Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN MINH NHÂN

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN
CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT
PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số:

60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG ỨNG DỤNG
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC

Huế, năm 2017

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.

Huế, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Minh Nhân

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy giáo PGS. TS. Trương Minh Đức đã tận tình hướng dẫn
và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa
Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại
học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 24 cùng gia đình, bạn bè đã
động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Minh Nhân

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh mục các đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1. Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.3. Trạng thái kết hợp thêm photon . . . . . . . . . . .

17

1.2. Một số tính chất phi cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.1. Khái niệm trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.2. Nén tổng hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.3. Nén hiệu hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.4. Tính chất phản kết chùm . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.5. Vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . . .

24

1.3. Một số tiêu chuẩn đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.3.1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy . . . . . . . . .

25

1.3.2. Tiêu chuẩn đan rối Nha . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Chương 2. TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI
THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI
MODE KẾT HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1. Trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp 31
1

2.2. Nén tổng hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3. Nén hiệu hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Chương 3. SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
- SCHWARZ VÀ TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM
CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT
PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP . . . . . . .

41

3.1. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . . . . .

41

3.2. Tính chất phản kết chùm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Chương 4. TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI THÊM
HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE
KẾT HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.1. Nghiên cứu tính đan rối Hillery - Zubairy . . . . . . . . .

56

4.2. Nghiên cứu tính đan rối Nha . . . . . . . . . . . . . . . .

57

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

2


DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ

Tên đồ thị

Trang

Đồ thị 2.1 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số S vào biên độ
π

kết hợp rb với ϕb = . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Đồ thị 2.2 Khảo sát nén tổng của trạng thái thêm hai và bớt

34

một photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh)
và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
(đường màu đỏ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Đồ thị 2.3 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số D vào biên độ
π
kết hợp rb với ϕb = . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Đồ thị 2.4 Khảo sát tham số nén hiệu D của trạng thái thêm

38

hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp (đường
màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon (đường màu đỏ). . . . . . . . . . . . . . . .

38

Đồ thị 2.5 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số D vào biên độ
kết hợp rb và ϕb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Đồ thị 3.1 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số I vào biên độ
π
kết hợp rb và ϕb = . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Đồ thị 3.2 Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

43

của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp (đường màu xanh) và trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon (đường màu xanh). .

43

Đồ thị 3.3 Khảo sát sự phụ thuộc của R(2, 2) của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp
(đường màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon (đường màu đỏ). . . . . . . . . . .

3

46


Đồ thị 3.4 Khảo sát sự phụ thuộc của R(3, 2) của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp
(đường màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon (đường màu đỏ). . . . . . . . . . .

47

Đồ thị 3.5 Khảo sát sự phụ thuộc của R(3, 3) của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp
(đường màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon (đường màu đỏ). . . . . . . . . . .

48

Đồ thị 3.6 Khảo sát sự phụ thuộc của R(4, 2) của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp
(đường màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon (đường màu đỏ). . . . . . . . . . .

49

Đồ thị 3.7 Khảo sát sự phụ thuộc của R(4, 3) của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp
(đường màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon (đường màu đỏ). . . . . . . . . . .

50

Đồ thị 3.8 Khảo sát sự phụ thuộc của R(4, 4) của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp
(đường màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon (đường màu đỏ). . . . . . . . . . .

51

Đồ thị 3.9 Khảo sát sự phụ thuộc của R(5, 2) của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp
(đường màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon (đường màu đỏ). . . . . . . . . . .

52

Đồ thị 3.10 Khảo sát sự phụ thuộc của R(5, 4) của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp
(đường màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon (đường màu đỏ). . . . . . . . . . .
4

53


Đồ thị 3.11 Khảo sát sự phụ thuộc của R(2, 2), R(3, 3), R(4, 4))
π
vào biên độ rb với ra = rb2 , ϕa = 2ϕb và ϕb = . Các
2
tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu
đỏ, màu xanh lá cây và màu xanh da trời. . . . . .

53

Đồ thị 3.12 Khảo sát sự phụ thuộc của R(3, 2), R(4, 3), R(5, 4))
π
vào biên độ rb với ra = rb2 , ϕa = 2ϕb và ϕb = . Các
2
tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu

đỏ, màu xanh lá cây và màu xanh da trời. . . . . .

54

Đồ thị 3.13 Khảo sát sự phụ thuộc của R(3, 2), R(4, 2), R(5, 2))
π
vào biên độ rb với ra = rb2 , ϕa = 2ϕb và ϕb = . Các
2
tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu
đỏ, màu xanh lá cây và màu xanh da trời. . . . . .

55

Đồ thị 4.1 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số RH vào biên
độ kết hợp rb trong các trường hợp ra = rb , ra =
1.5rb , ra = 2rb . Các tham số được chọn theo thứ tự
màu đỏ, màu xanh lá cây và màu xanh da trời . . .

57

Đồ thị 4.2 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số RN vào biên
độ kết hợp rb trong các trường hợp ra = rb , ra =
1.5rb , ra = 2rb . Các tham số được chọn theo thứ tự
màu đỏ, màu xanh lá cây và màu xanh da trời . . .

5

60

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển có ý nghĩa rất quan trọng
trong việc tăng độ chính xác của các phép đo và làm cơ sở để nghiên
cứu và áp dụng vào các lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang lượng
tử, thông tin lượng tử và máy tính lượng tử. Do đó, các tính chất phi cổ
điển của các trạng thái cho trước rất được các nhà khoa học quan tâm.
Các trạng thái phi cổ điển này xuất phát điểm từ trạng thái kết hợp,
đây là trạng thái đã được Glauber [9] và Sudarshan [23] đưa ra vào năm
1963 khi nghiên cứu tính chất chùm laser. Đây là trạng thái ứng với giá
trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg. Trạng
thái này có thể được xem là “trạng thái biên” của tập hợp các trạng thái
cổ điển. Điều đó làm cho các nhà khoa học nghĩ ngay đến sự tồn tại của
một lớp các trạng thái kết hợp khác đó là trạng thái kết hợp phi cổ điển.
Từ đó các trạng thái phi cổ điển được đề xuất và các nhà vật lý thực
nghiệm cũng như lý thuyết quan tâm nghiên cứu.
Sau này, khái niệm về trạng thái nén được đưa ra bởi Stoler vào
năm 1970 [22] và đã được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987. Đây
là trạng thái mở đầu cho lớp các trạng thái phi cổ điển. Tạo ra các trạng
thái phi cổ điển của trường điện từ được các nhà khoa học quan tâm
và nghiên cứu, điển hình là trạng thái nén, trạng thái kết hợp chẵn, lẻ,
đây là các trạng thái phi cổ điển vì chúng tuân theo các tính chất phi
cổ điển.
Vào năm 1991, Agarwal và Tara đã đề xuất ý tưởng về trạng thái
kết hợp thêm photon [6] và cũng chứng minh được nó là một trạng thái
phi cổ điển, nó thể hiện tính nén, tính phản kết chùm (antibunching)
6


và tuân theo thống kê sub-Poisson. Thêm và bớt photon vào một trạng

thái vật lý là một phương pháp quan trọng để tạo ra một trạng thái phi
cổ điển mới, nghiên cứu các tính chất này đã mở ra các ứng dụng có ích
trong cuộc sống, trong khoa học kỹ thuật. Áp dụng các trạng thái mới
này vào thực nghiệm giúp chúng ta tạo ra các thiết bị quang học, điện
tử có tính ứng dụng cao. Khảo sát tính chất đan rối và viễn tải lượng tử
của trạng thái hai mode thêm hai photon đã được tác giả Nguyễn Thị
Thùy Dung [1] nghiên cứu, và khảo sát các tính chất phi cổ điển của
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon đã được tác giả Nguyễn
Thanh Pháp [3] nghiên cứu. Tuy nhiên, việc nghiên cứu các tính chất
phi cổ điển của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên trạng thái
hai mode kết hợp vẫn chưa được đề cập đến. Từ những lý do trên, tôi
chọn đề tài "Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp" để làm luận
văn thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu của luận văn
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất phi cổ điển bậc
thấp và bậc cao đó là nén tổng và nén hiệu hai mode, tính chất phản
kết chùm hai mode, tính đan rối và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy
- Schwarz của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết
hợp.
3. Nội dung nghiên cứu
Trên cơ sở mục tiêu đề ra của đề tài chúng tôi đưa ra một số nhiệmvụ
cụ thể như sau:
+ Hệ thống trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp thêm hai và bớt
một photonvà các tính chất phi cổ điển;
7


+ Nghiên cứu tính chất nén tổng và nén hiệu hai mode của trạng
thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp;

+ Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và tính
chất phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai và bớt
một photon;
+ Nghiên cứu tính đan rối của trạng thái thêm hai và bớt một
photon lên hai mode kết hợp.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:
+ Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu;
+ Vận dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử để tính toán
đưa ra các biểu thức cụ thể;
+ Sử dụng các phần mềm toán học liên quan để xử lý và vẽ đồ thị.
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài thuộc lĩnh vực quang lượng tử và chỉ khảo sát các tính chất
phi cổ điển của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết
hợp.
6. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 phần.
- Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu,
nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và
bố cục của luận văn.
- Phần nội dung: gồm bốn chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết.

8


Chương 2: Tính chất nén của trạng thái thêm hai và bớt một photon
lên hai mode kết hợp.
Chương 3: Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và tính chất
phản kết chùm của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode

kết hợp .
Chương 4: Tính đan rối của trạng thái thêm hai và bớt một photon
lên hai mode kết hợp.
- Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được, đề xuất hướng
mở rộng nghiên cứu của đề tài.

9


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này, chúng tôi trình bày tổng quan về các kiến
thức làm cơ sở lý thuyết như trạng thái kết hợp, các tính chất
phi cổ điển như nén tổng – nén hiệu, tính chất phản kết chùm
hai mode và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Shwarz. Ngoài
ra một số tiêu chuẩn đan rối cũng như trạng thái thêm photon
đã được chúng tôi trình bày khá chi tiết.

1.1.

Trạng thái kết hợp

1.1.1.

Khái niệm

Trạng thái kết hợp được đưa ra vào năm 1963 bởi Glauber [9] và
SudarShan [23]. Đây là trạng thái ứng với thăng giáng lượng tử nhỏ
nhất được suy ra bởi hệ thức bất định Heisenberg và có thể được đưa

ˆ (α) lên vector trạng thái
ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển D
chân không |0 của trường điện từ [2]
ˆ (α) |0 ,
|α = D

(1.1)

trong đó toán tử dịch chuyển được định nghĩa
ˆ (α) = exp(αˆ
D
a† − α ∗ a
ˆ),

(1.2)

với độ dịch chuyển α = r exp(iϕ) là một số phức, a
ˆ† và a
ˆ lần lượt là toán
ˆ và B
ˆ không
tử sinh, hủy photon của trường điện từ. Xét hai toán tử A
ˆ B
ˆ = 0, sử dụng đồng nhất thức Baker –
giao hoán với nhau hay A,
10


ˆ và B,
ˆ ta có

Hausdorff cho hai toán tử A
ˆ B
ˆ
ˆ +B
ˆ = exp A
ˆ exp B
ˆ exp − 1 A,
exp A
2

.

(1.3)

Khi này trạng thái kết hợp |α được khai triển theo trạng thái Fock |n
có dạng

∞

1
ˆ
|α = D(α)
|0 = exp − |α|2
2

n=0

αn
√ |n ,
n!

(1.4)

n

trong đó |n =

a
ˆ† )
(√

|0 là vector trạng thái chứa n hạt boson hay còn

n!

gọi là các trạng thái Fock. Thật vậy, ta có
ˆ (α) |0 = exp(αˆ
|α = D
a† − α ∗ a
ˆ) |0
(1.5)

1
= exp αˆ
a exp (−α a
ˆ) exp − αˆ
a† , −α∗ a
ˆ
2
†

∗

|0 ,

mà
αˆ
a† , −α∗ a
ˆ = αˆ
a† (−α∗ a
ˆ ) + α∗ a
ˆ αˆ
a†
2

= |α|

†

†

2

†

a
ˆa
ˆ −a
ˆa
ˆ = |α| a

ˆ, a
ˆ

(1.6)

2

= |α| ,

Thay (1.6) vào (1.5), ta được
ˆ (α) |0 = exp(αˆ
|α = D
a† − α ∗ a
ˆ) |0
(1.7)

1
= exp αˆ
a exp (−α a
ˆ) exp − |α|2 |0 .
2
†

∗

Áp dụng khai triển Taylor cho hai thừa số exp αˆ
a† và exp (−α∗ a
ˆ), ta
được
exp αˆ

a†

αˆ
a†
αˆ
a†
=1+
+
1!
2!

2

αˆ
a†
+
3!

3

∞

+ ... =
n=0

ˆ) (−α∗ a
(−α∗ a
ˆ)2 (−α∗ a
ˆ)3
exp (−α a

ˆ) = 1 +
+
+
+ ... =
1!
2!
3!

αˆ
a†
n!
∞

∗

n=0

n

,

(1.8)

(−α∗ a
ˆ)n
.
n!
(1.9)

11

Trong đó
∞

n=0

(−α∗ a
ˆ) (−α∗ a
ˆ)2 (−α∗ a
ˆ)3
1+
+
+
+ ... |0 = |0 .
1!
2!
3!
(1.10)

(−α∗ a
ˆ)n
|0 =
n!

Phương trình (1.7) trở thành
1
|α = exp αˆ
a† exp − |α|2 |0 .
2

(1.11)

Thay (1.7) vào (1.11), ta được
1
ˆ
|α = D(α)
|0 = exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2

∞

n=0
∞

n=0
∞

n=0

n

∞

n=0
† n

αˆ
a†
n!

α a
ˆ
|0
n!
√
αn n!
|n
n!

n

|0

(1.12)

αn
√ |n .
n!

Trạng thái kết hợp |α là hàm riêng hàm riêng của toán tử hủy photon

ứng với trị riêng α, nghĩa là
a
ˆ |α = α |α .

(1.13)

Lấy liên hiệp Hermite của (1.13), ta được
(ˆ
a |α )∗ = α| a
ˆ† = α| α∗ .
1.1.2.

(1.14)

Tính chất

Trạng thái kết hợp có những tính chất quan trọng sau
Tính chất 1: Trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định nhỏ
nhất được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg.
Thật vậy, ta xét hai toán tử tọa độ và xung lượng được định nghĩa như
12


sau
1 †
i †
a
ˆ +a
ˆ ,
pˆ =

a
ˆ −a
ˆ .
2
2
Hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ và xung lượng
xˆ =

i
a
ˆ† + a
ˆ , a
ˆ† − a
ˆ
4
i
=
a
ˆ† , a
ˆ† − a
ˆ† , a
ˆ +
4
i
= [0 − (−1) + 1 − 0] =
4

(1.15)

[ˆ

x, pˆ] =

a
ˆ, a
ˆ† − [ˆ
a, a
ˆ]

(1.16)

i
.
2

Từ (1.16), ta có hệ thức bất định cho hai toán tử tọa độ và xung lượng
là

(1/2)2
1
(∆x) (∆p) ≥
= .
4
16
Ngoài ra, ta có phương sai của xˆ là
2

2

(1.17)

α| (∆ˆ
x)2 |α = α| xˆ2 |α − ( α| xˆ |α )2
1
1
2
2
= α| a
ˆ† + a
ˆ |α −
α| a
ˆ† + a
ˆ |α
4
4
1
1
= α| a
ˆ†2 + a
ˆ2 + a
ˆ† a
ˆ+a
ˆa
ˆ† |α − (α∗ + α)2
4
4
1 2
1
ˆ†2 + a
ˆ2 + 2ˆ
a† a

ˆ + 1 |α −
α + α∗2 + 2|α|2
= α| a
4
4
1 ∗2
1
=
α + α2 + 2|α|2 + 1 −
α2 + α∗2 + 2|α|2
4
4
1
= .
4
(1.18)
Tương tự ta tính phương sai của pˆ
α| (∆ˆ
p)2 |α = α| pˆ2 |α − ( α| pˆ |α )2
1
1
2
2
= − α| a
ˆ† − a
ˆ |α +
α| a
ˆ† − a
ˆ |α
4

4
1
1
= − α| a
ˆ†2 + a
ˆ2 − a
ˆ† a
ˆ−a
ˆa
ˆ† |α + (α∗ − α)2
4
4
1
1 2
= − α| a
ˆ†2 + a
ˆ2 − 2ˆ
a† a
ˆ − 1 |α +
α + α∗2 − 2|α|2
4
4
1 ∗2
1
α2 + α∗2 − 2|α|2
= − α + α2 − 2|α|2 − 1 +
4
4
13

1
= .
4

(1.19)

Từ (1.18) và (1.19), ta có
α| (∆ˆ
x)2 |α α| (∆ˆ
p)2 |α =

1
.
16

(1.20)

So sánh (1.20) với (1.17), ta thấy (1.20) chính là giá trị nhỏ nhất ứng
với hệ thức bất định Heisenberg và biểu thức (1.20) được gọi là giới hạn
lượng tử chuẩn (standard quantum limit). Đây là tính chất quan trọng
nhất của trạng thái kết hợp. Như vậy, trong trạng thái kết hợp, ta có
thể đo được đồng thời xˆ và pˆ với sai số nhỏ nhất tương ứng với giới hạn
lượng tử chuẩn.
Tính chất 2: Số hạt trung bình của trạng thái kết hợp bằng bình
phương biên độ kết hợp.
Thật vậy, với toán tử số hạt được định nghĩa
n
ˆ=a
ˆ† a

ˆ.

(1.21)

Thì số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |α là
n
ˆ = α|ˆ
n|α = α|ˆ
a† a
ˆ|α = |α|2 .

(1.22)

Ta tính phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |α
ˆ 2 |α − α| n
ˆ |α
V n = (∆n)2 = α| n

2

= α| a
ˆ† a
ˆa
ˆ† a
ˆ |α − α| a
ˆ† a
ˆ|α

= α| a
ˆ† a

ˆ† a
ˆ+1 a
ˆ |α − |α|2

2

2

= α| a
ˆ†2 a
ˆ2 + a
ˆ† a
ˆ |α − |α|4
= |α|4 + |α|2 − |α|4 = |α|2 .
(1.23)
Từ phương trình (1.22) và (1.23), ta có
n
ˆ = (∆n)2 .
14

(1.24)


Tính chất 3: Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp |α là một tập
hợp đủ.
1
π

|α α|d2 α = 1.

(1.25)

Thật vậy, ta có
∞
2

|α α|d α =

−|α|2

e

n=0

αn
√ |n
n!

∞

(α∗ )m
√
m|d2 α,
m!
m=0

(1.26)

trong đó, ta chọn α = reiϕ , sử dụng hệ tọa độ cực, ta có d2 α = rdrdϕ,
do đó

∞
2

|α α|d α =

2π

rdr
0

∞

dϕe

−r2

0

rn+m ei(n−m)ϕ
√
|n m|,
n!m!
n,m=0

(1.27)

trong đó
2π

ei(n−m)ϕ dϕ = 2πδnm .

(1.28)

0

Phương trình (1.27) trở thành
∞
2

|α α| d α =

∞

rdr

e

−r2 2πr

n!

n=0

0
∞

=
n=0

2n

|n n|
(1.29)

∞

2π
|n n|
n!

2

e−r r2n+1 dr.
0

Trong phương trình (1.29), ta sử dụng tích phân Poisson, ta có
∞

n!
.
2

(1.30)

|α α| d2 α = 1.

(1.31)

2

e−r r2n+1 dr =
0

Thay (1.30) vào (1.29), ta được
1
π

Tính chất 4:Các trạng thái kết hợp là chuẩn hóa nhưng chúng lại
không trực giao với nhau.
15


Thật vậy, các trạng thái kết hợp là chuẩn hóa
1
1
α| α = exp − |α|2 exp − |α|2
2
2
∞

2

= exp −|α|

∞

∞

αm (α∗ )n
√

√
n|m
m!
n!
n=0 m=0

∞

αm (α∗ )n
√
√ δnm = exp −|α|2
m! n!
n=0 m=0

∞

n=0

(α∗ α)n
n!

= exp −|α|2 exp |α|2 = 1.
(1.32)
Tuy nhiên các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau
1
1
α| β = exp − |α|2 exp − |β|2
2
2
1

1
= exp − |α|2 exp − |β|2
2
2
1
1
= exp − |α|2 exp − |β|2
2
2

∞

∞

∞

∞

β m (α∗ )n
√
√
n|m
m!
n!
n=0 m=0
β m (α∗ )n
√
√ δnm
m!
n!

n=0 m=0
∞

n=0

(α∗ β)n
n!

1
1
= exp − |α|2 exp − |β|2 exp (α∗ β)
2
2
1
1
= exp − |α|2 − |β|2 + α∗ β .
2
2
(1.33)
Hệ quả của sự không trực giao là bất kỳ một trạng thái kết hợp nào
cũng được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác [4], do đó
|α =

1
π

|α α | α d2 α =

1
π

1
1 2
d2 α |α exp − |α|2 + α α∗ − |α | .
2
2
(1.34)

Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo
thành hệ quá đủ (overcomplete) [4].

16


1.1.3.

Trạng thái kết hợp thêm photon

Trạng thái kết hợp thêm photon đã được Sivakumar [21] định nghĩa
là

a
ˆ†m |α

|α, m =

.

α| a
ˆm a

ˆ†m |α

(1.35)

+ Khi m = 1, ta có trạng thái kết hợp thêm một photon
|α, 1 =

a
ˆ† |α
α| a
ˆa
ˆ† |α

a
ˆ† |α

=

α| a
ˆ† a
ˆ + 1 |α

=

a
ˆ† |α

.

(1.36)

2

|α| + 1

+ Khi m = 2, ta có trạng thái kết hợp thêm hai photon
|α, 2 =
=

a
ˆ†2 |α
α| a
ˆ2 a
ˆ†2 |α
a
ˆ†2 |α

a
ˆ†2 |α

=

α| a
ˆ†2 a
ˆ2 + 4ˆ
a† a
ˆ + 2 |α
(1.37)
.

|α|4 + 4|α|2 + 2

1.2.

Một số tính chất phi cổ điển

1.2.1.

Khái niệm trạng thái nén

Khái niệm về trạng thái nén lần đầu tiên được đưa ra bởi Stoler [22]
vào năm 1970 và được Hollenhorst [14] đặt tên vào năm 1979 và được
ˆ lần lượt
thực nghiệm vào năm 1987. Xét hai toán tử Hermite Aˆ và B
là các toán tử biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A và B. Theo nguyên
lý bất định Heisenberg, chúng ta không thể đo được đồng thời hai đại
lượng vật lý này, nếu đo được chính xác đại lượng A thì độ bất định
của đại lượng B sẽ là vô cùng. Theo cơ học lượng tử, nếu hai đại lượng
này không đo được đồng thời thì hai toán tử của chúng cũng không giao
hoán với nhau, nghĩa là
ˆ B
ˆ =A
ˆB
ˆ −B
ˆA
ˆ = C,
ˆ
A,

17

(1.38)


trong đó Cˆ là toán tử khác không. Khi này, độ bất định của hai đại
lượng A và B được thể hiện qua hệ thức bất định Heisenberg
ˆ
∆A
trong đó

ˆ
∆A

2

ˆ
∆B

ˆ
C

2

≥

4

2

,

(1.39)

2

là đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của

ˆ của đại lượng
giá trị đo được A quanh giá trị trung bình lượng tử A
A và được định nghĩa như sau
ˆ
∆A

2

2

ˆ− A
ˆ
A

=

2

ˆ2 − A
ˆ .
= A

(1.40)

ˆ = xˆ, B=ˆ
ˆ p, như đã tính ở mục 1.1.2, ta được
Xét với trường hợp cụ thể A
kết quả sau
(∆ˆ
x)2

(∆ˆ
p)2 =

1
.
16

(1.41)

Phương trình (1.41) cho thấy thăng giáng trong trạng thái kết hợp luôn
là nhỏ nhất. Vì vậy các trạng thái kết hợp được gọi là các trạng thái có
độ bất định tối thiểu. Mặt khác, hệ thức bất định Heisenberg chỉ áp đặt
2
2
ˆ
ˆ
∆B
. Hệ thức
∆A
sự bất định lên tích của các phương sai
Heisenberg hoàn toàn không bị vi phạm nếu tích của hai thăng giáng
luôn lớn hơn hoặc bằng giới hạn lượng tử chuẩn, nghĩa là một trong hai

thăng giáng là rất nhỏ và thăng giáng còn lại trở nên lớn hơn rất nhiều.
Từ đó ta định nghĩa một trạng thái được gọi là nén với đại lượng A nếu
thỏa mãn
ˆ
∆A

ˆ
C

2

<

4

2

ˆ
C
=

2

,

(1.42)

ˆ
C
trong đó

là độ bất định ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Từ đó,
2
nếumột trạng thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng
tử chuẩn thì được gọi là trạng thái nén. Bên cạnh đó, nếu một trạng thái
18


nén có tích của

ˆ
∆A

2

ˆ
∆B

2

bằng độ bất định tối thiểu thì nó

được gọi là trạng thái nén lý tưởng.
1.2.2.

Nén tổng hai mode

Sau khi được đưa ra lần đầu vào năm 1970, trạng thái nén đã được
các nhà vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là các kiểu nén
bậc cao. Trạng thái nén đa mode bậc cao đã được Hillery [12] đưa ra vào

năm 1989. Xét hai photon có tần số là ωa và ωb (ωa = ωb ) và hai photon
này kết hợp lại thành một photon có tần số ωc = ωa + ωb . Ta định nghĩa
toán tử nén tổng như sau
1 iϕ †ˆ†
e a
ˆ b + e−iϕ a
ˆˆb ,
Vˆϕ =
2

(1.43)

trong đó a
ˆ, a
ˆ† là toán tử sinh, hủy photon của mode thứ nhất, ˆb, ˆb† là
toán tử sinh hủy photon của mode thứ hai. Từ phương trình (1.43), toán
tử nén tổng ứng với ϕ +

π
2

có dạng

π
1 i(ϕ+ π2 ) †ˆ†
Vˆ(ϕ+ π ) =
e
a
ˆ b + e−i(ϕ+ 2 ) a
ˆˆb ,

2
2

(1.44)

Hai toán tử này thỏa mãn biểu thức giao hoán
i
Vˆϕ, Vˆ(ϕ+ π ) = (ˆ
na + n
ˆ b + 1)
2
2

(1.45)

trong đó n
ˆa = a
ˆ† a
ˆ và n
ˆ b = ˆb†ˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và
mode b.

19


Thật vậy, ta chứng minh (1.45) như sau
Vˆϕ , Vˆ(ϕ+ π ) = Vˆϕ Vˆ(ϕ+ π ) − Vˆ(ϕ+ π ) Vˆϕ
2

2

2

π
π
π
1 i(2ϕ+ π2 ) †2ˆ†2
a
ˆ b + e−i 2 a
ˆ2ˆb2
e
ˆ† a
ˆˆb†ˆb + ei 2 a
ˆa
ˆ†ˆbˆb† + e−i(2ϕ+ 2 ) a
4
π
π
π
π
−ei(2ϕ+ 2 ) a
ˆ†2ˆb†2 − ei 2 a
ˆ2ˆb2
ˆ† a
ˆˆb†ˆb − e−i 2 a
ˆa
ˆ†ˆbˆb† − e−i(2ϕ+ 2 ) a

=

π
π
π
π
1
e−i 2 − ei 2 a
ˆ† a
ˆˆb†ˆb + ei 2 − e−i 2 a
ˆa
ˆ†ˆbˆb†
4
1
=
−2iˆ
a† a
ˆˆb†ˆb + 2i a
ˆ† a
ˆ + 1 ˆb†ˆb + 1
4
i †
=
a
ˆa
ˆ + ˆb†ˆb + 1
2
i
= (ˆ
na + n
ˆ b + 1) .
2

=

(1.46)
Từ phương trình (1.46), ta có hệ thức bất định Heisenberg cho hai toán
tử này như sau
1
∆Vˆϕ ∆Vˆ(ϕ+ π ) ≥ n
ˆa + n
ˆb + 1 .
(1.47)
2
4
Từ (1.47), ta có định nghĩa một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode
nếu trung bình trạng thái này thỏa mãn bất đẳng thức sau
∆Vˆϕ

2

<

1
(ˆ
na + n
ˆ b + 1) ,
4

(1.48)

với mọi ϕ.

1.2.3.

Nén hiệu hai mode

Xét hai photon có tần số là ωa và ωb (ωb > ωa ) và hai photon này
kết hợp lại thành một photon có tần số ωc = ωb − ωa . Ta định nghĩa toán
tử nén hiệu như sau
ˆ ϕ = 1 eiϕ a
W
ˆˆb† + e−iϕ a
ˆ†ˆb ,
2

(1.49)

trong đó a
ˆ, a
ˆ† là toán tử sinh, hủy photon của mode thứ nhất, ˆb, ˆb† là
toán tử sinh hủy photon của mode thứ hai. Từ phương trình (1.49), toán
20


tử nén tổng ứng với ϕ +

π
2

có dạng

1 i(ϕ+ π2 ) ˆ†

−i(ϕ+ π2 ) †ˆ
ˆ
a
ˆ
b
+
e
a
ˆb .
W
=
e
π
(ϕ+ 2 ) 2

(1.50)

Hai toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán
i
ˆ
ˆ ϕ, W
W
=
(ˆ
na − n
ˆ b) ,
π
ϕ+
( 2)
2

(1.51)

trong đó n
ˆa = a
ˆ† a
ˆ và n
ˆ b = ˆb†ˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và
mode b. Thật vậy, ta chứng minh (1.51) như sau
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ϕ, W
ˆ
W
(ϕ+ π ) = Wϕ W(ϕ+ π ) − W(ϕ+ π ) Wϕ
2

2

2

π
π
π
1 i(2ϕ+ π2 ) 2ˆ†2
e
a
ˆ b + e−i 2 a
ˆ†2ˆb2

ˆa
ˆ†ˆb†ˆb + ei 2 a
ˆ† a
ˆˆbˆb† + e−i(2ϕ+ 2 ) a
4
π
π
π
π
ˆa
ˆ†ˆb†ˆb − e−i 2 a
ˆ† a
ˆˆbˆb† − e−i(2ϕ+ 2 ) a
−ei(2ϕ+ 2 ) a
ˆ2ˆb†2 − ei 2 a
ˆ†2ˆb2

=

π
π
π
π
1
e−i 2 − ei 2 a
ˆa
ˆ†ˆb†ˆb + ei 2 − e−i 2 a
ˆ† a
ˆˆbˆb†
4

1
=
−2iˆ
aa
ˆ†ˆb†ˆb + 2iˆ
a† a
ˆ ˆb†ˆb + 1
4
i
− a
ˆ† a
ˆ + 1 ˆb†ˆb + a
ˆ† a
ˆˆb†ˆb + a
ˆ† a
ˆ
=
2
i
i
=
−ˆb†ˆb + a
ˆ† a
ˆ = (ˆ
na − n
ˆ b) .
2
2

=

(1.52)
Từ phương trình (1.52), ta có hệ thức bất định Heisenberg cho hai toán
tử này như sau
1
ˆ ϕ ∆W
ˆ
∆W
≥
ˆa − n
ˆb .
π
(ϕ+ 2 ) 4 n

(1.53)

Từ (1.47), ta có định nghĩa một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode
nếu trung bình trạng thái này thỏa mãn bất đẳng thức sau
ˆϕ
∆W

2

<

với mọi ϕ.

21

1

(ˆ
na − n
ˆ b) ,
4

(1.54)


1.2.4.

Tính chất phản kết chùm

Phản kết chùm còn được hiểu là phản kết hợp. Khái niệm phản
kết chùm được đưa ra bởi Kimble – Mandel [16] và Carmichael – Walls
[7] vào năm 1976 và được kiểm chứng bằng thực nghiệm bởi Kimble,
Dagenais và Mandel [17] vào năm 1977. Các photon phản kết chùm có
thể được hiểu là các photon độc lập, cách xa nhau và không thể kết
hợp với nhau. Các trạng thái có photon phản kết chùm tuân theo thống
kê Sub – Poisson và có hàm phân bố xác suất âm, điều này trái với lý
thuyết cổ điển nên tính phản kết chùm của các trạng thái này được xem
là phi cổ điển. Hay nói cách khác, tính chất phản kết chùm là một tính
chất phi cổ điển.
Phản kết chùm đơn mode
Theo thống kê Sub – Poisson thì phương sai của toán tử số hạt nhỏ
hơn trung bình số hạt của nó, nghĩa là
Vn= n
ˆ2 − n
ˆ

2

< n
ˆ .

(1.55)

ˆ (ˆ
n − 1) , từ đây ta
ˆ (ˆ
n − 1) ... (ˆ
n − j + 1) nên n
ˆ (2) = n
Vì n
ˆ (j) = n
có
n
ˆ (2) − n
ˆ

2

< 0.

(1.56)

Mặt khác, ta có thể viết n
ˆ (p) dưới dạng hàm phân bố xác suất P như
sau
(p)

n
ˆ

=

d2 α
P (α) |α|2p .
π

(1.57)

Khi này bất đẳng thức (1.56) được viết lại dưới dạng sau
(2)

n
ˆ

− n
ˆ

2

1
=
2

d2 αd2 β
4
4
2

2
P
(α,
β)
|α|
+
|β|
−
2|α|
|β|
< 0,
π2
(1.58)

với P (α, β) = P (α) P (β) là hàm phân bố xác suất trong biểu diễn

22