Cộng hưởng cyclotron do tương tác electron tạp chất trong silicene đặt trong từ trường tĩnh

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ DUYÊN

CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON DO TƯƠNG TÁC
ELECTRON-TẠP CHẤT TRONG SILICENE
ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG TĨNH

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số :

8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ THỊ THU PHƯƠNG

Thừa Thiên Huế, năm 2018
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2018
Tác giả luận văn

HOÀNG THỊ DUYÊN

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến TS. Lê Thị Thu Phương đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa
Vật lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học
Huế; gia đình cùng các bạn học viên Cao học khóa 25, bạn bè đã động
viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và
thực hiện luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2018
Tác giả luận văn

HOÀNG THỊ DUYÊN

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN . . . . . .

10

1.1. Tổng quan về silicene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.1. Mô hình silicene . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong
silicene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2. Tổng quan về phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . .

16

1.2.1. Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian

16

1.2.2. Sự chuyển dời của hệ sang các trạng thái mới dưới
ảnh hưởng của nhiễu loạn . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.3. Phương pháp Profile . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Chương 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO HỆ SỐ HẤP
THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG SILICENE ĐƠN LỚP DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA

TƯƠNG TÁC ELECTRON-TẠP CHẤT . . . . . .

28

2.1. Biểu thức tổng quát của hệ số hấp thụ sóng điện từ trong
bán dẫn khối dưới ảnh hưởng của tương tác electron-tạp
chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

28


2.2. Biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng điện từ trong
silicene dưới ảnh hưởng của tương tác electron-tạp chất
Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN . .

32
41

3.1. Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ sóng điện từ vào năng lượng
photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2. Sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ vào từ trường và nhiệt độ

44

KẾT LUẬN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

1.1

Các cấu trúc hình học của silicene (a)(b) và graphene(c)(d).
Khoảng cách theo phương vuông góc với tấm silicene giữa
hai nguyên tử Si ở hai mạng con A và B bằng ‘d’, phát
sinh do sự gấp khúc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

11

Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của các mức Landau (LLs)
+
cho vùng K (En,s
) vào từ trường đặt trong điện trường
z ,p

vuông góc với tấm silicene trong trường hợp Ez = 0 ở (a)
và Ez = 3.9 meV/d ở (b). Đường cong nét đứt (liền) tương
ứng với trạng thái spin lên (spin xuống) và n là chỉ số LLs.
Cường độ SOI là λSO = 3.9 meV và υF = 5.42 × 105 m/s.
Các hình nhỏ bên trong là đồ thị mô tả sự phụ thuộc của
năng lượng Fermi EF vào từ trường B cho mật độ electron
ne = 5 × 1011 cm−2 cùng với các LLs [31]. . . . . . . . . .
1.3

Minh họa sự dịch chuyển của các mức năng lượng do ảnh
hưởng của nhiễu loạn không dừng.

1.4

. . . . . . . . . . . .

20

Đồ thị của f (t, ω) = sin2 (ωf i t/2)/ωf2 i theo ωf i , trong đó
ta đã kí hiệu ω ≡ ωf i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

15

22

Đồ thị của sin2 ((ωf i ± ω)t/2) /(ωf i ± ω)2 theo ωf i với
các giá trị t xác định, trong đó ωn = −ω − nπ/t, ω n =

ω + nπ/t, Ωn = ω − nπ/t, Ω n = ω + nπ/t. . . . . . . . .

24

1.6

Sự phát xạ và hấp thụ một photon có năng lượng ω. . .

26

1.7

Minh họa sự xác định độ rộng vạch phổ bằng phương pháp
Profile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

26


3.1

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ Γ vào năng lượng photon
ω tại từ trường B = 10 T, nhiệt độ T = 4 K với hai giá
trị khác nhau của điện trường eEz = 0 (đường đứt nét)
và eEz = 3.9 meV/d (đường liền nét). . . . . . . . . . . .

3.2

41

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ Γ vào năng lượng photon
ω tại nhiệt độ T = 4 K, điện trường eEz = 0 với các giá
trị khác nhau của từ trường B = 8 T (đường đứt nét) và
B = 10 T (đường liền nét). . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

43

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ Γ vào năng lượng photon
ω tại từ trường B = 10 T với các giá trị khác nhau của
nhiệt độ T = 1 K (đường liền nét) và T = 4 K (đường
đứt nét). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

44

Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ FWHM vào từ trường
B tại nhiệt độ T = 1 K đối với quá trình hấp thụ một photon (chấm hình vuông) và quá trình hấp thụ hai photon
(chấm hình tròn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5

45

Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ FWHM vào nhiệt độ
T tại từ trường B = 10 T đối với quá trình hấp thụ một
photon khi không có điện trường không đổi (chấm hình

vuông) và có mặt điện trường không đổi eEz = 3.9 meV/d
(chấm hình tròn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

46

Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ (FWHM) vào nhiệt
độ T tại từ trường B = 10 T có mặt điện trường không
đổi eEz = 3.9 meV/d đối với quá trình hấp thụ 1 photon
(chấm hình tròn) và quá trình hấp thụ 2 photon (chấm
hình vuông). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

46


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời gian gần đây, graphene [10] nhanh chóng thu hút được
sự chú ý của các nhà vật lý chất rắn và khoa học vật liệu bởi những
tiềm năng ứng dụng tuyệt vời mà chúng mang lại. Nó là vật liệu sở hữu
những thuộc tính đặc biệt tuy nhiên do không có khe năng lượng nên
không phù hợp cho một số linh kiện quang-điện tử. Trong khi đó, các
linh kiện điện tử đang sử dụng hiện nay chủ yếu dựa trên bán dẫn silic
với khe năng lượng vào khoảng 1.11 eV [36]. Với khe năng lượng bằng
không, graphene sẽ hành xử như một vật liệu kim loại thay vì bán dẫn
như mong muốn. Điều này thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu chế tạo
các cấu trúc tương tự graphene nhưng có vùng cấm hữu hạn, chẳng hạn

như silicene [16, 33], germanene [11] và hợp chất dichalcogenides-kim
loại chuyển tiếp thuộc nhóm IV [37].
Trong số các vật liệu hai chiều (2D) tương tự graphene được đề cập
ở trên, silicene đã nhận được nhiều chú ý trong vài năm gần đây. Silicene
gồm một lớp các nguyên tử silic (Si) được sắp xếp trong mạng lưới tổ
ong hai chiều tương tự như các nguyên tử cacbon trong graphene. Do
có cấu trúc tương tự graphene nên silicene cũng có một số tính chất vật
lý đặc biệt giống graphene: các hạt tải là các Fermion Dirac không khối
lượng, phổ năng lượng tuyến tính gần điểm K, độ linh động điện tử lớn
(tuy nhỏ hơn graphene nhưng lớn hơn rất nhiều so với silic khối). Điểm
khác biệt cơ bản so với graphene là các nguyên tử silic không nằm trong
cùng mặt phẳng, thể hiện tính bất đối xứng qua mặt phẳng mạng gây
nên tương tác spin-quỹ đạo (SOI) mạnh trong silicene tạo nên một khe
năng lượng nhỏ (cỡ 1.55 meV) [21]. Ngoài ra, khe năng lượng có thể được
5


điều chỉnh bằng cách áp dụng một điện trường bên ngoài Ez vuông góc
với tấm silicene, điều này không thể thực hiện được đối với graphene.
Hiện nay, nhiều công trình đã được thực hiện để nghiên cứu tính
chất quang của hệ electron trong bán dẫn khi có mặt từ trường [6].
Một trong những hiệu ứng quang-từ quan trọng là hiệu ứng cộng hưởng
cyclotron. Nó rất được các nhà khoa học rất quan tâm vì đó là công cụ
hữu ích để khảo sát các tính chất của bán dẫn thông qua việc tính hệ
số hấp thụ sóng điện từ, độ dẫn từ và độ rộng vạch phổ vào các tham số
của vật liệu và của trường ngoài [7, 30, 38]. Tương tác electron-phonon
đóng vai trò quan trọng trong các hệ bán dẫn. Các kết quả nghiên cứu
gần đây cũng cho thấy rằng ở nồng độ electron thấp, cỡ 3 × 1016 cm−3
[5, 20], ảnh hưởng của tương tác electron-electron là không đáng kể và
có thể bỏ qua [23]. Điều này là có thể chấp nhận được vì sự tương tác

electron-electron dẫn đến sự phân bố lại trong không gian K, nhưng nó
không phải quá quan trọng trong các hệ điện tử thông thường [17].
Hiệu ứng cộng hưởng cyclotron-phonon trong vật liệu mỏng 2D được
sự quan tâm đặc biệt bởi các nhà khoa học do tính chất ưu việt của nó.
Ta có thể kể ra một số nhóm tác giả nghiên cứu vấn đề kể trên [4].
+ Hiệu ứng cộng hưởng từ-phonon (MPR) được Gurevich và Firsov
tiên đoán bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1961 [12], được Puri,
Geballe, Firsov và những người khác quan sát bằng thực nghiệm vào
cùng năm đó. MPR xảy ra ở nhiều vật bán dẫn, hợp kim như Si, InSb,
GaAs, CdTe,. . . cũng như trong các hệ thấp chiều. Phát hiện này cho
biết nguồn gốc của các hiệu ứng MPR là sự tán xạ cộng hưởng điện tử
gây ra bởi sự hấp thụ và phát xạ các phonon khi khoảng cách giữa các
mức Landau bằng năng lượng của phonon quang dọc (LO).
+ Khordad và Bahramiyan [8] đã khảo sát phonon quang trong các

6


mô hình hình bình hành và dây lượng tử tam giác, trong đó ảnh hưởng
của tương tác electron-phonon lên sự thay đổi của các mức năng lượng
của electron ở trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích được tính bằng
sử dụng lý thuyết nhiễu loạn.
+ Tác giả G. Q. Hai và F. M. Peeters [13] đã chứng minh về lý
thuyết rằng các hiệu ứng MPR có thể quan sát trực tiếp thông qua việc
nghiên cứu dò tìm bằng quang học cộng hưởng từ-phonon trong hệ bán
dẫn khối GaAs.
+ Tác giả Bhat và cộng sự [3] đã sử dụng mô hình Huang-Zhu,
Fuchs-kliewer đối với slab mode và mô hình của Ridley đối với guide
mode, để nghiên cứu phổ hấp thụ do sự dịch chuyển của phổ hấp thụ do
sự dịch chuyển của electron giữa các mức Landau kèm theo sự phát xạ

phonon giam giữ và phonon bề mặt.
+ Nhóm tác giả Singh và Tanatar [32] đã khảo sát dịch chuyển quang
từ phonon trong hệ 2D đối với bán dẫn loại p khi có mặt từ trường. Trong
đó, nhóm tác giả đã nghiên cứu lý thuyết chuyển tải lượng tử cho hệ
nhiều hạt. Nhóm tác giả đã sử dụng phương pháp Luttinger-Kohn và
đã thu được hệ số hấp thụ cộng hưởng cyclotron-phonon bằng lý thuyết
phản ứng tuyến tính. Kết quả thu được có giá trị giới hạn liên kết yếu
đối với trường hợp hấp thụ một photon.
+ Nhóm tác giả Huỳnh Vĩnh Phúc, Lê Đình, Trần Công Phong đã
khảo sát cộng hưởng cyclotron-phonon trong cấu trúc hố lượng tử [29],
trong dây lượng tử [30]. Trong đó, nhóm tác giả đã dùng phương pháp
nhiễu loạn để thu được biểu thức giải tích cho công suất hấp thụ tuyến
tính và phi tuyến. Kết quả thu được chỉ ra được độ cao của các đỉnh cộng
hưởng không phụ thuộc vào nhiệt độ mà chỉ phụ thuộc vào từ trường.
Việc phân tích phổ cộng hưởng có thể thu nhận khối lượng hiệu dụng

7


hạt tải, khoảng cách giữa các mức năng lượng Landau, thừa số Lande
(g-factor). Cộng hưởng cyclotron đã được nghiên cứu chi tiết trong bán
dẫn khối, các vật liệu thấp chiều truyền thống [27] và gần đây là trong
graphene cả về lý thuyết [28] và thực nghiệm [35]. Ngoài ra do tương
tác electron-phonon, electron-tạp chất,... trong các bán dẫn chuẩn 2D
hiện đại xảy ra khác biệt so với các bán dẫn khối và trong các bán dẫn
thấp chiều khác nhau nên các hiệu ứng này mang các đặc tính mới [3].
Từ những lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Cộng hưởng cyclotron
do tương tác electron-tạp chất trong silicene đặt trong trong từ trường
tĩnh” làm đề tài luận văn của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu cộng hưởng cyclotron-tạp chất trong silicene đặt trong
trường ngoài thông qua biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ dưới ảnh hưởng của tương tác electron-tạp chất cũng như
khảo sát sự phụ thuộc của nó vào năng lượng photon để đưa ra các điều
kiện cộng hưởng cyclotron-tạp chất và một số tính chất của độ rộng vạch
phổ.
3. Nội dung nghiên cứu
- Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong silicene.
- Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ dưới
ảnh hưởng của tương tác electron-tạp chất.
- Khảo sát số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng
lượng của photon và phân tích các quá trình cộng hưởng xảy ra do sự
dịch chuyển của electron giữa các mức năng lượng.
8


- Độ rộng vạch phổ dựa trên phương pháp Profile.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.
- Phương pháp Profile.
- Kết hợp sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ
thị.
5. Giới hạn nghiên cứu
Luận văn chỉ xét đến sự tương tác electron-tạp chất, bỏ qua qua
các tương tác electron-electron, electron-phonon, phonon-phonon.
6. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 phần.
Phần mở đầu: trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu,
phương pháp nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, giới hạn nghiên cứu và

bố cục luận văn.
Phần nội dung: bao gồm 3 nội dung
- Nội dung 1: Tổng quan về mô hình khảo sát và phương pháp
nghiên cứu.
- Nội dung 2: Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ trong silicene dưới ảnh hưởng của tương tác electron-tạp chất.
- Nội dung 3: Kết quả tính số và vẽ đồ thị.
Phần kết luận: Trình bày tóm tắt các kết quả đạt được, hạn chế
của luận văn, đề xuất hướng phát triển của luận văn.

9


NỘI DUNG
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH KHẢO SÁT VÀ
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chương này giới thiệu tổng quan về silicene, hàm sóng và
phổ năng lượng của electron trong silicene, Hamiltonian của
hệ electron-tạp chất, phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thời
gian và phương pháp Profile.

1.1.

Tổng quan về silicene

1.1.1.

Mô hình silicene

Lần đầu tiên, thuật ngữ silicene đã được sử dụng bởi Guzman-Verri
và cộng sự vào năm 2007 [21]. Silicene gồm một lớp các nguyên tử silic
(Si) được sắp xếp trong mạng lưới tổ ong 2D tương tự như các nguyên tử
cacbon trong graphene. Ở Hình 1.1 cho thấy cấu trúc tinh thể dạng tổ
ong hai chiều của cả silicene (a)(b) và graphene (c)(d). Ô đơn vị silicene
(graphene) chứa hai nguyên tử Si (C) được ký hiệu là ‘A’ và ‘B’. Kết quả
tính toán cấu trúc điện tử dựa trên lý thuyết phiếm hàm mật độ (DFT)
cho thấy cấu trúc năng lượng tối thiểu của silicene hơi khác so với cấu
trúc phẳng của graphene đơn lớp. Trong trường hợp silicene, các nguyên
tử trong ô đơn vị bị gấp khúc (buckling). Nói cách khác, các nguyên
tử A và B trong của silicene không nằm trên cùng một mặt phẳng. Do
đó, cấu trúc trạng thái nền của silicene không có khả năng quay vòng 6
lần và hai đối xứng có mặt trong cấu trúc phẳng của graphene. Ngoài
ra, khoảng cách liên kết Si-Si trong silicene lớn hơn nhiều so với khoảng
10


Hình 1.1: Các cấu trúc hình học của silicene (a)(b) và graphene(c)(d). Khoảng cách
theo phương vuông góc với tấm silicene giữa hai nguyên tử Si ở hai mạng con A và B
bằng ‘d’, phát sinh do sự gấp khúc.

cách C-C trong graphene. Nguyên nhân là do trong silicene tồn tại một
liên kết π yếu hơn nhiều so với liên kết π trong graphene. Điều này làm
cho các nguyên tử silic sắp xếp không đồng phẳng tạo nên một cấu trúc
gấp khúc đặc trưng bởi khoảng cách giữa các nguyên tử Si thuộc hai
mạng con A và B.
Bảng 1.1: Kết quả hình học tối ưu của silicene đơn lớp và graphene đơn lớp thu được
bởi DFT với hàm tương quan-trao đổi PBE [18].
Hằng số mạng Chiều dài liên kết Góc liên kết Độ cong d
(˚

A)
(˚
A)
(o )
(˚
A)
Graphene

2.468

1.425

1.20

0.0

Silicene

3.903

2.309

115.4

0.501

Trong Bảng 1.1 giá trị của d trong silicene là 0.501 ˚
A trong khi
graphene là 0. Ở đây, giá trị d của silicene đóng một vai trò quan trọng
trong việc xác định cấu trúc điện tử của silicene dưới ảnh hưởng của

11


điện trường bên ngoài.
Các nghiên cứu lý thuyết đã dự đoán rằng cấu trúc điện tử của
silicene có sự phân tán tuyến tính xung quanh điểm Dirac và do đó các
sóng mang điện tích trong hệ thống hai chiều này hoạt động giống như
Fermion Dirac không khối lượng. Hiệu ứng Hall spin lượng tử ở silicene
cũng đã được nghiên cứu trên lý thuyết. Sự hiện diện của một khe năng
lượng tương đối lớn khoảng 1.55 meV trong silicene do tương tác spinquỹ đạo (SOI) [18, 40]. Các cấu trúc nano dựa trên silicon (như silicon,
các cụm silic, các ống nano silicon ...) có thêm một lợi thế quan trọng
khác đối với các cấu trúc nano dựa trên carbon (như graphene, fullerene,
ống nano cacbon ...) vì chúng tương thích với công nghệ bán dẫn hiện
có. Vì vậy, silicene được coi là một trong những vật liệu hứa hẹn cho các
ứng dụng trong công nghệ nano [18].
Mặt khác, silic là một trong những thành phần quan trọng nhất
cho chất bán dẫn ngành công nghiệp. Nguồn gốc của sự khác biệt trong
các tính chất giữa cacbon và silicon là do sự lai hóa tồn tại trong hai hệ
này. Các nguyên tử C có thể biểu diễn tất cả ba sự lai hóa sp, sp2 và sp3
trong khi silicon thường lai hóa sp3 . Điều này là do sự khác biệt về năng
lượng giữa các phân lớp (3s và 3p) trong silicon nhỏ hơn nhiều so với
phân lớp 2s và 2p của carbon. Do đó, các phân lớp 3s của silicon có thể
dễ dàng kết hợp với tất cả các phân lớp 3p (3px , 3py và 3pz ) tạo ra sự lai
hóa sp3 . Từ lý do được đề cập ở trên, silic tự nhiên không tồn tại ở dạng
lớp giống như graphit. Vì vậy, silicene không thể được sản xuất bằng
phương pháp bóc tách là phương pháp đơn giản nhất được sử dụng để
sản xuất graphene. Do đó, để sản xuất silicene đòi hỏi phải có phương
pháp thử nghiệm phức tạp. Gần đây, tấm silicene và nanoribbon đã được
cấy thành công trên nhiều chất nền như bạc, màng mỏng diboride và iridi

12


(Ir) và nhiều dự đoán lý thuyết về tính chất của silicene hiện đang được
xác minh. Một trong những thành tựu quan trọng theo hướng này là sự
tồn tại của sự phân tán tuyến tính trong cấu trúc điện tử của silicene đã
xác nhận bằng thực nghiệm được giải quyết bởi phép đo chuẩn phổ phát
xạ phân giải - góc (ARPES). Trong một thử nghiệm khác, một khe siêu
dẫn có thể khoảng 35 meV cũng được quan sát thấy trong silicene trên
nền Ag(111) bằng cách quét ống quang phổ [18, 19]. Hiện tại, cộng đồng
khoa học làm việc trong lĩnh vực này đang tích cực khám phá nhiều tính
năng tính chất vật lý và hóa học của silicene và những nỗ lực này sẽ rất
quan trọng trong việc làm cho silicene trở thành vật liệu tiềm năng cho
nhiều ứng dụng.
1.1.2.

Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong silicene

Hamiltonian của hệ đối với các fermion lân cận các điểm K và K
xét đến tương tác spin quỹ đạo (SOI) được cho bởi [31, 34]
H = υF (πx σx − τ πy σy ) − (τ sz λSO − deEz )σz ,

(1.1)

trong đó, υF là vận tốc Fermi, τ = +(−) là chỉ số vùng K(K ), σi (i =
x, y, z) là các ma trận Pauli chuẩn spin, 2d là khoảng cách giữa hai mạng
con theo phương vuông góc với tấm silicene, Ez là điện trường không đổi
đặt vào tấm Silicene, λSO là cường độ SOI, sz = 1(sz = −1) mô tả spin
lên (xuống), πµ là thành phần µ của toán tử xung lượng π = p + eA,
p là toán tử xung lượng, A là thế véctơ và e là điện tích điện tử. Yếu

tố ma trận Hamiltonian H± với dấu +(−) biểu thị cho vùng K(K ) có
dạng [31]

H± = 

λ± (sz )

υF π±

υF π∓ −λ± (sz )
13


,

(1.2)


trong đó, λ± (sz ) = ∓λSO sz + deEz và π± = πx ± iπy . Giả sử có một
từ trường vuông góc B = Bez được đặt vào tấm silicene. Với giả thiết
chuẩn Landau A = (−By, 0, 0). Để có được dạng không thứ nguyên của
Hamiltonian đặt ξ = y/lB − lB kx với lB =
/eB là độ dài từ, ta được


λ± (sz )
−a±
,
(1.3)
H± = ωc 

−a∓ −λ± (sz )
√
√
với λ± = λ± / ωc (ωc = 2υF /lB là tần số cyclotron) và a± = (ξ∓∂ξ )/ 2
là các toán tử bậc thang dựa trên hàm sóng dao động tử điều hòa. Năng
lượng cho fermion trong trường hợp này là
1/2

±
En,s
= p ωc n + [λ± (sz )]2
z ,p

.

(1.4)

Ở đây, p = +1(−1) kí hiệu trạng thái electron (lỗ trống) và n (n ≥ 1)
là chỉ số mức Landau (LL). Hàm riêng của một electron gần vùng K là


+
η1 φn (ξ)
,
(1.5)
|α = |n, sz , p ≡ ψn+ (ξ) = 
+
η2 φn−1 (ξ)
với φn (ξ) là hàm mô tả dao động điều hòa chuẩn hóa và
1/2

η1+

+
λ+ (sz ) + En,s
z ,p
=
+
2En,sz ,p

η2+

+
− λ+ (sz )
En,s
z ,p
= −p
+
2En,s
z ,p

,
1/2

.

(1.6)

Đối với một electron gần vùng K , các hàm riêng tương ứng với Hamiltonian (1.3) có dạng


|α = |n , sz , p ≡ ψn− (ξ) = 

η1− φn−1 (ξ)
η2− φn (ξ)

với
η1−

−
En,s
+ λ− (sz )
z ,p
= −p
−
2En,s
z ,p

14

1/2

,


,

(1.7)


η2−

−
En,s
− λ− (sz )
z ,p
=
−
2En,s
z ,p

1/2

.

(1.8)

±
Với n = 0 mỗi vùng K, K chỉ bao gồm một nghiệm dạng E0,s
=
z

± ωc λ± (sz ) và các hàm riêng liên kết được cho bởi ψ0+ = [φ0 (ξ), 0]R
và ψ0− = [0, φ0 (ξ)]R , tương ứng với chỉ số dịch chuyển R. Do đó năng
+
−
lượng electron tại các vùng K và K có liên quan bởi En,±1,p
= En,±1,p
+
−
và E0,±1

= E0,±1
.

+
)
Hình 1.2: Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của các mức Landau (LLs) cho vùng K (En,s
z ,p

vào từ trường đặt trong điện trường vuông góc với tấm silicene trong trường hợp Ez = 0
ở (a) và Ez = 3.9 meV/d ở (b). Đường cong nét đứt (liền) tương ứng với trạng thái spin
lên (spin xuống) và n là chỉ số LLs. Cường độ SOI là λSO = 3.9 meV và υF = 5.42 × 105
m/s. Các hình nhỏ bên trong là đồ thị mô tả sự phụ thuộc của năng lượng Fermi EF
vào từ trường B cho mật độ electron ne = 5 × 1011 cm−2 cùng với các LLs [31].
+
Hình 1.2 mô tả sự phụ thuộc của LLs cho vùng K (En,s
) vào từ
z ,p

trường B đặt trong điện trường vuông góc với tấm silicene trong trường
hợp Ez = 0 (Hình 1.2a) và eEz = 3.9 meV/d (Hình 1.2b). Các đường
cong màu đỏ (màu xanh) tương ứng với spin lên (spin xuống) hoặc trạng
thái sz = 1(sz = −1). Các hình nhỏ bên trong là đồ thị mô tả năng lượng
Fermi EF vào từ trường B. Mỗi đường cong năng lượng tương ứng với
p = 1(p = −1) loại trừ mức năng lượng thấp nhất n = 0 thể hiện trong
15


Hình 1.2b được phân chia bởi các điện tử và lỗ trống.
Đối với Ez = 0 tất cả LLs đều bị suy biến spin bậc hai và n = 0
LL với năng lượng bằng không. Nếu ta cũng lấy vùng K vào tính, số

lượng các trạng thái suy biến tương ứng với chỉ số Landau n = 0 là 4.
Trong Hình 1.2b năng lượng của LL thấp nhất (n = 0) là không cho
spin lên giống LL thấp nhất trong tấm graphene. Nguyên nhân do giá
trị eEz = 3.9 meV/d hủy bỏ số hạng SOI λSO đối với spin lên. Nếu ta
đảo ngược hướng của Ez thì mức này đối với spin xuống.

1.2.

Tổng quan về phương pháp nghiên cứu

1.2.1.

Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian

Xét hệ lượng tử chịu tác dụng của nhiễu loạn phụ thuộc thời gian
W = W (t). Hamiltonian của hệ có thể được tách thành hai phần [1]
ˆ
ˆ0 + W
ˆ (t),
H(t)
=H

(1.9)

ˆ 0 là thành phần Hamiltonian không phụ thuộc thời gian, mô
trong đó H
ˆ (t) là thành phần nhiễu loạn phụ thuộc
tả hệ khi chưa bị nhiễu loạn, W
ˆ (t) có thể là hàm bậc thang có dạng
thời gian. Thế nhiễu loạn W


W
ˆ (t),
nếu 0 ≤ t ≤ τ,
ˆ
W (t) =
(1.10)
 0,
nếu t < 0 t > τ,
ˆ =W
ˆ 0 e±iωt .
hoặc thế điều hòa W
Hamiltonian H(t) thõa mãn phương trình Schrodinger tổng quát
i

∂Ψ(x, t)
ˆ0 + W
ˆ (t))Ψ(x, t),
= (H
∂t

(1.11)

trong đó nghiệm của phương trình Schrodinger của hệ chưa nhiễu loạn
(0)

∂ψk (x, t)
ˆ 0 ψ (0) (x, t),
i
=H

k
∂t
16

(1.12)


đã biết dưới dạng nghiệm của trạng thái dừng
(0)

ψk (x, t) = e−

i

Ek t

(0)

ψk (x).

(1.13)

Ta tìm nghiệm của (1.11) bằng phương pháp biến thiên hằng số. Khai
(0)

triển hàm Ψ(x, t) thành chuỗi theo các hàm ψk (x, t)
Ψ(x, t) =

(0)

k

ck (t)ψk (x, t),

(1.14)

rồi thay vào (1.11), ta được
(0)

∂ψ (x, t)
∂ck (t) (o)
ψk (x, t) + ck (t) k
∂t
∂t

i
k

(0)

ˆ0 + W
ˆ (t)]
= [H

ck (t)ψk (x, t).

(1.15)

k
(0)

Nhân vô hướng hai vế của (1.15) cho ψm (x, t)|
(0)

∂ψ (x, t)
∂ck (t) (o)
(0)
(
0)(x, t)| k
ψm (x, t)|ψk (x, t) + ck (t) ψm
∂t
∂t

i
k

(o)
ˆ 0 |ψ (0) (x, t) + ψ (0) (x, t)|W
ˆ (t)|ψ (0) (x, t) ck (t).
ψm
(x, t)|H
m
k
k

=
k

(1.16)
Ta thấy số hạng thứ hai của vế trái và số hạng thứ nhất của vế phải của

phương trình (1.16) bằng nhau, vì vậy phương trình này trở thành
i
k

i
dck (t)
δmk e h (Em −Ek )t =
dt

i

Wmk (t)e h (Em −Ek )t ck (t),

(1.17)

k

hay
i
k

dcm (t)
=
dt

Wmk (t)eiωmk ck (t),

(1.18)

k

trong đó ωmk = (Em − Ek )/ .
Phương trình (1.18) có vế phải chứa hệ số phụ thuộc thời gian ck (t)
mà ta cần tìm.
17


(0)

Giả thuyết tại thời điểm t ≤ 0 hệ ở trạng thái Ψ(x, 0) = ψn (x), lúc
đó ta tìm được hệ số ck (t) trong khai triển Ψ(x, 0) =

(0)
k ck (t)ψn (x, t)

(x)

là: ck (t) = ψk (x, 0)|Ψ(x, 0) = δkn . Từ đó ta tìm được
(0)

ck (0) = ψk (x, 0)|ψn(0) (x, 0) = δkn .

(1.19)

Bắt đầu từ thời điểm t ≥ 0 hệ bắt đầu chịu tác dụng của nhiễu
loạn, lúc đó hàm Ψ(x, t) sẽ thay đổi theo thời gian. Ta viết hệ số ck (t)
dưới dạng tổng tương ứng với các phép gần đúng bậc không, bậc nhất,
bậc hai,...
(0)

(1)

(2)

ck (t) = λ0 ck (t) + λ1 ck (t) + λ2 ck (t) + ...,
1

(1.20)

Wmk (t) = λ Vmk .
Thay (1.20) vào (1.18) ta được
i

d 0 (0)
(2)
(1)
[λ ck (t) + λ1 ck (t) + λ2 ck (t) + ...]
dt
(0)

(1)

(2)

λVmk (t)eiωmk t [λ0 ck (t) + λ1 ck (t) + λ2 ck (t) + ...].

=

(1.21)

k

So sánh các số hạng cùng bậc lũy thừa của λ chỉ xét đến bổ chính bậc
hai, ta được
d (0)
[c (t)] = 0,
dt m
d (1)
(0)
i
[cm (t)] =
λWmk (t)eiωmk t ck (t),
dt
i

(1.22a)
(1.22b)

k

i

d (2)
[c (t)] =
dt m

(1)

λWmk (t)eiωmk t ck (t).

(1.22c)

k

(0)

Vì ck (t) = δnk , nên phương trình (1.22b) và (1.22c) có thể viết lại như
sau
i

d (1)
[c (t)] =
dt m

λWmk (t)eiωmk t δnk = Wmn (t)eiωmn t .
k

18

(1.23)


Giải phương trình (1.23) ta được
t

[c(1)
m (t)] =

1
i

Wmn (t)eiωmn t dt ,

(1.24)

0

tương tự
t

1
[c(2)
(t)]
=
m
i

(1)

Wmn (t)eiωmn t ck dt .

(1.25)

0
(0) (1) (2)

Biết các hệ số cm cm cm ... ta sẽ biết được hàm sóng của hệ vào thời điểm
t. Một ứng dụng quan trọng của kết quả này là việc tính xác suất chuyển
dời lượng tử khi có nhiễu loạn.
1.2.2.

Sự chuyển dời của hệ sang các trạng thái mới dưới ảnh
hưởng của nhiễu loạn

Một trong những bài toán quan trọng của cơ học lượng tử là tính
xác suất chuyển dời từ một trạng thái lượng tử này sang một trạng thái
lượng tử khác. Sự dịch chuyển này xảy ra do ảnh hưởng của nhiễu loạn
phụ thuộc thời gian và chỉ có ý nghĩa khi nhiễu loạn tác dụng trong một
khoảng thời gian hữu hạn (ví dụ từ 0 đến τ ). Ngoài khoảng thời gian
này, hệ ở trạng thái dừng có năng lượng xác định. Bài toán này có thể
được mô tả như sau (Hình 1.3) [1].
- Trước khi có tác dụng của nhiễu loạn W (t):
Hệ ở trạng thái dừng có năng lượng xác định E = En tương ứng với
trạng thái ψ(x, 0) = ψn (x), thỏa mãn phương trình trị riêng Hˆ0 ψn (x) =
En ψn (x).
- Trong thời gian có tác dụng của nhiễu loạn W (t):
Do ảnh hưởng của nhiễu loạn hệ chuyển sang trạng thái mới với
hàm sóng ψ(x, t). Sự thay đổi theo thời gian của thế nhiễu loạn gây ra

19


Hình 1.3: Minh họa sự dịch chuyển của các mức năng lượng do ảnh hưởng của nhiễu
loạn không dừng.

sự dịch chuyển các mức năng lượng của trạng thái ban đầu và sự dịch
chuyển giữa các trạng thái của hệ chưa nhiễu loạn.
- Sau khi ngắt nhiễu loạn W (t):
Sau khi nhiễu loạn bị ngắt, hệ sẽ trở về trạng thái ban đầu. Trạng
thái của hệ bây giờ là chồng chất của các trạng thái không nhiễu loạn

của hệ, tuy nhiên hệ số cm (t) bây giờ phụ thuộc vào dạng của toán tử
nhiễu loạn và trạng thái ban đầu. Trạng thái cuối của hệ được mô tả
bởi hàm sóng dạng
cm (t)ψm e−

ψf (x, t) =

i

Em t

,

(1.26)

m

ứng với năng lượng Em . Xác suất đo Em chính là bình phương mô-đun
của hệ số khai triển trong (1.26). Đây cũng chính là xác suất để hệ
chuyển từ trạng thái có năng lượng En sang trạng thái có năng lượng
Em trong khoảng thời gian t.
Ta gọi xác suất của sự chuyển từ trạng thái n (sau đây gọi là trạng
thái đầu |i ) sang trạng thái m (gọi là trạng thái cuối |f ) là Pf i (t) thì:
Pf i (t) = |cf (t)|2 = |cf i (t)|2 .

20

(1.27)

Ta tìm xác suất này trong phép gần đúng bậc nhất
2

t

Pf i (t) = |cf (t)|2 = |cf i (t)|2 =

1

Wf i (t)eiωf i t dt

2

.

(1.28)

0

Ta xét 2 trường hợp cụ thể sau:
a) Nhiễu loạn không đổi
ˆ (t) không đổi trong khoảng thời gian hữu hạn 0 ≤ t ≤ τ .
Giả sử W
Trong trường hợp này phần tử ma trận Wf i = const, tích phân (1.28)
được tính như sau
2

t

2

iωf i t

e

1 iωf i t
=
(e
− 1) .
iωf i

dt

(1.29)

0
2

Với lưu ý |eiωf i t − 1| = 4 sin2

ωf i t
2 ,

ta tính được

4|Wf i |2 sin2 (ωf i t/2)
Pf i (t) =
.
2
ωf2 i

(1.30)

Từ biểu thức trên ta thấy rằng xác suất Pf i là một hàm tuần hoàn với
chu kì 2π/ωf i . Tuy nhiên, như được biểu diễn ở đồ thị Hình 1.4, xác suất
này có giá trị lớn ở lân cận ωf i

0 và giảm nhanh khi ωf i đi ra xa giá

trị không. Điều này có nghĩa là xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái |ψf
có năng lượng Ef lớn nhất khi Ei

Ef nghĩa là khi ωf i

0.

Chiều cao và độ rộng của cực đại chính tập trung quanh ωf i = 0
lần lượt tỉ lệ với t2 và 1/t, vì vậy diện tích miền ở dưới đường cong tỉ lệ
với t. Như vậy xác xuất dịch chuyển tỉ lệ với t. Ta cũng nhận thấy rằng
cực đại chính trở nên hẹp và cao hơn khi t lớn. Đây chính là tính chất
của hàm Delta. Dựa vào dạng lượng giác của hàm Delta
sin2 (yt)
lim
= δ(y),
t→∞ πy 2 t

(1.31)

ta thực hiện biến đổi
sin2 (ωf i t/2) (πt/4)sin2 (ωf i t/2)

sin2 (αt)
=
= (πt/4)
,
ωf2 i
παt
π(ωf i /2)2 t
21

(1.32)


Hình 1.4: Đồ thị của f (t, ω) = sin2 (ωf i t/2)/ωf2i theo ωf i , trong đó ta đã kí hiệu ω ≡ ωf i .

trong đó, α = ωf i /2. Như vậy, khi t → ∞ thì
sin2 (αt)
lim
= δ(α).
t→∞
παt

(1.33)

Biểu thức của xác suất chuyển dời bây giờ có dạng
Pf i (t) =
=

4

|Wf i |2

2

2πt

πt
δ
2

Ef − Ei

|Wf i |2 δ(Ef − Ei ),

trong đó ta đã sử dụng tính chất của hàm Delta: δ(αx) =

(1.34)
1
|α| δ(x).

Ta định nghĩa tốc độ dịch chuyển là xác suất dịch chuyển trong một
đơn vị thời gian thì
Γf i =

Pf i
2π
=
|Wf i |2 δ(Ef − Ei ).
t

(1.35)

Hàm Delta δ(Ef − Ei ) đảm bảo sự bảo toàn năng lượng, điều này có
nghĩa là khi t → ∞ tốc độ dịch chuyển khác không chỉ đối với các trạng
thái có năng lượng bằng nhau. Như vậy, nhiễu loạn không đổi không lấy
năng lượng của hệ và cũng không cung cấp năng lượng cho hệ mà nó chỉ
gây ra sự dịch chuyển bảo toàn năng lượng.
22