Một số đặc trưng mới của môđun và vành nửa hoàn chỉnh

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN THƯỞNG

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG MỚI CỦA
MÔĐUN VÀ VÀNH NỬA HOÀN CHỈNH
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được
công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Nguyễn Văn Thưởng


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu

đáo của Thầy giáo, GS.TS. Lê Văn Thuyết. Tôi xin gửi đến Thầy sự kính trọng
và lòng biết ơn sâu sắc.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, quý Thầy Cô giáo ở Khoa
Toán của Trường, Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Huế
cùng quý Thầy Cô giáo đã tham gia giảng dạy Cao học Khóa 24, những người
đã giúp tôi có được kiến thức khoa học cũng như những điều kiện để hoàn thành
công việc học tập, nghiên cứu của mình.
Xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, Trường THPT Phong
Điền đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học này.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè, đặc biệt là
các bạn học viên cao học Toán Khóa 24 - Trường Đại học Sư phạm Huế đã quan
tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Nguyễn Văn Thưởng


MỤC LỤC
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Bảng chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Môđun và vành Noether, Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp và dãy khớp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Môđun tự do, môđun xạ ảnh và môđun phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Môđun đơn và môđun nửa đơn, vành đơn và vành nửa đơn. . . . . . . . .

11

1.5. Tập lũy linh, tập T-lũy linh và tập linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6. Căn Jacobson và vành nửa nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.7. Lũy đẳng và sự phân tích của một vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.8. Môđun và vành địa phương, vành nửa địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. Một số đặc trưng mới của môđun và vành nửa hoàn chỉnh
23
2.1. Phủ xạ ảnh và phủ xạ ảnh tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2. Lũy đẳng nâng được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3. Vành nửa hoàn chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4. Vành hoàn chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.5. Môđun nửa hoàn chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

1


BẢNG CHỮ VIẾT TẮT

Ký hiệu

Nghĩa của ký hiệu

N

: tập hợp số tự nhiên

Z

: tập hợp số nguyên

Q

: tập hợp số hữu tỷ

R

: tập hợp số thực

R

: vành có đơn vị 1 = 0

MR

: môđun phải trên vành R

RM

: môđun trái trên vành R

A⊆B

: A là môđun con (tập con) của B

T ⊆max R

: T là iđêan cực đại của R

A⊆B

: A là môđun con (tập con) thực sự của B

A ≤e M

: A là môđun cốt yếu của môđun M

A

: A là môđun đối cốt yếu của môđun M

M

Rad(M )

: căn Jacobson của môđun M

J(R)

: căn Jacobson của vành R

Soc(M )

: đế của môđun M

A⊕B

: tổng trực tiếp của hai môđun A và B

A×B

: tích trực tiếp của hai môđun A và B

A∼
=B

: A đẳng cấu với B

Mn (R)

: vành các ma trận cỡ n × n trên vành R

EndR (M )

: vành các tự đồng cấu của R-môđun M

HomR (A, B)

: nhóm các đồng cấu giữa các R-môđun A và B

A(X)

: tổng trực tiếp của |X| bản sao của A

Imf

: ảnh của đồng cấu f

Kerf

: hạt nhân của đồng cấu f

2


LỜI MỞ ĐẦU
Vành nửa hoàn chỉnh và vành hoàn chỉnh một phía đều được khái quát từ
vành Artin một phía và chúng còn được khái quát từ vành nửa nguyên sơ. Như

chúng ta đã biết, vành R được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một
iđêan phải (hoặc trái) cực đại, vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu
vành thương R/J(R) là nửa đơn. Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu
R/J(R) là vành nửa đơn và J(R) là lũy linh. Vành R được gọi là vành hoàn
chỉnh phải (trái) nếu R là vành nửa địa phương và J(R) là T-lũy linh phải (trái,
tương ứng), vành R được gọi là vành nửa hoàn chỉnh nếu R là vành nửa địa
phương và các lũy đẳng nâng được modulo J(R).
Mặt khác, nếu J(R) là lũy linh thì nó là T-lũy linh cả hai phía. Hơn nữa, nếu
J(R) là T-lũy linh (một phía nào đó) thì mọi lũy đẳng nâng được modulo J(R).
Bởi vậy một vành hoàn chỉnh phải hoặc trái thì cũng là nửa hoàn chỉnh. Bên
cạnh đó hai lớp vành này đều là trường hợp đặc biệt của vành nửa địa phương
và đều chứa vành nửa nguyên sơ và tất nhiên chúng còn chứa tất cả các vành
Artin một phía. Tóm lại, ta có mối quan hệ giữa các lớp vành này được thể hiện
qua sơ đồ sau:
vành Artin (một phía)


vành nửa nguyên sơ


vành hoàn chỉnh phải (hoặc trái)


vành địa phương

+3

vành nửa hoàn chỉnh


vành nửa địa phương
Do đó, một việc rất cần thiết là hệ thống và làm rõ mối quan hệ giữa các lớp
3


vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh với các lớp vành Artin trái (phải), vành nửa
nguyên sơ, vành nửa địa phương và vành địa phương.
Ngoài ra, liên quan đến khái niệm phủ xạ ảnh ta có một số đặc trưng, đó là:
vành R là vành hoàn chỉnh phải khi và chỉ khi mọi R-môđun phải đều có phủ xạ
ảnh, hoặc là vành R là vành nửa hoàn chỉnh khi và chỉ khi mọi R-môđun phải
(trái) hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh,...
Hơn nữa, bài báo của Goro Azumaya về “Đặc trưng của môđun và vành nửa
hoàn chỉnh”, đã nêu lên đặc trưng liên quan đến khái niệm phủ xạ ảnh tổng
quát, đó là: lớp vành mà mọi R-môđun trái đơn đều có một phủ xạ ảnh tổng
quát và các kiến thức khác.
Với mong muốn tìm hiểu thêm về các lớp môđun và vành nửa hoàn chỉnh
liên quan đến hai khái niệm phủ xạ ảnh và phủ xạ ảnh tổng quát, được sự định
hướng của thầy hướng dẫn GS.TS. Lê Văn Thuyết, tôi đã chọn đề tài: “Một số
đặc trưng mới của môđun và vành nửa hoàn chỉnh” làm đề tài nghiên
cứu cho luận văn. Qua việc nghiên cứu này, chúng tôi tổng quan hầu hết các
đặc trưng của vành nửa hoàn chỉnh, trong đó có một số đặc trưng mới hơn so
với những đặc trưng cổ điển trước đây.

4


CHƯƠNG 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong toàn bộ luận văn này, nếu không nói gì thêm thì ta luôn xét R là
vành có đơn vị, khác không và tất cả các môđun xét đến trên vành R đều là

R-môđun trái Unita.
Chương 1 này dành cho việc trình bày các kiến thức cơ bản về môđun và
vành Noether, Artin; môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun phẳng, môđun đơn,
môđun nửa đơn, vành đơn, vành nửa đơn, vành nửa nguyên sơ, vành nửa địa
phương, tập lũy linh, tập T-lũy linh, tập linh, căn Jacobson và một số kiến thức
khác. Hầu hết các kiến thức trong chương này được trích từ các tài liệu tham
khảo [1], [2], [6] và [7].

1.1. Môđun và vành Noether, Artin
Định nghĩa 1.1.1. Một họ các tập con {Ci }i∈I của tập hợp C được gọi là thỏa
mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại
một dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt:
Ci1

Ci2

...

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(1) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆ Ci2 ⊆ ... trong họ đều dừng, nghĩa là tồn
tại n ∈ N sao cho
Cin = Cin+1 = Cin+2 = ...
(2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử cực đại.
Định nghĩa 1.1.2. Một họ các tập con {Ci }i∈I của tập hợp C được gọi là thỏa
mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại
một dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt:
Ci1

Ci2
5

...


Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(1) Mọi dây chuyền giảm Ci1 ⊇ Ci2 ⊇ ... trong họ đều dừng, nghĩa là tồn
tại n ∈ N sao cho
Cin = Cin+1 = Cin+2 = ...
(2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử cực tiểu.
Như vậy, chúng ta đã trình bày một số kiến thức cơ bản về điều kiện dây
chuyền tăng và điều kiện dây chuyền giảm. Bây giờ ta xét đến các môđun mà
họ gồm tất cả các môđun con của chúng thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng
hoặc thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm, các môđun đó được định nghĩa như
sau.
Định nghĩa 1.1.3. Cho vành R và M là R-môđun trái (hoặc R-môđun phải).
Ta gọi M là Noether (Artin) nếu họ gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn
ACC (DCC).
Định nghĩa 1.1.4. Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là
Noether khi được xem như R-môđun trái (phải).
Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong
các điều kiện sau thỏa mãn:
(1) Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng.
(2) Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử cực
đại.
Định nghĩa 1.1.5. Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin
khi được xem như R-môđun trái (phải).
Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong
các điều kiện sau thỏa mãn:
(1) Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng.

6


(2) Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử cực
tiểu.
Định nghĩa 1.1.6. Một R M được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại tập hữu hạn
{a1 , a2 , ..., an } ⊆ M sao cho M = Ra1 + Ra2 + ... + Ran .
Khi đó ta nói M có tập sinh hữu hạn.

1.2. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp và dãy khớp
Cho họ bất kỳ khác rỗng các môđun {Mi }i∈I trên cùng vành hệ tử R, ta
xác định trên tập tích Descartes

i∈I

Mi các phép toán như sau:

(xi ) + (xi ) = (xi + xi )
r (xi ) = (rxi )
với mọi (xi ) , (xi ) ∈

i∈I

Mi và với mọi r ∈ R.

Với các phép toán trên,

i∈I

Mi là một môđun và được gọi là tích trực

tiếp của họ {Mi }i∈I . Nó được ký hiệu là

i∈I

Mi hay đơn giản hơn là

Với mỗi k ∈ I, ta có cặp phép nhúng jk : Mk →

Mi .

Mi và phép chiếu

Mi → Mk được xác định bởi các công thức sau:

 x khi i = k
k
jk (xk ) = ([jk (xk )]i ) trong đó [jk (xk )]i =
với mọi
 0 khi i = k
xk ∈ Mk .

pk :

pk [(xi )] = xk , với mọi (xi ) ∈

Mi .

Các phép nhúng jk là đơn cấu và các phép chiếu pk là các toàn cấu.
Mối quan hệ giữa phép nhúng và phép chiếu được mô tả bởi công thức:


 p j =1
k k

Mk

 p j =0
k l

khi k = l

Hơn nữa, một phần tử bất kỳ x ∈

Mi là hoàn toàn xác định bởi bộ giá

trị chiếu của nó, cụ thể: x = (pi (x))i∈I .
Cho các họ môđun {Mi } , {Mi } có cùng tập chỉ số I và họ các đồng cấu
7


{fi : Mi → Mi }i∈I . Khi đó đồng cấu f :

Mi →

Mi được xác định bởi công

thức
f (xi )i∈I = (fi (xi ))i∈I , với mọi (xi ) ∈

Mi .

được gọi là tích trực tiếp của họ đồng cấu {fi }i∈I , và được ký hiệu là f =
Cho họ khác rỗng các môđun {Mi }i∈I . Xét tập con của

fi .

Mi gồm các bộ

x = (xi ) mà hầu hết các thành phần xi = 0, trừ ra một số hữu hạn. Đây là
Mi và được gọi là môđun tổng trực tiếp của họ {Mi }.

một môđun con của

Ký hiệu: ⊕ Mi hay đơn giản hơn là ⊕ Mi .
i∈I

Khi thu hẹp f =

fi trên tổng trực tiếp ⊕ Mi ta được một đồng cấu gọi

là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu {fi }i∈I , và ký hiệu là f = ⊕ fi .
Cho họ {Mi }i∈I các môđun con của môđun M thỏa:
(1)

Mi = M,

(2) Mi ∩

Mj = 0, ∀i ∈ I
j=i

Khi đó ta có M ∼
= ⊕Mi , và môđun M được gọi là tổng trực tiếp trong của
họ môđun {Mi } và mỗi môđun Mi được gọi là hạng tử trực tiếp của M .
Định nghĩa 1.2.1. Một dãy các R-môđun trái và các R-đồng cấu môđun (hữu
hạn hay vô hạn)
fn−1

fn

... → Mn−1 → Mn → Mn+1 → ...

(i)

được gọi là khớp, nếu tại mọi Mn (không kể hai đầu mút, nếu có) thỏa điều kiện
Im(fn−1 ) = Ker(fn ).
Định nghĩa 1.2.2. Một dãy các R-môđun trái và các R-đồng cấu môđun có
dạng
f

g

0→A→B→C→0

(ii)

được gọi là dãy khớp ngắn.
Nhận xét 1.2.3. Dãy (ii) là khớp khi và chỉ khi f là đơn cấu, g là toàn cấu, và
Im(f ) = Ker(g).
8

Định nghĩa 1.2.4. Cho dãy khớp dạng (i). Dãy khớp này được gọi là chẻ ra
tại Mn nếu Im(fn−1 ) là hạng tử trực tiếp của Mn , tức tồn tại môđun con N sao
cho Mn = Im(fn−1 ) ⊕ N.
Chú ý 1.2.5.
(1) Một dãy khớp gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian.
(2) Dãy khớp ngắn (ii) là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B.
Mệnh đề 1.2.6. Đối với mỗi dãy khớp ngắn
f

g

0→A→B→C→0
các phát biểu sau là tương đương:
(1) Dãy khớp là chẻ ra;
(2) Đồng cấu f có nghịch đảo trái;
(3) Đồng cấu g có nghịch đảo phải.
Hệ quả 1.2.7. Nếu dãy khớp
f

g

0→A→B→C→0
chẻ ra tại B thì ta có
B∼
= Imf ⊕ Img.

1.3. Môđun tự do, môđun xạ ảnh và môđun
phẳng

Bổ đề 1.3.1. Cho R F là R-môđun trái. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) F có cơ sở;
(2) F = ⊕ Ai và với mọi i ∈ I, R R ∼
= Ai .
i∈I

Định nghĩa 1.3.2. R-môđun trái F thỏa mãn một trong các điều kiện của Bổ
đề 1.3.1 được gọi là môđun tự do.
9


Mệnh đề 1.3.3. Với tập chỉ số I tùy ý, môđun ⊕ R được thành lập bằng cách
i∈I

tổng trực tiếp của I lần R là R-môđun phải (trái) tự do với cơ sở có lực lượng
bằng lực lượng của I.
Chú ý 1.3.4.
(1) ⊕ R là R-môđun tự do với cơ sở {ϕi (1)|i ∈ I, ϕi : R R → Ai } .
i∈I

i

n

(2) Khi I = {1, ..., n} thì ϕi (1) = (0 ... 0 1 0 ... 0) do vậy {ϕi (1)}i=1 được
gọi là cơ sở trực chuẩn (hoặc chính tắc) của Rn .
Định nghĩa 1.3.5. Cho R P là một môđun. Lúc đó P được gọi là xạ ảnh trong
trường hợp với mọi toàn cấu g : R B → R C và mỗi đồng cấu f : R P → R C, tồn
tại một đồng cấu h : R P → R B sao cho f = gh, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
P

h

B

~
g

/



f

C

/

0.

Mệnh đề 1.3.6. Cho P là R-môđun trái. Lúc đó các điều kiện sau là tương
đương:
(1) P là xạ ảnh;
(2) Mỗi toàn cấu g : B → P đều chẻ ra, nghĩa là Ker(g) là hạng tử trực
tiếp của môđun B.
(3) Mọi toàn cấu f : B → C thì ánh xạ
HomR (1P , f ) : HomR (P, B) → HomR (P, C)
là một toàn cấu.
Định lý 1.3.7. (Tiêu chuẩn Baer) Mỗi iđêan trái U ⊆ R R và mỗi đồng cấu
ρ : U → Q tồn tại đồng cấu τ : R R → Q sao cho ρ = τ ν, trong đó ν là phép
nhúng U vào R.

10


Hệ quả 1.3.8. Ta có tính chất sau:
Nếu P là xạ ảnh và P ∼
= C thì C là xạ ảnh.
Định lý 1.3.9. Cho P = ⊕ Pi . Lúc đó P xạ ảnh nếu và chỉ nếu Pi xạ ảnh với
i∈I

mọi i ∈ I.
Định lý 1.3.10. (Về mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun tự do). Một
môđun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun
tự do nào đó.
Định nghĩa 1.3.11. Một môđun MR được gọi là phẳng nếu cho mỗi đơn cấu
f : R A → R B, thì 1M ⊗ f : M ⊗R A → M ⊗R B cũng là đơn cấu (của các nhóm
aben).
Mệnh đề 1.3.12. Nếu M ∼
= M và M là phẳng thì M cũng là phẳng.
Định lý 1.3.13. Cho MR = ⊕ Mi . Khi đó M là phẳng nếu và chỉ nếu Mi là
i∈I

phẳng với mọi i ∈ I.
Định lý 1.3.14. Mỗi môđun xạ ảnh là phẳng.

1.4. Môđun đơn và môđun nửa đơn, vành đơn
và vành nửa đơn
Chú ý rằng mỗi không gian vectơ đều có cơ sở và lực lượng của cơ sở này
là một bất biến, ngoài ra khi cho một tập độc lập bao giờ cũng mở rộng đến một
cơ sở. Những tính chất đó có thể được diễn đạt lại trong lý thuyết môđun, đó

là những môđun sinh ra bởi các môđun đơn, môđun đơn được định nghĩa như
sau.
Định nghĩa 1.4.1. Một môđun khác không R T được gọi là đơn nếu nó không
có môđun con không tầm thường nào.

11


Nhận xét 1.4.2.
(1) Một môđun khác không R T là đơn nếu nó chỉ có hai môđun con là 0
và T.
(2) Môđun T khác không là đơn nếu và chỉ nếu mọi đồng cấu khác không
T → N (N → T ) trong Mod-R đều là đơn cấu (toàn cấu).
Mệnh đề 1.4.3. Một môđun trái T là đơn nếu và chỉ nếu T ∼
= R/M với M là
iđêan phải cực đại của R.
Định nghĩa 1.4.4.
(1) Cho (Tα )α∈A là một tập các môđun con đơn của M . Nếu M là tổng
trực tiếp các môđun này, nghĩa là:
M=

Tα

(iii)

A

thì (iii) được gọi là một phân tích nửa đơn của M .
(2) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn.
(3) Môđun M được gọi là không phân tích được nếu M khác 0 và M không

có hạng tử trực tiếp khác 0 và khác M.
Nhận xét 1.4.5. Ta thấy rằng môđun đơn là nửa đơn cho nên đối với mọi vành
R tồn tại môđun nửa đơn. Ngoài ra ta cũng thấy môđun 0 là nửa đơn vì
0=

Mi , trong đó Mi đơn.
i∈∅

nhưng môđun 0 không đơn (theo định nghĩa).
Định lý 1.4.6. Đối với một R-môđun trái M, các điều kiện sau là tương đương:
(1) M là nửa đơn;
(2) M là tổng của tập nào đó các môđun con đơn;
(3) M là tổng của tất cả các môđun đơn của nó;
(4) Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M ;
12


(5) Mọi dãy khớp ngắn các R-môđun trái
0→K→M →N →0
chẻ ra.
Hệ quả 1.4.7.
(1) Mỗi môđun con của môđun nửa đơn là nửa đơn;
(2) Ảnh toàn cấu của môđun nửa đơn là nửa đơn.
Như chúng ta đã biết, nếu R là một trường thì mọi R-môđun đều là
môđun nửa đơn (vì môđun trên một trường chính là không gian vectơ), nhưng
với vành R bất kỳ thì các R-môđun không nhất thiết là môđun nửa đơn. Định
lý sau đây cho các trường hợp vành R thỏa mãn mọi R-môđun đều là môđun
nửa đơn.
Định lý 1.4.8. Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(1) Mọi R-môđun phải là nửa đơn;

(2) Mọi R-môđun trái là nửa đơn;
(3) RR là nửa đơn;
(4) R R là nửa đơn;
(5) R = 0 hoặc R ∼
= Mn1 (D1 ) × ... × Mnk (Dk ), với ni là các số nguyên
dương và Di là các thể.
Định nghĩa 1.4.9. Vành R thỏa mãn các điều kiện tương đương trong Định lý
1.4.8 được gọi là vành nửa đơn.
Định lý 1.4.10. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho
(1) R nửa đơn;
(2) Mỗi R-môđun phải là nội xạ (xạ ảnh);
(3) Mỗi R-môđun trái là nội xạ (xạ ảnh).
13


Bổ đề 1.4.11. Giả sử mỗi R-môđun phải (trái) cyclic là nội xạ. Khi đó R thỏa
mãn điều kiện ACC trên các hạng tử trực tiếp.
Định lý 1.4.12. Vành R là nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi R-môđun phải (trái)
cyclic là nội xạ.
Định nghĩa 1.4.13. Một dãy các môđun con của M
0 = M0 ⊆ M1 ⊆ ... ⊆ Mn = M
được gọi là dãy hợp thành của môđun M, nếu các môđun thương Mi /Mi−1 ,
(i = 1, 2, ..., n) đều là môđun đơn. Khi đó, các môđun thương Mi /Mi−1 được gọi
là các thương của dãy và số n được gọi là chiều dài của dãy.
Quy ước, môđun tầm thường được xem là môđun có chiều dài dãy hợp
thành là 0 và không có thương hợp thành.
Định nghĩa 1.4.14. Dãy các môđun con của M
0 = L0 ⊆ L1 ⊆ ... ⊆ Lt = M
được gọi là có thể lắp đầy đến dãy hợp thành, nếu tồn tại dãy hợp thành:
0 = M0 ⊆ M1 ⊆ ... ⊆ Mn = M

sao cho mỗi Li , (i = 1, ..., t) đều có Mj (j ∈ {1, ..., n}) thỏa mãn Li = Mj .
Định lý 1.4.15. (Jordan-H¨older). Giả sử môđun M có dãy hợp thành. Khi đó
ta có:
(1) Bất kỳ dãy hữu hạn các môđun con của M đều có thể lắp đầy đến dãy
hợp thành.
(2) Chiều dài của hai dãy hợp thành bất kỳ của M là bằng nhau và có
một song ánh giữa các thương của hai dãy hợp thành đó sao cho chúng đẳng cấu
nhau từng đôi.

14


1.5. Tập lũy linh, tập T-lũy linh và tập linh
Định nghĩa 1.5.1. Một phần tử a của vành R được gọi là phần tử lũy linh nếu
có một số tự nhiên n sao cho an = 0.
Một tập con A của vành R được gọi là linh (hoặc nil) nếu mọi phần tử
của A đều lũy linh.
Một tập con A của vành R được gọi là T-lũy linh phải (T-lũy linh trái)
nếu mọi dãy a1 , a2 , ... của A đều tồn tại n ∈ N, n ≥ 1 để cho an an−1 ...a2 a1 = 0
(tương ứng, a1 a2 ...an−1 an = 0).
Một tập con A của vành R được gọi là lũy linh nếu An = 0 với một số tự
nhiên n > 0 nào đó.
Định nghĩa 1.5.2. Một iđêan I của vành R được gọi là iđêan lũy linh nếu I là
tập lũy linh.
Một iđêan I của vành R được gọi là iđêan linh nếu với mọi x ∈ I, x là lũy
linh.
Nhận xét 1.5.3. Như vậy, I là iđêan lũy linh nếu và chỉ nếu I là iđêan và
I n = 0.
Hơn nữa, nếu A là T-lũy linh phải (hoặc trái) thì A là linh và với mọi tập
con A của vành R ta có

lũy linh ⇒ T-lũy linh (phải hoặc trái) ⇒ linh.

1.6. Căn Jacobson và vành nửa nguyên sơ
Định nghĩa 1.6.1. Căn Jacobson của môđun R M được định nghĩa là giao của
tất cả các môđun con cực đại của M , và được ký hiệu là Rad(M ).
Nếu M không có môđun con cực đại thì ta quy ước Rad(M ) = M .
Định nghĩa 1.6.2. Đế của môđun R M được định nghĩa là tổng của tất cả các
môđun con đơn của M , và được ký hiệu là Soc(M ).
15


Nếu M không có môđun con đơn thì ta quy ước Soc(M ) = 0.
Định lý 1.6.3. Cho R M. Khi đó M là Artin và Rad(M ) = 0 nếu và chỉ nếu M
nửa đơn và hữu hạn sinh.
Hệ quả 1.6.4. Cho M là R-môđun trái:
(1) Nếu M là Artin thì M/Rad(M ) nửa đơn.
(2) Vành R nửa đơn nếu và chỉ nếu R Artin phải hay trái và J = 0.
Định lý 1.6.5. Cho R là một vành. Khi đó Rad(RR ) = Rad(R R) là một iđêan
hai phía của vành R và được ký hiệu là J(R).
Mệnh đề 1.6.6. Cho R là một vành. Khi đó
J(R) = {a ∈ R|1 − ar là khả nghịch phải ∀r ∈ R}
= {a ∈ R|1 − ar là khả nghịch trái ∀r ∈ R}
= {a ∈ R|1 − ar là khả nghịch ∀r ∈ R}.
Mệnh đề 1.6.7. J(R) là iđêan hai phía của vành R, lớn nhất (theo quan hệ
bao hàm) trong số các iđêan I thỏa mãn 1 − a là khả nghịch hai phía, với mọi
a ∈ I.
Định lý 1.6.8. (Jacobson, Azumaya). Nếu A là một môđun phải hữu hạn sinh
trên vành R và AJ(R) = A, thì A = 0.
Chú ý 1.6.9. Định lý 1.6.8 còn gọi là Bổ đề Nakayama.
Hệ quả 1.6.10. Căn Jacobson của vành R chứa tất cả các iđêan phải (trái)

linh của R.
Định lý 1.6.11. Cho R là một vành. Nếu R R là Artin thì J = J(R) lũy linh.
Hệ quả 1.6.12.
(1) Nếu R R là Artin thì J = J(R) là iđêan phải (trái, hai phía) lũy linh
lớn nhất của R.
16


(2) Nếu R giao hoán và Artin thì suy ra J trùng với tập các phần tử lũy
linh của R.
(3) Giả sử R R là Artin. Khi đó:
(a) với mọi MR ta có Rad(M ) = M J

M.

(b) với mọi R M ta có Rad(M ) = JM

M.

Định nghĩa 1.6.13. Vành R được gọi là nửa nguyên sơ nếu vành thương
R/J(R) là nửa đơn và J(R) là lũy linh.
Nhận xét 1.6.14. Nếu R là vành Artin thì R là vành nửa nguyên sơ.
Thật vậy, nếu R là vành Artin thì theo Hệ quả 1.6.4 vành thương R/J(R)
là nửa đơn và theo 1.6.11 thì J(R) là lũy linh. Vì vậy, R là vành nửa nguyên sơ.
Mệnh đề 1.6.15 ([6], Proposition 2.7, p.474). Cho R là một vành và J = J(R)
là căn Jacobson của R. Nếu P là R-môđun trái xạ ảnh khác không thì JP = P.
Định lý 1.6.16. Cho R là một vành và J = J(R) là căn Jacobson của R. Nếu
P là R-môđun trái xạ ảnh thì JP = Rad(P ).

1.7. Lũy đẳng và sự phân tích của một vành

Định nghĩa 1.7.1. Cho R là một vành. Một phần tử e ∈ R được gọi là lũy
đẳng nếu e2 = e.
Định nghĩa 1.7.2. Cho e1 , e2 là hai lũy đẳng của vành R. e1 , e2 được gọi là
trực giao nếu e1 .e2 = 0 = e2 .e1 .
Nếu lũy đẳng e khác không của vành R không phân tích được thành tổng
hai lũy đẳng khác không trực giao với nhau, thì e được gọi là lũy đẳng nguyên
thủy.
Tập {e1 , ..., en } các lũy đẳng của vành R được gọi là trực giao nếu ei .ej = 0
với mọi cặp i = j.

17


Tập {e1 , ..., en } các lũy đẳng nguyên thủy trực giao của vành R được gọi
là đầy đủ nếu e1 + ... + en = 1.
Nói cách khác, tập {e1 , ..., en } các lũy đẳng của vành R được gọi là các
lũy đẳng nguyên thủy trực giao đầy đủ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) Tập {e1 , ..., en } các lũy đẳng nguyên thủy của vành R

 1 khi i = j
(2) ei .ej = ∂ij ei trong đó ∂ij =
 0 khi i = j
(3) e1 + ... + en = 1.
Nhận xét 1.7.3. Như vậy, e là một lũy đẳng nguyên thủy của vành R nếu và
chỉ nếu eR là môđun không phân tích được, nói cách khác nếu và chỉ nếu vành
eRe chỉ có hai lũy đẳng là 0 và e.
Định nghĩa 1.7.4. Vành R được gọi là I-hữu hạn (I-finite) nếu R không chứa
một tập vô hạn các lũy đẳng trực giao.
Nhận xét 1.7.5. Nếu R là I-hữu hạn thì phần tử đơn vị 1 = e1 + e2 + ... + en
với ei , i = 1, ..., n là các lũy đẳng nguyên thủy trực giao.

Định nghĩa 1.7.6. Ta gọi vành R là nửa lũy đẳng (semipotent) nếu R thỏa
mãn một trong các điều kiện tương đương sau:
(1) Mọi iđêan phải không chứa trong J(R) chứa một lũy đẳng khác không;
(2) Mọi iđêan trái không chứa trong J(R) chứa một lũy đẳng khác không.
Bổ đề 1.7.7. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho:
(1) R là I-hữu hạn;
(2) R thỏa mãn điều kiện ACC trên các hạng tử trực tiếp của RR
(hoặc R R);
(3) R thỏa mãn điều kiện DCC trên các hạng tử trực tiếp của RR
(hoặc R R).
18


Mệnh đề 1.7.8. Một iđêan trái I của vành R là một hạng tử trực tiếp của R R
khi và chỉ khi tồn tại phần tử lũy đẳng e ∈ R sao cho I = Re.
Hơn nữa, nếu e ∈ R là một phần tử lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy và R(1 − e)
là phần phụ của Re, tức là:
RR

= Re ⊕ R(1 − e).

Nhận xét 1.7.9. Đối với iđêan phải I của vành R, ta có kết quả tương tự,
nghĩa là:
RR = eR ⊕ (1 − e)R.
Ngoài ra, ta luôn có sự phân tích sau
R = eRe ⊕ eR(1 − e) ⊕ (1 − e)Re ⊕ (1 − e)R(1 − e)
trong đó
eRe = {r ∈ R|er = r = re} .
Mệnh đề 1.7.10. Cho I1 , ..., In là các iđêan trái của vành R. Khi đó các điều
kiện sau là tương đương:

(1) R = I1 ⊕ ... ⊕ In ;
(2) Mỗi phần tử r ∈ R đều có một cách biểu diễn duy nhất
r = r1 + ... + rn
với ri ∈ Ii (i = 1, ..., n);
(3) Tồn tại duy nhất tập {e1 , ..., en } các lũy đẳng trực giao từng đôi của
R sao cho Ii = Rei (i = 1, ..., n).
Mệnh đề 1.7.11. Cho {e1 , ..., en } là tập các lũy đẳng trực giao từng đôi đầy đủ
của R. Khi đó ta có các sự phân tích sau
RR

= Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren

RR = e1 R ⊕ e2 R ⊕ ... ⊕ en R.
19


Mệnh đề 1.7.12. Cho I là iđêan thực sự của vành R. Nếu e ∈ R là phần tử
lũy đẳng của vành R, khi đó e + I cũng là phần tử lũy đẳng của vành thương
R/I và ta có
(R/I)(e + I) = (Re + I)/I ∼
= Re/Ie.
Đặc biệt, nếu {e1 , ..., en } là tập các lũy đẳng trực giao từng đôi của R thì
R/I ∼
= Re1 /Ie1 ⊕ ... ⊕ Ren /Ien .

1.8. Môđun và vành địa phương, vành nửa địa
phương
Định nghĩa 1.8.1. Môđun M được gọi là địa phương nếu nó có một môđun
con thực sự lớn nhất.
Một cách tương đương, một môđun là địa phương nếu và chỉ nếu nó là

cyclic, khác không và có duy nhất một môđun con thực sự cực đại.
Nhận xét 1.8.2. Chú ý rằng, môđun M được gọi là không phân tích được nếu
M khác 0 và M không có hạng tử trực tiếp khác 0 và khác M. Do đó, từ định
nghĩa trên ta nhận thấy môđun địa phương là không phân tích được.
Định lý 1.8.3. Đối với vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(1) R/J(R) là một thể;
(2) J(R) là iđêan phải (trái) cực đại;
(3) Đối với mỗi r ∈ R, thì r hoặc 1 − r khả nghịch bên phải (trái);
(4) Đối với mỗi r ∈ R, thì r hoặc 1 − r khả nghịch;
(5) Tập các phần tử không khả nghịch của R đóng kín đối với phép cộng;
(6) RR là một môđun địa phương.
Định nghĩa 1.8.4. Vành R được gọi là vành địa phương nếu R thỏa mãn các
điều kiện tương đương trong Định lý 1.8.3.
20


Hệ quả 1.8.5. Ảnh toàn cấu vành của một vành địa phương là một vành địa
phương.
Mệnh đề 1.8.6. Nếu e là một lũy đẳng của vành R thì eRe là một vành địa
phương nếu và chỉ nếu R-môđun phải eR là địa phương.
Định nghĩa 1.8.7. Vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu R/J(R) là
vành nửa đơn.
Nhận xét 1.8.8.
(1) Vành nửa đơn là vành nửa địa phương.
(2) Vành địa phương là vành nửa địa phương.
(3) Vành Artin là vành nửa địa phương.
Mệnh đề 1.8.9. Cho R là một vành nửa địa phương và M là một R-môđun
phải hữu hạn sinh. Khi đó:
(1) M/M J(R) là một R-môđun có độ dài hữu hạn.
(2) M là địa phương nếu và chỉ nếu M/M J(R) là đơn.

(3) M là tổng trực tiếp các môđun không phân tích được.
Mệnh đề 1.8.10. Cho e là phần tử lũy đẳng của vành R. Khi đó các điều kiện
sau là tương đương:
(1) eR là một R-môđun phải thật sự không phân tích được;
(2) Re là một R-môđun trái thật sự không phân tích được;
(3) eRe là vành địa phương.
Định nghĩa 1.8.11. Phần tử lũy đẳng e của vành R thỏa mãn các điều kiện
tương đương trong Mệnh đề 1.8.10 được gọi là phần tử lũy đẳng địa phương.
Mệnh đề 1.8.12. Cho J = J(R) là căn Jacobson của vành R, iđêan I ⊆ J
và cho T là một iđêan phải (hoặc trái) của R. Nếu với phần tử t ∈ T tồn tại
lũy đẳng f ∈ R sao cho f − t ∈ I thì có một phần tử lũy đẳng e ∈ T sao cho
e − t ∈ T.
21


Mệnh đề 1.8.13. Cho e2 = e ∈ R và J = J(R) là căn Jacobson của vành R.
Các điều kiện sau là tương đương:
(1) e là phần tử lũy đẳng địa phương trong R;
(2) eR có duy nhất một môđun con cực đại;
(3) eJ là môđun con cực đại duy nhất của eR;
(4) eR/eJ là môđun đơn.
Mệnh đề 1.8.14. Cho e, f là các phần tử lũy đẳng của vành R. Các phát biểu
sau là tương đương:
(1) eR ∼
= f R (đẳng cấu R-môđun phải);
(2) Re ∼
= Rf (đẳng cấu R-môđun trái);
(3) e = ab, f = ba với a, b nào đó trong R;
(4) e = ab, f = ba với a ∈ eRf, b ∈ f Re nào đó;
(5) eR = aR, Rf = Ra với a nào đó trong R.

Mệnh đề 1.8.15. Cho e, e là các phần tử lũy đẳng của vành R và cho môđun
R M.

Khi đó, tồn tại đồng cấu nhóm cộng f : HomR (eR, M ) → M e. Đặc biệt,

tồn tại đẳng cấu nhóm cộng HomR (eR, e R) ∼
= e Re.
Hệ quả 1.8.16. Với mỗi phần tử lũy đẳng e của vành R ta luôn có
EndR (eR) ∼
= eRe.

22