Công suất hấp thụ và độ rộng phổ phi tuyến trong giếng lượng tử thế hyperbol

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ MỸ HẠNH

CÔNG SUẤT HẤP THỤ
VÀ ĐỘ RỘNG PHỔ PHI TUYẾN
TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ THẾ HYPERBOL

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số:

60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS LÊ ĐÌNH

Thừa Thiên Huế, năm 2017

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình
nghiên cứu nào khác.

Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

LÊ THỊ MỸ HẠNH

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến thầy giáo PGS. TS. Lê Đình đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa Vật Lý
và phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế; các bạn
học viên Cao học khóa 24 cùng gia đình, bạn bè đã động viên, góp ý, giúp đỡ,
tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

LÊ THỊ MỸ HẠNH

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh mục các hình vẽ và đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Danh mục các bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 1. Tổng quan về bán dẫn thấp chiều và phương pháp nghiên

cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1. Tổng quan về giếng lượng tử thế hyperbol . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. Tổng quan về bán dẫn thấp chiều . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2. Tổng quan về giếng lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng lượng
tử thế hyperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4. Biểu thức thừa số dạng trong giếng lượng tử thế hyperbol . . 13
1.2. Tổng quan về phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái . . . 16
Chương 2. Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn quang và công suất
hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1. Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn quang khi có mặt của trường
laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1. Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2. Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn tuyến tính . . . . . . . . 20

2.1.3. Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn phi tuyến . . . . . . . . . 24
2.2. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến . 27
2.2.1. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ tuyến tính . . . . . 27
2.2.2. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ phi tuyến . . . . . . 42
Chương 3. Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1


3.1. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào năng
lượng của photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào
năng lượng của photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2. Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ tuyến tính vào nhiệt độ 53
3.1.3. Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ tuyến tính vào thông
số giếng a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2. Xác định đỉnh cộng hưởng của công suất hấp thụ phi tuyến . . . . . 55
3.2.1. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến vào
năng lượng của photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên độ rộng vạch phổ phi tuyến . . . 56
3.2.3. Ảnh hưởng của thông số của giếng lên độ rộng vạch phổ phi
tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

PHỤ LỤC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1
Hình 1.2

Hình dạng và mật độ trạng thái của giếng lượng tử (2 chiều), dây
lượng tử (1 chiều), chấm lượng tử (0 chiều). . . . . . . . . . . . .

7

Giếng lượng tử hình thành lớp GaAs kẹp giữa hai lớp AlGaAs . .

8

Đồ thị 3.1 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính P0 (ω) vào năng
lượng photon ở nhiệt độ 200 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Đồ thị 3.2 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ tuyến tính của đỉnh 62.29
meV vào nhiệt độ T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Đồ thị 3.3 Sự phụ thuộc của độ rộng phổ tuyến tính của đỉnh 62.29
meV vào thông số giếng a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Đồ thị 3.4 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến vào năng lượng
của photon tại nhiệt độ T = 300K. . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Đồ thị 3.5 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ phi tuyến của đỉnh 29.71 meV
vào nhiệt độ T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Đồ thị 3.6 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ phi tuyến của đỉnh 29.71 meV
vào thông số giếng a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1

Minh họa các quá trình chuyển mức giữa các trạng thái. . . . . . 23

Bảng 3.1

Bảng mô tả sự thay đổi của độ rộng phổ tuyến tính theo nhiệt độ 54

Bảng 3.2

Bảng mô tả sự thay đổi của độ rộng phổ tuyến tính theo thông
số a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Bảng 3.3

Bảng mô tả sự thay đổi của độ rộng phổ phi tuyến theo nhiệt độ

Bảng 3.4

Bảng mô tả sự thay đổi của độ rộng phổ tuyến tính theo thông

57

số a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Vào những năm 70 của thế kỷ XX, việc tìm ra bán dẫn thấp chiều đã đưa
nghiên cứu vật liệu bán dẫn lên một tầm cao mới bởi những tính chất quan
trọng của nó. Một hệ bán dẫn thấp chiều là một hệ lượng tử trong đó các hạt
mang điện chuyển động tự do theo hai chiều, một chiều hoặc không chiều. Kích
thước của hệ bán dẫn thấp chiều vào cỡ bước sóng De Broglie (cỡ nanometre)
nên tính chất vật lý và điện tử thay đổi đầy “kịch tính”. Ở đây các quy luật
lượng tử bắt đầu có hiệu lực. Tùy vào giới hạn điện tử mà có các loại bán dẫn
thấp chiều như: giếng lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử. Với cấu trúc thấp
chiều thì các điện tử, lỗ trống bị giam giữ mạnh nên làm xuất hiện thêm nhiều
đặc tính mới. Khi điện tử bị giới hạn bởi một chiều không gian thì ta có loại bán
dẫn thấp chiều là giếng lượng tử. Chính vì sự giam giữ điện tử này sẽ làm cho
các đại lượng đặc trưng của giếng lượng tử như: tenxơ độ dẫn, công suất hấp
thụ, độ rộng phổ. . . thay đổi so với các hệ thấp chiều khác. Trong giới hạn của
đề tài, tôi nghiên cứu công suất hấp thụ và độ rộng phổ phi tuyến trong giếng
lượng tử thế hyperbol.
Có rất nhiều phương pháp để nghiên cứu các tính chất của hệ thấp chiều.
Tùy vào các yêu cầu cụ thể mà chúng ta sử dụng một phương pháp thích hợp
tương ứng. Trong đề tài này, tôi sử dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc
trạng thái để thu được biểu thức giải tích của công suất hấp thụ sóng điện từ.
Bởi vì đây là phương pháp có thể thu được biểu thức tường minh nhất. Bên
cạnh đó, tôi dùng phương pháp Profile để xác định độ rộng vạch phổ.
Vấn đề liên quan đến phản ứng tuyến tính và phi tuyến trong bán dẫn
dưới tác dụng của trường ngoài được rất nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài
nước quan tâm. Từ công trình thực nghiệm của Franken [6], công trình nghiên
cứu lý thuyết về sự trộn sóng quang [5] của Bloembergen cho đến Kang N. L.,

Lee Y. J. và Choi S. D. [11] đã áp dụng kỹ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái để
đưa ra biểu thức tường minh của tenxơ độ dẫn tuyến tính và thành phần phi
tuyến bậc nhất một cách riêng rẽ cho hệ tương tác electron với phonon quang
dọc. Bên cạnh đó, Lee S. C và các cộng sự cũng có các nghiên cứu đề cập đến
cộng hưởng trong giếng lượng tử [12], [13]. Ở nước ta, nhóm nghiên cứu Huỳnh
Vĩnh Phúc, Lê Đình, Trần Công Phong... đã tiến hành nghiên cứu và đã công
4


bố các bài báo về các hiệu ứng cộng hưởng trong giếng lượng tử dưới tác dụng
của trường ngoài [7], [8], [9]. Ngoài ra còn có luận án tiến sĩ của Huỳnh Vĩnh
Phúc là "Nghiên cứu chuyển tải thống kê lượng tử đối với hệ chuẩn một chiều"
vào năm 2011 [4], luận văn thạc sỹ của tác giả Hồ Thị Ngọc Anh đề cập đến độ
dẫn điện phi tuyến trong dây lượng tử hình trụ thế parabol vào năm 2012 [1],...
Các công trình nghiên cứu công suất hấp thụ và độ rộng phổ phi tuyến trước
đây chưa xét đến giếng lượng tử thế hyperbol. Đây là điểm mới của đề tài.
Vì lí do đó tôi chọn đề tài “Công suất hấp thụ và độ rộng phổ phi
tuyến trong giếng lượng tử thế hyperbol.”
2. Mục tiêu đề tài

Thiết lập công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong giếng lượng tử
thế hyperbol, từ đó khảo sát hiện tượng cộng hưởng electron – phonon dò tìm
bằng quang học và khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ và
các thông số của giếng.
3. Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái để tính biểu
thức giải tích của công suất hấp thụ sóng điện từ.
- Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
- Sử dụng phương pháp Profile để xác định độ rộng vạch phổ.

4. Nội dung nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung vào các nội dung sau:
- Thiết lập biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn quang và công suất hấp
thụ tuyến tính và phi tuyến khi có mặt của trường laser bằng phương pháp toán
tử chiếu phụ thuộc trạng thái.
- Khảo sát số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng
lượng photon, từ đó xác định điều kiện để có cộng hưởng electron- phonon và
dò tìm bằng quang học cộng hưởng này.
- Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ và các thông
số của giếng cho hai trường hợp tuyến tính và phi tuyến.

5


5. Giới hạn đề tài

- Đề tài tập trung nghiên cứu và khảo sát trong giếng thế hyperbol và chỉ
xét đến tương tác electron - phonon, bỏ qua các tương tác cùng loại.
- Không xét sự có mặt của từ trường.
- Chỉ xét trường hợp phonon khối (không xét phonon bị giam giữ).
6. Bố cục luận văn

Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3
phần:
- Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài, phương
pháp nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, giới hạn đề tài và bố cục luận văn.
- Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về bán dẫn thấp chiều và phương pháp nghiên cứu
Chương 2: Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn quang và công suất hấp thụ

Chương 3: Trình bày kết quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận.
- Phần kết luận trình bày các kết quả đạt được và hướng phát triển của
đề tài.

6


NỘI DUNG

Chương 1
Tổng quan về bán dẫn thấp chiều và
phương pháp nghiên cứu
Chương này trình bày tổng quan về giếng lượng tử thế hyperbol, hàm
sóng, phổ năng lượng và thừa số dạng của electron trong giếng lượng tử
thế hyperbol và phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái.

1.1.

Tổng quan về giếng lượng tử thế hyperbol

1.1.1.

Tổng quan về bán dẫn thấp chiều

Một hệ bán dẫn thấp chiều là một hệ lượng tử mà trong đó electron
dịch chuyển tự do theo hai chiều, một chiều hoặc không chiều.

Hình 1.1: Hình dạng và mật độ trạng thái của giếng lượng tử (2 chiều), dây lượng tử
(1 chiều), chấm lượng tử (0 chiều).

7


1.1.2.

Tổng quan về giếng lượng tử

Giếng lượng tử là bán dẫn trong đó các hạt mang điện chuyển động tự do
theo 2 chiều và bị giam giữ theo một chiều (trong luận văn, chuyển động của
electron được giả sử bị giới hạn theo hướng z và tự do trong mặt phẳng (x, y)).
Cấu trúc của giếng lượng tử là một lớp mỏng chất bán dẫn này được đặt giữa
hai lớp bán dẫn khác. Sự khác biệt của các cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán
dẫn đó tạo nên một giếng thế lượng tử. Các hạt mang điện nằm trong mỗi lớp
chất bán dẫn này không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán
dẫn bên cạnh nên chúng bị định xứ mạnh và bị cách ly lẫn nhau bởi các hàng
rào thế.

Hình 1.2: Giếng lượng tử hình thành lớp GaAs kẹp giữa hai lớp AlGaAs

1.1.3.

Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng lượng tử thế
hyperbol

Phương trình Schrodinger đối với electron trong giếng lượng tử có dạng
tổng quát:
ˆ
Hψ(x,
y, z) = Eψ(x, y, z),

(1.1)

với
ˆ =−
H

trong đó:

2

2m∗

∇2 + U (x, y) + V (z),

(1.2)

m∗ là khối lượng hiệu dụng của electron,
U (x, y) là thế năng của electron trong mặt phẳng (x, y),
V (z) là thế năng của electron theo trục z , có dạng thế bán hyperbol.
V (z) =

∞ (z < 0)
− az (z > 0)
8

, với a > 0.

(1.3)

Vì chuyển động của electron theo trục z độc lập với chuyển động của
electron trong mặt phẳng (x, y) nên hàm sóng của electron có thể viết:
(1.4)

ψ(x, y, z) = ψ(x, y).ψ(z),

ứng với năng lượng: E = E1 + E2 .
Lúc này phương trình (1.1) được tách thành hai phương trình:
Hˆ1 ψ(x, y) = E1 ψ(x, y),

(1.5)

Hˆ2 ψ(z) = E2 ψ(z),

(1.6)

2
2
với Hˆ1 = − 2m∗ ∇21 + U (x, y); Hˆ2 = − 2m∗ ∇22 + V (z).

Giải phương trình (1.5) với V (x, y) = 0 (vì hạt chuyển động tự do trong
mặt phẳng (x, y)) bằng phương pháp phân ly biến số để tìm hàm sóng và năng
lượng của electron trong mặt phẳng (x, y) :
ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y).

Thay vào phương trình (1.5) ta được:
2

−

2m∗

d2

dx2

+

d2

dy2

(1.7)

ψ(x)ψ(y) = E1 ψ(x)ψ(y),

ứng với năng lượng: E1 = Ex + Ey .
Phương trình (1.7) được tách thành hai phương trình sau:
2

−

2m∗ dx2
2

−

d2

d2

2m∗ dy2

ψ(x) = Ex ψ(x),

(1.8)

ψ(y) = Ex ψ(y).

(1.9)

Phương trình (1.8) , (1.9) lần lượt là phương trình chuyển động tự do của
electron theo phương x và phương y . Nghiệm của 2 phương trình này có dạng:
ψ(x) =
ψ(y) =

√1 eikx x
Lx
1
√ eiky y
Ly

ứng với năng lượng:
ứng với năng lượng:

Ex = Ekx =

2 2
kx
2m∗

,

E y = E ky =

2 2
ky
2m∗

,

với Lx ,Ly lần lượt là bề rộng của giếng thế theo phương x và phương y .
Vậy năng lượng của electron chuyển động trong mặt phẳng (x, y) là:
Ekx ,ky = Ekx + Eky =

2k2
x
2m∗

9

+

2k2
y
∗
2m

2

=

2m∗

kx2 + ky2 ,


và hàm sóng tương ứng là:
1

ψ(x, y) = ψkx ,ky (x, y) =

Lx Ly

ei(kx x+ky y) .

Phương trình (1.6) là phương trình chuyển động của electron bị giam giữ
theo trục z bởi thế :
∞ (z < 0)

V (z) =

− az (z > 0)

, với a > 0.

Do đó, phương trình Schr¨odinger cho electron theo trục z là
d2 ψ a
− ψ = Eψ.
2m∗ dz 2

z
2

−

(1.10)

Đặt
2

E=−

trong đó a0 =

2

m∗ a ,

2m∗ a20 α2

(1.11)

,

α là một đại lượng vô hướng thực.

Ta tiến hành đổi biến
2
αa0
αa0

1
t=
z⇔z=
t ⇒ dz =
dt ⇔ 2 =
αa0
2
2
dz

Thay (1.11), (1.12) và a0 =
d2 ψ

dz2

2
αa0

⇔
⇔

+

d2 ψ
2

+

2

m∗ a

2
αa0

2

1

dt2

(1.12)

.

vào phương trình (1.10), ta được

2m∗ a 1
2m∗ E
ψ
+
ψ=0
2 z
2
2

d2 ψ

dt2

+

2
2m∗ a 2 1
2m∗
ψ
−
ψ=0
2 αa t
2 2m∗ a 2 α2
0
0

α
1
ψ − ψ = 0.
t
4

dt
Ta xét nghiệm của phương trình (1.13) cho trường hợp t

(1.13)
1 bằng cách

dùng hàm như sau
ψ (t) = tet/2 Φ (t) ,

(1.14)

trong đó Φ(t) là hàm tuần hoàn tại gốc tọa độ và limt→0 Φ(t) = hằng số.
Vì ta chỉ xét trạng thái liên kết nên ψ(t) phải là một hàm bình phương khả
tích, tức là ψ(t) ∈ L2 (R). Trong luận văn này, vì z > 0 hay t > 0 nên hàm Φ(t)
không còn là một đa thức nhưng là một hàm bình phương khả tích tuần hoàn
ở gốc tọa độ, tức là Φ ∈ L2 (R). Do đó, phương trình vi phân cho hàm Φ(t) có
dạng
tΦ + (2 + t) Φ + (α + 1) Φ = 0.
10

(1.15)


Bây giờ chúng ta sử dụng định lý Plancherel. Định lý phát biểu rằng biến
đổi Fourier mở rộng duy nhất đến một ánh xạ đơn nhất của L2 (R) lên L2 (R). Do
đó, phương trình (1.15) được viết lại dưới dạng biến đổi Fourier của Φ(t) ∈ L2 (R)
−ik 2 ∓ k Φ (k) = −αΦ (k) .

(1.16)

Ta có thể giải trực tiếp bằng cách phân ly biến số
k
Φ (k) = A
k∓i

±α

(1.17)

.

˜
Sự tồn tại của phép biến đổi nghịch Φ(k)
cũng được đảm bảo bởi định lý

Plancherel.
Do đó, từ các phương trình (1.14) và (1.17), ta xác định
ψI (t) = Atet/2

α

k
dk ikt
e
2π
k−i

.

(1.18)

Hàm sóng ψ(t) đơn trị khi và chỉ khi số mũ α trong biểu thức ở trên (1.18)
là một số nguyên, tức là n ∈ N . Điều kiện này dẫn đến điều kiện α = n ∈ N . Tức
là, hàm dưới dấu tích phân của phương trình (1.18) có cực điểm bậc n tương
ứng tại k = i và k = −i. Tích phân xác định hàm ψ(t) có thể được tính bằng
cách sử dụng định lý thặng dư.
Ta định nghĩa
dk ikt
k
e
2π

k∓i

F± (t) =

n

(1.19)

.

Từ đó suy ra
F+ (t) =

1
dn n−1 −t
t e
.
(n − 1)! dtn

(1.20)

Theo định nghĩa của đa thức Laguerre liên kết Lm
n
Lm
n (t)

dm
= m
dt

dn
e
z n e−z
n
dz
z

,

(1.21)

và với m = 1, ta được hàm sóng
ψn (t) = Ate−t/2 L1n (t) .

(1.22)

Sử dụng phương trình (1.11) cho α = n ∈ N , ta được năng lượng theo trục
z có dạng
1
m∗ a2 1
En = − ∗ 2 2 = −
.
2 2 n2
2m a0 n
2

11

(1.23)

Tìm hàm sóng của electron theo trục z trong giếng lượng tử thế
hyperbol.
Ta thấy phương trình (1.13) là dạng phương trình hyperbol của Whittaker.
Các nghiệm chuỗi năng lượng luôn luôn tìm thấy bằng phương pháp Frobenius.
Với z > 0 phương trình vi phân của chúng ta là
tΦ + (2 − t) Φ + (α − 1) Φ = 0.

(1.24)

Phương trình này được giải bằng hàm siêu bội (hàm Kummer) tuần hoàn
ở gốc tọa độ. Ta được
Φ (t) = 1 F1 (1 − α, 2, t) .

(1.25)

Đó là nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân cho đa thức Laguerre
liên kết Lm
n (t) với m = 1 và α = n ∈ N
zw + (1 + m − t) w + (n − m) w = 0,

(1.26)

và do đó ta có thể kết luận rằng
L1n (t) = Cn1 F1 (1 − n, 2, z) ,

(1.27)

với C = n!, trong đó đa thức Laguerre liên kết L1n (t) có thể được viết là
L1n (t) = net

dn n−1 −t
t e
.
dtn

(1.28)

Phương trình Schr¨odinger (1.13) được tích phân trong khoảng [−ε, +ε] và
giới hạn ε → 0

ψ (ε) − ψ (−ε) + n −



ε

0

dz

ψ (t)
+
t

−ε

dt

ψ (t) 

= 0.
t

(1.29)

0

Từ phương trình (1.22), ta nhận thấy rằng

ψ(t)
t

tuần hoàn và liên tục tại

gốc t = 0. Do đó, cả hai tích phân của phương trình (1.29) triệt tiêu sau khi lấy
giới hạn ε → 0, nên ta kết luận rằng các đạo hàm bậc một phải liên tục tại t = 0.
Vậy ta có thể viết nghiệm như sau
ψn (t) = Cn te−t/2 L1n (t) ,

(1.30)

trong đó ψn (t) là hàm thực.
Hằng số chuẩn hóa Cn của nghiệm trên trở thành
√
n

Cn = (−1)

2na0 na0
.

n!n3 a20 2

12

(1.31)


Từ
t=

2z
,
α a0

suy ra hàm sóng của electron theo trục z trong giếng lượng tử thế hyperbol là
ψn (z) = Cn

Đặt α = n, ξ =

2z
a0

2z
αa0

2z − αza 1
e 0 Ln
αa0

.

hàm sóng được viết lại là
ψ(z) =

Cn − ξ 1
ξe 2n Ln
n

ξ
n

.

Vậy năng lượng của electron chuyển động trong giếng thế lượng tử thế
hyperbol có dạng:
2

E = En = Ekx ,ky ,nz = Ekx + Eky + Enz =

2m∗

kx2 + ky2 −

m∗ a2 1
,
2 2 n2z

(1.32)
với hàm sóng tương ứng là:
ψ(x, y, z) = ψkx ,ky (x, y)ψnz (z)

1

=

1.1.4.

Lx Ly

ei(kx x+ky y)

Cn − ξ 1
ξe 2n Ln
n

ξ
n

(1.33)

.

Biểu thức thừa số dạng trong giếng lượng tử thế hyperbol

Thừa số dạng được định nghĩa bởi tích phân bao phủ sau:
Jnz ,nz (q) =

ψkx ,ky ,nz eiqr ψkx ,ky ,nz

=

ψnx ψny ψnz eiq(x+y+z) ψnx ψny ψnz

=

ψnx eiqx x ψnx

ψny eiqy y ψny

ψnz eiqz z ψnz

= J1 × J2 × J3 .

Để tính thừa số dạng, ta phải tính tích phân tương tác. Tức là ta tính mỗi
tích phân thành phần J1 ,J2 ,J3 .
* Tính tích phân J1 :
1/2

J1 = ψnx e

iqx x

ψnx

=
=
=

1
e−ikx x eiqx x
Lx

1 −ix(kx +qx −kx )
e
dx
Lx

1
Lx

1
Lx δkx +qx ,kx = δkx +qx ,kx .
Lx
13

1/2

eikx x dx


* Tính tích phân J2 :
1/2

iqy y

J2 = ψny e

1
e−iky y eiqy y
Ly
1 −iy(ky +qy −ky )
dy

e
Ly

=

ψny

=

1/2

1
Ly

eiky y dy

1
Ly δky +qy ,ky = δky +qy ,ky .
Ly

=

* Tính tích phân J3 :
ψnz eiqz z ψnz

J3 =

Cn
n

dz

=
n

n

=
l=0 l =0

Cn
n

eiqz z

ξ
n

ξ

ξe− 2n L1n

n!
n!
Cn Cn
(n − l)! (n − l )! l!(l − 1)!l ! (l − 1)!

ξ

ξ

e− 2n e− 2n eiqz z

×

ξ
n

ξ

ξ e− 2n L1n

−

trong đó

l

ξ
n

−

n

l=0

ξ=

(1.34)

dz,

n! (−z)l
(n − l)! (l!)2

Ln (z) =

và

l

ξ
n

2m∗ az
2

.

Đặt
∞

F n, n ; qz

=
0

ξ
ξ

exp − −
+ iqz z
2n 2n

∞

exp −

=

m∗ az

n

0

×
=
×
=

−

2m∗ az

n

l

2

(−1)l+l
nl n l
2m∗ az

2

∞

−

0
l+l

2

l

H=

exp
0

dz

l

dz

iq 2

1
1
−
+ z∗
2n 2n
2m a

2m∗ az
2

dz

(−1)l+l
H,
nl n l

với
∞

l

ξ
−
n

m∗ az
−
+ iqz z
n 2

2m∗ az
−
n 2
exp

ξ
−
n

1
1
iq 2
− −
+ z∗
2n 2n
2m a
14

2m∗ az
2

2m∗ az
2

l+l

dz.


*Tính H

∞

H =

exp
0

1
1
iq 2
− −
+ z∗
2n 2n
2m a

2m∗ az

2

2m∗ az

∞

=

−

exp
0

dz

2

2

1
1
iq
−
+ z∗
2n 2n
2m a

l+l

2m∗ az
1
2n

2

+
1
2n

1
2n

−

+

1
2n

iqz 2
2m∗ a

−

2m∗ az

l+l

2

iqz 2
2m∗ a

l+l

dz.

Đặt
t =

1
1
iq 2

+
− z∗
2n 2n
2m a

2m∗ a

⇔ dt =

1
1
iqz 2
+
−
2n 2n
2m∗ a

2m∗ a

2

⇔ dz =

2

2

1

2m∗ a 1

2n

1
2n

+

−

iqz 2
2m∗ a

z
dz

dt,

suy ra
∞

tl+l

e−t

H =

1
2n

0

1
2n

+

2

=

−

2
l+l

iqz 2
2m∗ a

2m∗ a

1
2n

+

1
2n

−

1
2n

+

1
2n

−

iqz
2m∗ a ,

+

1
2n

−

iqz 2
2m∗ a

dt

e−t tl+l dt.

l+l +1

2

iqz
2m∗ a

0
∞ −t x
e t dt,
0

Theo định nghĩa hàm Gamma Γ(x + 1) =
2

1
2n

∞

1

2m∗ a

1

và đặt A (n, n ; qz ) =

ta được

F n, n ; qz

=

=

2
(−1)l+l
nl n l 2m∗ a

1
2n

+

1
2n

−

iqz 2
2m∗ a

l+l +1

2
Γ (l + l + 1)
(−1)l+l
.
∗
l
l
2m a [A (n, n ; qz )] l+l +1

nn

Ta có
Cn Cn =
n!
=
(n − l)!l!

Γ (l + l + 1)

n

m∗ a
2

1
,
n3/2 n 3/2
n!
=
(n − l)!l !

,

l

Γ(l) = (l − 1)!,

Γ l

15

(1.35)

n
l

= l − 1 !.

,


Thay vào (1.34) ta được
n

n

J3 =
l=0 l =0

×

n

n

l

l

Γ (l + l + 1)
Γ(l)Γ (l )

1
[A (n, n ; qz )] l+l +1

(−1)l+l
3

3

2nl+ 2 n l + 2

(1.36)

.

Do đó
n

n

J = δkx +qx ,kx × δky +qy ,ky ×

n

n

l

l

l=0 l =0

(−1)l+l

Γ (l + l + 1)
Γ(l)Γ (l )

×

l+ 32

2n

nl

+ 23

1
[A (n, n ; qz )] l+l +1

.

(1.37)
Vậy thừa số dạng của electron trong giếng lượng tử hyperbol là
G = |J3 | 2 ,

(1.38)

trong đó
n

n

J3 =

n

n

l

l

l=0 l =0

×

1.2.

(−1)l+l

Γ (l + l + 1)
Γ(l)Γ (l )

1
[A (n, n ; qz )] l+l +1

3

3
2nl+ 2 n l + 2

(1.39)

.

Tổng quan về phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng
thái
Hazime Mori đã đưa ra kỹ thuật toán tử chiếu đầu tiên khi nghiên cứu về

chuyển tải của hệ nhiều hạt, gọi là phép chiếu toán tử Mori, vào năm 1965. Qua
quá trình nghiên cứu, kỹ thuật chiếu toán tử Mori phát triển với nhiều cách
định nghĩa toán tử chiếu khác nhau tùy theo mục đích tính toán. Giả sử, ta cần
tìm toán tử của tenxơ độ dẫn được cho bởi
σij (ω) = −

e
Ω

(rj )µν

×
He× + Hp× + Hep
− ω Ji

µ,ν ,

(1.40)

µ,ν

trong đó e là điện tích của electron; Ω là thể tích của hệ; rj là thành phần thứ j
của vectơ vị trí của electron; Ji là thành phần thứ i của dòng điện trung bình;
µ, ν là các thành phần trạng thái; He , Hp , Hep là Hamiltonian của hệ electron
16


tự do, hệ phonon và Hamiltonian tương tác electron-phonon; toán tử K × bất kỳ
được định nghĩa bởi
e

iK× t

Hbk = e

iKt

Hbk e−

iKt

,

với Hbk là một toán tử không phụ thuộc thời gian bất kì.
Nhóm tác giả Suzuki và Ashikawa đã sử dụng định nghĩa hai toán tử chiếu
PA ≡
với A

µ,ν

A
Ji

µ,ν

Q ≡ 1-P,

Ji ,

(1.41)

µ,ν

= TR ρeq (H0 ) a+
µ aν ... , với TR là kí hiệu của phép lấy vết; trong

dấu ba chấm là một toán tử nào đó; ρeq là toán tử mật độ cân bằng của hệ; H0
là Hamiltonian của hệ electron-phonon; a+
µ , (aν ) là các toán tử sinh (hủy) của
electron ở trạng thái |µ và |ν .
Nếu toán tử dòng được khai triển Ji =

α,β

(ja )α,β a+
α aβ , trong đó ja =

jx + ijy thì (1.40) trở thành
σij (ω) =

i
ω

(ja )α,β (...)a+
α aβ

µ,ν .

(1.42)

α,β µ,ν

Khi đó, các toán tử chiếu có thể được định nghĩa theo cách khác
P ... ≡

... µ,ν +
aα aβ ,
+
aα aβ µ,ν

Q = 1 − P.

(1.43)

Như vậy, qua hai cách chọn toán tử chiếu, phương pháp chiếu được chọn
sao cho toán tử P luôn là phương của toán tử chứa trong biểu thức cần khai
triển, phương còn lại là phương vuông góc với phương chiếu của P , Q = 1 − P .
Do đó P tác dụng lên toán tử chọn làm phương chiếu A bằng chính toán tử A,
Q tác dụng lên toán tử A bằng không và tích hai toán tử chiếu bằng không. Ví

dụ như với các toán tử chiếu của Suzuki và Ashikawa thì
PJi ≡

Ji

µ,ν

Ji

µ,ν

Ji = Ji ,

QJi = (1 − P )Ji = 0,

PQ = QP = 0.

(1.44)

Qua ví dụ này, ta thấy phép chiếu thứ nhất chọn phương chiếu là toán tử
dòng điện, không phụ thuộc trạng thái, nên gọi là phép chiếu không phụ thuộc
trạng thái. Phép chiếu thứ hai phụ thuộc vào hai trạng thái |α và |β , nên gọi
là phép chiếu phụ thuộc trạng thái. Đây là hai kỹ thuật chiếu được sử dụng
nhiều nhất khi nghiên cứu độ dẫn. Ngoài ra còn có các kỹ thuật chiếu khác như
kỹ thuật chiếu cô lập, kỹ thuật chiếu mật độ cân bằng, ... tùy thuộc vào mục
đích tính toán. Trong luận văn này, tôi sẽ sử dụng phương pháp chiếu phụ thuộc
trạng thái để tìm biểu thức của tenxơ độ dẫn tuyến tính và phi tuyến.
17

Chương 2
Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn quang
và công suất hấp thụ
Chương này trình bày tính toán giải tích tường minh để đưa ra biểu
thức của tenxơ độ dẫn, công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong
giếng lượng tử thế hyperbol khi có mặt của trường laser.

2.1.

Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn quang khi có mặt
của trường laser

2.1.1.

Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn

Theo phương pháp thống kê lượng tử, giá trị trung bình của một đại lượng
bất kỳ được tính bởi vết của tích đại lượng này với toán tử mật độ A =
TR (ρ (t) A) , với A là đại lượng động lực bất kì, TR là kí hiệu vết, ρ (t) là toán tử

ma trận mật độ và ... là kí hiệu trung bình thống kê theo toán tử ma trận mật
độ.
Giả sử ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động với toán tử mật độ
cân bằng của hệ là ρeq . Khi có mặt trường ngoài phụ thuộc thời gian, toán tử
mật độ thay đổi theo thời gian. Lúc này
ρ (t) = ρeq + ρint (t) ,

(2.1)

với ρint (t) là toán tử mật độ tương tác.
Ta dùng phương trình Liouville cho toán tử mật độ để tìm biểu thức khai
triển của toán tử mật độ dòng J
i

∂ρ (t)
= [H (t) , ρ (t)] ≡ L (t) ρ (t) ,
∂t

(2.2)

trong đó L (t) là toán tử Liouville toàn phần được định nghĩa bởi L (t) X ≡
[H (t) , X], với X là toán tử bất kỳ, [A, B] là kí hiệu giao hoán tử của hai toán tử.

Toán tử Liouville có thể phân tích thành hai thành phần, L (t) = Leq + Lint (t),
ứng với các thành phần Heq , Hint (t) và Leq = Ld + Lv với các thành phần Hd , V .
Thay L (t) và ρ (t) vào phương trình (2.2), khai triển các số hạng với toán
tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian
i

∂ρeq
= [Heq , ρeq ] = 0,
∂t
18


ta được
i

∂ρint (t)

= [Heq , ρint (t)] + [Hint (t) , ρeq ] + [Hint (t) , ρint (t)] .
∂t

(2.3)

Giải phương trình trên ta được nghiệm (Phụ lục 1)
+∞

ρint (t) =
n=1

1
(i )n

+∞

+∞

dt1
0

+∞

dtn e−iLeq t1 / Lint (t − t1 )

dt2 ...
0

0

× e−iLeq t2 / Lint (t − t1 − t2 ) ...e−iLeq tn / Lint (t − t1 − ... − tn ) ρeq

(2.4)

≡ ρ(1) (t) + ρ(2) (t) + ... + ρ(n) (t) ,

trong đó ρ(i) (t), với i = 1, ..., n, là ma trận thứ i trong khai triển.
Từ khai triển của toán tử mật độ, ta tìm được giá trị trung bình theo tập
hợp thống kê của thành phần thứ i (i ≡ x, y, z) của toán tử mật độ dòng điện J
+∞

Ji

ens

+∞
(n)
Ji

=

TR Ji ρ(n) (t) ,

=

n=1

(2.5)

n=1

trong đó TR là phép lấy vết nhiều hạt, ... là ký hiệu trung bình thống kê. Toán
tử mật độ dòng của hệ nhiều electron Ji được viết dưới dạng khai triển theo các
toán tử dòng của một electron
(ji )γδ a+
γ aδ ,

Ji =

(2.6)

γ,δ

với (ji )γδ ≡ γ| ji |δ .
Thay (2.4), (2.6) vào (2.5), ta được biểu thức của các số hạng tuyến tính
và phi tuyến bậc 1, bậc 2... của mật độ dòng điện. Tổng các số hạng này cho ta
biểu thức khai triển trung bình thống kê thành phần thứ i của toán tử mật độ
dòng điện:
3

3

Ji

ens

σijk (ω1 , ω2 ) Ej (¯
ω1 ) Ek (¯
ω2 ) + ...

σij (ω)Ej (¯
ω) +

=
j=1

(2.7)

j,k=1

trong đó dấu "..." chỉ các số hạng bậc cao. Các đại lượng σij và σijk lần lượt là
tenxơ độ dẫn tuyến tính ứng với sóng tới có tần số ω và tenxơ độ dẫn phi tuyến
bậc một ứng với các sóng tới tần số ω1 và ω2 ,... Biểu thức của các đại lượng này
có dạng [6]
σij (ω) = −e lim

∆→0+

(rj )αβ (ji )γδ Aαβ (¯
ω ).
α,β γ,δ
γδ
(rj )αβ (rk )γδ (ji )ξ Uαβ
(¯
ω1 , ω
¯2) ,

σijk (ω1 , ω2 ) = e2 lim

∆→0+

αβ

γδ

ξ

19


+
trong đó Aαβ (¯
ω ) ≡ TR ρeq ( ω
¯ − Leq )−1 a+
γ aδ , aα aβ

,

γδ
Uαβ
(¯
ω1 , ω
¯ 2 ) = TR ρeq ( ω
¯ 2 − Leq ) −1
+
+
( ω
¯ 12 − Leq )−1 a+
ξ a , aγ aδ , aα aβ

×

,

với ω¯ 12 = ω¯ 1 + ω¯ 2 , ω¯ 1 ≡ ω1 − ib (b → 0) và ω¯ 2 ≡ ω2 − ic (c → 0).
2.1.2.

Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn tuyến tính

Độ dẫn tuyến tính được xác định bởi
σij (ω) = −e lim+
∆→0

(rj )αβ (ji )γδ Aαβ (¯
ω ),
α,β γ,δ

trong đó rj là ký hiệu thành phần thứ j của vectơ vị trí của electron, (X)αβ ≡
α| X |β là yếu tố ma trận đối với toán tử X bất kỳ.

Trước hết, ta xác định biểu thức của Aαβ (¯
ω)
+
¯ − Leq )−1 a+
Aαβ (¯
ω ) = TR ρeq ( ω
γ aδ , aα aβ

=

( ω
¯ − Leq )−1 a+
γ aδ

αβ

(2.8)

.

bằng cách tính vết của các toán tử sau khi thực hiện các giao hoán tử.
Ta định nghĩa các toán tử chiếu P0 và Q0
P0 X ≡

X

αβ
a+
γ aδ ,
+
aγ aδ αβ

Trong biểu thức trên, ký hiệu X

αβ

Q 0 ≡ 1 − P0 .

được định nghĩa X

(2.9)

αβ

≡ TR ρeq X, a+
α aβ

có giá trị phụ thuộc vào hai trạng thái |α và β . Biểu thức (2.9) mô tả hình
chiếu của toán tử X qua phép chiếu với các toán tử chiếu P0 , Q0 , với P0 X +
Q0 X = X . Toán tử X được phân tích thành hai thành phần vuông góc nhau,
X = (P0 X, Q0 X) . Phép chiếu này được gọi là phép chiếu phụ thuộc trạng thái

vì toán tử P0 tác dụng lên toán tử X bất kỳ sẽ chiếu toán tử đó lên “phương”
tích hai toán tử a+
γ aδ , với γ , δ là hai trạng thái khác nhau.
Khi X = a+
γ aδ , ta có
P 0 a+
γ aδ

≡

a+
γ aδ

αβ +
aγ aδ
+
aγ aδ αβ

= a+
γ aδ ,

+
Q0 a+
γ aδ ≡ (1 − P0 ) aγ aδ = 0.

Sử dụng đẳng thức (AB): (A − B)−1 = A−1 −A−1 B(A − B)−1 cho ( ω¯ − Leq )−1 ,
rồi cho ( ω¯ − Leq Q0 )−1 , đồng thời áp dụng tính chất P0 + Q0 = 1 cho toán tử
20

,


Liouville ở vế phải phương trình (2.8) với Leq = Leq P0 + Q0 , ta được
a+
γ aδ

Aαβ (¯
ω) =
Lv a+
γ aδ

với Ωαβ ≡

a+
γ aδ

ω
¯ − εγδ − Ωαβ − Γαβ

ω)
0 (¯

và Γαβ
ω) ≡
0 (¯

αβ

αβ

Leq Q0 ( ω
¯ −Leq Q0 )−1 Lv a+
γ aδ
a+
γ aδ

αβ

dạng vạch phổ

αβ

.

αβ

Trong các biểu thức này, Ωαβ = 0 do Lv a+
γ aδ
Γαβ

0

(2.10)

,

αβ

= 0 (Phụ lục 2) . Hàm

(¯
ω ) được tính trong phép gần đúng bậc hai của thế tán xạ có

dạng [3]
Γαβ
0

(¯
ω) ≈

TR ρeq Lv a+
¯ − Ld )−1 Lv a+
α aβ , ( ω
γ aδ
a+
γ aδ

(2.11)

.

αβ

Vậy biểu thức của Aαβ (¯
ω ) được viết lại như sau
a+
γ aδ

Aαβ (¯
ω) =

ω
¯

αβ
− εγδ − Γαβ
0

(2.12)

.
(¯
ω)

Tiếp theo ta tìm biểu thức tường minh cho các đại lượng a+
γ aδ
Γαβ
0

αβ

và

(¯
ω ). Sử dụng các biểu thức của trị trung bình thống kê sau

Trường hợp các toán tử sinh, hủy electron
TR ρeq a+
α aα

= fα δαα ,

TR ρeq aα a+
α

= TR ρeq

aα , a+
α

+

− a+
α aα

= (1 − fα ) δαα .

Trường hợp các toán tử sinh, hủy phonon
TR ρeq b+
q bq

= Nq δq,q ,

TR ρeq bq b+
q

= TR ρeq

+
bq , b+
q + bq b q

= (1 + Nq ) δq,q ,

trong đó fα = 1/ [1 + exp (Eα − EF ) /kB T ] là hàm phân bố Fermi - Dirac của khí
electron suy biến ở trạng thái α, Nq = 1/ [exp ( ωq /kB T ) − 1] là hàm phân bố
Bose - Einstein của phonon có năng lượng ωq .
Từ các kết quả tính toán ta có [6]
a+
γ aδ

αβ

+
= TR ρeq a+
γ aδ , aα aβ

+
= TR ρeq a+
γ aβ δδα − aα aδ δγβ

(2.13)

= fβ − fα δδα δγβ .

Thay (2.13), (2.12) vào biểu thức của σij (ω) rồi lấy tổng theo γ và δ , ta
được
σij (ω) = −e lim

∆→0+

(rj )αβ (ji )βα
α,β

21

fβ − fα
ω
¯ − εβα − Γαβ
ω)
0 (¯

.

(2.14)


Đây là biểu thức của độ dẫn tuyến tính xuất hiện trong bán dẫn khi có
mặt trường ngoài. Γαβ
ω ) trong (2.14) có dạng [3]

0 (¯
Γαβ
0

(¯
ω) ≈

¯ − Ld )−1 Lv a+
TR ρeq Lv a+
α aβ , ( ω
β aα

.

fβ − fα

(2.15)

Hàm dạng phổ trong (2.15) được tính cụ thể từ khai triển các số hạng và
tính trung bình thống kê theo toán tử mật độ. Thay các Hamiltonian tương ứng
với các toán tử Liouville vào, ta tính được những hệ thức toán tử sau:
bq + b+
−q

Lv a+
α aβ =
q

+
Cγ,α (q) a+

γ aβ − Cβ,γ (q) aα aγ ,

γ

+
Ld bq a+
β aα = εβα − ωq bq aβ aα ,
+
+ +
Ld b+
−q aβ aα = εβα + ω−q b−q aβ aα .

Thay các hệ thức trên vào biểu thức (2.15) rồi nhân hai vế với fβ − fα .
Sau đó, tác dụng toán tử Ld lên các toán tử, ta được
ω ) fβ − fα =
Γαβ
0 (¯

TR ρeq

b q + b+
−q

Cγ ,α q

a+
γ aβ

q,q γ,γ

−Cβ,γ q
−

+
Cγ,β (q) b+
Cγ,β (q) bq a+
−q aγ aα
γ aα
+
,
ω
¯ − εγα + ωq
ω
¯ − εγα − ωq

a+
α aγ

Cα,γ (q) bq a+
β aγ
ω
¯ − εβγ + ωq

−

+
Cα,γ (q) b+
−q aβ aγ

ω

¯ − εβγ − ωq

(2.16)

.

Khai triển các số hạng trong (2.16) (Phụ lục 3), ta nhận được biểu thức
hàm dạng phổ trong độ dẫn tuyến tính dưới dạng
Γαβ
ω ) fβ − fα =
0 (¯

Cβ,γ (q)
q

−

(1 + Nq ) fγ (1 − fα )
ω
¯ − εγα + ωq

Nq fα (1 − fη )
(1 + Nq ) fα (1 − fγ )
Nq fγ (1 − fα )
−
+
ω
¯ − εγα + ωq
ω
¯ − εγα − ωq

ω
¯ − εγα − ωq
|Cγ,α (q)|2

+
q

−

γ

2

γ

(1 + Nq ) fβ (1 − fγ )
ω
¯ − εβγ + ωq

(2.17)

Nq fγ 1 − fβ
(1 + Nq ) fγ 1 − fβ
Nq fβ (1 − fγ )
−
+
.
ω
¯ − εβγ + ωq
ω

¯ − εβγ − ωq
ω
¯ − εβγ − ωq

Biểu thức (2.17) là biểu thức tính hàm dạng phổ theo các hàm phân bố
electron, phonon. Dưới tác dụng của điện trường ngoài, các electron chuyển mức
kèm theo hấp thụ và phát xạ phonon. Mỗi số hạng trong 8 số hạng của (2.17)
cho thấy một quá trình tương tác giữa các hạt và sự dịch chuyển electron giữa
22