Phương pháp song song giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu : Luận án TS. Toán học : 62 46 30 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Cao Văn Chung

PHƯƠNG PHÁP SONG SONG
GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH
VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Cao Văn Chung

PHƯƠNG PHÁP SONG SONG
GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH
VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán học Tính toán
Mã số: 62 46 30 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học:
HD1: GS.TSKH. PHẠM KỲ ANH
HD2: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

Hà Nội - 2012


Mục lục
Trang
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Danh mục các bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Mở đầu

8

.................................................

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.1. Khái niệm cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2. Toán tử đơn điệu và phương trình với toán tử đơn điệu . . . . . . .

29

1.3. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . .

36

1.4. Hệ thống máy tính song song và lập trình song song . . . . . . . . . .

42

1.5. Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Chương 2. Phương pháp chỉnh lặp song song . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.1. Phương pháp chỉnh lặp ẩn song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.1.1. Trường hợp dữ liệu chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.1.2. Trường hợp dữ liệu có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.2. Phương pháp chỉnh lặp hiện song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.3. Ứng dụng và thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Chương 3. Các phương pháp chiếu - lặp song song . . . . . . . . . . . .

82

3.1. Phương pháp chiếu - điểm gần kề song song . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.2. Các phương pháp CQ song song trong không gian Banach . . . .

91

4

3.3. Các phương pháp CQ song song trong không gian Hilbert . . .

100

3.4. Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

3.4.1. Giải hệ phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh

108

3.4.2. Tìm điểm bất động chung của họ hữu hạn toán tử không giãn
tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

Chương 4. Phương pháp song song giải phương trình với toán tử đơn
điệu trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

4.1. Phương pháp Newton hiệu chỉnh song song và sự hội tụ . . . . .

115

4.2. Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

4.2.1. Phương trình toán tử đơn điệu khả vi cấp hai . . . . . . . . .

132

4.2.2. Thử nghiệm với toán tử khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án
. .................................................

138

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

Chỉ mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

5


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ
CHỮ VIẾT TẮT

·, ·

Tích vô hướng (hoặc tích đối ngẫu)

A∗

Toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính A

argminf (x) (argmaxf (x))

Phần tử cực tiểu (cực đại) hóa phiếm hàm f (x)

F (T ) (Fˆ (T ))

Tập điểm bất động (bất động tiệm cận) của T

Gr(F )

Đồ thị của ánh xạ (đa trị) F

H

Không gian Hilbert

JAr := (rA + J)−1 J

Giải thức của toán tử (đa trị) đơn điệu A

PC

Phép chiếu metric lên tập lồi đóng C ⊂ X

ΠC

Phép chiếu metric suy rộng lên tập lồi đóng C ⊂ X

PIIRM (PEIRM)

Phương pháp chỉnh lặp ẩn (hiện) song song

PEIRMm

Phương pháp PEIRM với m bước lặp trong.

PRPXPM

Phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh song song

PPPXPM

Phương pháp chiếu - điểm gần kề song song

PCQM

Phương pháp lai ghép song song

CCQM

Thuật toán CQ xoay vòng đề xuất trong [54]

PRNM

Phương pháp song song dạng Newton

U s (J := U 2 )

Ánh xạ đối ngẫu (ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc)

X, X ∗

Không gian Banach X và không gian đối ngẫu của nó

x†

Nghiệm chuẩn nhỏ nhất (hoặc x0 -chuẩn nhỏ nhất)

x∗n

Nghiệm phương trình hiệu chỉnh A(x) + αn x = 0

TOL(RT OL = T OL/ x† )

Sai số (Sai số tương đối tính theo %)

RAT

Tỷ số giữa sai số tuyệt đối và αn : RAT = T OL/αn

!NA

Kết quả chạy số không ổn định - sai số ra vô hạn

nmax

Tổng số bước lặp

Tp (Ts )

Thời gian chạy (giây) khi chạy song song (tuần tự)

Sp = Ts /Tp (Ep = Sp /N )

Tỷ lệ tăng tốc độ (Hiệu suất trung bình mỗi CPU)

6


Danh mục các bảng
Chương 2.
2.1 So sánh PIIRM & PEIRM với cùng số lần lặp
2.2 So sánh PIIRM & PEIRM với cùng sai số . .
2.3 So sánh PIIRM khi chạy song song & tuần tự
2.4 PIIRM với dữ liệu có nhiễu . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

78

79
80
80

PRPXPM & PPPXPM với số bước lặp nhỏ
PRPXPM & PPPXPM với số bước lặp lớn
PPPXPM & CQ với cùng số bước lặp . . .
PPPXPM & CQ với cùng độ chính xác . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

109
110
112
112

Chương 4.
4.1 αn lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi cấp 2 . . . . . .
4.2 Số bước lặp n lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi cấp 2
4.3 αn lớn & dữ liệu có nhiễu - Toán tử khả vi cấp 2 . . . . . . .
4.4 Số bước lặp n lớn & dữ liệu có nhiễu - Toán tử khả vi cấp 2
4.5 αn lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi . . . . . . . . .
4.6 Số bước lặp n lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi . . .
4.7 Thử nghiệm với dữ liệu có nhiễu - Toán tử khả vi. . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

132
133
133
133
134
135
135

Chương 3.
3.1 So sánh
3.2 So sánh
3.3 So sánh
3.4 So sánh

7

.
.
.
.

.
.
.
.


Mở đầu
Luận án này nghiên cứu các phương pháp song song giải hệ phương

trình toán tử
Ai (x) := Fi (x) − fi = 0, i = 1, N
(1)
hoặc phương trình với toán tử phân rã được thành tổng các toán tử
N

A(x) :=

N

(Fi (x) − fi ) = 0.

Ai (x) =
i=1

(2)

i=1

Ở đây các toán tử Fi : X → Y , phần tử fi ∈ Y đã cho; với X là không gian
Banach và Y = X ∗ - không gian đối ngẫu của X, hoặc X là không gian
Hilbert và Y = X. Hơn nữa, trong luận án này ta xét các toán tử Fi có
tính đơn điệu, tức là với mọi x, y ∈ X ta có
Fi (x) − Fi (y), x − y ≥ 0.
Trường hợp X là không gian Banach, ta ký hiệu f, x := f (x) với mọi
x ∈ X, f ∈ X ∗ .
Các vấn đề được nghiên cứu trong luận án liên quan đến phương trình
với toán tử đơn điệu, bài toán đặt không chỉnh và tính toán song song.
Phương trình với toán tử đơn điệu thường xuất hiện trong nhiều lĩnh vực
khoa học kỹ thuật cũng như kinh tế xã hội. Ví dụ trong xử lý ảnh, người

ta cần khôi phục hình ảnh đối tượng ban đầu từ các hình chiếu của nó.
Điều này có thể đưa về việc giải một hệ phương trình dạng Fi (x) = fi ,
trong đó các toán tử Fi là đơn điệu. Bài toán khôi phục ảnh nói trên và
một số vấn đề thực tế khác dẫn đến bài toán chấp nhận lồi. Ở đó ta cần
tìm hình chiếu của một phần tử lên giao của một số tập lồi (xem [27]).
Đây là một trường hợp của bài toán tìm điểm bất động chung của một họ
các toán tử không giãn Fi trong không gian Hilbert, tương đương với việc
giải hệ phương trình với các toán tử đơn điệu Ai (x) := x − Fi (x) = 0.
8


Một số vấn đề thực tế khác lại dẫn đến việc tìm cực trị không ràng
buộc của một họ hữu hạn các phiếm hàm lồi, trơn. Bài toán này cũng sẽ
đưa đến hệ phương trình dạng (1) với toán tử đơn điệu. Trong khi đó,
một số mô hình kinh tế dẫn đến một dạng bài toán gọi là bài toán bù
(xem [2,22]). Bài toán này, trong một số trường hợp, có thể chuyển về việc
giải phương trình với toán tử đơn điệu.
Một số mô hình ứng dụng trong cơ học lượng tử, lý thuyết lọc ... cũng
dẫn tới các bài toán dạng (2), với Fi được xây dựng từ các toán tử vi phân
(ví dụ, toán tử Laplace ∆ hoặc div của một hàm theo toán tử ∇) sao cho
A là toán tử đơn điệu (xem [4, 77]). Một bài toán khác gọi là nhận dạng
tham số đa dữ liệu, xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực y dược, sinh học
phân tử ... cũng có thể đưa về dạng phương trình (2) với toán tử đơn điệu
(xem [26, 69]). Ngoài ra, trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật và toán
học tính toán, ta phải giải phương trình dạng F x = f , trong đó F toán tử
tuyến tính xác định không âm. Đây cũng là một bài toán dạng (1).
Vì khả năng ứng dụng rộng rãi như vậy nên phương trình với toán tử
đơn điệu đã được nghiên cứu rất nhiều. Những kết quả định tính cho lớp
toán tử này đã được nhiều nhà toán học như H. Bauschke (xem [14, 15]),
F. Browder ( [19, 20]), J. M. Borwein ( [17]), G. J. Minty ( [58]), R. T.

Rockafellar ( [62]) ... thiết lập (xem thêm [17] và các tài liệu tham chiếu
trong đó). Đặc biệt, G. J. Minty và F. Browder đã chỉ ra một số tính chất
quan trọng của toán tử đơn điệu cực đại, cũng như tìm ra mối liên hệ giữa
phương trình với toán tử đơn điệu và bất đẳng thức biến phân.
Tính chất đơn điệu cực đại, bức và một số đặc điểm khác của toán tử
dạng cA + J, trong đó J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, còn c > 0, A là
toán tử đơn điệu được chỉ ra trong [20, 58, 62].
Lớp toán tử đơn điệu cực đại dạng A+αJ và mối liên hệ với dưới vi phân
của các phiếm hàm lồi, cũng như các toán tử đơn điệu dạng thế năng đã
được nghiên cứu trong [6, 7, 14–17, 36, 46, 59, 63, 74, 84, 85, 87].
Như đã biết, bài toán
F (x) = f

(3)

với F là toán tử đơn điệu, nếu không có thêm giả thiết gì về toán tử F ,
thường là đặt không chỉnh (xem [1, 2, 4, 20, 76, 77]). Khái niệm về tính đặt
chỉnh được J. Hadamard định nghĩa như sau (xem [86]): Nếu (a) ∀f ∈ Y
9


∃xf ∈ X: F (xf ) = f ; (b) xf xác định duy nhất; (c) xf phụ thuộc liên tục
vào f , thì bài toán F (x) = f được gọi là đặt chỉnh hay chính quy (wellposed problem hay correctly-posed problem). Khi ít nhất một trong ba điều
kiện trên không thỏa mãn, ta nói bài toán là đặt không chỉnh (ill-posed
problem hay incorrectly-posed problem). Lúc đó việc giải số bài toán sẽ rất
khó khăn vì các sai số nhỏ trong dữ liệu hoặc trong quá trình giải số trên
máy tính có thể dẫn tới sự sai lệch rất lớn của kết quả.
Những nhà khoa học đã có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt
không chỉnh phải kể đến A. N. Tikhonov, M. M. Lavrentiev, F. Browder,
J. J. Lions, V. K. Ivanov... Cũng vì ý nghĩa quan trọng của lý thuyết bài

toán đặt không chỉnh, nhiều nhà khoa học thế giới đã đi sâu nghiên cứu và
đề xuất các phương pháp giải lớp bài toán dạng này, như I. Y. Alber, K. E.
Atkinson, A. B. Bakushisikii, J. Baumeiser, H. W. Engl, A. V. Goncharskii,
L. Landweber, V. A. Morozov, M. Z. Nashed...
Do tính không ổn định của dạng bài toán này mà người ta phải sử dụng
các phương pháp ổn định hóa để giải nó, gọi là các phương pháp hiệu chỉnh
(còn gọi là chỉnh hóa, hay chính quy hóa - regularization). Tư tưởng của
việc hiệu chỉnh là thay bài toán không chỉnh ban đầu bằng một họ các
bài toán đặt chỉnh mà nghiệm của các bài toán đặt chỉnh đó hội tụ về
nghiệm bài toán ban đầu, khi tham số hiệu chỉnh dần tới không.
Năm 1963, trong [82, 83], A. N. Tikhonov đã đề xuất phương pháp
hiệu chỉnh nổi tiếng mang tên ông. Trong phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov,
thay cho việc giải (3), ta giải bài toán cực tiểu phiếm hàm có dạng
α(h,δ)
RF,f (x) := Fh (x) − fδ 2Y + αΩ(x) → minx ,
trong đó α := α(h, δ) > 0 là tham số hiệu chỉnh; Ω(x) là phiếm hàm
hiệu chỉnh; Fh và fδ lần lượt là các đại lượng bị nhiễu thay cho F và f .
Nhiều phương pháp số giải bài toán đặt không chỉnh đã được xây dựng
dựa trên phương pháp hiệu chỉnh này ( [2, 9, 10, 13, 26, 32, 35, 79]).
Trường hợp toán tử F tuyến tính, một phương pháp hiệu chỉnh thường
được sử dụng là khai triển kỳ dị (SVD - Singular Value Decomposition)
hoặc khai triển kỳ dị chặt cụt (Truncated SVD). Phương pháp này được sử
dụng khi toán tử là compact hoặc cho hệ phương trình đại số tuyến tính
điều kiện xấu (xem [1, 35]).
Khi toán tử F là phi tuyến thì việc giải bài toán cực tiểu trên nói chung
không đơn giản, thậm chí không giải được. Phương pháp lặp Landweber
10


phi tuyến là một trong những đề xuất cho trường hợp này (xem [13,26,35]

và các tài liệu tham chiếu trong đó). Phương pháp này áp dụng cho toán
tử F khả vi liên tục theo Frechet, trong đó việc cực tiểu hóa phiếm hàm
làm trơn Tikhonov ở trên sẽ được thực hiện bằng một quá trình lặp.
Năm 1966, trong [49], M. M. Lavrentiev đã đề xuất một phương pháp
hiệu chỉnh bằng cách sử dụng phương trình xấp xỉ. Trong trường hợp
X = Y = H là không gian Hilbert, F là toán tử tuyến tính xác định không
âm, thì thay cho (3) ta giải phương trình
F x + αx = f,
trong đó α > 0 là tham số. Với cách chọn α thích hợp, nghiệm phương trình
trên sẽ hội tụ tới nghiệm bài toán ban đầu, khi α → 0.
Cùng thời gian này, F. Browder (xem [18]) cũng đề xuất phương pháp
hiệu chỉnh cho trường hợp toán tử F : X → X ∗ là đơn điệu, với X là không
gian Banach lồi, phản xạ; X ∗ là không gian đối ngẫu tương ứng và X ∗ lồi
chặt. Tư tưởng của phương pháp này tương tự như hiệu chỉnh Lavrentiev,
đó là thay bài toán ban đầu bằng phương trình xấp xỉ
F (x) + αM (x) = f,
trong đó thành phần hiệu chỉnh M : X → X ∗ là h−liên tục (hemicontinuous) và d− đơn điệu.
Các kỹ thuật hiệu chỉnh do Lavrentiev và Browder đề xuất có nhiều
ứng dụng để giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu (xem
[1–4, 9, 10, 22, 42–44, 69, 76, 77, 79]).
Từ những năm 1980, một số phương pháp chỉnh lặp kết hợp giữa
kỹ thuật hiệu chỉnh của Lavrentiev (hoặc Browder) với các phương pháp
giải số truyền thống đã được A. B. Bakushinskii đề xuất (tham khảo [9,79]
và các tài liệu tham chiếu trong đó). Tác giả này nghiên cứu phương pháp
lặp bậc không và lặp bậc một, hay còn gọi là chỉnh lặp đơn và phương pháp
Newton - Kantorovich hiệu chỉnh trong không gian Hilbert. Phương pháp
lặp bậc không là sự kết hợp giữa hiệu chỉnh Lavrentiev và phép lặp hiện
xk+1 = xk − βk F (xk ) − f + αk xk .
Ở đây αk > 0 là tham số hiệu chỉnh và βk > 0 là tham số lặp. Trong khi
đó, phương pháp lặp bậc một được xây dựng cho toán tử khả vi Frechet

kết hợp giữa phương pháp Newton và kỹ thuật hiệu chỉnh
F (xk ) + αk I (xk+1 − xk ) = − F (xk ) − f + αk xk .
11


Bakushinskii cũng đã chỉ ra được tốc độ hội tụ phương pháp lặp bậc một
khi toán tử thỏa mãn thêm điều kiện bổ sung, còn gọi là điều kiện nguồn
(source condition). Trong các tài liệu ở trên, trường hợp vế phải f có nhiễu
cũng đã được nghiên cứu với cách chọn tham số theo điều kiện tiên nghiệm.
Gần đây, A. B. Bakushinskii và A. B. Smirnova trong [10–12] đã nghiên
cứu điều kiện dừng và quy tắc chọn tham số hậu nghiệm trong trường hợp
vế phải f có nhiễu cho cả hai phương pháp trên.
Sau đó, Ya. I. Albert và I. P. Ryazantseva (xem [1, 4, 76–78, 81] và các
tài liệu tham chiếu trong đó) đã sử dụng ánh xạ đối ngẫu U s của X để
hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach. Ánh
xạ U s : X → X ∗ thỏa mãn
U s (x), x = U s (x) s−1 x = x s , s ≥ 2.
Trường hợp riêng, U 2 (x) được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và ký hiệu
là J. Hai tác giả này đã chỉ ra sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm
đúng của (3) khi α → 0. Có thể thấy, với α bé, việc giải phương trình hiệu
chỉnh sẽ trở nên khó khăn không kém bài toán ban đầu. Trong trường hợp
bài toán có nhiễu, các tác giả đã đề xuất việc chọn tham số hiệu chỉnh
tiên nghiệm.
Ngoài chỉnh lặp đơn và Newton hiệu chỉnh, trong [4] cũng đề cập đến
một số phương pháp khác để giải bài toán không chỉnh với toán tử đơn điệu:
• Phương pháp chiếu-lặp hiệu chỉnh (Iterative-Projection Regularization
Method) kết hợp phương pháp chiếu lặp và kỹ thuật hiệu chỉnh phụ
thuộc các tham số βk , αk
0 trong một quá trình lặp.
• Phương pháp hàm phạt (penalty method): Phương pháp này giải một

họ phương trình đặt chỉnh phụ thuộc tham số α, β. Với β/α → 0 khi
α → 0 thì nghiệm phương trình đặt chỉnh xα,β hội tụ về nghiệm có
chuẩn nhỏ nhất của (3).
• Phương pháp giảm dư (Residual method): Dựa trên ý tưởng cực tiểu
hóa phiếm hàm tương tự như hiệu chỉnh Tikhonov.
Cũng vào những năm 1980, trong các tài liệu [50–52,80], O. A. Liskovets,
đã đề xuất phương pháp tựa nghiệm (Quasi-Solution Method) để hiệu chỉnh
(3) trong trường hợp ta chỉ biết xấp xỉ Ah của A, với Ah không đơn điệu.
12


Các phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử dạng A(x) = 0 trong
trường hợp A không là toán tử đơn điệu cũng đã được nhiều nhà khoa học
nghiên cứu. Các kết quả có thể tham khảo trong [1, 9, 13, 26, 32, 35, 37, 38,
50, 70, 71, 79].
Các nhà toán học Việt Nam cũng thu được nhiều kết quả thú vị
liên quan đến lý thuyết, phương pháp giải và ứng dụng của bài toán đặt
không chỉnh.
Các tác giả Đặng Đình Áng, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng .v.v. đã
nghiên cứu bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng. Những bài
toán được các tác giả quan tâm nghiên cứu thường là đặt không chỉnh.
Đặc biệt, tác giả Đinh Nho Hào đã nghiên cứu các bài toán Cauchy cho
phương trình đạo hàm riêng đặt không chỉnh và đề xuất phương pháp làm
nhuyễn (mollification). Phương pháp này làm nhuyễn dữ liệu để các bài
toán thu được là đặt chỉnh và nghiệm của chúng hội tụ đến nghiệm bài
toán đặt không chỉnh. Các kết quả này có thể tham khảo tại [39, 40].
Lý thuyết cũng như phương pháp giải bàn toán đặt không chỉnh tổng
quát đã được tác giả Nguyễn Bường nghiên cứu. Các kết quả áp dụng cho
một số bài toán đặt không chỉnh như bài toán bù, bất đằng thức biến
phân, hệ phương trình toán tử ... có thể được tìm thấy trong [1, 2, 22–25].

Một số kết quả này sẽ được trình bày kỹ hơn trong phần sau.
Năm 1969, R. T. Rockafellar (xem [62]) đã đề xuất thuật toán điểm
gần kề (proximal point algorithm) giải bài toán (3). Trong thuật toán này,
xuất phát từ xk (k ≥ 0, x0 cho trước) đã biết, ta tìm xấp xỉ tiếp theo
ck A(xk+1 ) + J xk+1 − xk = 0, ck ∈ (0, c].
Theo [62], phương trình trên đặt chỉnh. Với mỗi k ta giải một phương trình
xấp xỉ với tham số ck > 0, do đó thuật toán gần giống phương pháp
hiệu chỉnh Lavrentiev. Tuy nhiên, khác với hiệu chỉnh Lavrentiev, ở đây
ck bị chặn trên, do đó tính đặt chỉnh của phương trình xấp xỉ luôn được
đảm bảo, nhưng dãy xấp xỉ nói chung chỉ hội tụ yếu về nghiệm của (3).
Phương pháp điểm gần kề đã được nhiều tác giả nghiên cứu, phát triển để
giải phương trình với toán tử đơn điệu.
Những năm 1980, J. E. Spingarn đã đề xuất phương pháp nghịch đảo
từng phần (partial inverse) để cải tiến thuật toán điểm gần kề (xem [65])
cho phương trình toán tử đơn điệu.
Năm 2000, M. V. Solodov, B. F. Svaiter đã đưa ra thuật toán chiếu 13


điểm gần kề (xem [64]). Các tác giả kết hợp luân phiên giữa việc giải gần
đúng phương trình trong thuật toán điểm gần kề của R. T. Rockafellar để
tìm xấp xỉ trung gian
F (yk ) − f + µk (yk − xk ) + ek = 0,
với việc chiếu trực giao xuống các nửa không gian Hk xây dựng dựa vào
yk , và Wk xây dựng dựa vào xk . Các siêu phẳng xác định Hk , Wk tách
tập nghiệm với xấp xỉ hiện tại xk . Phương pháp này đạt được sự hội tụ
mạnh toàn cục, hơn nữa phương trình trên chỉ cần giải gần đúng, với sai
số ek thỏa mãn các điều kiện nhẹ hơn so với phương pháp điểm gần kề
nguyên thủy.
Năm 2002, I. P. Ryazantseva ( [4, 81]) cũng đã kết hợp phương pháp
điểm gần kề với kỹ thuật hiệu chỉnh Lavrentiev và thu được phương pháp

điểm gần kề hiệu chỉnh hội tụ mạnh, trong đó xấp xỉ xk+1 xác định qua
xk , k ≥ 0, từ phương trình
ck F (xk+1 ) − f ) + αk J(xk+1 ) + J xk+1 − xk = 0.
Ở đây ck là tham số trong phương pháp điểm gần kề, αk là tham số
hiệu chỉnh. Trường hợp F và f có nhiễu và các quy tắc chọn tham số
tiên nghiệm cũng đã được nghiên cứu. Năm 2006, Hong Kun Xu ( [73])
đề xuất một cải biên khác của phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh trong
không gian Hilbert
ck F (xk+1 ) − f ) + αk xk + xk+1 − xk + ek = 0,
với ek là sai số khi giải phương trình này. Các phương pháp điểm gần kề
hiệu chỉnh trên đều hội tụ mạnh về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của (3).
Các tính chất của toán tử đơn điệu cũng như phương pháp giải các
bài toán với toán tử đơn điệu tiếp tục được J. Borwein, P. Combettes, M.
Solodov, B. Svaiter ... (xem [17,31,64]) nghiên cứu trong giai đoạn sau này.
Trở lại những năm 1980, F. Browder đã nghiên cứu mối liên hệ giữa
toán tử không giãn với toán tử đơn điệu và từ đó sử dụng phương pháp
điểm bất động để giải một số bài toán với toán tử đơn điệu ( [21]). Gần
đây, S. Matsushita và W. Takahashi đã phát triển ý tưởng này. Trong [56],
các tác giả đã chỉ ra rằng với c > 0 và A là một toán tử đơn điệu cực
đại trong không gian Banach X phản xạ, trơn và lồi chặt, thì toán tử
JAc = (J + cA)−1 J là không giãn tương đối, hơn nữa tập điểm bất động
của JAc chính là tập nghiệm của A(x) = 0. Khái niệm không giãn tương đối
được mở rộng từ khái niệm toán tử không giãn, dựa vào khoảng cách suy
14


rộng. Kết hợp tính chất trên với thuật toán chiếu - điểm gần kề đề xuất
trong [64], các tác giả đã đưa ra các phương pháp lai ghép giữa thuật toán
lặp và phép chiếu để tìm điểm bất động của toán tử không giãn tương đối.
Nhiều phương pháp dạng này tiếp tục được đề xuất, và trong một số tài

liệu còn được gọi là các phương pháp CQ (xem [23, 54, 56, 60, 61, 66]). Như
trên đã nói, phương pháp này có thể áp dụng để giải phương trình A(x) = 0
với A đơn điệu cực đại. Tuy nhiên, do phải tìm hình chiếu lên giao của
ba tập lồi trong không gian Banach, nên ít phương pháp CQ có công thức
cụ thể tính hình chiếu như trong [64]. Đến năm 2009, trong [23], tác giả
Nguyễn Bường đưa ra những cải biên để phép chiếu là thực hiện được.
Gần đây, một số phương pháp kết hợp giữa thuật toán lặp và hiệu
chỉnh theo hướng hệ động lực (dynamical system method) đã được A. G.
Ramm và N. S. Hoang đề xuất (xem [42–44]). Ngoài các phương pháp
như chỉnh lặp đơn và Newton hiệu chỉnh, người ta còn nghiên cứu phương
pháp Landweber cho toán tử đơn điệu, còn được gọi là phương pháp kiểu
gradient hiệu chỉnh
∗
xk+1 = xk − βk F (xk ) + αk I F (xk ) − f + αk xk .
Do đặc thù của cách tiếp cận nên các kết quả ở đây đều được xây dựng
cho toán tử khả vi Frechet.
Quay trở lại việc giải hệ phương trình toán tử (1) hoặc phương trình
dạng (2). Dễ thấy yêu cầu phân rã bài toán ban đầu để có thể xử lý riêng
các bài toán thành phần, được đặt ra một cách tự nhiên. Chính vì thế các
phương pháp phân rã đã được nghiên cứu từ rất sớm.
Năm 1937, Stefan Kaczmarz đã đề xuất một phương pháp giải hệ đại
số tuyến tính quá xác định Ax = b như sau
b[k] − a[k] , xk
k+1
k
x
=x +
a[k] ,
a[k] 2
trong đó [k] = (k mod m) + 1, ai là chuyển vị dòng thứ i của ma trận A.

Trong phương pháp trên, các phương trình ứng với các dòng của A sẽ được
giải lần lượt một cách luân phiên xoay vòng.
Ý tưởng trên có thể áp dụng giải hệ phương trình toán tử. Chính vì thế,
gần đây các phương pháp xử lý luân phiên dạng Kaczmarz được rất nhiều
tác giả nghiên cứu. Đối với bài toán đặt không chỉnh, các phương pháp
như Landweber-Kaczmarz, Newton-Kaczmarz, đường dốc nhất - Kaczmarz, phương pháp xoay vòng tìm điểm bất động chung dạng CQ .v.v.
15


đã được đề xuất (xem [13, 26, 32, 37, 38, 47, 54]). Ý tưởng chung của các
phương pháp này là phân rã bài toán thành hữu hạn bài toán con, và
luân phiên giải các bài toán con đó bằng các phương pháp lặp tương ứng
(Landweber, Newton, đường dốc nhất, phương pháp CQ...). Phương pháp
phân rã như vậy chẳng những không làm tăng điều kiện áp đặt lên từng
toán tử, mà còn đơn giản hóa việc tính toán. Ngoài ra, trong một số trường
hợp, phương pháp dạng Kaczmarz hiệu quả hơn phương pháp ban đầu.
Tuy nhiên, do việc xử lý các bài toán con là luân phiên, nên phương
pháp dạng Kaczmarz là tuần tự. Do đó nếu thực hiện các phương pháp
này trên máy tính với nhiều bộ xử lý, khi số bài toán thành phần là lớn,
thì tại mỗi thời điểm, vẫn chỉ có một bài toán con được xử lý. Thực tế ta
có thể tăng hiệu quả của các phương pháp tuần tự khi thực hiện trên máy
tính song song bằng cách xử lý song song trên từng bước tính toán.
Đến nay, các kết quả song song trên mức tính toán tại mỗi bước như
vậy đã phát triển khá mạnh. Thậm chí các công cụ song song hóa khi tính
toán với ma trận và vector đã được nhúng cứng vào các vi mạch xử lý, ví
dụ kiến trúc hỗ trợ tính toán song song CUDA (Compute Unified Device
Architecture). Cùng với nó, các hướng nghiên cứu để vector hóa dữ liệu xử
lý (vectorization) cũng phát triển mạnh.
Một yêu cầu được đặt ra ở đây là cần xây dựng các thuật toán mà ở đó
các bài toán thành phần có thể được xử lý một cách đồng thời và độc lập.

Đây cũng chính là mức song song thứ hai, tức là song song từ thuật toán.
Các phương pháp song song ở mức này đến nay chưa phát triển nhiều như
đối với mức thứ nhất, mặc dù nó cũng được quan tâm từ khá sớm.
Cùng thời gian phương pháp Kaczmarz ra đời, năm 1938, G. Cimmino
đề xuất một phương
pháp khác giải hệ quá xác định như sau

k
b
j − aj , x

k+1
k

= x + λk
aj ;
j = 1, m
xj
aj 2
1 m k+1


x .
xk+1 =
m j=1 j
Rõ ràng, phương pháp phân rã kiểu Cimmino cho phép tính đồng thời các
xk+1
và xấp xỉ tiếp theo là trung bình cộng của các xk+1
j
j , j = 1, m.

Vào những năm 1990, các tác giả M. A. Diniz-Ehrhardt, J. M. Martinez,
S.A. Santos, G. Zilli và L. Bergamaschi đã đề xuất một số phương pháp
dạng Cimino giải các hệ phương trình phi tuyến trong không gian hữu
hạn chiều ( [33,34,75]). Nhưng các kết quả này đều phải dựa trên giả thiết
16


ma trận Jacobi của toán tử là hạng đủ. Vì vậy kết quả không mở rộng được
cho trường hợp vô hạn chiều, cũng như không cần kỹ thuật hiệu chỉnh.
Cũng thời gian này, T. Lu, P. Neittaanm¨
aki, và X.-C. Tai ( [55]) đã
nghiên cứu phương trình dạng (2). Rõ ràng nếu có phương pháp phân rã
song song bài toán này thì việc giải sẽ thuận lợi hơn. Ví dụ khi giải phương
trình đạo hàm riêng nhiều chiều với toán tử Laplace, ta có thể tách thành
tổng các toán tử đạo hàm theo từng chiều. Hơn nữa, khi thực hiện trên
máy tính nhiều bộ xử lý, việc giải sẽ tiết kiệm được thời gian hơn. Phương
pháp trong [55] tìm dãy xấp xỉ qua bước trung gian theo công thức
τ Fi (xik ) − fi + xik = xk
xk+1
Dễ thấy bước trung gian tìm

xik

1
=
N

(τ > 0 − đủ bé);
N

xik .
i=1

có thể tính toán một cách đồng thời trên

N bộ xử lý. Nhưng để phương pháp này hội tụ, các toán tử Fi cần liên tục
Lipschitz và đơn điệu mạnh, và lúc đó phương trình F (x) = f đặt chỉnh.
Do đó không thể áp dụng trực tiếp phương pháp này cho các bài toán đặt
không chỉnh.
Năm 2001, Y. Censor, D. Gordon và R. Gordon (xem [27–29]) đề xuất
phương pháp giải hệ đại số tuyến tính kích thước lớn và thưa dạng Cimmino, còn được gọi là phương pháp trung bình thành phần (component
averaging method - CAV). Một biến thể của phương pháp trên, trong đó
việc giải đồng thời được thực hiện theo từng nhóm kết hợp với lấy trung
bình giữa các nhóm, gọi là lặp theo khối (block-iterative component averaging - BICAV) cũng được đề xuất trong các tài liệu này. Các phương
pháp cải biên này được chứng minh là hiệu quả hơn phương pháp Cimmino
nguyên thủy. Các kết quả trên cũng có thể mở rộng cho việc tìm điểm bất
động chung của N toán tử không giãn.
Tuy nhiên các tác giả trên chưa xét đến trường hợp phương trình toán
tử phi tuyến đặt không chỉnh.
Gần đây, Nguyễn Bường và các tác giả trong nhóm cũng đã công bố
một số kết quả giải hệ phương trình toán tử hoặc là hệ bất đẳng thức biến
phân. Trong [22], tác giả đã đưa ra phương pháp chỉnh lặp cho trường hợp
các toán tử đơn điệu thế năng. Trong [25], các tác giả đã đề xuất phương
pháp chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử khi Fi là ngược đơn điệu mạnh.
Trong các tài liệu này, tác giả đã chuyển việc giải hệ về giải hiệu chỉnh một
17


phương trình tổng. Trong [24], tác giả cũng đã đưa ra các phương pháp
hiệu chỉnh đối với hệ phương trình với các toán tử tựa co hoặc khả vi.

Tuy vậy, các phương pháp đã đề cập đều là những phương pháp tuần tự.
P. L. Combettes, H. Attouch, L. M. Brice˜
no-Arias (xem [8,31]) cũng đã
đề xuất một số phương pháp song song cho phương trình dạng (2). Ở đó,
các tác giả sử dụng một công cụ gọi là toán tử điểm gần kề (toán tử proxy).
Để xác định được toán tử này, ta cần giải một bài toán tối ưu lồi. Do đó
không phải mọi trường hợp phương pháp đều có thể thực hiện hiệu quả.
Cho đến nay các bài toán đặt không chỉnh được giải trên máy tính song
song theo nguyên tắc sau: Trước hết nguời ta sử dụng kỹ thuật hiệu chỉnh
để thay bài toán đặt không chỉnh ban đầu bằng các bài toán đặt chỉnh.
Sau đó giải bài toán đặt chỉnh thu được bằng những giải thuật song song
cho đến khi đạt độ chính xác cần thiết, hoặc sử dụng một phương pháp
tuần tự đã có và chỉ tính toán song song cho một số công đoạn, như giải
hệ phương trình đại số tuyến tính, tính tích phân, tìm cực trị phiếm hàm
.v.v. Tức là cách xử lý song song ở mức tính toán tại mỗi bước đã đề cập
đến trong phần trên. Như vậy, trong các phương pháp song song đã có, các
thao tác hiệu chỉnh và phân rã song song cũng như quá trình giải thuộc
các mức khác nhau và không gắn kết với nhau.
Luận án này đề xuất một số phương pháp song song mới cho các
bài toán dạng (1), (2). Điểm khác biệt của các phương pháp này là ở đây,
thao tác hiệu chỉnh hoặc các thao tác phép chiếu - lặp và phân rã song
song được gắn kết với nhau trong một quá trình lặp thống nhất. Nghĩa là,
các thao tác đó được thực hiện trong mỗi bước lặp, một cách đồng thời
cho các bài toán thành phần. Do đó, các thuật toán này có thể áp dụng
trực tiếp cho các bài toán đặt không chỉnh.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương.
• Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị và
kết quả bổ trợ cần thiết cùng với một số bài toán minh họa.
• Chương 2 trình bày phương pháp chỉnh lặp ẩn và chỉnh lặp hiện song

song, giải hệ phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh. Phương
pháp chỉnh lặp ẩn song song trong chương này cũng bao trùm phương
18


pháp điểm gần kề hiệu chỉnh song song. Chương này cũng đề xuất các
quy tắc chọn tham số và quy tắc dừng trong trường hợp có nhiễu.
• Chương 3 đề xuất một số phương pháp dạng chiếu-lặp song song:
Phương pháp chiếu-điểm gần kề song song giải hệ phương trình với
các toán tử liên tục, đơn điệu cực đại; Các phương pháp lai ghép dạng
CQ song song tìm điểm bất động của họ hữu hạn toán tử không giãn
tương đối. Các phương pháp này được xây dựng cho không gian Banach
và có một số cải biên với trường hợp không gian Hilbert.
• Trong chương cuối, chúng tôi trình bày phương pháp dạng Newton
hiệu chỉnh song song cho phương trình có toán tử tách được thành
tổng các toán tử đơn điệu hoặc hệ phương trình với các toán tử ngược
đơn điệu mạnh. Tốc độ hội tụ của phương pháp cũng được đánh giá
trong chương này với các giả thiết thích hợp về điều kiện nguồn.
Cuối mỗi chương, một số kết quả thử nghiệm số trên máy tính song
song đã được trình bày. Tất cả các kết quả tính toán được chạy ở chế độ
song song, trên bó máy tính IBM1350 với 8 node tính toán - 16 bộ xử lý lõi
kép tại Trung tâm Tính toán hiệu năng cao - ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội.
Kết quả chính của luận án đã được công bố trong [1-4] và gửi đăng
trong [5], xem Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan
đến luận án.

19


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ và
ví dụ minh họa. Mặc dù hầu hết các khái niệm và kết quả đã biết được
xây dựng cho không gian Banach và toán tử đa trị, tuy nhiên để dễ theo dõi
những ứng dụng ở các chương sau, chúng tôi sẽ chỉ trình bày cho không gian
Hilbert. Các khái niệm và kết quả trong không gian Banach chỉ được đề cập
khi thực sự cần thiết cho các chương tiếp theo.
Các khái niệm trình bày dưới đây chủ yếu được tham khảo từ [1–4, 9,
48, 67, 79] và các tài liệu tham chiếu trong đó.

1.1

Khái niệm cơ sở

Xét không gian Banach thực X với đối ngẫu X ∗ , nếu không sợ nhầm lẫn,
ta ký hiệu chuẩn trên các không gian đó đều là · . Với ∀x ∈ X và ∀f ∈ X ∗ ,
ta đặt
f, x := f (x).
Nếu X = H là một không gian Hilbert thực, thì ·, · là tích vô hướng trên
H, và · là chuẩn cảm sinh tương ứng.
Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ,
nếu ánh xạ nhúng chuẩn tắc τ : X → X ∗∗ là toàn ánh, trong đó ánh xạ
τ (x)(f ) := f, x với mọi x ∈ X và f ∈ X ∗ .
Không gian X được gọi là lồi chặt (strictly convex) nếu với mọi x, y ∈ X,
x = y = 1 và x = y thì x + y < 2. X được gọi là lồi đều (uniformly
convex) nếu với > 0 bất kỳ cho trước, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ X, x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y = thì x + y ≤ 2(1 − δ).
20

x + ty − x
t→0
t
tồn tại với mọi x, y ∈ SX := {z ∈ X : z = 1}. X được gọi là trơn đều
(uniformly smooth) nếu giới hạn đó tồn tại đều với mọi x, y ∈ SX .
Các kết quả của luận án cho không gian Banach cần đến tính chất lồi
đều và trơn đều của không gian. Vì vậy trong các phần tiếp theo, nếu nhắc
đến không gian Banach mà không chú thích gì thêm, thì ta mặc định rằng
không gian đó là lồi đều và trơn đều.
Không gian X được gọi là trơn (smooth) nếu giới hạn lim

Chúng ta nhắc lại một số khái niệm về sự hội tụ của dãy. Ta nói dãy
{xn } ⊂ X hội tụ (hay hội tụ mạnh) tới x ∈ X, ký hiệu xn → x, nếu
xn − x → 0 khi n → +∞. Dãy xn được gọi là hội tụ yếu đến x, ký hiệu
xn
x, nếu với mọi y ∈ X ∗ bất kỳ nhưng cố định, y, xn − x → 0 khi
n → +∞. Mọi dãy hội tụ thì hội tụ yếu.
Ta ký hiệu B[x0 , r] := {x ∈ X : x − x0 ≤ r} B(x0 , r) := {x ∈ X :
x − x0 < r} là hình cầu đóng (mở) tâm x0 , bán kính r ∈ R+ . Tương tự,
tập S(x0 , r) := {x ∈ X : x − x0 = r} gọi là mặt cầu tâm x0 bán kính r.
Xét tập con C ⊂ X.
• C giới nội nếu nó được chứa trong một hình cầu B[x0 , r] nào đó,
0 ≤ r < +∞. Mọi dãy hội tụ yếu đều giới nội.
• C là tập đóng (tương ứng, đóng yếu) nếu mọi dãy con {xn } ⊂ C và
xn → x (tương ứng, xn
x) suy ra x ∈ C. Ta ký hiệu C là bao đóng
của C, tức là tập đóng nhỏ nhất chứa C.
• C trù mật trong tập con M ⊂ H nếu M ⊂ C.
• C là compact tương đối (tương đối yếu) nếu mọi dãy vô hạn {xn } ⊂ C

đều chứa dãy con hội tụ (hội tụ yếu). Trong không gian Banach phản
xạ, mọi tập giới nội đều là compact tương đối yếu.
• C là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C thì đoạn thẳng [x, y] := {z ∈ X : z =
λy + (1 − λ)x, λ ∈ [0, 1]} ⊂ C.
Trường hợp X = H là không gian Hilbert thực, ta có một số tập hợp
đặc biệt sau đây.
• Với mỗi c ∈ R, z ∈ H xác định, z = 0H , tập Hc := {x ∈ H : z, x = c}
được gọi là siêu phẳng (hyperplane) trong H;
21


• Với c ∈ R, z = 0H xác định, tập {x ∈ H : z, x ≤ c} (hoặc {x ∈ H :
z, x ≥ c}) được gọi là nửa không gian (haflspace) của H.
Trong luận án này, chúng ta sẽ xét toán tử F : X → Y , trong đó X và
Y là các không gian Banach thực. Ta ký hiệu miền xác định của F là
Dom(F ) := {z ∈ X ∃y ∈ Y : F (z) = y},
còn miền giá trị của F là
R(F ) := {y ∈ Y ∃x ∈ Dom(F ) : F (x) = y}.
Hai không gian đích thường gặp trong luận án là Y = X hoặc Y = X ∗ .
Toán tử F là tuyến tính nếu nó cộng tính và thuần nhất, tức là với mọi
x, y ∈ Dom(F ) ta có αx + βy ∈ Dom(F ) và F (αx + βy) = αF (x) + βF (y).
Trong trường hợp đó ta viết F x thay cho F (x).
Bây giờ ta xét một số khái niệm về tính liên tục của toán tử. Toán tử
F được gọi là
• liên tục tại x ∈ Dom(F ) nếu với mọi dãy {xn } ⊂ Dom(F ) và xn → x
thì F (xn ) → F (x);
• liên tục theo tia hay h−liên tục (hemi-continuous) tại x ∈ Dom(F )
nếu với tn ∈ R, ∀u ∈ X sao cho x + tn u ∈ Dom(F ), ta có
F (x + tn u) → F (x) khi tn → 0+ ;
• bán liên tục (demi-continuous) tại x ∈ Dom(F ) nếu với mọi dãy

{xn } ⊂ Dom(F ) và xn → x khi n → ∞ thì F (xn )
F (x);
• liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho F (x1 )−F (x2 ) ≤
L x1 − x2 với mọi x1 , x2 ∈ Dom(F );
• compact trên tập Ω ⊂ Dom(F ) nếu F biến mọi tập giới nội trong Ω
thành tập compact tương đối trong Y;
• hoàn toàn liên tục trên tập Ω ⊂ Dom(F ) nếu F liên tục và compact
trên Ω. Nếu F là tuyến tính thì tính chất hoàn toàn liên tục và compact
là tương đương.
22


Ta nói F có một trong các tính chất trên, trừ tính liên tục Lipschitz,
nếu tính chất đó đúng với mọi x ∈ Dom(F ). Hiển nhiên, nếu F liên tục
Lipschitz thì nó liên tục, nếu F liên tục thì nó bán liên tục, nếu F bán
liên tục thì nó h−liên tục, nhưng ngược lại có thể không đúng. Nếu toán tử
F là hoàn toàn liên tục trong không gian vô hạn chiều, thì toán tử ngược
của nó nói chung không liên tục.
Trường hợp riêng, khi F liên tục Lipschitz với hằng số L = 1, tức là
F (x1 ) − F (x2 ) ≤ x1 − x2 với mọi x1 , x2 ∈ Dom(F ), ta nói F là toán tử
không giãn. Nếu tồn tại hằng số q ∈ [0, 1) sao cho F (x1 ) − F (x2 ) ≤
q x1 − x2 với x1 , x2 ∈ Dom(F ), thì toán tử F được gọi là co.
Cho toán tử F : X → X ∗ , tập các phần tử
Gr(F ) = (x, y) ∈ X × X ∗ :

x ∈ Dom(F ), y = F (x)

được gọi là đồ thị của F . Chúng ta có một khái niệm liên quan đến đồ thị,
đó là tính bán đóng (demiclosed - xem [4]): Tập hợp G ⊂ X × X ∗ được
gọi là bán đóng nếu từ các điều kiện xn

x và yn → y hoặc xn → x và
yn
y khi n → ∞, trong đó (xn , yn ) ∈ G, ta suy ra (x, y) ∈ G. Toán tử
F : X → X ∗ được gọi là bán đóng nếu đồ thị của nó là bán đóng.
Tính chất bán đóng cần để chứng minh một kết quả trong [25] mà ta sẽ
sử dụng trong Chương 2. Ta cũng có các định nghĩa tương đương về tính
bán đóng của một toán tử F : X → X ∗ như sau ( [4]): F là toán tử bán đóng
(demiclosed operator) tại x ∈ Dom(F ) nếu với mọi dãy {xn } ⊂ Dom(F ),
mà xn → x và F (xn )
y ∈ X ∗ , hoặc xn
x và F (xn ) → y ∈ X ∗ khi
n → ∞, thì F (x) = y.
Phiếm hàm ϕ : X → R, là lồi nếu Dom(ϕ) là tập lồi trong X và với mọi
x, y ∈ Dom(ϕ), λ ∈ [0, 1], ta có ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y).
Trong không gian Banach X, ϕ(x) := x 2 là phiếm hàm lồi.
Phiếm hàm ϕ : X → R là nửa liên tục dưới yếu (weakly lower semicontinuous) tại x0 ∈ Dom(ϕ) nếu với mọi dãy {xn } ⊂ Dom(ϕ) và xn
x0 ,
ta có ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ). Chuẩn trong không gian X là phiếm hàm nửa
n→∞

liên tục dưới yếu.
Nếu X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt, tập C ⊂ X là lồi
đóng, không rỗng thì với mỗi x ∈ X, phần tử
x∗ := argmin z − x
z∈C

23


xác định duy nhất. Phần tử x∗ được gọi là hình chiếu (metric) của x lên

C và ánh xạ PC : X → C,
PC (x) = x∗ := argmin z − x
z∈C

được gọi là phép chiếu (toán tử chiếu) metric lên C. Ta có PC2 = PC ( [4]).
Ngoài ra, trong trường hợp X = H là không gian Hilbert thực, ta có các
tính chất sau (còn gọi là đặc trưng của tập lồi - xem [4, 64]).
Bổ đề 1.1. Cho C là một tập lồi đóng không rỗng bất kỳ trong không gian
Hilbert thực H, các phần tử x, y ∈ H. Khi đó phép chiếu metric PC từ H
vào C thỏa mãn các tính chất sau.
x0 = PC (x) nếu và chỉ nếu
PC (x) − PC (y)

2

≤ x−y

x − x0 , z − x0 ≤ 0 ∀z ∈ C;
2

−

PC (x) − x − PC (y) − y

(1.1)
2

.

(1.2)

Từ tính chất (1.2), ta thấy x − PC (x) 2 + PC (x) − z 2 ≤ x − z 2 với
mọi x ∈ H và z ∈ C. Hơn nữa, đánh giá (1.2) cho thấy toán tử chiếu lên
tập lồi PC là không giãn.
Ngoài phép chiếu metric, trong luận án còn sử dụng phép chiếu suy rộng
xây dựng dựa vào khoảng cách suy rộng.
Toán tử J : X → X ∗ xác định bởi
J(x) := {f ∈ X ∗ : f, x = x

2
X

= f

2
X∗}

gọi là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc. Ta cần đến một số tính chất hình học
sau của không gian Banach X và toán tử đối ngẫu chuẩn tắc (xem [30,67]).
Bổ đề 1.2. Cho X là một không gian Banach và J : X → X ∗ là ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc tương ứng. Ta có các mệnh đề sau.
i) X(X ∗ ) là lồi đều nếu và chỉ nếu X ∗ (X) là trơn đều.
ii) Nếu X là lồi đều, thì nó là phản xạ và lồi chặt. Ngoài ra nó còn có
tính chất Kadec-Klee (hay Efimov-Stechkin), tức là mọi dãy {xn } ⊂ X
thỏa mãn xn

x và xn → x , thì xn → x.
24

iii) Nếu X là trơn đều và lồi đều thì J và J −1 là đơn trị và liên tục đều
theo chuẩn (uniformly norm-to-norm continuous) trên mọi tập giới nội
của X và X ∗ , tương ứng.
Ta thấy nếu X là không gian Banach lồi đều; tập C ⊂ X là lồi đóng,
không rỗng thì với mọi x ∈ X, hình chiếu PC (x) tồn tại duy nhất.
Xét phiếm hàm φ : X × X → R+ xác định bởi
φ(x, y) := x

2

− 2 J(y), x + y

2

∀(x, y) ∈ X × X.

Ta có φ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và φ(x, y) gọi là khoảng cách Bregmann (hay khoảng cách suy rộng) trên X. Trong Chương 3, ta xét khoảng
cách này khi X là không gian Banach thực phản xạ, lồi đều và trơn đều.
Lúc đó, giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong X, với mỗi x ∈ X, phần tử
x0 := argminφ(z, x) xác định duy nhất (xem [3]). Toán tử ΠC : X → C,
z∈C
0

ΠC (x) = x gọi là phép chiếu suy rộng lên tập C. Trong không gian Hilbert,
φ(x, y) ≡ x − y 2 và ΠC (x) ≡ PC (x).
Ta có một số tính chất sau của phiếm hàm φ và phép chiếu suy rộng
ΠC (xem [3, 45, 68]).
Bổ đề 1.3. Cho X là một không gian Banach thực lồi đều và trơn, {xn }
và {yn } là hai dãy phần tử trong X. Nếu φ(xn , yn ) → 0 và một trong hai
dãy {xn } hoặc {yn } là giới nội, thì xn − yn → 0 khi n → ∞.

Bổ đề 1.4. Cho X là một không gian Banach thực lồi đều và trơn. Với mọi
hằng số r > 0, tồn tại hàm số g : [0, 2r] → R+ liên tục, tăng và g(0) = 0
sao cho
φ(x, y) ≥ g( x − y ) ∀x, y ∈ X : x , y ≤ r.
Bổ đề 1.5. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, trơn và lồi chặt, C
là tập lồi đóng khác rỗng trong X. Lúc đó với mọi x ∈ X và z ∈ C, ta có
x∗ = ΠC (x) nếu và chỉ nếu

J(x) − J(z), x∗ − z ≥ 0;

φ(z, ΠC (x)) + φ(ΠC (x), x) ≤ φ(z, x).
25

(1.3)
(1.4)


Tiếp theo chúng ta nhắc lại các khái niệm về tính khả vi của toán tử
(tham khảo [1, 2, 4, 48]).
Toán tử F có Dom(F ) là tập mở, được gọi là khả vi theo Fréchet (hay
khả vi mạnh) tại x ∈ Dom(F ) nếu tồn tại toán tử tuyến tính giới nội
F (x) : X → Y sao cho với mọi h ∈ X thỏa mãn x + h ∈ Dom(F ), ta có
F (x + h) − F (x) = F (x)h + w(x, h),
ở đây w(x, h) / h → 0 khi h → 0. Lúc đó, F (x)h và F (x) tương ứng
được gọi là vi phân Fréchet và đạo hàm Fréchet của F tại x. Toán tử F
gọi là khả vi Fréchet, gọi tắt là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi x ∈ Dom(F ).
Đạo hàm và vi phân Fréchet cấp cao cũng được định nghĩa tương tự.
Toán tử F có Dom(F ) là tập mở, được gọi là khả vi theo Gâteaux
(hay khả vi yếu) tại x ∈ Dom(F ) nếu với mọi h ∈ X, t ∈ R thỏa mãn
x + th ∈ Dom(F ), tồn tại giới hạn

F (x + th) − F (x)
= DF (x, h).
t→0
t

lim

Nếu tồn tại toán tử tuyến tính giới nội B : X → Y sao cho DF (x, h) = Bh,
thì F (x) := B được gọi là đạo hàm Gâteaux (hay đạo hàm yếu) của F
tại x.
Hiển nhiên, toán tử khả vi Fréchet sẽ khả vi Gâteaux và khi đó đạo
hàm mạnh và yếu trùng nhau. Ngược lại, nếu đạo hàm Gâteaux tồn tại và
liên tục trong lân cận U (x) của x ∈ Dom(F ), thì đạo hàm yếu trùng với
đạo hàm mạnh tại x (xem [4]).
Xét trường hợp X = Y = H là không gian Hilbert thực. Giả sử toán tử
F khả vi Fréchet đến cấp n + 1 (n ≥ 1) trong lân cận mở U (x) ⊂ Dom(F )
của x, và h ∈ H sao cho đoạn [x, x + h] ⊂ Dom(F ). Lúc đó, với mọi y ∈ H,
ta có
F (x + h), y =

F (n) (x)hn
F ”(x)h2
+ ··· +
,y
F (x) + F (x)h +
2!
n!
F (n+1) (x + θh)hn+1
+
,y ,

(n + 1)!

(1.5)

trong đó θ = θ(y) ∈ (0, 1). Ta gọi (1.5) là công thức Taylor và trường hợp
riêng của nó
F (x + h) − F (x), y = F (x + θh)h, y ,
26

∀y ∈ H