Cộng hưởng cyclotron phonon giam giữ trong giếng lượng tử thế bán tam giác

✣❸■ ❍➴❈ ❍❯➌
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❱❹◆

❈❐◆● ❍×Ð◆● ❈❨❈▲❖❚❘❖◆ ✲ P❍❖◆❖◆
●■❆▼ ●■Ú ❚❘❖◆● ●■➌◆● ▲×Ñ◆● ❚Û ❇⑩◆
❚❆▼ ●■⑩❈

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❱❾❚ ▲Þ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❱⑨ ❱❾❚ ▲Þ ❚❖⑩◆
▼➣ sè
✿ ✻✵ ✹✹ ✵✶ ✵✸

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❱❾❚ ▲Þ
❚❍❊❖ ✣➚◆❍ ❍×❰◆● ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝

P●❙✳ ❚❙✳ ▲➊ ✣➐◆❍

❚❤ø❛ ❚❤✐➯♥ ❍✉➳✱ ♥➠♠ ✷✵✶✽
✐




ổ ổ tr ự ừ r tổ
số t q ự tr tr tỹ ữủ
ỗ t sỷ ử ữ tứ ữủ ổ ố tr t
ý ởt ổ tr ự
t

t tốt tổ tọ ỏ t ỡ s
s t P t t ữợ ú ù
tổ tr sốt q tr tỹ
ổ t ỡ ổ t ỵ
Pỏ t s ồ rữớ ồ ữ ồ
ú ù t t ủ tổ tr sốt q tr ồ t
ứ q
t ỡ ồ ồ
t ỵ ỵ tt t ỵ t õ rữớ ồ ữ
ồ ổ ở ú ù tổ tr sốt tớ ồ
t tỹ
t








ệ ệ

r ử





ớ





ớ ỡ



ử ử



ử ỗ t

é

ữỡ
ìẹ
ờ q t





ờ q ữủ tỷ



ữủ sõ ừ tr tr tr
trữớ ủ ữ õ õ t ừ tứ trữớ t

ổ s



ổ





ổ









Pữỡ ử tở tớ



ờ q ổ ứ

ổ ỳ tr ữủ tỷ

ì P
ìẹ

ữỡ

ỹ ớ ữủ tỷ ữợ t ử ừ
ử tở tớ








✷✳✷✳ ❍➺ sè ❤➜♣ t❤ö sâ♥❣ ✤✐➺♥ tø ❞♦ t÷ì♥❣ t→❝ ❡❧❡❝tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥
q✉❛♥❣ ❞å❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✷✳✷✳✶✳ ❍❛♠✐t♦♥✐❛♥ t÷ì♥❣ t→❝

✷✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷✳✷✳ ❍➺ sè ❤➜♣ t❤ö sâ♥❣ ✤✐➺♥ tø

❈❤÷ì♥❣ ✸✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✳ ✳

✹✵

❑➌❚ ◗❯❷ ❚➑◆❍ ❙➮ ❱⑨ ❚❍❷❖ ▲❯❾◆

✸✳✶✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✕ ♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣
tû

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ Pr♦❢✐❧❡ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ✤ë rë♥❣ ✈↕❝❤ ♣❤ê

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✵
✹✶

✸✳✸✳ ❈ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ ❣✐❛♠ ❣✐ú tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣
tû t❤➳ t❛♠ ❣✐→❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✸

✸✳✹✳ ❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ ✤ë rë♥❣ ♣❤ê ✈➔♦ ♥❤✐➺t ✤ë ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✹

✸✳✺✳ ❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ ✤ë rë♥❣ ♣❤ê ✈➔♦ tø tr÷í♥❣

✹✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✳✻✳ ❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ ✤ë rë♥❣ ♣❤ê ✈➔♦ ❜✐➯♥ ✤ë ✤✐➺♥ tr÷í♥❣

✳ ✳ ✳

✹✽

❑➌❚ ▲❯❾◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✶

❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✷

P❍Ö ▲Ö❈

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ P✳✶

✷


ệ



r





ỗ t ừ r õ ợ
tr ổ t



f (t, ) = sin2 (f i t/2) /f2 i

ỗ t ừ

tr õ t

f i .

t

ỹ t tử ởt t õ ữủ



ồ sỹ ở rở ờ ữỡ
Pr



f i



ỗ t



ồ sỹ ừ ự ữủ
ữ ừ ổ ứ

ỹ ử tở ừ số tử ữủ



t

tr ữủ tỷ t t tr

trữớ ủ ỳ ữớ
t ố ữớ ọ ựt t t

T = 300
ỗ t



E0 = 107



B = 15

ỹ ử tở ừ số tử ữủ
t t ở ữ tr

=

62.18 ố ợ ỳ t tr
ừ t ở


T = 275

T = 250

ữớ t

ữớ ựt t

T =

300 ữớ ọ tr trữớ ủ
B = 15



E0 = 107

ỗ t

ỹ ử tở ừ ở rở ờ ừ ở
ữ tr t ở tr trữớ
ủ ỳ ữớ trỏ
ố ữớ ổ ọ

ỗ t





ỹ ử tở ừ số tử ữủ
t t ở ữ tr ố ợ
ổ ỳ t tr
ừ tứ trữớ

B = 14

B B = 12 ữớ t

ữớ

ữớ ọ ợ

T = 300
ỗ t



B = 16

E0 = 107







ỹ ử tở ừ ở rở ờ ử tở tứ
trữớ trữớ ủ ỳ ữớ
trỏ ố ữớ ổ
ọ

ỗ t





ỹ ử tở ừ số tử ữủ
t ừ ở ữ tr ố ợ

ổ ỳ t tr
ừ ở trữớ

E0 = 1.0 ì 107

ữớ

E0 = 1.2 ì 107

ữớ

ựt t

E0 = 1.4 ì 107

ữớ

ọ



t






✣ç t❤à✸✳✽

❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ ✤ë rë♥❣ ✈↕❝❤ ♣❤ê ❝õ❛ ✤➾♥❤ ❝ë♥❣
❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ ✈➔♦ ❜✐➯♥ ✤ë ✤✐➺♥ tr÷í♥❣
tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♣❤♦♥♦♥ ❣✐❛♠ ❣✐ú ✭✤÷í♥❣ ❤➻♥❤ trá♥
♠➔✉ ①❛♥❤✮ ✈➔ ♣❤♦♥♦♥ ❦❤è✐ ✭✤÷í♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ♠➔✉
✤ä✮✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✹✾


▼Ð ✣❺❯

■✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙② ✤➣ ❝â sü q✉❛♥ t➙♠ ✤→♥❣ ❦➸ tr♦♥❣ ✈✐➺❝
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥❣ ❤å❝ ❝õ❛ ❝➜✉ tró❝ ❜→♥ ❞➝♥ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ✤➦t
tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ♥❣♦➔✐✳ ❈ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ tr♦♥❣ ❤✐➺✉ q✉❛♥❣ tø ✤➣ ✤÷ñ❝
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧➔ ♠ët ❦➽ t❤✉➟t ❤ú✉ ➼❝❤ ✤➸ t❤✉ t❤æ♥❣ t✐♥ trü❝ t✐➳♣ ✈➲ ❦❤è✐ ❧÷ñ♥❣
❤✐➺✉ ❞ö♥❣✱ t➼♥❤ ♣❤✐ ♣❛r❛❜♦❧ ❝õ❛ ✈ò♥❣ ❞➝♥ ✈➔ ✈ò♥❣ ❤â❛ trà✳ ❚r♦♥❣ ❝➜✉ tró❝
●❛❆s✴❆❧●❛❆s✱ ❞♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤➙♥ ❝ü❝ ❝õ❛ ✈➟t ❧✐➺✉✱ sü t→♥ ①↕ ❡❧❡❝tr♦♥ ✲
♣❤♦♥♦♥ q✉❛♥❣ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá ❝❤õ ②➳✉ ❤ì♥ ❝ì ❝❤➳ t→♥ ①↕ ❦❤→❝ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷
t→♥ ①↕ ❡❧❡❝tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ q✉❛♥❣ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ ❝ü❝✳
▼ët ❤✐➺✉ ù♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ q✉→ tr➻♥❤ t÷ì♥❣ t→❝ ❡❧❡❝tr♦♥ ✕
♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ tø tr÷í♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû ❧➔ sü ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ ✈î✐ sü trñ
❣✐ó♣ ❝õ❛ ♣❤♦♥♦♥✳ ❚r♦♥❣ ❜→♥ ❞➝♥ ❦❤è✐ ❇❛ss ✈➔ ▲❡✈✐♥s♦♥ ❬✼❪✱ ❊♥❝❦✱ ❙❛❧❡❤ ✈➔
❋❛♥ ❬✶✸❪✱ ❏♦❤♥s♦♥ ✈➔ ❉✐❝❦❡② ❬✶✻❪✱ ❘②♥♥❡ ✈➔ ❙♣❡❝t♦r ❬✷✸❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➛♠
q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ❝â sü trñ ❣✐ó♣ ❝õ❛ ♣❤♦♥♦♥ ✭P❆❈❘✮
❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❜→♥ ❞➝♥ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ➼t ✤÷ñ❝
❝❤ó þ✳
❚r♦♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❣✐➳♥❣ ♥❤÷ ●❛❆s✴❆❧●❛❆s✱ sü ❣✐❛♠ ❣✐ú ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥
●❛❆s ❞➝♥ ✤➳♥ sü ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ❦❤➼ ❡❧❡❝tr♦♥ ❝❤✉➞♥ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ✭◗✷❉✮
tr♦♥❣ ✤â ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ❧î♣ ❣✐➳♥❣
❧÷ñ♥❣ tû ❜à ❧÷ñ♥❣ tû ❤â❛✳ ❑❤✐ ✤➦t tø tr÷í♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ❧î♣ ❞à t✐➳♣
①ó❝✱ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ t❤➥♥❣ ❣â❝ ✈î✐ tø tr÷í♥❣
❜à ❧÷ñ♥❣ tû ❤â❛ t❤➔♥❤ ❝→❝ ♠ù❝ ▲❛♥❞❛✉✳ ❙ü ❧÷ñ♥❣ tû ❤â❛ ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛

✻


tr t r t t tú ừ tr
ró ỡ sỹ tữỡ t tr tr ữủ tỷ
q trồ ự ở ữ tr
tr t q ỳ t
Ptrs rs ự ữ ừ
q ồ ỳ ổ t ởt ổ
r ỗ ữ r t số ở ữ r tr
trú ữủ tỷ ss sỷ ử tự
ợ t r t ữ ở ữ tứ
r t số q ữủ tỷ
ss s tr ởt ỵ tt ở ữ tr
tr ữủ tỷ sỷ ử tt tt
ữủ sỷ ử t ổ tr ự ở ữ tr
ố ợ ố sỹ tử t t tỹ tr trú t
ởt ủ t ừ ữỡ sỹ ỡ ừ õ s ợ
t t ỹ tr ỵ tt ự t t
t t ỹ õ sỹ t tr ờ q tứ
ỳ ự sỹ t tử

ở ữ tr tổ tữớ ũ ổ
ữủ ổ t tốt sỹ tữỡ t tr
ỳ tr ữủ tỷ t q t số
ỳ ữủ ổ t s ừ sr ổ
ừ ữủ q t
é ữợ t tr ỳ õ ởt số ổ tr
ự tữủ ở ữ ở rở ờ tr õ õ
tữủ ở ữ tr õ t r ởt số ổ tr t




❜✐➸✉ ♥❤÷✿
✲ ◆❤â♠ t→❝ ❣✐↔ ▲➯ ✣➻♥❤✱ ❍✉ý♥❤ ❱➽♥❤ P❤ó❝✱ ❚r➛♥ ❈æ♥❣ P❤♦♥❣ ✤➣ ❦❤↔♦
s→t ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû✱ ❞➙② ❧÷ñ♥❣ tû ✈➔ ❣r❛♣❤❡♥❡
tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ♣❤✐ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❬✶✾❪✱ ❬✷✵❪✱ ❬✷✶❪ ✳
✲ ❇➯♥ ❝↕♥❤ ✤â ❝á♥ ❝â ♠ët sè ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❝❛♦ ❤å❝ t↕✐ ❚r÷í♥❣
✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍✉➳ ♥❤÷✿
✰ ✏❑❤↔♦ s→t ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥✲♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ ❜→♥ ❞➝♥ ❞➙② ❧÷ñ♥❣ tû
❤➻♥❤ trö✑ ❝õ❛ ❱ô ❱➠♥ ❍♦➔♥❤ ❬✹❪✳ ❚→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤è✐ ✈î✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
❡❧❡❝tr♦♥ t÷ì♥❣ t→❝ ✈î✐ ♣❤♦♥♦♥ q✉❛♥❣ ❞å❝✳
✰ ✏❈ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥✲♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ ❜→♥ ❞➝♥ s✐➯✉ ♠↕♥❣ ♣❤❛ t↕♣✑ ❝õ❛
✣é ❚❤✐➯♥ ❉✐➺♣ ❬✶❪✳
✰ ✏❈ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥✲♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ ❜→♥ ❞➝♥ s✐➯✉ ♠↕♥❣ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥✑
❝õ❛ P❤❛♥ ◆❣✉②➯♥ ❚✉➜♥ ❬✺❪✳
❚r♦♥❣ ❝→❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥
tû ❝❤✐➳✉ ✤➸ ❦❤↔♦ s→t ❝æ♥❣ s✉➜t ❤➜♣ t❤ö ♥❤í ✈➔♦ q✉→ tr➻♥❤ ❤➜♣ t❤ö ♠ët
♣❤♦t♦♥✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❝❤÷❛ ❝â ✤➲ t➔✐ ♥➔♦ ❦❤↔♦ s→t ❤✐➺♥ t÷ñ♥❣ ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣
❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ ❣✐❛♠ ❣✐ú tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû t❤➳ ❜→♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✈î✐ ♠æ
❤➻♥❤ s❧❛❜ ♠♦❞❡ ✈➔ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧þ t❤✉②➳t ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥✳

❱➻ ✈➟② tæ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐

✏ ❈ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ ❣✐❛♠

❣✐ú tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû t❤➳ ❜→♥ t❛♠ ❣✐→❝✑ ❧➔♠ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝õ❛
♠➻♥❤✳

■■✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐
❑❤↔♦ s→t ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ ✈➔ ✤ë rë♥❣ ✈↕❝❤ ♣❤ê tr♦♥❣
❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû ✈î✐ t❤➳ ❜→♥ t❛♠ ❣✐→❝ t❤❡♦ ♠æ ❤➻♥❤ ♣❤♦♥♦♥ ❣✐❛♠ ❣✐ú s❧❛❜
♠♦❞❡✳

✽


Pữỡ ự
ỷ ử ữỡ ử tở tớ t ữủ
tự t ừ số tử sõ tứ
ỷ ử ữỡ tr tt t số ỗ t
ỷ ử ữỡ r ở rở ờ

ử ự
t tự t ừ số tử sõ tứ tữỡ
t tr ỳ tr ữủ tỷ t
õ t trữớ trữớ tứ trữớ t
st số ỗ t sỹ ử tở số tử ữủ
t ở ữ tr
ử ữỡ Pr ở rở ờ ừ
ở ữ st sỹ ử tở ừ ở rở ờ t
ở t số ỳ ữớ ở tứ trữớ

ợ t
t tữỡ t tr ọ q tữỡ t ũ
trtr
ổ t t tứ trữớ ừ sõ tứ
t trữớ ủ tử ởt t

ố ử
ử ử ử ử t t ữủ





P tr ỵ ồ t ử t ừ t
sỷ ự ừ t ữỡ ự ử ự
ợ t ố ử
P ở ỗ ữỡ
ữỡ ờ q ữủ tỷ ổ ỳ

ữỡ số tử q tứ tữỡ t tr
ỳ tr ữủ tỷ
ữỡ ở ữ tr ở rở ờ tr
ữủ tỷ t
P t tr t q t ữủ ừ t

ữỡ
ìẹ
P
ữỡ tr tờ q t
ữủ tỷ ữủ sõ ừ tr tr t
t tr trữớ ủ ữ õ õ t ừ tứ trữớ
t r ỏ tr ổ ỳ tr
ữủ tỷ



ờ q t

t ỹ tr số ổ
tr õ t ở tỹ ứ õ t õ t
s
ỗ ữủ tỷ s
ởt ỗ ữủ tỷ
ổ ỗ ữủ tỷ
ữủ tũ tở trú ừ
ở tỹ ừ t t ợ t ởt
t t õ trú tữỡ tỹ t t
ợ t t t õ trú ởt t t
ợ t t t õ trú ổ




✶✳✷✳

❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû

●✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû ❧➔ ❝➜✉ tró❝ tr♦♥❣ ✤â ♠ët ❧î♣ ♠ä♥❣ ❝❤➜t ❜→♥ ❞➝♥ ♥➔②
✤÷ñ❝ ✤➦t ❣✐ú❛ ❤❛✐ ❧î♣ ❜→♥ ❞➝♥ ❦❤→❝✳ ❙ü ❦❤→❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❝→❝ ❝ü❝ t✐➸✉ ✈ò♥❣
❞➝♥ ❝õ❛ ❤❛✐ ❝❤➜t ❜→♥ ❞➝♥ ✤â t↕♦ ♥➯♥ ♠ët ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû✳ ❈→❝ ❤↕t t↔✐ ✤✐➺♥
♥➡♠ tr♦♥❣ ♠é✐ ❧î♣ ❜→♥ ❞➝♥ ♥➔② ❦❤æ♥❣ t❤➸ ①✉②➯♥ q✉❛ ♠➦t ♣❤➙♥ ❝→❝❤ ✤➸ ✤✐
✤➳♥ ❧î♣ ❜→♥ ❞➝♥ ❜➯♥ ❝↕♥❤✳ ❉♦ ✤â✱ tr♦♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû✱ ❝→❝ ❤↕t
t↔✐ ✤✐➺♥ ❜à ✤à♥❤ ①ù ♠↕♥❤✱ ❝❤ó♥❣ ❜à ❝→❝❤ ❧② ❧➝♥ ♥❤❛✉ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➔♥❣ r➔♦ t❤➳✳
✣➦❝ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ❡❧❡❝tr♦♥ tr♦♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû ❧➔ ❝❤✉②➸♥
✤ë♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ t❤❡♦ ♠ët ❤÷î♥❣ ♥➔♦ ✤â ❜à ❣✐î✐ ❤↕♥ r➜t ♠↕♥❤ ✈➔ tü ❞♦
tr♦♥❣ ❤❛✐ ❤÷î♥❣ ❝á♥ ❧↕✐✳

✶✳✷✳✶✳ ◆➠♥❣ ❧÷ñ♥❣✱ ❤➔♠ sâ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ tr♦♥❣
tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝❤÷❛ ❝â ✈➔ ❝â ♠➦t ❝õ❛ tø tr÷í♥❣ t➽♥❤
❳➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❣✐➳♥❣ t❤➳ ❜→♥ t❛♠ ❣✐→❝

V (z) =

tr♦♥❣ ✤â



∞,

❦❤✐


αz,

❦❤✐

z<0
✭✶✳✶✮

z > 0,

α = eE0 ✱ ✈î✐ e ❧➔ ✤✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥✱ E0 ❧➔ ❜✐➯♥ ✤ë ✤✐➺♥ tr÷í♥❣✳

✭❛✮ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤æ♥❣ ❝â ♠➦t ❝õ❛ tø tr÷í♥❣
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤r♦❞✐♥❣❡r ❝â ❞↕♥❣

2

d2
− ∗ 2 + αz ψ (z) = Eψ (z) .
2m dz
❚❛ ✤➦t✿

ζ=

2m∗ α
2

1/3

z−

E
α

,

✭✶✳✷✮

♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ trð t❤➔♥❤✿

d2 ψ (ζ)
− ζψ (ζ) = 0.
dζ 2

✶✷

✭✶✳✸✮


◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❝â ❞↕♥❣ ❤➔♠ ❆✐r② ✭❍➻♥❤ ✶✳✶✮ ❬✷❪

ψ (ζ) = aAi (ζ) + bBi (ζ) .

✭✶✳✹✮

❍➻♥❤ ✶✳✶✿ ❍➔♠ ❆✐r② ❆✐✭①✮ ✈➔ ❇✐✭①✮✳
❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ❆✐r②✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝↔ ❤❛✐ ❤➔♠
❧➔ ❤➔♠ t✉➛♥ ❤♦➔♥ ð ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ➙♠ ❝õ❛

Bi

❣✐↔♠ ♥❤❛♥❤ tr♦♥❣ ❧ó❝ ✤â ❤➔♠
❤↕♥ ❦❤✐

ζ→∞

ζ✳

❑❤✐

ζ

Ai

✈➔

Bi

✤➲✉

❞÷ì♥❣ t❤➻ ❤➔♠ ❆✐r② s✉②

❧↕✐ t➠♥❣ ♥❤❛♥❤✳ ❱➻ ❤➔♠ sâ♥❣ ♣❤↔✐ ❤ú✉

Bi✳

♥➯♥ t❛ ❜ä q✉❛ ♥❣❤✐➺♠

❚ø ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧➔

ψ (z) = aAi
⑩♣ ❞ö♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥✿

Ai

1/3

2m∗ α

z−

2

ψ (z) |z=0 = 0✱
2m∗ α

.

✭✶✳✺✮

t❛ ✤÷ñ❝

1/3

2

E
α

0−

E
α

E
α

= ζn ,

= 0.

✭✶✳✻✮

tø ✤â

2m∗ α

−

2
tr♦♥❣ ✤â

ζn

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ t❤ù

n

✭✶✳✼✮

❝õ❛ ❤➔♠ ❆✐r② ✭❤➻♥❤ ✶✳✷✮✳ ❈→❝ ♥❣❤✐➺♠

❦❤æ♥❣ ♥➔② ❝â ❞↕♥❣ ❣➛♥ ✤ó♥❣

3π
ζn = −
2

1
n−
4

✶✸

2/3

n = 0, 1, 2...

✭✶✳✽✮


❚ø ✭✶✳✻✮ t❛ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ♣❤ê ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣
t❤❡♦ trö❝

z✿
1/3

2

En = −

α2/3 ζn ,

2m∗

✭✶✳✾✮

❤❛②

1/3

2

En =

1
3πα
n−
2
4

2m∗

2/3

.

✭✶✳✶✵✮

❍➻♥❤ ✶✳✷✿ ✣ç t❤à ❝õ❛ ❤➔♠ ❆✐r② ❝❤✉➞♥ ❤â❛ ❆✐✭✵✮❂✶✱ ✈î✐ ✻ ❣✐→ trà ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ ✤➛✉
t✐➯♥✳
3
t÷ì♥❣
4

ù♥❣ ❜➡♥❣ 0.7587 ✈➔ 1, 7540 ❝❤♦ ✷ ✈ò♥❣ t❤➜♣ ♥❤➜t✳ ❱ò♥❣ t❤➜♣ ♥❤➜t (n = 0)
❈→❝ trà r✐➯♥❣ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝â t❤➸ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛②

✈➔ ✈ò♥❣ ❦➼❝❤ t❤➼❝❤ t❤ù ♥❤➜t

(n = 1)

n+

❝â ❤➔♠ sâ♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ❬✶✷❪

ψ0 (z) = b30 /2

1/2

ze−b0 z/2

✭✶✳✶✶✮

✈➔

ψ1 (z) = A 2/b30
✈î✐

b0 = 2 3eE0 m∗ /2

2 1/3

✱

1/2

z (1 − Bz) e−b1 z/2 ,

✭✶✳✶✷✮

b1 = 0.754b0 ✱ A = 0.47b30 ✱ B = 0.292b0 ✳

✶✹


✭❜✮ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝â ♠➦t ❝õ❛ tø tr÷í♥❣
❑❤✐ ❝â ♠➦t ❝õ❛ tø tr÷í♥❣ t➽♥❤ ❤÷î♥❣ t❤❡♦ trö❝

z ✿ B = (0, 0, B)✳

❚r♦♥❣ tø tr÷í♥❣✱ t❤➳ ✈❡❝tì ❧✐➯♥ ❤➺ ✈î✐ ❝↔♠ ù♥❣ tø t❤❡♦ ❤➺ t❤ù❝

∇ × A = B.
❈❤å♥ ❝❤✉➞♥ ▲❛✉❞❛✉

A = (0, Bx, 0)✳

2

1
∂2
−
+
−i ∇r⊥ + q A

2mz ∂z 2 2m∗
tr♦♥❣ ✤â

m∗

✭✶✳✶✸✮

❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ s➩ ❝â ❞↕♥❣

2

+ V (z) ψ (r⊥ , z) = Eψ (r⊥ , z) .

❧➔ ❦❤è✐ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥✳

●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤r♦❞✐♥❣❡r ❝❤♦ ❡❧❡❝tr♦♥ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ tr♦♥❣ t❤➳ ♥➔②✱ t❛
t➻♠ ✤÷ñ❝ ❤➔♠ sâ♥❣ ✈➔ ♣❤ê ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥

ψN,n,ky =

1
φN
Ly

x−

2
B ky

eiky y ψn (z) ,

✭✶✳✶✹✮

B

tr♦♥❣ ✤â

(x − x0 )2
exp −
Hn
√
2 2B
2N N ! π B
1

φN (x) =

EN,n,ky = N +

1
2

x − x0

✱

B

ωc + E n ,

✭✶✳✶✺✮

1/2
tr♦♥❣ ✤â

B

=

eB

✈➔

ωc = eB/m∗ ✱

✈î✐

ψn (z) = Ai
✈➔

En

2m∗ eE0
2

1/3

z−

En

eE0

,

✭✶✳✶✻✮

✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉✿

2/3
3
1/3 3π n +

4 

 ,


2


2 2

En =

e E02
2m∗

✶✺

n = 0, 1, 2...

✭✶✳✶✼✮


✶✳✸✳

❈→❝ ♠æ ❤➻♥❤ ❣✐❛♠ ❣✐ú ♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣
tû

✶✳✸✳✶✳ ▼æ ❤➻♥❤ s❧❛❜ ♠♦❞❡
▼æ ❤➻♥❤ s❧❛❜ ♠♦❞❡ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❝õ❛
✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ♠➔ ❦❤æ♥❣ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ sü ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ♥❣✉②➯♥ tû t↕✐ ❜➲ ♠➦t✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❣å✐ ✤➙② ❧➔ ♠æ ❤➻♥❤ ✶✳ ❚r♦♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ ♥➔② ✤✐➺♥ t❤➳ ❝â ♥ót ð ❜➲
♠➦t ✈➔ ❜✐➯♥ ✤ë ❞❛♦ ✤ë♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❬✶✼❪✿

tr♦♥❣ ✤â

L

um+ = cos (mπz/L) , m = 1, 3, 5...

✭✶✳✶✽✮

um− = sin (mπz/L) , m = 2, 4, 6...

✭✶✳✶✾✮

❧➔ ❜➲ rë♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû✳

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ♥➔② ❝❤♦ ♠♦❞❡ ❣✐❛♠ ❣✐ú ❝❤➾ ✤÷ñ❝ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥

♥➳✉ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝õ❛ sü ♣❤➙♥ ❝ü❝ ❧➔ ❧î♥ ❤ì♥ ♥❤✐➲✉ s♦ ✈î✐
t❤➔♥❤ ♣❤➛♥
♣❤♦♥♦♥ ❧➔

z❀

|q⊥ |

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔② ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t tr♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈❡❝tì sâ♥❣

π/L

tr♦♥❣ ✤â

q⊥ ≡ (qx , qy )✳

✶✳✸✳✷✳ ▼æ ❤➻♥❤ ❣✉✐❞❡❞ ♠♦❞❡
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❦❤✐

|q⊥ |

π/L✱

t❛ ❜ä q✉❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

❜✐➯♥ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ ♠➔ ❝❤➾ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ tr♦♥❣ ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ♥❣✉②➯♥ tû t↕✐
❜➲ ♠➦t✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❣å✐ ✤➙② ❧➔ ♠æ ❤➻♥❤ ✷✳ ❇✐➯♥ ✤ë ❞❛♦ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♠♦❞❡ ❣✐❛♠
❣✐ú ✤÷ñ❝ ❘✐❞❧❡② ❣å✐ ❧➔ ✏❣✉✐❞❡❞ ♠♦❞❡✑✱ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❬✷✷❪✿

um+ = sin (mπz/L) , m = 1, 3, 5...

✭✶✳✷✵✮

um− = cos (mπz/L) , m = 2, 4, 6...

✭✶✳✷✶✮

◆❤ú♥❣ ♠♦❞❡ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❘✐❞❧❡② sû ❞ö♥❣ ✤➸ t➼♥❤ t♦→♥ tè❝ ✤ë ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥
♥ë✐ ✈ò♥❣ ✈➔ ❧✐➯♥ ✈ò♥❣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû✳

✶✻


✶✳✸✳✸✳ ▼æ ❤➻♥❤ ❍✉❛♥❣ ✲ ❩❤✉
❚r♦♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ ❍✉❛♥❣ ✲ ❩❤✉✱ ❞❛♦ ✤ë♥❣ q✉❛♥❣ ❤å❝ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✐♦♥ ❝â ❝→❝
✤✐➺♥ t➼❝❤ tr→✐ ❞➜✉ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ♠↕♥❣ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝õ❛ ❞❛♦ ✤ë♥❣
✤✐➺♥ t➼❝❤✳ ▼æ ❤➻♥❤ ❍✉❛♥❣ ✲ ❩❤✉ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜➡♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❣✐↔✐ t➼❝❤
♥❤÷ s❛✉ ❬✶✺❪✿
✣è✐ ✈î✐ ♠♦❞❡ ❧➫

u+
m = sin (µm πz/L) + Cm z/L, m = 3, 5, 7...

✭✶✳✷✷✮

✣è✐ ✈î✐ ♠♦❞❡ ❝❤➤♥

m/2
u−
, m = 2, 4, 6...,

m = cos (µm πz/L) − (−1)
tr♦♥❣ ✤â

Cm

µm

✭✶✳✷✸✮

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

tan (µm π/2) = µm π/2,

✭✶✳✷✹✮

Cm = −2 sin (µm π/2) .

✭✶✳✷✺✮

✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐✿

✶✼


❈❤÷ì♥❣ ✷
❍➏ ❙➮ ❍❻P ❚❍Ö ◗❯❆◆● ❚Ø ❉❖ ❚×❒◆● ❚⑩❈
❊▲❊❈❚❘❖◆ ✲ P❍❖◆❖◆ ●■❆▼ ●■Ú ❚❘❖◆●
●■➌◆● ▲×Ñ◆● ❚Û ❚❍➌ ❇⑩◆ ❚❆▼ ●■⑩❈
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐
❣✐❛♥✱ t÷ì♥❣ t→❝ ❣✐ú❛ ❡❧❡❝tr♦♥ ✈➔ ♣❤♦♥♦♥ q✉❛♥❣ ❣✐❛♠ ❣✐ú✱ t➼♥❤

t♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤ t÷í♥❣ ♠✐♥❤ ❤➺ sè ❤➜♣ t❤ö q✉❛♥❣ tø tr♦♥❣ ❝➜✉ tró❝
❜→♥ ❞➝♥ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû t❤➳ ❜→♥ t❛♠ ❣✐→❝✳

✷✳✶✳

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥

✷✳✶✳✶✳ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ❦❤æ♥❣ ❞ø♥❣
❳➨t ❤➺ ❧÷ñ♥❣ tû ❝❤à✉ t→❝ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥

W = W (t)✳

❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❝õ❛ ❤➺ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ t→❝❤ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♣❤➛♥ ❬✸❪✿

ˆ (t) = Hˆ0 + W
ˆ (t) ,
H
tr♦♥❣ ✤â

✭✷✳✶✮

H0 ❧➔ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❝õ❛ ❤➺ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥✱

♠æ t↔ ❤➺ ❦❤✐ ❝❤÷❛ ❜à ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥✱

ˆ (t) ❧➔ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ♣❤ö t❤✉ë❝
W

W (t) ❝â t❤➸ ❧➔ ❤➔♠ ❜➟❝ t❤❛♥❣



ˆ (t) , 0 ≤ t ≤ τ
W
ˆ
W (t) =

0,
t < 0 t > τ,

t❤í✐ ❣✐❛♥✳ ❚❤➳ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥

❤♦➦❝ t❤➳ ✤✐➲✉ ❤á❛
❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

❝â ❞↕♥❣✿

✭✷✳✷✮

ˆ =W
ˆ0 e±iωt ✳
W
H (t)
i

t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤r♦❞✐♥❣❡r tê♥❣ q✉→t✿

∂ψ (x, t)
ˆ (t) ψ (x, t) ,
= Hˆ0 + W
∂t

✶✽

✭✷✳✸✮


tr♦♥❣ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤r♦❞✐♥❣❡r ❝õ❛ ❤➺ ❝❤÷❛ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥

(0)

∂ψk (x, t)
(0)
i
= Hˆ0 ψk (x, t)
∂t

✭✷✳✹✮

✤➣ ❜✐➳t ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❞ø♥❣✿

i

(0)
ψk (x, t)

− Ek t

=e

(0)

ψk (x) .

✭✷✳✺✮

❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✸✮ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ ❤➡♥❣ sè✳
❑❤❛✐ tr✐➸♥

ψ (x, t)

t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ t❤❡♦ ❝→❝ ❤➔♠

ψ (x, t) =

(x,t)

ψk

✿

(0)

k

ck (t) ψk (x, t) ,

rç✐ t❤❛② ✈➔♦ ✭✷✳✸✮✱ t❛ ✤÷ñ❝✿

(0)

i
k

∂ψ (x, t)
∂ck (t) (0)
ψk (x, t) + ck (t) k
∂t
∂t
(0)

ˆ (t)
= Hˆ0 + W

ck (t) ψk (x, t) .

✭✷✳✻✮

k
◆❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✭✷✳✸✮ ❝❤♦

(0)

ψm (x, t)
(0)

∂ψ (x, t)
∂ck (t) (0)
(0)
(0)
ψm (x, t) |ψk (x, t) + ck (t) ψm

(x, t) | k
∂t
∂t

i
k

(0)
(0)
(0)
ˆ (t) |ψ (0) |ψ (0) (x, t)
ψm
(x, t) |Hˆ0 |ψk (x, t) + ψm
(x, t) |W
k
k

=
k

✭✷✳✼✮
❚❛ t❤➜② sè ❤↕♥❣ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ✈➳ tr→✐ ✈➔ sè ❤↕♥❣ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✼✮ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✱ ✈➻ ✈➟② ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② trð t❤➔♥❤✿

i
k

dck (t)
δmk e
dt

i

(Em −Ek )t

i
=

Wmk (t) e
k

✶✾

(Em −En )t

ck (t) ,

ck (t) .


❤❛②

dcm (t)
=
dt

i
k
tr♦♥❣ ✤â

ωmk = (Em − En ) /

Wm k (t) eiωmk t ck (t) ,

✭✷✳✽✮

k

✳

ck (t)

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✽✮ ❝â ✈➳ ♣❤↔✐ ❝❤ù❛ ❤➺ sè ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥
♠➔ t❛ ❝➛♥ ♣❤↔✐ t➻♠✳
❚❛ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣✿
●✐↔ t❤✐➳t t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠
✤â t❛ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❤➺ sè
❧➔✿

(t)

ck (t)

t≤0

❤➺ ð tr↕♥❣ t❤→✐

tr♦♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥

(0)

ck = ψk (x, t) |ψ (x, 0)

(0)

ψ (x, 0) = ψn (x)✱

ψ (x, 0) =

k ck

(0)

(t) ψk (x, t)

✳ ❚ø ✤â t❛ t➻♠ ✤÷ñ❝✿

(0)

ck (0) = ψk (x, 0) |ψn(0) (x, 0) = δkn .
❇➢t ✤➛✉ t❤í✐ ✤✐➸♠

ψ (x, t)

✤â ❤➔♠

❧ó❝

✭✷✳✾✮

t ≥ 0 ❤➺ ❜➢t ✤➛✉ ❝❤à✉ t→❝ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥✱ ❧ó❝

s➩ t❤❛② ✤ê✐ t❤❡♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✳ ❚❛ ✈✐➳t ❤➺ sè

ck (t)

❞÷î✐ ❞↕♥❣

tê♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❜➟❝ ❦❤æ♥❣✱ ❜➟❝ ♥❤➜t✱ ❜➟❝ ❤❛✐✱✳✳✳

(0)

(1)

(2)

ck (t) = λ0 ck (t) + λ1 ck (t) + λ2 ck (t) + ...
Wmk (t) = aaλ1 Vmk (t) .

✭✷✳✶✵✮

❚❤❛② ✭✷✳✶✵✮ ✈➔♦ ✭✷✳✽✮✱ t❛ ✤÷ñ❝✿

i

d 0 (0)
(1)
(2)
λ ck (t) + λ1 ck (t) + λ2 ck (t) + ...
dt

(0)

(1)

(2)

λVmk (t) eiωmk t λ0 ck (t) + λ1 ck (t) + λ2 ck (t) + ... .

=

✭✷✳✶✶✮

k
❙♦ s→♥❤ ✈î✐ sè ❤↕♥❣ ❝ò♥❣ ❜➟❝ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛

λ ❝❤➾ ①➨t ✤➳♥ ❜ê ❝❤➼♥❤ ❜➟❝

❤❛✐ t❛ ✤÷ñ❝✿

i

d (0)
c (t) = 0,
dt m

✭✷✳✶✷❛✮

✷✵

i
i
❱➻

d (1)
c (t) =
dt m

(0)

✭✷✳✶✷❜✮

k

d (2)
c (t) =
dt m

ck (t) = δnk ✱
i

(0)

Wmk (t) eiωmk t ck (t) ,
(1)

Wmk (t) eiωmk t ck (t) .

✭✷✳✶✷❝✮

k

♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✷❛✮ ❝â t❤➸ ✈✐➳t ❧↕✐ ♥❤÷ s❛✉✿

d (1)
c (t) =
dt m

Wmk (t) eiωmk t δnk = Wmn (t) eiωmn t .
k

●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② t❛ ✤÷ñ❝✿

t

1
c(1)
(t)
=
m
i

Wmn (t) eiωmn t dt .

✭✷✳✶✸✮

0
❚÷ì♥❣ tü

t

c(2)
m (t)

=

1

Wmn (t) eiωmn t dt .
k

❇✐➳t ❝→❝ ❤➺ sè
t❤í✐ ✤✐➸♠

t✳

(0)

(1)

(2)

cm ✱ cm ✱ cm

✭✷✳✶✹✮

0
✳✳✳ t❛ s➩ ❜✐➳t ✤÷ñ❝ ❤➔♠ sâ♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ✈➔♦

▼ët ù♥❣ ❞ö♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❧➔ ✈✐➺❝ t➼♥❤ ①→❝

s✉➜t ❝❤✉②➸♥ ❞í✐ ❧÷ñ♥❣ tû ❦❤✐ ❝â ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥✳

✷✳✶✳✷✳ ❙ü ❝❤✉②➸♥ ❞í✐ ❧÷ñ♥❣ tû ❞÷î✐ t→❝ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥
♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥
❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❝ì ❧÷ñ♥❣ tû ❧➔ t➼♥❤ ①→❝ s✉➜t
❝❤✉②➸♥ ❞í✐ tø ♠ët tr↕♥❣ t❤→✐ ❧÷ñ♥❣ tû ♥➔② s❛♥❣ ♠ët tr↕♥❣ t❤→✐ ❧÷ñ♥❣ tû
❦❤→❝ ❬✸❪✳ ❙ü ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ♥➔② ①↔② r❛ ❞♦ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ♣❤ö t❤✉ë❝
t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ ❝❤➾ ❝â þ ♥❣❤➽❛ ❦❤✐ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ t→❝ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐
❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ◆❣♦➔✐ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥➔②✱ ❤➺ ð tr↕♥❣ t❤→✐ ❞ø♥❣ ❝â ♥➠♥❣
❧÷ñ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ♠æ t↔ ♥❤÷ s❛✉ ✭❍➻♥❤ ✷✳✶✮✳

✷✶


ồ sỹ ừ ự ữủ ữ ừ
ổ ứ
rữợ õ t ử ừ

W (t)

tr t ứ õ ữủ
tr t

E = En

tữỡ ự ợ

(x, 0) = n (x) tọ ữỡ tr tr r H0 n (x) =

En n (x) .
r tớ õ t ử ừ

W (t)

ữ ừ s tr t ợ ợ
sõ

(x, t)

ỹ t ờ t tớ ừ t r sỹ

ự ữủ ừ tr t sỹ ỳ
tr t ừ ữ
t

W (t)

t s tr tr t r
t ừ ớ ỗ t ừ tr t ổ ừ
t số

cm (t)

ớ ử tở ừ t tỷ

tr t r t ố ừ ữủ ổ t
sõ

i

f (x, t) =

cm (t) m e

Em t

.



m
ồ st ừ tứ tr t



n

s tr t

m

t