Cộng hưởng cyclotron phonon giam giữ trong giếng lượng tử thế parabol

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẶNG THỊ THU HIỀN

CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON - PHONON GIAM GIỮ
TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ
THẾ PARABOL

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. LÊ ĐÌNH

Thừa Thiên Huế, năm 2018

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.

Huế, tháng 9 năm 2018
Tác giả luận văn

Đặng Thị Thu Hiền

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy giáo - PGS. TS. Lê Đình đã tận tình hướng dẫn và giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô trong khoa Vật lý,
phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã
giảng dạy, giúp đỡ tôi suốt hai năm học qua.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè, các
bạn học viên cao học khóa 25 đã luôn động viên, giúp đỡ, góp ý cho tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2018
Tác giả luận văn

Đặng Thị Thu Hiền

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh mục các hình và đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 1. TỔNG QUAN GIẾNG LƯỢNG TỬ VÀ CÁC
MÔ HÌNH GIAM GIỮ PHONON . . . . . . . . . . .

10

1.1. Tổng quan giếng lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2. Năng lượng và trạng thái của electron trong giếng lượng tử

13

1.3. Năng lượng, hàm sóng của electron trong giếng thế parabol
trong trường hợp chưa có và có mặt của từ trường tĩnh . .

15

1.3.1. Trường hợp chưa có mặt của từ trường . . . . . . .

15

1.3.2. Trường hợp có mặt của từ trường . . . . . . . . . .

15

1.4. Các mô hình phonon giam giữ trong giếng lượng tử . . . .

16

1.4.1. Mô hình slab mode . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.2. Mô hình guided mode . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.3. Mô hình Huang-Zhu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 2. HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ DO
TƯƠNG TÁC ELECTRON - PHONON GIAM GIỮ
TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ THẾ PARABOL

.

20

. . . . . . .

20

2.1.1. Tổng quan về nhiễu loạn không dừng . . . . . . . .

20

2.1. Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

1

2.1.2. Sự chuyển dời lượng tử dưới tác dụng của nhiễu loạn
phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2. Hệ số hấp thụ do tương tác electron - phonon quang dọc .

27

2.2.1. Hamitonian tương tác . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.2. Biểu thức thừa số dạng của electron trong giếng lượng
tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.3. Hệ số hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Chương 3. CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON-PHONON
VÀ ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ TRONG GIẾNG LƯỢNG
TỬ THẾ PARABOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.1. Điều kiện cộng hưởng cyclotron – phonon trong giếng lượng
tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2. Phương pháp Profile để xác định độ rộng vạch phổ . . . .

48

3.3. Cộng hưởng cyclotron-phonon trong giếng lượng tử thế
parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.4. Sự phụ thuộc độ rộng phổ vào nhiệt độ . . . . . . . . . . .

52

3.5. Sự phụ thuộc độ rộng phổ vào từ trường . . . . . . . . . .

54

3.6. Sự phụ thuộc độ rộng phổ vào tần số giam giữ

. . . . . .

55

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

2


DANH MỤC CÁC HÌNH VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1

Cấu trúc giếng lượng tử gồm hai chất bán dẫn GaAs
và Alx Ga1−x As . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.1

Minh họa sự dịch chuyển của các mức năng lượng
do ảnh hưởng của nhiễu loạn không dừng . . . . .

Hình 2.2

23

Đồ thị của f (t, ω) = sin2 (ωf i t/2) /ωf2 i theo ωf i ,
trong đó ta đã kí hiệu ω ≡ ωf i . . . . . . . . . . . .

Hình 3.1

12

25

Minh họa đồ thị để xác định độ rộng vạch phổ bằng
phương pháp Profile . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Đồ thị 3.2 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng
photon Ω trong giếng lượng tử thế parabol trong
trường hợp phonon giam giữ (đường màu xanh liền
nét) và phonon khối (đường màu đỏ đứt nét) tại
T = 300K, ωz = 2.75 × 1013 Hz và B = 12 T. . . .

50

Đồ thị 3.3 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng photon tại đỉnh cộng hưởng cyclotron - phonon ( ω =
56.87 meV) đối với mô hình giam giữ tại các giá
trị khác nhau của nhiệt độ (T = 150 K: đường liền
nét màu đen, T = 200 K: đường đứt nét màu xanh
và T = 300 K: đường chấm chấm màu đỏ) trong
trường hợp ωz = 2.75 × 1013 Hz và B = 12 T. . . .

52

Đồ thị 3.4 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng
hưởng cyclotron-phonon vào nhiệt độ trong trường
hợp phonon giam giữ (đường hình tròn màu xanh)
và phonon khối (đường hình vuông màu đỏ). . . .

3

53


Đồ thị 3.5 sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng
photon tại đỉnh cộng hưởng cyclotron-phonon đối
với mô hình phonon giam giữ tại các giá trị khác
nhau của từ trường B: B = 10 T (đường liền nét
màu đen), B = 12 T (đường gạch gạch màu xanh)
và B = 14 T (đường chấm chấm màu đỏ) với ωz =
0.5ωLO , T = 300 K. . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Đồ thị 3.6 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ phụ thuộc vào
từ trường cho trường hợp phonon giam giữ (đường
hình tròn màu xanh) và phonon khối (đường hình
vuông màu đỏ).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Đồ thị 3.7 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng photon của đỉnh cộng hưởng cyclotron-phonon đối với
mô hình phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau
của tần số giam giữ ωz : ωz = 0.5 ωLO (đường màu
đen liền nét), ωz = 0.6 ωLO (đường màu xanh đứt
nét) và ωz = 0.7 ωLO (đường màu đỏ chấm chấm).

56

Đồ thị 3.8 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng
hưởng cyclotron-phonon vào tần số giam giữ ωz
trong trường hợp phonon giam giữ và phonon khối.
Ở đây, T = 300 K, B = 12 T.

4

. . . . . . . . . . .

56


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Hiệu ứng cộng hưởng cyclotron đã được chứng minh là một trong
những công cụ hữu ích để đo trực tiếp các đặc trưng của vật liệu chẳng
hạn như tiết diện mặt Fermi, khối lượng hiệu dụng của electron và năng
lượng phonon quang dọc (LO) [8]. Đặc biệt, cộng hưởng cyclotron được
chứng tỏ là có ảnh hưởng lớn trong phép đo hiệu số giữa các mức năng
lượng trong chất rắn đặt trong một từ trường ngoài [13]. Năng lượng
photon hấp thụ, Ω, tại đó quá trình hấp thụ xảy ra có thể được xác
định bởi điều kiện Ω = p ωB , trong đó p là số nguyên và ωB là năng
lượng của khoảng cách hai mức Landau liên tiếp (hay được gọi là năng
lượng cyclotron). Đây chính là cộng hưởng cyclotron.
Tuy nhiên, trong phép gần đúng lưỡng cực, do sự chi phối của quy
tắc lọc lựa nên sự hấp thụ photon tại các giá trị khác nhau của năng
lượng không thỏa mãn điều kiện trên nên không được phép. Sự ngăn

cấm này có thể bị loại bỏ nếu tương tác electron-phonon quang dọc
được đưa vào [24]. Điều này có nghĩa là quy tắc lọc lựa được biến đổi
thành Ω = p ωB ± ωLO với ωLO là năng lượng phonon quang dọc.
Như vậy, sự tham gia của phonon trong cộng hưởng cyclotron được gọi là
cộng hưởng cyclotron-phonon quang (PACR-phonon-assisted cyclotron
resonance).
Cộng hưởng cyclotron-phonon quang (PACR) lần đầu được nghiên
cứu lý thuyết bởi Bass và Lenvinson [9] và sau đó là bởi Enck và đồng
nghiệp [18]. Bass và Levinson đã trình bày một lý thuyết về cộng hưởng
cyclotron-phonon trong giếng lượng tử sử dụng kỹ thuật nhiễu loạn. Kỹ
thuật này đã được sử dụng thành công trong nghiên cứu cộng hưởng
5


cyclotron-phonon đối với bán dẫn khối và sự hấp thụ hạt tải tự do trong
các cấu trúc thấp chiều. Một lợi thế của phương pháp này là sự đơn
giản của nó so với các tính toán dựa trên lý thuyết phản ứng tuyến tính.
Ngoài ra, hiệu ứng này được quan sát thực nghiệm lần đầu tiên trong
InSb bởi McCombe và đồng nghiệp [16]. Sau những nghiên cứu tiên
phong này, hiệu ứng PACR đã hấp dẫn rất nhiều nhà nghiên cứu bởi
những công dụng đa dạng của nó. Sử dụng công thức Kubo, Singh và
Tanatar đã thiết lập biểu thức của hệ số hấp thụ quang từ biểu thức ten
xơ độ dẫn trong giếng lượng tử loại p [32] cũng như loại n [33]. Kết quả
của nghiên cứu này cho thấy rằng bên cạnh đỉnh cộng hưởng cyclotron
thông thường còn có thêm đỉnh phụ trong phổ hấp thụ quang do các
dịch chuyển của electron và phonon.
Trong việc nghiên cứu ảnh hưởng của kích thước lên chuyển động
của phonon đã có một số mô hình phonon giam giữ được đưa ra. Trong
đó mô hình Huang-Zhu (HZ) được chấp nhận để mô tả cho sự giam giữ
phonon trong giếng lượng tử, các kết quả tính số cho các mode giam giữ

được mô tả bằng các mode slab của Fuchs-Kliewer và mô hình guided
của Ridley vẫn được quan tâm.
Ở nước ta, trong những năm gần đây, các công trình nghiên cứu về
các hiện tưởng cộng hưởng và độ rộng vạch phổ, trong đó có hiện tượng
cộng hưởng cyclotron và cộng hưởng cyclotron-phonon, có thể kể ra một
số công trình tiêu biểu như:
+ Nhóm tác giả Huỳnh Vĩnh Phúc, Nguyễn Thị Thu Thảo, Lê
Đình, Trần Công Phong [29] nghiên cứu “Cộng hưởng cyclotron-phonon
âm giam giữ nhờ quá trình hấp thụ nhiều phonon trong mô hình giếng
lượng tử GaAs”.
+ Nhóm tác giả Lê Đình, Huỳnh Vĩnh Phúc [17] đã khảo sát “Cộng
hưởng cyclotron-phonon không tuyến tính thông qua quá trình hấp thụ
6


2 photon trong giếng lượng tử thế Gaussian bất đối xứng”.
+ Nhóm tác giả Lê Đình, Huỳnh Vĩnh Phúc [27] nghiên cứu “Cộng
hưởng cyclotron-phonon quang bề mặt trong chất nền phân cực graphene”.
Ngoài ra, một số luận văn thạc sĩ tại trường Đại học Sư phạm Huế
cũng đề cập vấn đề này, tiêu biểu là:
+ “Kỹ thuật chiếu độc lập trạng thái trong thống kê lượng tử và áp
dụng để nghiên cứu cộng hưởng cyclotron trong hố thế lượng tử với thế
parabol” của Trần Ngọc Bích [1].
+ “Cộng hưởng cyclotron-phonon trong bán dẫn siêu mạng thành
phần” của Phan Nguyên Tuấn [7].
+ “Cộng hưởng cyclotron-phonon trong siêu mạng bán dẫn pha tạp”
của Đỗ Thiên Diệp [2].
+ “Cộng hưởng cyclotron-phonon trong graphene nanoribbon” của
Phan Tùng Lâm [5].
+ “Cộng hưởng cyclotron-phonon âm-giam giữ trong hố lượng tử

nhờ quá trình hấp thụ hai photon” của Nguyễn Thị Thu Thảo [6].
+ “Cộng hưởng cyclotron-phonon trong dây lượng tử hình trụ nhờ
quá trình hấp thụ hai photon” của Lê Thị Mai Huệ [4].
Tuy nhiên chưa có đề tài nào khảo sát hiện tượng cộng hưởng cyclotron – phonon giam giữ trong giếng thế lượng tử với các mô hình
phonon giam giữ khác nhau (slab mode, guided mode và HZ) và sử
dụng lý thuyết nhiễu loạn.
Vì lí do đó tôi chọn đề tài "Cộng hưởng cyclotron – phonon
giam giữ trong giếng thế lượng tử parabol" làm đề tài luận văn
của mình.

7


II. Mục tiêu của đề tài
Khảo sát hiện tượng cộng hưởng cyclotron – phonon và độ rộng vạch
phổ trong giếng lượng tử với thế parabol theo mô hình phonon giam giữ
slab mode.
III. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian;
- Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị;
- Sử dụng phương pháp Profile để xác định độ rộng vạch phổ.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
-Thiết lập biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ và do tương tác
electron – phonon bị giam giữ trong giếng lượng tử thế parabol khi có
mặt trường ngoài (điện trường xoay chiều và từ trường tĩnh).
- Khảo sát số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc hệ số hấp thụ vào năng
lượng photon và biện luận các điều kiện cộng hưởng cyclotron - phonon.
- Áp dụng phương pháp profile để xác định độ rộng vạch phổ của
các đỉnh cộng hưởng và khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào
nhiệt độ, tần số giam giữ và từ trường.

V. Giới hạn đề tài
- Chỉ xét đến tương tác electron - phonon, bỏ qua tương tác cùng
loại (electron-electron, phonon-phonon);
- Không xét thành phần từ trường của sóng điện từ;
- Chỉ xét khí electron không suy biến.

8


VI. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm 3 phần:
Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài, lịch
sử nghiên cứu của đề tài, phương pháp nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên
cứu, giới hạn đề tài và bố cục luận văn.
Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1. Tổng quan giếng lượng tử và các mô hình phonon giam giữ
Chương 2. Hệ số hấp thụ sóng điện từ do tương tác electron – phonon
giam giữ trong giếng lượng tử thế parabol
Chương 3. Cộng hưởng cyclotron - phonon và độ rộng vạch phổ
Phần kết luận trình bày các kết quả đạt được của đề tài.

9


NỘI DUNG
Chương 1
TỔNG QUAN GIẾNG LƯỢNG TỬ VÀ CÁC MÔ
HÌNH GIAM GIỮ PHONON
Chương này trình bày tổng quan về giếng lượng tử và năng

lượng, hàm sóng của electron trong giếng thế parabol trong
trường hợp chưa có và có mặt của từ trường tĩnh. Ngoài ra,
các mô hình giam giữ phonon cũng được tóm tắt ở chương này.

1.1.

Tổng quan giếng lượng tử
Bán dẫn thấp chiều bao gồm các loại: bán dẫn hai chiều gồm

giếng lượng tử, siêu mạng; bán dẫn một chiều bao gồm các dây lượng tử
và bán dẫn không chiều bao gồm các chấm lượng tử. Các loại bán dẫn
này được phân chia tùy thuộc vào cấu trúc của bán dẫn. Nếu chuyển
động tự do của các hạt tải điện bị giới hạn theo một chiều thì ta có cấu
trúc bán dẫn hai chiều. Tương tự, nếu các hạt tải bị giới hạn theo hai
chiều thì ta có cấu trúc một chiều và nếu các hạt tải bị giới hạn theo cả
ba chiều thì ta có cấu trúc bán dẫn không chiều.
Trong cấu trúc của các hệ thấp chiều, ngoài điện trường của thế
tuần hoàn gây ra bởi các nguyên tử tạo nên tinh thể, còn tồn tại một
trường điện thế phụ biến thiên tuần hoàn và có chu kì lớn hơn rất nhiều
lần so với chu kì của hằng số mạng. Điện thế phụ này sẽ ảnh hưởng đến
sự chuyển động của các hạt tải điện có trong bán dẫn. Các hạt tải điện
chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều không có điện thế phụ, do đó
tùy thuộc vào điện thế phụ này mà các bán dẫn phân chia thành một
chiều, hai chiều hay không chiều.
10


Việc nghiên cứu vật liệu có cấu trúc thấp chiều đã cho thấy cấu
trúc của vật liệu ảnh hưởng trực tiếp đến tính chất của nó và từ đó phát
hiện ra nhiều đặc tính ưu việt mà vật liệu cấu trúc ba chiều không có.

Giếng lượng tử là cấu trúc trong đó một lớp mỏng chất bán dẫn
này được đặt giữa hai lớp bán dẫn khác. Sự khác biệt của các cực tiểu
vùng dẫn của hai chất bán dẫn đó tạo nên một giếng lượng tử. Các hạt
tải điện nằm trong mỗi lớp bán dẫn này không thể xuyên qua mặt phân
cách để đi đến lớp bán dẫn bên cạnh. Do đó trong cấu trúc giếng lượng
tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau bởi các
hàng rào thế. Đặc điểm chung của hệ điện tử trong cấu trúc giếng lượng
tử là chuyển động của điện tử theo một hướng nào đó bị giới hạn rất
mạnh và tự do trong hai hướng còn lại.
Bán dẫn giếng lượng tử thông dụng nhất là hệ gồm hai chất bán
dẫn GaAs và Alx Ga1−x As (hình 1.1). Hình 1.1a biểu diễn mô hình giếng
lượng tử đơn giản nhất có thể nuôi cấy được. Đây là trường hợp một cấu
trúc GaAs/AlGaAs được cho lớn lên trên đế GaAs. Cấu trúc này gồm
một lớp bán dẫn có chiều dày d (cỡ 10 nm), được đặt xen kẽ giữa hai lớp
bán dẫn AlGaAs có bề dày lớn hơn. Độ dày d được chọn sao cho chuyển
động của electron trong lớp GaAs bị lượng tử hóa. Hệ tọa độ được đặt
sao cho phương z trùng với phương lớn lên của tinh thể (crystal growth
direction), còn các trục x và y nằm trong mặt phẳng đế. Nửa dưới của
hình 1.1a mô tả sự thay đổi theo không gian của vùng dẫn và vùng hóa
trị dọc theo hướng z. Độ rộng vùng cấm của AlGaAs lớn hơn so với của
GaAs, khi đó các đường biên tương ứng với các trạng thái thấp nhất
trong vùng dẫn và cao nhất trong vùng hóa trị của GaAs nằm giữa khe
vùng của AlGaAs. Như vậy, đã có hàng rào thế được sinh ra tại các biên
tiếp xúc giữa các lớp bán dẫn, do sự không liên tục của vùng dẫn và
vùng hóa trị nên có sự hình thành nên một giếng thế ở lớp GaAs trong
11


Hình 1.1: Cấu trúc giếng lượng tử gồm hai chất bán dẫn GaAs và Alx Ga1−x As

trường hợp này gọi là giếng lượng tử (quantum well). Các electron trong
vùng dẫn và lỗ trống trong vùng hóa trị bị "bẫy" và bị giam nhốt trong
giếng thế này. Theo đó, chuyển động của chúng theo phương z bị lượng
tử hóa, nhưng theo mặt phẳng (x, y) vẫn là tự do. Vì vậy, bán dẫn giếng
lượng tử là cấu trúc nano hai chiều và hệ electron trong cấu trúc này
được gọi là hệ electron chuẩn hai chiều.
Bên trong giếng lượng tử, năng lượng của electron và lỗ trống bị
lượng tử hóa. Vì cả electron và lỗ trống bị nhốt trong giếng thế có độ
cao lớn hơn năng lượng chuyển động nhiệt ở 300 K nên hiệu ứng lượng
tử dễ dàng quan sát được ngay cả nhiệt độ phòng. Trong thực tế, người
ta thường tạo ra các cấu trúc hai chiều nhiều lớp gọi là đa giếng lượng
tử (multiple quantum well) hay siêu mạng (superlattice) như hình 1.1b.

12


1.2.

Năng lượng và trạng thái của electron trong
giếng lượng tử

Xét về mặt hình thức, tất cả các cấu trúc với hệ electron chuẩn
hai chiều đều có thể xem như giếng thế một chiều V (z) theo phương
mà chuyển động của các electron bị giới hạn (phương z). Sự khác biệt
giữa các cấu trúc này (chẳng hạn giữa giếng lượng tử và siêu mạng) là
dạng thế giam giữ V (z). Theo cơ học lượng tử, chuyển động của các
electron trong giếng thế bị lượng tử hóa và năng lượng của điện tử En
được đặc trưng bởi một số lượng tử n nào đó. Trong khi đó, chuyển động
của electron trong mặt phẳng (x, y) là tự do, năng lượng phụ thuộc vào
vectơ sóng của electron theo hai phương này.

Để tìm năng lượng và hàm sóng theo các phương này ta phải giải
phương trình Schrodinger cho trường hợp 3 chiều. Trong hệ tọa độ
Descartes 3 chiều phương trình Schrodinger dừng có dạng:
2

−

2m∗

∂2 ∂2 ∂2
+ +
+V (x, y, z) ψ (x, y, z) = Exyz ψ (x, y, z) . (1.1)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2

Vì chuyển động trên 3 trục là độc lập nhau nên ta sử dụng phương
pháp phân ly biến số để giải phương trình trên, lúc đó thế năng, năng
lượng và hàm sóng có thể viết dưới dạng:
V (x, y, z) = V (x)+V (y)+V (z) ,
Exyz = Ex +Ey +Ez ,

(1.2)

ψ (x, y, z) = ψ (x) ψ (y) ψ (z) .
Thay các biểu thức trên vào phương trình (1.1) rồi chia hai vế cho
ψ (x) ψ (y) ψ (z),ta được 3 phương trình cho 3 chuyển động một chiều

13


theo ba trục:

2

∂2
− ∗ 2 +V (x) ψ (x) = Ex ψ (x) ,
2m ∂x
2
∂2
− ∗ 2 +V (y) ψ (y) = Ey ψ (y) ,
2m ∂y
2
∂2
− ∗ 2 +V (z) ψ (z) = Ez ψ (z) .
2m ∂z

(1.3)

Giải ba phương trình trên ta được năng lượng và hàm sóng của
chuyển động theo từng chiều riêng lẻ sau đó thay vào (1.2), ta được
năng lượng và hàm sóng cho hạt chuyển động ba chiều.
Trong mặt phẳng (x−y), phổ năng lượng của hạt sẽ có dạng parabol
thông thường
2

2 2
k⊥
,
2m∗

kx2 +ky2

Ek⊥ =

(1.4)
=
2m∗
2
trong đó m* là khối lượng hiệu dụng của electron, k⊥
= kx2 +ky2 , với kx , ky
lần lượt là thành phần của vectơ sóng của electron theo các hướng x, y.
Năng lượng này tương ứng với hàm sóng
ψk⊥ (x, y) =

1
ei(k⊥ r⊥ ) .
Lx Ly

(1.5)

Chuyển động theo trục z bị lượng tử hóa nên xuất hiện các trạng
thái liên kết với năng lượng là En và trạng thái riêng ψn (z) . Vì vậy phổ
năng lượng toàn phần của electron có dạng:
En k⊥ = En +Ek⊥ ,

(1.6)

ứng với hàm sóng
ψn,k⊥ (x, y, z) = ψk⊥ (x, y) ψn (z) =

1
ei(k⊥ r⊥ ) ψn (z) ,

Lx Ly

(1.7)

trong đó ta đã đặt:
k⊥ = kx i+ky j,
r⊥ = xi+y j.
14

(1.8)


Năng lượng En và hàm sóng ψn (z) phụ thuộc vào dạng của thế giam
giữ V (z).

1.3.

Năng lượng, hàm sóng của electron trong giếng
thế parabol trong trường hợp chưa có và có
mặt của từ trường tĩnh

1.3.1.

Trường hợp chưa có mặt của từ trường

Với giếng lượng tử có thế giam giữ dạng parabol, thế giam giữ theo
phương z có dạng
1
V (z) = m∗ ωz2 z 2 ,
2

(1.9)

trong đó ωz là tần số của dao động tử điều hòa theo phương z.
Theo cơ học lượng tử, năng lượng và hàm sóng của electron bị giam
giữ có dạng [3]
1
En = (n+ ) ωz ,
2
ψn (z) =

1
√
22 n! π

1/2

mωz

1/4

mωz z 2
exp −
2

(1.10)
Hn

mωz

1/2

z ;

với Hn (t) là đa thức Hermite bậc n của t.
1.3.2.

Trường hợp có mặt của từ trường

→
−
→
−
Khi đặt từ trường không đổi B dọc theo trục z, B = (0, 0, B),
phổ năng lượng bị lượng tử hóa thành các mức Landau. Hàm sóng của
electron khi đó có dạng
|α = |Nα , nα , kαy = |Nα , kαy |nα ,

15

(1.11)


trong đó hàm sóng được tách biến, thành phần |nα theo Oz, còn theo
mặt phẳng (x, y) thì
|Nα , kαy =

kαy
1
exp(ikαy )φNα x+

mωc
Ly

,

(1.12)

trong đó ωc = eB/m gọi là tần số cyclotron. Đặt Xα = −
2
B

2
B kαy ,

với

= /(mωc ), ta viết lại
|Nα , kαy =

1
exp −i Xα /
Ly

2
B

y φNα (x),

(1.13)

trong đó
φNα (x) =

(x−Xα )2
HNα
√ exp
2 2B
2N α Nα ! B r
1

x−Xα

.

(1.14)

B

Tương ứng với các hàm riêng (1.11), phổ năng lượng có dạng
EN n =

N+

1
2

ωc + n+

1
2

ωz .

(1.15)

Như vậy, khi có từ trường tĩnh đặt dọc theo trục z, phổ năng lượng
trong mặt phẳng (x, y) cũng bị lượng tử hóa thành các mức được diễn tả
bằng các số lượng tử là các mức Landau N . Vì vậy phổ năng lượng của
electron bị lượng tử hóa hoàn toàn, được đặc trưng bằng hai số lượng tử
N và n.

1.4.

Các mô hình phonon giam giữ trong giếng lượng
tử

Các mô hình khác nhau đã được đề xuất để mô tả các mode phonon
giam giữ. Trong hai mô hình liên tục điện môi vĩ mô, một trong số đó
tương ứng với các mode slab của một tấm ion tự do và một đối với các
mode guided của một mô hình cấu trúc lớp. Gần đây, Huang và Zhu
(HZ) đã đề xuất một mô hình lưới động lực đơn giản để mô tả các mode
16


phonon trong slab mode. Các mô hình này khác nhau trong cách chọn
các điều kiện biên được áp đặt trên thế tĩnh điện hoặc biên độ dao động
của phonon tại các bề mặt.
1.4.1.

Mô hình slab mode

Slab mode thu được bằng cách sử dụng điều kiện biên của điện
trường mà không quan tâm đến sự dịch chuyển nguyên tử tại bề mặt.
Chúng ta gọi đây là mô hình 1. Trong mô hình này điện thế có nút ở bề
mặt và biên độ dao động được cho bởi [30]:
um− = sin (mπz/L) , m = 2, 4, 6...

(1.16)

um+ = cos (mπz/L) , m = 1, 3, 5...

(1.17)

trong đó L là bề rộng giếng lượng tử có hướng tại z = 0.
Phương pháp gần đúng này cho mode giam giữ chỉ được chấp nhận
nếu thành phần trong mặt phẳng phân cực lớn hơn nhiều so với thành
phần z; điều kiện này có thể được viết trong điều kiện vectơ sóng phonon
là q⊥

π/L trong đó q⊥ ≡ (qx , qy ) .

1.4.2.

Mô hình guided mode

Trong giới hạn ngược, q⊥

π/L , điều kiện biên của electron được

bỏ đi trong xấp xỉ điều kiện biên trong dịch chuyển nguyên tử tại bề

mặt. Chúng ta gọi đây là mô hình 2. Biên độ dao động của mode giam
giữ được gọi là “guided mode” được đề xuất bởi Ridley có dạng [30]:
um− = cos (mπz/L) , m = 1, 3, 5...

(1.18)

um+ = sin (mπz/L) , m = 2, 4, 6...

(1.19)

Gần đây những mode này được Ridley sử dụng để tính toán tốc độ
dịch chuyển nội vùng và liên vùng con của electron trong giếng lượng tử.
17


Thành phần trong mặt phẳng q⊥ của vectơ sóng phonon một cách
tổng quát có thể so sánh với π/L . Ví dụ, cho giếng lượng tử GaAs với
o

độ rộng giếng L = 150 A chúng ta nhận được dịch chuyển từ đáy vùng
con 2 đến đáy vùng con 1 là qL ∼ 3 .Trong trường hợp này ta không thể
áp dụng được 2 phương pháp gần đúng cho mô hình 1 và mô hình 2.
1.4.3.

Mô hình Huang-Zhu

Trong mô hình Huang-Zhu, dao động quang giữa các điện tích ion
đối nghịch được cho bởi mạng lập phương đơn giản của dao động điện
tích. Chiều dài của siêu mạng là 2ma được đặt vào hệ với hằng số mạng
là a. Hai vật liệu tạo thành siêu mạng chỉ khác tần số quang dọc (LO)

và quang ngang (TO).
Điện thế bên trong một lớp được cho bởi [30]:
V (r⊥ , z) = um (z) exp (iq⊥ r⊥ ) ,

(1.20)

q⊥ và r⊥ là vectơ 2 chiều (2D).
Huang -Zhu đề xuất dạng gần đúng của um như sau:
Đối với mode lẻ
um+ = sin (µm πz/L)+Cm z/L, m = 3, 5, 7...

(1.21)

Đối với mode chẵn
um− = cos (µm πz/L)−(−1)m/2 , m = 2, 4, 6...

(1.22)

trong đó µm là nghiệm liên tục của phương trình
tan (µm π/2) = µm π/2, m−1 < µm < m,

(1.23)

và Cm được cho bởi:
Cm = −2 sin (µm π/2) .
18

(1.24)

Những mode lẻ trong phương trình (1.21) bắt đầu từ m = 3 . Tại
m = 1 mode được bỏ qua vì mode khối tương ứng trở thành mode bề
mặt.

19


Chương 2
HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ DO TƯƠNG
TÁC ELECTRON - PHONON GIAM GIỮ
TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ THẾ PARABOL
Chương này trình bày về phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc
thời gian, tương tác giữa electron và phonon quang giam giữ,
thiết lập biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng điện từ do
tương tác electron-phonon bị giam giữ trong giếng lượng tử thế
parabol khi có từ trường.

2.1.

Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

2.1.1.

Tổng quan về nhiễu loạn không dừng

Xét hệ lượng tử chịu tác dụng của nhiễu loạn phụ thuộc thời gian
V = V (t). Hamiltonian của hệ có thể được tách thành hai phần:
ˆ (t) = Hˆ0 +Vˆ (t) ,
H

(2.1)

trong trường hợp này, năng lượng lượng của hệ không bảo toàn, do đó
không có các trạng thái dừng. Ta cần phải tính gần đúng hàm sóng của hệ
nhiễu loạn theo hàm sóng trạng thái dừng của hệ không nhiễu loạn dựa
vào phương pháp biến thiên các hằng số để giải các phương trình vi phân
(0)

tuyến tính do Dirac đưa ra năm 1926. Gọi ψk (x, t) = e−

i

Ek t

(0)

ψk (x) là

các hàm sóng trạng thái dừng đã biết của hệ không nhiễu loạn. Các hàm
này thỏa mãn phương trình Schrodinger của hệ chưa nhiễu loạn
(0)

∂ψk (x, t)
(0)
i
= Hˆ0 ψk (x, t) .
∂t
20

(2.2)

Ta giới hạn ở trường hợp khi các trạng thái của hệ không nhiễu loạn
ứng với phổ gián đoạn. Giả sử có nhiễu loạn nhỏ Vˆ (t) tác dụng lên hệ.
Hàm sóng Ψ (x, t) cần tìm của hệ nhiễu loạn thỏa mãn phương trình
i

∂Ψ (x, t)
= Hˆ0 +Vˆ (t) Ψ (x, t) ,
∂t

(2.3)
(0)

Khai triển hàm Ψ (x, t) thành chuỗi theo các hàm ψk (x, t):
Ψ (x, t) =

(0)

k

ck (t) ψk (x, t) ,

rồi thay vào (2.3), ta được:
(0)

∂ψ (x, t)
∂ck (t) (0)
ψk (x, t)+ck (t) k
∂t

∂t

i
k

(0)

ˆ 0 +Vˆ (t)
= H

ck (t) ψk (x, t) .

(2.4)

k
(0)

Nhân vô hướng hai vế của (2.4) cho ψm (x, t) phương trình này
sẽ trở thành:
i
k

i
dck (t)
δmk e (Em −Ek )t =
dt

Vmk (t) e

i

(Em −Ek )t

ck (t) ,

(2.5)

k

hay
i
k

dcm (t)
=
dt

Vmk (t) eiωmk t ck (t) ,

(2.6)

k

trong đó ωmk = (Em −Ek ) / .
Phương trình (2.6) có vế phải chứa hệ số phụ thuộc thời gian ck (t)
mà ta cần phải tìm.
Ta giải phương trình này bằng phương pháp lặp:
(0)

Giả thiết tại thời điểm t ≤ 0 hệ ở trạng thái Ψ (x, 0) = ψn (x), lúc

đó ta tìm được hệ số ck (t) trong khai triển Ψ (x, 0) =

k ck

(0)

(t) ψk (x, t)

(0)

là: ck (t) = ψk (x, t) |Ψ (x, 0) . Từ đó ta tìm được:
(0)

ck (0) = ψk (x, 0) ψn(0) (x, 0) = δkn .
21

(2.7)


Bắt đầu thời điểm t ≥ 0 hệ bắt đầu chịu tác dụng của nhiễu loạn,lúc
đó hàm Ψ (x, t) sẽ thay đổi theo thời gian. Ta viết ck (t) dưới dạng tổng
quát tương ứng với các phép gần đúng bậc không, bậc nhất, bậc hai,...
(0)

(1)

(2)

ck (t) = λ0 ck (t)+λ1 ck (t)+λ2 ck (t)+...
1

(2.8)

Wmk t = λ Vmk (t) .
Thay (2.8) vào (2.6), sau đó so sánh các số hạng cùng bậc lũy thừa của
λ chỉ xét đến bổ chính bậc hai ta được:
d (0)
c (t) = 0,
dt m
d (1)
(0)
i
cm (t) =
Wmk (t) eiωmk t ck (t) ,
dt
i

(2.9)

k

i

d (2)
c (t) =
dt m

(1)

Wmk (t) eiωmk t ck (t) .

k

(0)

Vì ck (t) = δnk , nên phương trình 2.9b và 2.9c có thể viết lại như
sau:
i

d (1)
c (t) =
dt m

Wmk (t) eiωmk t δnk = Wmn (t) eiωmn t .

(2.10)

k

Giải phương trình này ta được :
t

1
c(1)
m (t) =
i

Wmn (t) eiωmn t dt .

(2.11)

(1)

(2.12)

0

Tương tự:
t

1
c(2)
(t)
=
m
i
(0)

(1)

Wmn (t) eiωmk t ck dt .
k

0

(2)

Biết các hệ số cm , cm , cm , ... ta sẽ biết được hàm sóng của hệ vào
thời điểm t.

22