Cộng hưởng từ phonon trong graphene đơn lớp

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----

TRẦN THỊ MỸ DUYÊN

CỘNG HƯỞNG TỪ - PHONON
TRONG GRAPHENE ĐƠN LỚP

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Thừa Thiên Huế, 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----

TRẦN THỊ MỸ DUYÊN

CỘNG HƯỞNG TỪ - PHONON
TRONG GRAPHENE ĐƠN LỚP

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học

TS. BÙI ĐÌNH HỢI

Thừa Thiên Huế, 2017

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình
nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Trần Thị Mỹ Duyên

ii


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS. Bùi Đình
Hợi - người Thầy đã tận tình hướng dẫn và đóng góp những ý kiến quý báu cho
tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa Vật Lý và phòng
Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế đã giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Cuối cùng tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn học viên Cao học khóa 24 và

gia đình đã động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học
tập và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Trần Thị Mỹ Duyên

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1. TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE ĐƠN LỚP .

5

1.1. Tổng quan về graphene đơn lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Cấu trúc mạng tinh thể của graphene đơn lớp . . . . . . .

5

1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong graphene
đơn lớp khi không có từ trường . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3. Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong graphene
đơn lớp khi đặt trong từ trường vuông góc với tấm graphene 13
1.2. Công thức tổng quát của tensor độ dẫn từ . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA ĐỘ DẪN

TỪ TRONG GRAPHENE ĐƠN LỚP KHI ĐẶT
TRONG TỪ TRƯỜNG VUÔNG GÓC VỚI TẤM
GRAPHENE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Hamiltonian của hệ electron – phonon quang tương tác trong
graphene đơn lớp khi đặt trong từ trường vuông góc với tấm
graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Biểu thức giải tích của tensor độ dẫn từ . . . . . . . . . . . . . . . 18

iv


Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN . . . . 22
3.1. Khảo sát sự phụ thuộc của độ dẫn từ vào từ trường . . . . . . . . 22
3.2. Điều kiện cộng hưởng từ - phonon trong graphene đơn lớp . . . . 27
3.3. Khảo sát sự phụ thuộc của độ dẫn từ vào nhiệt độ . . . . . . . . . 29

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

v


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

1.1

Graphene là kết cấu cơ bản của các cấu trúc nano carbon khác. .

6

1.2

Các liên kết của nguyên tử carbon trong mạng graphene. . . . . .

7

1.3

Cấu trúc màng graphene, trong đó các nguyên tử carbon được
sắp xếp đều đặn trên các ô lục giác với các vector đơn vị mạng
thuận l1 và l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Vùng Brillouin thứ nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Minh họa cấu trúc vùng năng lượng của graphene trong vùng
Brillouin thứ nhất dựa trên hệ thức tán sắc thu được từ phép gần
đúng liên kết mạnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1

Sự phụ thuộc của độ dẫn từ σxx vào từ trường B . Ở đây, T = 180
K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2

Độ dẫn từ là hàm số của từ trường ứng với các dịch chuyển cho
đóng góp vào đỉnh cộng hưởng (1) trên hình 3.1. Các hình a, b,
c, d theo thứ tự ứng với các dịch chuyển khả dĩ đã phân tích ở trên. 24

3.3

Sơ đồ mô tả các quá trình dịch chuyển giữa các mức Landau trong
graphene đơn lớp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4

Sự phụ thuộc của độ dẫn từ σxx vào nhiệt độ T tại các giá trị
khác nhau của từ trường B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay trên thế giới đã hình thành một ngành khoa học và công
nghệ mới có nhiều triển vọng và dự đoán sẽ có tác động mạnh mẽ đến
tất cả các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kỹ thuật cũng như đời sống
kinh tế - xã hội đó chính là công nghệ nano. Trong đó các dạng vật liệu
nano graphene được xem là cơ sở cho các thiết bị điện tử nano trong

tương lai. Theo tác giả Sarma và cộng sự [17] thì graphene có cấu trúc
hai chiều (two - dimensional material - 2D), là tấm phẳng có độ dày
bằng một lớp nguyên tử carbon, có cấu trúc mạng tinh thể dạng tổ
ong. Trong graphene, mỗi nguyên tử carbon liên kết cộng hóa trị với ba
nguyên tử carbon khác hình thành nên mạng phẳng hai chiều với các
ô hình lục giác, do đó mỗi nguyên tử carbon trong mạng còn thừa một
electron, các electron còn lại này có thể chuyển động tự do trong mặt
phẳng graphene. Với cấu trúc như thế, graphene có những tính chất vật
lý tuyệt vời và được xem là vật liệu hoàn hảo trong tương lai. Về mặt cơ
học, graphene là vật liệu mỏng nhất, cứng nhất, cứng hơn cả kim cương
và cứng hơn thép 200 lần. Độ linh động của electron trong graphene rất
cao, tính dẫn điện tốt hơn bất kỳ vật liệu nào ở nhiệt độ phòng, không
có vùng cấm năng lượng. Về mặt quang học, graphene gần như trong
suốt, chỉ hấp thụ 2.3% cường độ ánh sáng chiếu tới [8]. Do có các tính
chất vật lý đặc biệt như vậy, graphene là một vật liệu thu hút sự quan
tâm đặc biệt của các nhà khoa học.
Trong một số hiện tượng vật lý được quan tâm nghiên cứu trong các
bán dẫn thấp chiều, hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon (magnetophonon
1


resonance) được các nhà khoa học rất quan tâm vì đó là công cụ phổ
mạnh để khảo sát các tính chất của bán dẫn ví dụ như đo khối lượng
hiệu dụng, xác định khoảng cách giữa các mức năng lượng của electron,
cơ chế phục hồi hạt tải [3]. Hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon xảy ra khi
có sự tán xạ cộng hưởng electron do hấp thụ hoặc phát xạ phonon khi
khoảng cách giữa hai mức Landau bằng năng lượng của phonon quang
dọc [1]. Hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon được Gurevich và Firsov tiên
đoán bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1961, được Puri, Geballe,
Firsov và những người khác quan sát bằng thực nghiệm vào cùng năm

đó. Cộng hưởng từ - phonon xảy ra ở nhiều vật liệu bán dẫn, hợp kim
như Si, InSb, GaAs,. . . cũng như trong các cấu trúc nano thấp chiều.
Trong những năm gần đây, ở nước ta cũng đã có một số nghiên cứu
về cộng hưởng từ - phonon trong các vật liệu bán dẫn thấp chiều khác
nhau. Cụ thể, năm 2008, tác giả Lê Thị Cẩm Trang với đề tài “Nghiên
cứu lý thuyết để phát hiện cộng hưởng từ - phonon trong dây lượng tử
hình chữ nhật bằng quang học”. Cũng trong năm 2008, tác giả Phạm
Thị Cẩm Vân với đề tài “Nghiên cứu lý thuyết để phát hiện cộng hưởng
từ - phonon trong siêu mạng bán dẫn pha tạp bằng quang học”. Trong
năm 2013, tác giả Trần Văn Thiện Ngọc với đề tài “Nghiên cứu lý thuyết
để phát hiện cộng hưởng từ - phonon trong giếng lượng tử bằng quang
học”. Ở nước ngoài, trong những năm trở lại đây cũng có một số nghiên
cứu về các hiệu ứng quan trọng trong graphene. Cụ thể, nhóm tác giả
Borysenko K. M. [7] đã khảo sát quá trình tương tác electron – phonon
trong graphene. Nhóm tác giả Deacon R. S. và các cộng sự [10] đã nghiên
cứu cộng hưởng cyclotron để xác định vận tốc electron và lỗ trống trong
graphene đơn lớp. Hay nhóm tác giả Mori N. và Ando T. [13] đã nghiên
2


cứu cộng hưởng từ - phonon trong graphene đơn lớp sử dụng công thức
Kubo.
Tuy nhiên, hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon trong graphene đơn
lớp vẫn còn nhiều vấn đề cần được quan tâm nghiên cứu sử dụng các
phương pháp tính toán khác nhau. Từ những lý do nêu trên, tôi quyết
định chọn đề tài Cộng hưởng từ - phonon trong graphene đơn
lớp làm Luận văn Thạc sĩ.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon trong graphene đơn
lớp khi đặt trong từ trường vuông góc với tấm graphene.

3. Nội dung nghiên cứu
- Tìm hiểu về cấu trúc, tính chất điện tử của graphene đơn lớp khi
không có và có mặt từ trường ngoài.
- Thiết lập biểu thức giải tích của tensor độ dẫn từ trong graphene
đơn lớp khi đặt trong từ trường vuông góc với tấm graphene (xét đến
tương tác electron – phonon quang).
- Tiến hành tính số, vẽ đồ thị và thảo luận sự phụ thuộc của độ dẫn
từ vào từ trường và nhiệt độ của hệ. Từ đó thu được các điều kiện xảy
ra cộng hưởng từ - phonon trong graphene đơn lớp.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp chiếu của Zwanzig trong gần đúng phản
ứng tuyến tính để tính toán độ dẫn từ.
- Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
3


5. Phạm vi nghiên cứu
- Chỉ xét đến tương tác electron - phonon quang ở nhiệt độ cao, bỏ
qua các tương tác cùng loại (electron - electron, phonon - phonon).
- Chỉ xét thành phần tuyến tính của độ dẫn từ.
6. Bố cục luận văn
Ngoài phần mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được
chia làm 3 phần:
- Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu,
nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và
bố cục luận văn.
- Phần nội dung gồm 3 chương:
• Chương 1: Cơ sở lý thuyết
• Chương 2: Biểu thức giải tích của độ dẫn từ trong graphene đơn
lớp khi đặt trong từ trường vuông góc với tấm graphene

• Chương 3: Kết quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận
- Phần kết luận tóm tắt các kết quả đạt được và đề xuất hướng
phát triển của đề tài.

4


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương này trình bày một số vấn đề tổng quan về graphene đơn
lớp, phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong graphene
đơn lớp khi không có từ trường và khi đặt trong từ trường vuông
góc với tấm graphene, đưa ra được công thức tổng quát của
tensor độ dẫn từ.

1.1.

Tổng quan về graphene đơn lớp

1.1.1.

Cấu trúc mạng tinh thể của graphene đơn lớp

Graphene là mạng các nguyên tử carbon hai chiều, nó được tách ra
từ graphite. Graphene có cấu trúc lục giác (giống cấu trúc tổ ong). Dưới
kính hiển vi điện tử, graphene có hình dáng của một màng lưới có bề
dày bằng bề dày của một nguyên tử carbon và nếu xếp chồng lên nhau
thì phải cần tới 200000 lớp mới bằng độ dày của một sợi tóc. Graphene
là khối kết cấu cơ bản của nhiều cấu trúc nano khác làm bằng carbon

như fullerene (zero - dimensional system - 0D), ống nano carbon (one
- dimensional system - 1D), graphite (three - dimensional system - 3D)
(hình 1.1). Cấu trúc nano đặc biệt này hứa hẹn tiềm năng ứng dụng
trong rất nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật bởi những tính chất đặc biệt
ưu việt của nó như: giá trị môđun đàn hồi Young khá cao, độ dẫn điện
rất tốt nhờ độ linh động hạt tải cao (200000 cm2 V−1 s−1 ), rất bền cơ học
và bền nhiệt [6, 14].
5


Hình 1.1: Graphene là kết cấu cơ bản của các cấu trúc nano carbon khác.

Do chỉ có 6 điện tử tạo thành lớp vỏ của nguyên tử carbon nên
chỉ có 4 điện tử phân bố ở trạng thái 2s và 2p đóng vai trò quan trọng
trong việc liên kết hóa học giữa các nguyên tử với nhau. Các trạng thái
2s và 2p của nguyên tử carbon lai hóa với nhau tạo thành 3 trạng thái
sp định hướng trong một mặt phẳng hướng ra 3 phương tạo với nhau
một góc 1200 . Mỗi trạng thái sp của nguyên tử carbon này xen phủ với
một trạng thái sp của nguyên tử carbon khác hình thành một liên kết
cộng hóa trị dạng σ bền vững. Chính các liên kết σ này quy định cấu
trúc mạng tinh thể graphene dưới dạng hình tổ ong và lý giải tại sao
graphene rất bền vững. Ngoài các liên kết σ, giữa hai nguyên tử carbon
lân cận còn tồn tại một liên kết π khác kém bền vững hơn được hình
thành do sự xen phủ của các orbital pz không bị lai hóa với các orbital

6


s. Do liên kết π này yếu và có định hướng không gian vuông góc với các
orbital sp nên các điện tử tham gia liên kết này rất linh động và quy

định tính chất điện và quang của graphene.

Hình 1.2: Các liên kết của nguyên tử carbon trong mạng graphene.

Mặc dù có sự đối xứng cao trong cấu trúc nhưng ô lục giác trong
màng graphene không được chọn làm ô đơn vị, do các nguyên tử carbon
liền kề không có vai trò tương đương nhau. Tuy nhiên, một cách tổng
quát ta có thể xem graphene là sự tổ hợp của các mạng con (mạng tam
giác) gồm toàn các nguyên tử carbon ở vị trí A và các nguyên tử carbon
ở vị trí B, trong đó các nguyên tử lân cận hoàn toàn tương đương nhau
về mặt cấu trúc và tính chất. Cấu trúc mạng tinh thể của graphene có
thể được mô tả bằng các vector đơn vị của các mạng con này. Do đó,
cấu trúc lục giác của màng graphene có thể được xác định thông qua
các vector nguyên tố l1 và l2 có giá trị [11]
√
d
3, 3 ,
2

(1.1)

√
d
3, − 3 ,
2

(1.2)

l1 =
l2 =

trong đó d ≈ 1.42 ˚
A là khoảng cách giữa hai nguyên tử carbon gần nhau
nhất.
Với cách chọn vector nguyên tố như vậy, mỗi ô nguyên tố trong mạng
thực của graphene sẽ chứa 2 nguyên tử carbon (A và B). Vị trí của
7


Hình 1.3: Cấu trúc màng graphene, trong đó các nguyên tử carbon được sắp xếp đều
đặn trên các ô lục giác với các vector đơn vị mạng thuận l1 và l2 .

nguyên tử carbon trong mạng chứa hai loại nguyên tử này được liên hệ
thông qua các vector tương ứng
√
→
−
d
d1 =
1, 3 ,
2

(1.3)

√
→
−
d
1, − 3 ,
d2 =

2

(1.4)

→
−
d3 = −d (1, 0) .

(1.5)

Bây giờ ta xét trong không gian mạng đảo Brillouin, các vector
→
−→
−
mạng đảo được xác định bởi điều kiện ki lj = 2πδij , lúc này ta tính
được
√
→
−
2π
k1 =
1, 3 ,
3d

(1.6)

√
→
−
2π

k2 =
1, − 3 ,
3d

(1.7)

nghĩa là các vector mạng đảo bị quay một góc 900 so với vector đơn vị
mạng thuận và vùng Brillouin thứ nhất có dạng hình lục giác. Ngoài ra
trong không gian mạng đảo, hai điểm góc K và K của vùng Brillouin
8


Hình 1.4: Vùng Brillouin thứ nhất.

thứ nhất đóng vai trò quan trọng trong tính chất điện của graphene. Các
điểm này được gọi là các điểm Dirac và có vector tọa độ trong không
gian xung lượng như sau
→
−
2π
K=
3d
−
→ 2π
K =
3d
1.1.2.

1
1, √ ,

3

(1.8)

1
1, − √ .
3

(1.9)

Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong graphene
đơn lớp khi không có từ trường

Đối với graphene và dạng thù hình khác của carbon (ngoại trừ kim
cương), các liên kết π đóng vai trò quan trọng trong các hiện tượng liên
quan đến quá trình truyền điện tử cũng như các tính chất vật lý khác.
Để xác định cấu trúc vùng năng lượng của graphene và các vật liệu liên
quan, phép gần đúng liên kết mạnh thường được sử dụng như một công
cụ đơn giản nhưng đặc biệt hữu hiệu.
Trong phép gần đúng liên kết mạnh, trị riêng năng lượng E(k) được
xác định thông qua phương trình [4]
det [H − ES] = 0,
9

(1.10)


trong đó H là ma trận Hamiltonian thể hiện tương tác truyền, S là ma
trận thể hiện tương tác xen phủ.
Hàm sóng của electron trong phép gần đúng liên kết mạnh được

viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai hàm Bloch liên kết mạnh trên
hai mạng thành phần
φ k, r = CA φA k, r + CB φB k, r ,

(1.11)

1
φA k, r = √ eikRA ϕ r − RA ,
N

(1.12)

1
φB k, r = √ eikRB ϕ r − RB ,
N

(1.13)

trong đó

với N là tổng số ô đơn vị trong mạng graphene, k = (kx , ky ), Rα là vector
định vị nguyên tử (α = A, B), ϕ r − Rα là hàm sóng mô tả trạng thái
của các nguyên tử carbon trong mạng A hoặc B.
Ma trận Hamiltonian thể hiện tương tác truyền H được quy về ma
trận chéo 2 × 2 có dạng

H=

HAA HAB
HBA HBB


,

(1.14)

với HAA , HAB , HBA , HBB là Hamiltonian tương tác giữa các nguyên tử
carbon trong mạng A, B và giữa các nguyên tử carbon trong hai mạng
này với nhau, được tính theo công thức Hij = φi | H| φj . Trong các
mạng chỉ gồm các nguyên tử A hoặc B, khi chỉ xét tương tác giữa các
nguyên tử carbon gần nhất với nhau, ta có HAA = HBB = E2p , với E2p
là năng lượng tương ứng với trạng thái cơ bản của các vân đạo tham gia
tạo liên kết π. Đồng thời, Hamiltonian tương tác giữa các nguyên tử A
10


và B lân cận (xác định thông qua các vector d1 , d2 , d3 ) được xác định
2HAB = t eikd1 + eikd2 + eikd3 = tf k ,

(1.15)

trong đó t đặc trưng cho sự truyền năng lượng giữa các nguyên tử A và
B lân cận,
√

f k = eikx d/

3

√

+ 2e−ikx d/2 3 cos

ky d
,
2

(1.16)

vì f (k) là hàm phức và Hamiltonian tạo thành một ma trận Hermite
∗
.
nên HBA = HAB

Thay giá trị của HAA , HAB , HBA , HBB vào (1.14), ta được


E2p
tf k
.
H=
∗
tf k
E2p

(1.17)

Ma trận thể hiện tương tác xen phủ S cũng được quy về ma trận
chéo 2 × 2 có dạng


S=

SAA SAB
SBA SBB


,

(1.18)

∗
trong đó Sij = φi | φj , SAA = SBB = 1, SAB = SBA
= gf k với g đặc

trưng cho sự xen phủ năng lượng giữa các nguyên tử A và B lân cận.
Biểu thức cuối cùng của ma trận xen phủ S có dạng


1
gf k

.
S=
∗
gf k
1

(1.19)

Thay (1.17), (1.19) vào (1.10), ta được biểu thức tán sắc năng lượng

theo vector sóng k được biểu diễn như sau
E2p ± tω k
,

E± k =
1 ± gω k
11

(1.20)


trong đó E+ , E− lần lượt thể hiện năng lượng ở các trạng thái cơ bản và
trạng thái kích thích,
√

2

ω k =

f k

=

3
1
kx d cos
ky d + 4 cos2
2
2

1 + 4 cos

1
ky d ,
2
(1.21)

Trong hầu hết các trường hợp, ta thường chọn g = 0 để đơn giản trong
việc tính toán cấu trúc vùng năng lượng của graphene. Khi đó, theo
phương trình (1.20), các vùng π, π ∗ trở nên đối xứng quanh giá trị E =
E2p và hệ thức tán sắc có dạng
√
E± (kx , ky ) = ±t

1 + 4 cos

1
3
kx d cos
ky d + 4 cos2
2
2

1
ky d ,
2
(1.22)

tại các vị trí có tính đối xứng cao E lần lượt nhận các giá trị ±3t, ±t và
0 tương ứng với các điểm Γ, M và K.

Hình 1.5: Minh họa cấu trúc vùng năng lượng của graphene trong vùng Brillouin thứ
nhất dựa trên hệ thức tán sắc thu được từ phép gần đúng liên kết mạnh.

Từ hệ thức tán sắc, có thể thấy được tại các vị trí đối xứng K (điểm
12


Dirac), khoảng cách giữa các mức năng lượng tại các trạng thái liên kết
π và phản liên kết π ∗ của graphene là bằng 0, nghĩa là graphene có thể
được xem như chất bán dẫn có độ rộng vùng cấm bằng 0. Lân cận các
điểm này, sự tán sắc năng lượng là tuyến tính, nghĩa là E phụ thuộc bậc
nhất theo k, thay vì bậc hai như trong các hệ chất rắn thông thường.
Tuy nhiên, sự tồn tại của vùng cấm 0 này tại các điểm đối xứng K và K’
yêu cầu tính đối xứng cao trong cấu trúc, nghĩa là mạng các nguyên tử
A và B phải đóng vai trò tương đương nhau. Trong trường hợp A và B
là các nguyên tử khác loại, giữa các mức π và π ∗ sẽ xuất hiện vùng cấm
như các bán dẫn thông thường. Hiện tượng này đóng vai trò quan trọng
trong việc giải thích khả năng truyền dẫn điện tử cao và các hiệu ứng
lượng tử đặc biệt khác của mạng graphene cũng như ống nano carbon.
1.1.3.

Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong graphene
đơn lớp khi đặt trong từ trường vuông góc với tấm
graphene

Trong tấm graphene vùng dẫn và vùng hóa trị bao gồm quỹ đạo
chéo π đi qua điểm K và K’ của vùng Brillouin, trong đó mức Fermi
được xác định. Trạng thái điện tử của các vùng π gần điểm K trong từ
trường B vuông góc với tấm graphene được mô tả bằng phương pháp

k.p. Phương trình Schrodinger tương ứng [5]
H0 F (r) = εF (r) ,

(1.23)

trong đó

H0 = γ 

0

kˆx − ikˆy

kˆx + ikˆy

0
13


 = γ σ.k ,

(1.24)


√
với γ = ( 3/2)aγ0 là tham số vùng, γ0 = 3.03 eV, a = 0.246 nm là hằng
số mạng graphene, σ = (σx , σy ) là các ma trận Pauli, kˆ = kˆx , kˆy

=

−i∇+eA/ là toán tử vector sóng, A = (Bx, 0) là thế vector của trường.
Hàm sóng và phổ năng lượng của electron được cho bởi


Sn φ|n|−1 (x − X)
Cn
2
,
ψn (r) = √ e−iXy/l 
L
φ|n| (x − X)

εn = Sn ωB

|n|,

(1.25)

(1.26)

trong đó
Cn =




1, (n = 0)
(1 + δn,0 )
=
,

 1/√2, (n = 0)
2

Sn =

φ|n| (x) =



1, (n > 0)




0, (n = 0) ,



 −1, (n < 0)

i|n|

1 x
exp −
√
2 l
2|n| |n|! πl

(1.27)

(1.28)

2

H|n|

x
,
l

(1.29)

với n = 0, ±1, ±2,... là chỉ số mức Landau, Hn (x/l) là đa thức Hermite
bậc n, X = ky l2 là tọa độ tâm và nó liên hệ với vector sóng hạt theo
√
trục y, ωB = 2γ l là năng lượng Landau, l =
/eB là bán kính
cyclotron. Các trạng thái được xác định bởi tập hợp số lượng tử α =
(n, X), ở đây ta đã bỏ qua sự tách mức Zeeman do từ trường.
Đối với hệ K’, hàm Hamiltonian được cho bởi


ˆ
ˆ
0
kx + iky
 = γ σ ∗ .k ,
H0 = γ 
kˆx − ikˆy
0

14

(1.30)


và hàm sóng tương ứng được cho bởi


φ|n| (x − X)
Cn
2
.
ψn (r) = √ e−iXy/l 
L
Sn φ|n|−1 (x − X)

1.2.

(1.31)

Công thức tổng quát của tensor độ dẫn từ

Xét hệ nhiều hạt có Hamiltonian được mô tả bởi [18]
H = H0 + λ.V − A.F (t),

(1.32)

trong đó H0 là Hamiltonian của hệ electron - phonon không tương tác,
λ.V là Hamiltonian tương tác kiểu nhị phân, giả sử có dạng không chéo
và nhỏ hơn so với H0 , −A.F (t) là Hamiltonian do tương tác với trường

ngoài, với A là toán tử tọa độ của hạt và F (t) một lực tổng quát.
Giá trị trung bình của toán tử mật độ dòng J tại thời điểm t, được
cho bởi
J

t

= T r [ρ(t)J] ,

(1.33)

trong đó ρ(t) là toán tử mật độ tương ứng với Hamiltonian (1.32). Xét
trường hợp phản ứng của hệ là tuyến tính, điện trường E(t) nhỏ và trong
gần đúng Born, mật độ dòng tương ứng với phần chéo của ρ(t) (trong
biểu diễn H0 ) được cho bởi
(Jµ )d

t

=

e
V0

−Bζ nζ t χµζ + nζ t χ˙ µζ , (µ = x, y, z),

(1.34)

ζ

trong đó V0 là thể tích của hệ, e là điện tích của electron, F (t) = eE(t),
A=

i

ri − ri

eq

=

i χi

với ri

eq

, ri lần lượt là vị trí của electron

thứ i trước và sau khi đặt trường ngoài vào, χµζ = ζ| χµ |ζ với |ζ là
15


hàm riêng của h0 (H0 =

h0 ) có năng lượng riêng là εζ , nζ

phân bố không cân bằng của electron , Bζ nζ

t

t

là hàm

là sự tách rời va chạm

của phương trình Boltzmann lượng tử và d là viết tắt của phần chéo
(diagonal). Số hạng thứ hai của biểu thức (1.34) là dòng khuếch tán
thông thường.
d
Khi chỉ có dòng tán xạ thì thành phần σµµ
(0) được tính bằng [9]
d
σµµ
(0)

βe2
=
V0

nζ

eq

1 − nζ

eq

Wζζ (χµζ − χµζ )2 ,

(1.35)

ζ,ζ ,s

trong đó β = 1/kB T với kB là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ, Wζζ
là xác suất dịch chuyển giữa hai trạng thái tương ứng, nζ

eq

là hàm

phân bố cân bằng của electron, s là kí hiệu của spin. Khi các electron
tương tác với phonon (giả sử vẫn ở trạng thái cân bằng) thì xác suất
dịch chuyển giữa hai trạng thái tương ứng được cho bởi
Q (ζ, q → ζ ) Nq

Wζζ =

eq

+ Q (ζ → ζ , q) 1 + Nq

eq

, (1.36)

q

trong đó

Q (ζ, q → ζ ) =

Q (ζ → ζ , q) =

2π

|C (q)|2

ζ eiqr ζ

2π

|C (q)|2

ζ e−iqr ζ

2

δ (εζ − εζ + ωq ) ,

2

δ (εζ − εζ − ωq ) ,

(1.37)

(1.38)

với Q (ζ, q → ζ ) và Q (ζ → ζ , q) lần lượt đặc trưng cho sự hấp thụ và
phát xạ một phonon có vector sóng q và năng lượng ωq , C (q) là thế

tương tác electron-phonon, Nq

eq

là hàm phân bố cân bằng của phonon.

16


Chương 2
BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA ĐỘ DẪN TỪ
TRONG GRAPHENE ĐƠN LỚP KHI ĐẶT
TRONG TỪ TRƯỜNG VUÔNG GÓC VỚI TẤM
GRAPHENE
Chương này trình bày tính toán giải tích tường minh tensor độ
dẫn từ trong graphene đơn lớp khi đặt trong từ trường vuông
góc với tấm graphene.

2.1.

Hamiltonian của hệ electron – phonon quang
tương tác trong graphene đơn lớp khi đặt trong
từ trường vuông góc với tấm graphene

Xét tấm graphene nằm trong mặt phẳng Oxy được đặt trong từ
trường B = (0, 0, B). Khi đó hàm sóng và phổ năng lượng của electron
trong tấm graphene trên được cho bởi các công thức (1.25) và (1.26).
Toán tử Hamiltonian của hệ electron-phonon trong biễu diễn lượng tử
hóa lần thứ hai được viết dưới dạng [2]
H = He + Hph + He−ph

c +
εn c+
k k

=
k

q

1
ωq (bq+ bq + ) +
2

+
c
(b
M (q)c+
−q + bq ), (2.1)
k
k+q
q,k

trong đó εn là năng lượng của electron, k là vector sóng của electron, q
và ck (bq+ và bq ) lần lượt là toán tử sinh và
là vector sóng của phonon, c+
k
toán tử hủy electron (phonon), k và k + q là trạng thái của electron
trước và sau khi tán xạ, M (q) là yếu tố ma trận tương tác electron 17

phonon quang, được xác định bởi công thức [16]
|M (q)|2 = |C(q)|2 |Jnn (u)|2 ,

(2.2)

với |C(q)|2 đối với tương tác kiểu thế biến dạng được cho bởi
2
Dop
,
|C (q)| =
2ρL2 ωq
2

(2.3)

trong đó ρ = 7.7 × 10−8 g/cm2 là mật độ khối lượng hai chiều của
graphene, Dop = 1.4 × 109 eV/cm là thế biến dạng của phonon quang,
|Jnn

m!
e−u uj Ljm (u) + Sn Sn
(u)|2 = Cn2 Cn2
(m + j)!

m+j j
Lm−1 (u)
m

2

,

(2.4)
với Ljm (u) là đa thức Laguerre liên kết, u = l2 q 2 /2, q 2 = qx2 + qy2 , m =
min (|n| , |n |), j = ||n| − |n ||.

2.2.

Biểu thức giải tích của tensor độ dẫn từ

Từ biểu thức tổng quát (1.35) ta đưa ra được biểu thức tổng quát
của tensor độ dẫn từ trong graphene đơn lớp [15]
σxx

βe2
=
S0

nζ

eq

1 − nζ

eq

Wζζ (χxζ − χxζ )2 ,

(2.5)

ζ,ζ

với S0 là diện tích của tấm graphene, χxζ = ζ |x| ζ , Wζζ được cho bởi
công thức
g (θ) Q (ζ, q → ζ ) Nq

Wζζ = gs gυ

eq

+ Q (ζ → ζ , q) 1 + Nq

eq

,

q

(2.6)
trong đó gs = 2 là độ suy biến spin, gυ = 2 độ suy biến vùng hóa trị,
g (θ) = (1 + cosθ)/2 là tích phân bao phủ của hàm sóng spinor, θ là góc
giữa hai vector sóng của electron [16].
18