương 1: Giới thiệu đê tài
1. Tên đề tài
Giải quyết các vấn đề trên biểu diễn toán động trong chủ đề các bài toán liên quan
đến thực tế
2. Mục tiêu của đề tài
Dựa trên một số công cụ xây dựng biểu diễn toán động cơ bản trong phần mềm
GSP để giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tế môt cách hiệu quả mà
không kém phần sinh động, trực quan. Đây cũng là một phương tiện hổ trợ chúng
tôi trong quá trình giảng dạy ở kì thực tập sắp tới, với mong muốn mang đến cho
HS sự hứng thú trong học tập cũng nhưng trong việc giải quyết các bài toán.
3. Nội dung tóm tắt của đề tài
Đề tài tiểu luận bao gồm những nội dung chính sau:

Phần 1: Một số hiểu biêt về giải quyết vấn đề và biểu diễn toán động, giới thiệu sơ
lược về phần mềm dạy học GSP.
Phần 2: Đây là phần chính của đề tài bao gồm một só bài toán liên quan đến thực
tế được giải quyết bằng các biểu diễn toán động. Các kiến thức liên quan đến các
bài toán không nằm trong một chương trình học cụ thể, mà có thể tích hợp nhiều
lĩnh vực khác nhau trong toán học, chẳng hạn: Đại số, Hình học, Giải tích…
4. Tài liệu tham khảo phục vụ đề tài tiểu luận
1. Nguyễn Đăng Minh Phúc, Tài liệu bồi dưỡng chuyên đề dành cho GV tỉnh
An Giang – Thiết kế các mô hình dạy học Toán THPT với The Geometer’s
Sketchpad
2. Trần Vui (Cb), Lê Quang Hùng (2007). Khám phá Hình học 11 với The
Geometer’s Sketchpad. NXB Giáo dục, Hà Nội.
3. Bùi Thị Hường (2010). Giáo trình phương pháp dạy học môn Toán ở trung
học phổ thông theo định hướng tích cực. NXB Giáo dục Việt Nam.
4. TRần Vui (Cb), Lê Quang Hùng, Nguyễn Đăng Minh Phúc (2009). Thiết kế
các mô hình dạy học toán THCS với The Geometer’s Sketchpad. NXB Giáo
dục Việt Nam.

4


Chương 2: Giới thiệu chung.
1.

Giải quyết vấn đề (giải bài toán)

a. Bản chất của giải quyết vấn đề
Giải quyết vấn đề là một quá quá trình của một cá nhân sử dụng kiến thức, kỹ năng
và hiểu biết đã được học trước đây để đáp ứng đòi hỏi của những tình huống không
quen thuộc. Đây là một năng lực rất quan trọng trong quá trình học toán và làm

toán của HS, vì thế GV phải có những kĩ năng cơ bản trong phương pháp dạy học
giải quyết vấn đề.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một PPDH trong đó GV tạo ra những
tình huống có vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực,
chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn
luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác. Đặc trưng cơ bản của dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề là "tình huống gợi vấn đề" vì "Tư duy chỉ bắt
đầu khi xuất hiện tình huống có vấn đề" (Rubinstein).
Tình huống có vấn đề (tình huống gợi vấn đề) là một tình huống gợi ra cho HS
những khó khăn về lí luận hay thực hành mà họ thấy cần có khả năng vượt qua,
nhưng không phải ngay tức khắc bằng một thuật giải, mà phải trải qua quá trình
tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến
thức sẵn có.
Một trong những mục đích cốt yếu của hình thức dạy học này là giúp học sinh phát
triển các khả năng: khả năng phát hiện và trình bày vấn đề, khả năng tìm kiếm cách
giải quyết vấn đề, khả năng tổ chức quá trình giải quyết vấn đề, khả năng kiểm tra
đánh giá kết quả và phương pháp tiến hành giải quyết vấn đề,... Nói cách khác, nó
cũng cung cấp cho học sinh những tri thức phương pháp.
b. Quy trình thực hiện
Thông thường, để giải quyết một vấn đề(giải một bài toán), cần phải trải qua các
“công đoạn” như sau: tìm hiểu sơ bộ đề bài, khai thác đề bài, tìm tòi lời giải, trình
bày lời giải, đánh giá lời giải đề suất bài toán mới. Tất nhiên, không phải bất kì bài
toán nào cũng phải trải qua đủ các công đoạn đó, song chúng giúp ích rất nhiều cho
việc giải quyết các bài toán.
Bước 1:Hiểu vấn đề.
5


Trước khi bắt tay vào làm một bài toán dù khó hay dễ, việc đầu tiên của người học
là đọc kỹ đề bài để thấy được “toàn cảnh” của vấn đề, càng sáng sủa, càng rõ ràng

càng hay, không vội đi vào chi tiết, nhất là các chi tiết rắc rối.
Trong bước này, HS có thể liên kết các kiến thức từ các nguồn khác nhau, chứng tỏ
được sự hiểu biết về các khái niệm có liên quan và sử dụng các khái niệm này để
hiểu thông tin vừa được cung cấp.
Bước 2:Phân tích vấn đề.
Đối với các vấn đề khác nhau sẽ có cách phân tích khác nhau. Nếu vấn đề là một
bài toán tìm tòi thì HS phải xác định được đâu là ẩn, đâu là cái cần tìm, các điều
kiện ràng buộc là gì. Còn nếu vấn đề là một bài toán chứng minh thì cần nêu rõ các
giả thiết, kết luận.
Các em HS cần phải xây dựng các biểu diễn của bài toán dưới các dạng tương ứng.
Chẳng hạn các bài toán hình học được biểu diễn dưới dạng hình vẽ, các bài toán
đại số và số học đó có thể là các đồ thị, cũng có khi là các sơ đồ, đoạn thẳng, các
hình hình học (các bài toán về cực trị hoặc các bài toán hình học giải bằng phương
pháp đại số). Bên cạnh đó, đối với nhiều bài toán (nhất là các bài toán đại số), ta
phải đưa vào một số kí hiệu thích hợp dùng để ghi các đồi tượng và quan hệ của
chúng trong bài toán một cách ngằn gọc, dễ nhìn, dễ nhớ. Việc cảm nhận trực tiếp
trên hình ảnh, kí hiệu giúp ta đánh giá một cách xác đáng các thông tin được cho
trong ngữ cảnh.
Một số lưu ý khi phân tích một vấn đề (bài toán):
 Phân tích bài toán đề đưa về những bài toán đơn giản hơn.
 Liên hệ và sử dụng các bài toán đã giải.
 Mò mẫm và dự đoán.
Bước 3:Giải quyết vấn đề.
Đây là một bước quan trọng – nếu không nói là bước quan trọng nhất – trong việc
giải quyết một vấn đề. Trong bước này, các em HS phải đưa ra một quyết định,
phân tích một cách hệ thống để đạt được một mục tiêu nào đó, hoặc phát hiện và đề
xuất ra một lời giải.
Khi đã tìm được cách giải việc tiếp theo là trình bày lời giải. Việc này không khó
khăn, tuy nhiên nó đòi hỏi một lí luận chắt chẽ. HS phải chú ý đến trình tự và độ
chính xác của từng chi tiết, đến mối quan hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của

6


lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào “bỗng nhiên” xuất hiện mà
không căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc những chi tiết mà ta trình bày trước
đó. Bên cạnh có, lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc.
Bước 4:Phản ánh về lời giải.
Đây là quá trình các em HS kiểm tra lại lời giải của mình; đánh giá lời giải của
mình theo các quan điểm khác nhau nhằm điều chỉnh lại lời giải và làm cho các lời
giải này có thể chấp nhận được về mặt kỹ thuật hoặc xã hội, và xác minh lại lời
giải của mình.
Công đoạn cuối cùng này rất cần thiết và bổ ích nhưng lại thường bị bỏ qua do tính
vội vàng, hấp tấp. Trong khi trình bày lời giải, rất có thể có thiếu sót, nhầm lẫn.
Việc kiểm tra lại giúp ta tránh được những sai sót đó và còn giúp ta tích lũy thêm
kinh nghiệm cho những bài toán khác. Hơn nữa, việc nhìn lại toàn bộ lời giải có
thể giúp ta có cách giải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn.
Ngoài ra, nhìn lại toàn bộ lời giải nhiều khi gợi ý cho ta tim những bài toán mới,
mà bài toán vừa xét chỉ là trường hợp đặc biệt mà thôi.
c. Ưu điểm
Phương pháp này góp phần tích cực vào việc rèn luyện tư duy phê phán, tư duy
sáng tạo cho HS. Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh nghiệm đã có HS sẽ
xem xét, đánh giá, thấy được vấn đề cần giải quyết.
Đây là phương pháp phát triển được khả năng tìm tòi, xem xét dưới nhiều góc độ
khác nhau. Trong khi phát hiện và giải quyết vấn đề, HS sẽ huy động được tri thức
và khả năng cá nhân, khả năng hợp tác, trao đổi, thảo luận với bạn bè để tìm ra
cách giải quyết vấn đề tốt nhất.
Thông qua việc giải quyết vấn đề, HS được lĩnh hội tri thức, kĩ năng và phương
pháp nhận thực ("giải quyết vấn đề" không còn chỉ thuộc phạm trù phương pháp
mà đã trở thành một mục đích dạy học, được cụ thể hóa thành một mục tiêu là phát
triển năng lực giải quyết vấn đề, một năng lực có vị trí hàng đầu để con người thích

ứng được với sự phát triển của xã hội)
d. Hạn chế
Phương pháp này đòi hỏi GV phải đầu tư nhiều thời gian và công sức, phải có năng
lực sư phạm tốt mới suy nghĩ để tạo ra được nhiều tình huống gợi vấn đề và hướng
dẫn tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề.
7


Việc tổ chức tiết học hoặc một phần của tiết học theo phương pháp phát hiện và
giải quyết vấn đề đòi hỏi phải có nhiều thời gian hơn so với các phương pháp
thông thường. Hơn nữa, theo Lecne: "Chỉ có một số tri thức và phương pháp hoạt
động nhất định, được lựa chọn khéo léo và có cơ sở mới trở thành đối tượng của
dạy học nêu vấn đề".
2.

Biểu diễn toán động

a. Biểu diễn toán động là gì?
Biểu diễn toán động bao gồm các hình ảnh đồ thị, mô hình hình học được thiết kế
bằng phương tiện CNTT như MTĐT. Biểu diễn toán động là công cụ thiết yếu để
dạy, học và làm toán. Đặc biệt, những mô hình toán tích cực được thiết kế bằng
phần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh động, trực quan về các ý
tưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp và phân tích dữ liệu; đồng thời thiết lập các
phép tính một cách hiệu quả và chính xác. Chúng có thể hổ trợ học sinh khảo sát
toán trong mọi lĩnh vực toán học bao gồm: hình học, đại số, thống kê, đo đạc và số
học. Với công nghệ và những công cụ phù hợp, học sinh có thể tập trung vào việc
đưa ra các quyết định, phản ánh, suy luận và giải quyết các vấn đề toán học.
b. Vai trò của biểu diễn toán động trong dạy học Toán
Các biểu diễn toán động có thể giúp cho sinh viên và học sinh:
a. Minh họa trực giác và thấu hiểu nội dung toán. Ý nghĩa của các biểu diễn ký

hiệu trừu tượng cần được thể hiện ở một dạng khác bằng các biểu diễn trực
quan. Việc hiểu khái niệm toán sẽ tốt hơn khi học sinh “thấy” được khái niệm
đó thông qua nhiều bối cảnh hoặc biểu hiện khác nhau.
b. Phát hiện các sự kiện, quy luật và các mối quan hệ. Phần mềm hình học động
giữ nguyên các mối quan hệ đã có giữa các đối tượng khi tiến hành các tương
tác lên đối tượng. Những tương tác này hỗ trợ cho học sinh cơ hội phát hiện
ra các sự kiện, quy luật và mối quan hệ mới.
c. Đồ thị hóa để thể hiện các dữ kiện, cấu trúc hoặc quy tắc. Các dữ kiện khi
được đồ thị hóa có thể giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc phát hiện cấu
trúc, quy luật của chúng. Không những thế, những đồ thị được dựng trên
phần mềm hình học động còn có tính cập nhật tức thời: nếu học sinh thay đổi
dữ kiện, hình dáng đồ thị cũng thay đổi theo tương ứng. Với các mô hình vật
thể trong không gian 3 chiều, các phần mềm còn cho phép học sinh quan sát
ở nhiều góc độ khác nhau, thậm chí cho phép tương tác trực tiếp lên mô hình.
8


d. Kiểm tra tính chặt chẽ, khẳng định hoặc bác bỏ giả thuyết.Từ một kết quả
đúng, học sinh có thể thay thế hoặc giảm bớt điều kiện đầu để hình thành giả
thuyết mới. Phần mềm hình học động hỗ trợ học sinh tiến hành các thực
nghiệm để tăng độ tin cậy của các giả thuyết hoặc bác bỏ nó qua một trường
hợp riêng.
e. Đề xuất các tiếp cận cho chứng minh suy diễn.Trong quá trình tìm kiếm một
chứng minh suy diễn, học sinh có thể tiến hành thực nghiệm trên máy tính
trước khi làm việc với các biểu diễn ký hiệu. Những thực nghiệm đó có thể
đề xuất ra những con đường khác nhau để đi đến chứng minh logic.
f. Giảm các tính toán rườm rà bằng tay. Phần mềm động hỗ trợ công cụ tính
toán để giảm bớt những bước tính rườm rà, phức tạp nếu phải thực hiện bằng
tay. Tất nhiên giá trị cuối cùng của các phép tính sẽ thay đổi tương ứng nếu
các giá trị tạo ra nó thay đổi.

g. Kiểm chứng các kết quả. Phần mềm động hỗ trợ các thực nghiệm để kiểm
chứng
3.

Giới thiệu phần mềm dạy học Geometer’s Sketchpad

Phần mềm Geometer's Sketchpad (GSP) do một nhà toán học Mỹ thiết kế
vào những năm 90. Hiện tại phần mềm này được coi là phần mềm mô phỏng hình
học động số một thế giới.
Phần mềm này được cung cấp cho các trường phổ thông Việt Nam trong
khuôn khổ dự án “Thực hành phát triển nghiệp vụ” - PDL (Professional
development Laboratory) ký kết giữa hãng IBM và Bộ giáo dục - Đào tạo. Cho đến
nay đã có rất nhiều giáo viên và nhà trường phổ thông đang sử dụng phần mềm này
trong việc giảng dạy và học tập.
Trước đây, việc làm bằng thủ công thường không trực quan và chính xác, ta
chỉ có thể thấy được kết quả sau khi chứng minh. Trong thực tế, khi soạn thảo văn
bản trên máy tính, đôi khi bạn cần đưa vào tài liệu các hình học hoặc các hình được
vẽ bằng các đường nét hình học cơ bản.
Trong Geometer's Sketchpad, các hình được dựng theo phương pháp kiến
thiết. Khi một hình được vẽ xong bạn có thể thay đổi, chuyển dời các thành phần
của hình để được một hình mới với các quan hệ được khai báo trong lúc dựng hình
vẫn được bảo toàn.

9


Để đưa hình ảnh vào tài liệu Word, bạn chỉ cần copy hình từ Geometer's
Sketchpad và paste vào tài liệu. Các hình có thể là hình phục vụ dạy học môn hình
học, đồ thị hàm số, hình vẽ phối cảnh, hình biểu diễn các hiện tượng vật lý...

10


Chương 3: Sử dụng biểu diễn toán động để giải quyết một số bài toán thực tế

Bài toán 1: Trí khôn của thằng Bờm
Phú ông đưa cho thằng Bờm một đoạn dây dài 16m và bảo nó khoanh vùng
một mãnh đất hình chữ nhật, vùng đất phía trong sẽ là của Bờm. Hỏi làm thế nào
để Bờm có được nhiều đất nhất?

Mô phỏng bài toán: Mở trang Bài toán 1.

Các bước giải quyết vấn đề:
Bước 1: Tìm hiểu đề bài.
Bài toán được chuyển sang một vấn đề toán học: Trong các hình chữ nhật có cùng
chu vi 16m , hãy tìm hình có diện tích lớn nhất.
Bước 2:Tìm lời giải cho bài toán trên GSP:
- Vẽ hình chữ nhật có chu vi 16cm (ta có thể xem đơn vị là cm để dễ vẽ hình, và
kết quả sẽ đổi đơn vị lại như ban đầu)
- Đo độ dài các cạnh và diện tích của hình chữ nhật.
- Hoạt náo điểm để tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật. Khi đó ta thấy rằng,
2
diện tích đạt giá trị lớn nhất là 16cm , với độ dài hai cạnh đều bằng 4cm .
11


Từ hình ảnh trên biểu diễn toán đông, dễ dàng nhận ra rằng: hình có diện tích nhất
2
là hình vuông, và diện tích lớn nhất là16m .
Bước 3: Lời giải.

Gọi x, y  x �0, y �0  lần lượt là hai cạnh của hình chữ nhật.
Khi đó: x  y  8 . Diện tích của hình chữ nhật lúc này là xy .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:

x y
xy  �
2

8
2

4

xy 16

Do đó, GTLN của xy là 16 và đạt được khi và chỉ khi x  y  4 .
Vậy, để có được nhiều đất nhất, Bờm phải khoanh vùng một mãnh đất hình vuông
có cạnh dài 4m .
Bước 4: Xem xét lại bài toán.
Đây là một bài toán đơn giản, có thể dễ dàng suy ra từ bất đằng thức Cô-si.
Nhận xét:
Thông qua bài toán đầu tiên này, phần mềm GSP giúp HS có một biểu diễn toán
động để thấy được ý nghĩa của bất đẳng thức Cô-si, cũng như một bài toán thực tế
liên quan đến bất đẳng thức đó.
Bài toán tương tự:
Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình nào có chu vi bé nhất?
(Hướng dẫn:
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x, y :

x y

xy �
2
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y )

12


Bài toán 2: Người đi lấy nước
Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m , cùng nằm về một phía bờ sông như
hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m . Một
người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B . Tìm đoạn đường ngắn nhất mà
người đó có thể đi.

Mô phỏng bài toán: Mở trang Bài toán 2.
Các bước giải bài toán:
Bước 1: Tìm hiểu đề bài:
Bài toán đươc chuyển sang một vấn đề toán học như sau:
-Giả thiết: Cho trước đường thăng a và hai điểm A, B nằm cùng phía so với
đường thẳng a . Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng a .
-Kết luận: Xác định vị trí của điểm M sao cho AM  BM nhỏ nhất.

13


Ở bước này, ta sử dụng một biểu diễn toán động, tạo ra một người di chuyển từ A
đến bờ biển tại điểm M rồi đi đến B .
Bước 2: Tìm lời giải cho bài toán trên GSP. Mở trang Bài toán 2.1
- Dựng hình: dựng đường thẳng a và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với đường
thẳng a .
- Tính độ dài hai đoạn thẳng AM , BM và tính tổng độ dài của AM , BM .

- Hoạt náo điểm M và quan sát sự thay đổi của giá trị AM  BM .
- Gọi A ' là điểm đối xứng của A qua a . Khi đó AM  A ' M . Ta thấy rằng:
AM  BM bé nhất khi và chỉ khi M nằm trên đoạn thẳng A ' B .
Bước 3: Lời giải
Gọi A ' là điểm đối xứng của A qua a .
Khi đó a là đường trung trực của đoạn
thẳng AA ' và:

AM  BM  A ' M  BM .
Mặt khác,

A ' M  BM �A ' B ,
suy ra

AM  BM �A ' B .
Bây giờ ta tính đồ dài đoạn thẳng A ' B .
14


Gọi C , D lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng a .
Ta có:
AB  615m, AC  118m, BD  487m

Khi đó:
CD 

AB 2  ( BD  AC ) 2  6152  (487  118) 2  492

Đặt CM  x � x � 0,492  . Suy ra DM  492  x .
Áp dụng định lý Pytago, ta có:

AM  BM  1182  x 2  487 2  (492  x) 2

Sử dụng bất đẳng thức Buniacopski, ta có:
AM  BM � (118  487)2  ( x  492  x )2  780

Dấu "  " xảy ra

�

118
x

� x  96
487 492  x

Kết luận: đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là 780m , đạt được khi
người đó đi đến bờ biển tại điểm cách C một đoạn 96m .
Bước 4: Xem xét lại bài toán
Đây là một bài toán không phải khó, tuy nhiên đôi khi HS sẽ không xác định được
ví trí điểm M sao cho AM  BM nhỏ nhất. Khi đó việc khảo sát bài toán dựa trên
biểu diễn toán động sẽ giúp HS nãy ra ý tưởng để làm bài toán này.
Bài toán tương tự:

15


Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt
đặt tại hai vị trí A, B . Biết khoảng cách giữa hai
cọc bằng 24m . Người ta chọn một cái chốt ở vị trí
M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng

dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình
vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào trên mặt đất để
tổng độ dài hai sợi dây hai sợi dây đó là ngắn nhất?

Bài toán 3: Bài toán cây cầu
Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem rằng hai bờ
sông là hai dường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc
qua sông (cầu phải vuông góc với bờ sông) và đắp hai đoạn đường từ A tới M và
từ B tới N . Hãy xác định vị trí của chiếc cầu MN sao chođường đi từ thôn A đến
thôn B ngang qua cầu MN ngắn nhất.

Mô phỏng bài toán: Mở trang Bài toán 3.
Bước 1: Tìm hiểu đề bài

16


Đưa bài toán thực tế về dạng toán học cụ thể:
- Giả thiết: Cho hai đường thẳng a, b song song với nhau. Hai điểm A, B nằm về
hai phía ngoài hai đường thẳng a, b . Một đường thẳng d vuông góc với a cắt a, b
lần lượt tại M , N .
- Kết luận: Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho AM  NM  BN bé nhất.
Bước 2: Tìm lời giải cho bài toán.
- Dựng hình: dựng hai đường thẳng a, b song song với nhau, đường thẳng d
vuông góc với a cắt a, b lần lượt tại M , N . Dựng hai điểm A, B nằm ở hai nửa
mặt mặt không giao nhau của hai đường thẳng a, b .
- Tính độ dài các đoạn thẳng AM , MN , BN .
- Hoạt náo đường thẳng d để thấy sự thay đổi đổi tổng độ dài ba đoạn thẳng
AM , MN , BN .
Mở trang Bài toán 3.1.

17


Bấm Reset để có được trường hợp
tổng quát ban đầu.
Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu
con sông rất hẹp, hẹp đến mức hai bờ
trùng với nhau. Lúc này hai đường
thẳng a, b trùng với nhau (khoảng
cách từ B đến a không đổi). Bấm
Hẹp và quan sát.
Lúc này, đường đi từ đi ngắn nhất từ
A đến B chính là đoạn thẳng AB và
điểm M sẽ nằm giữa hai điểm A, B .
Bấm Vị trí điểm M và quan sát.

Và lúc này, điểm M vừa tìm được
chính là vị trí cần tìm.
Bấm Đáp án, và quan sát thấy khoảng
cách hai đường thẳng a, b trở về như
ban đầu, và đoạn thẳng MN lúc này
chính là ví trí cần tìm của chếc cầu.

Bước 3: Lời giải.

18


Gọi a, b là hai bờ của con sông. Ta có hai

điểm A, B và hai đường thẳng a, b cố
định, và M , N chạy trên a, b tương ứng.
Giả sử M , N nằm ở vị trí bất kì trên a, b
sao cho MN  a .
Mặt khác, ta có:
�M �a
�
� N �b � MN  d (a, b)
�MN  a
�
Khi đó, độ dài đoạn thẳng MN không đổi
nên ta chỉ cần tìm vị trí của điểm M sao
cho tổng AM  BN bé nhất.
uuuur uuur
Dựng điểm B ' sao cho: MB '  NB . Khi đó:

AM  BN  AM  MB ' �AB'
Gọi M ' là giao điểm của b và AB ' , N ' là hình chiếu của M ' lên đường thẳng a .
Khi đó, ta có:

AM ' BN '  AM ' B ' M '  AB '
Vậy, vị trí M ' chính là vị trí cần tìm.
Bước 4: Xem xét lại bài toán.
Bài toán thực tế này có một độ khó nhất định và không phải HS nào cũng có thể
giải quyết được. Lời giải dựa trên các kiến thức về các phép biến hình trong mặt
phẳng, cụ thể là phép tịnh tiến và phép dời hình.
Có thể thấy rằng: biểu diễn toán động là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho các bài
toán về dựng hình và các phép biến hình trong mặt phẳng.
Bài toán tương tự:
Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem rằng hai bờ

sông là hai dường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc
qua sông (cầu phải vuông góc với bờ sông) và đắp hai đoạn đường từ A tới M và
19


từ B tới N . Hãy xác định vị trí của chiếc cầu MN sao cho đường đi từ thôn A
đến cầu (Vị trí điểm M ) bằng đường đi từ thôn B đến cầu (vị trí điểm N ).

Bài toán 4: Trò chơi bi-a
Cho bàn bi-a hình chữ nhật, hai viên bi A, B nằm tùy ý trên bàn. Xác định ví
trí của điểm P trên cạnh 1 của bàn sao cho khi viên bi A di duyển theo hướng
AP chạm vào cạnh 1 của bàn, lúc phản xạ sẽ chạm vào bi B .
Mô phỏng bài toán: mở trang Bài toán 4.

Bước 1: Tìm hiểu bài toán:
20


- Giả thiết: trên bàn bi-a hình chữ nhật có hai viên bi A, B nằm tùy ý trên bàn.
- Yêu cầu: tìm vị trí của điểm P trên cạnh 1 của bàn sao cho khi viên bi A di
chuyển theo hướng AP chạm vào cạnh 1 của bàn, lúc phản xạ sẽ chạm vào bi B .
Bước 2: Phân tích đề bài:
Biểu diễn mô hình bàn bi-a như trên.
Điều chỉnh hướng chuyển động của viên bi A bằng cách rê điểm M hoặc điểm P
. Nhấn nút Reset, Ban (bắn), hãy quan sát hướng đi của viên bi A sau khi va vào
cạnh 1 của bàn bi-a, lúc phản xạ chạm vào viên bi B .
Trong trường hợp đó, ta sẽ đo được các góc hợp bởi đoạn thẳng PA , PB và cạnh 1
của bàn bi-a. Khi ta cho các bi A, B ở nhiều vị trí khác nhau thì ta sẽ có được điều
gì?
Mở trang Bài toán 4.1

- Dựng điểm B ' là ảnh của B qua phép
đối xứng trục CD , dựng đoạn thẳng
� �
PB ' đo các góc APC , BPD .
- Rê điểm P đến vị trí sao cho “góc tới”
�
� .
APC bằng góc “phản chiếu” BPD
Khi đó, ta có nhận xét rằng A, P, B ' gần
như thẳng hàng.
Như vậy ta sẽ chứng minh điểm P lúc
này là vị trí cần tìm.

21


Bước 3: Lời giải
Giả sử CDEF là hình chữ nhật tương
ứng với bàn bi-a, với CD là cạnh 1,
DE là cạnh 2, EF là cạnh 3, FD là
cạnh 4.
Gọi B ' là điểm đối xứng của B qua
phép đối xứng trục CD .
Gọi P là giao điểm của AB ' và cạnh
CD .
Khi đó, ta có:
� B
�' PD  �
BPD
APC

Suy ra P là vị trí cần tìm.
Bước 4: Xem xét lại lời giải
Lời giải của bài toán này khá đơn giản, HS có thể trình bày một cách dễ dàng với
điều kiện có kiến thức về góc tới và góc phản xạ.

Bài toán tương tự:
Cho bàn bi-a hình chữ nhật, hai viên bi A, B nằm tùy ý trên bàn. Xác định ví
trí của điểm P trên cạnh 1 của bàn sao cho khi viên bi A di duyển theo hướng
AP chạm vào cạnh 1 của bàn, rồi sau đó:
- Chạm vào cạnh 2,
- Chạm vào cạnh 2 rồi chạm vào cạnh 4.

22