Một số phương pháp song song dạng Runge - Kutta - Nystrom giải bài toán không cương : Luận án TS. Toán học : 62 46 30 01

Mục lục

danh mục các bảng

viii

Các từ viết tắt

ix

Những kí hiệu trong luận án

xi

mở đầu

1

1

tổng quan về các phơng pháp song song
1.1 Các phơng pháp RKN . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Cấp chính xác của phơng pháp RKN . . . .
1.1.2 Tính ổn định của các phơng pháp RKN . . .
1.2 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp . . .
1.2.1 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp gián
tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp trực
tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Xác định hệ số của phơng pháp RKN . . . .
1.3 Các phơng pháp PIRKN . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Cấp chính xác của các phơng pháp PIRKN .
1.3.2 Sự hội tụ của các phơng pháp PIRKN . . . .
1.3.3 Tính ổn định của các phơng pháp PIRKN .
1.3.4 So sánh sai số của của các phơng pháp PIRKN
1.4 Các phơng pháp IPIRKN . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Cấp chính xác của phơng pháp IPIRKN . .
1.4.2 Xác định hệ số của phơng pháp dự báo . . .
1.4.3 Tính ổn định của phơng pháp IPIRKN . . .
1.4.4 Sai số của các phơng pháp PIRKN . . . . . .
v

5
5
6
7
8

8
9
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

1.5
2

1.4.5 So sánh các phơng pháp PIRKN và IPIRKN
1.4.6 Các phơng pháp TRKN . . . . . . . . . . . . .
1.4.7 Chọn hệ số của phơng pháp . . . . . . . . .
1.4.8 Các phơng pháp PITRKN . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh dạng PIRKN
với công thức dự báo kiểu adams
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Điều kiện cấp chính xác . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Xác định hệ số của phơng pháp PIRKNA . . .
2.4
2.5

2.6

Tính chất ổn định của phơng pháp PIRKNA
Thử nghiệm tính toán . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Các bài toán thử. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 So sánh với các phơng pháp song song . .
2.5.3 Bài toán không dừng tuyến tính . . . . . . .
2.5.4 Bài toán Fehlberg phi tuyến . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.
.
.
.
.
.

21
22
25
27
31

32
32
34
36

37
39
39
41
41
42
42

3

phơng pháp lặp song song giả RKN hai bớc 44
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Phơng pháp hiệu chỉnh PTRKN . . . . . . . . . 45
3.2.1 Điều kiện cấp chính xác . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Zero-ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Phơng pháp IPIPTRKN . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 Điều kiện cấp chính xác của công thức dự báo 54
3.3.2 Tốc độ hội tụ của phơng pháp IPIPTRKN . 56
3.3.3 Miền ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Thử nghiệm tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.1 So sánh với các phơng pháp song song . . . 62
3.4.2 So sánh với các phơng pháp tuần tự . . . . . 64
3.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4

Phơng pháp dự báo hiệu chỉnh dạng RKN
vi


lặp song song liên tục
4.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Phơng pháp RKN liên tục (phơng pháp CRKN)
4.3 Phơng pháp CPIRKN . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Miền ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 So sánh với phơng pháp song song . . . . .
4.4.2 So sánh với các phơng pháp tuần tự . . . . .
4.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

67
68
74
76
77
79
80
82
82

Kết luận

84

các công trình đã công bố liên quan đến luận án

86

Tài liệu tham khảo

87

vii


Danh sách bảng

2.1 Biên ổn định (m) của phơng pháp PIRKNA . . . . . . .
2.2 Giá trị NCD/Nseq của bài toán (testprob1) tính bằng phơng
pháp PIRKNA, PIRKN và IPIRKN . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Giá trị NCD/Nseq của bài toán (testprob2) tính bằng phơng
pháp PIRKN, IPIRKN trực tiếp và PIRKNA . . . . . . . . .

39

3.1 Nhân tử hội tụ của một số phơng pháp song song PC cấp p .
3.2 Biên ổn định (m) của các phơng pháp song song PC cấp p
3.3 NCD/Nseq của bài toán (testprob1) tính bằng phơng pháp
IPIPTRKN và các phơng pháp PIRKN . . . . . . . . . . .
3.4 NCD/Nseq của bài toán (testprob2) tính bằng phơng pháp
IPIPTRKN và các phơng pháp PIRKN . . . . . . . . . . .
3.5 NCD/Nseq của bài toán (testprob3) tính bằng phơng pháp
IPIPTRKN và các phơng pháp PIRKN . . . . . . . . . . .
3.6 So sánh phơng pháp IPIPTRKN6 với code tuần tự giải bài
toán (testprob2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60
61

4.1 Giá trị NCDp |NCDp cho bài toán (testprob2) với các phơng
pháp RKN liên tục khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Biên ổn định stab (m) cho phơng pháp CPIRKN khác nhau .
4.3 Giá trị NCD/Nseq cho bài toán (testprob1) với p khác nhau
4.4 Giá trị NCD/Nseq cho bài toán (testprob2) nhận đợc với p
khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Giá trị NCD/Nseq cho bài toán (testprob3) với p khác nhau
4.6 So sánh phơng pháp CPIRKN56 với code DOPRIN và ODEX2
giải bài toán (testprob2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

viii

43
43

63
64
64
65
74
79
81
81
82
83


Các từ viết tắt

CPIRKN

Continuous parallel-iterated RKN

ERKN

..
Explicit Runge-Kutta-Nystro m

NCD

Number of Correct Decimal Digits

..
Lặp song song liên tục Runge-Kutta-Nystrom
..
Runge-Kutta-Nystrom hiển

Giá trị trung bình số các chữ số thập phân đúng
IPIRKN

..
Improved Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m

IPIPTRKN

Improved Parallel-Iterated Pseudo Two-step

IRK

Implicit Runge-Kutta

..
Lặp song song cải tiến Runge-Kutta-Nystrom

..
Lặp song song cải tiến giả Runge-Kutta-Nystrom hai bớc
Rungge-Kutta ẩn

IRKN

..

Implicit Runge-Kutta-Nystro m

PC

Predictor-Corrector

..
Runge-Kutta-Nystrom ẩn
Dự báo-Hiệu chỉnh

PIPTRKN

..
Parallel-Iterated Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystro m

PIRKNA

..
Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m with Adams-type predictors

PIRKN

..
Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m

PISRKN

..
Parallel-Iterated Symetric Runge-Kutta-Nystro m

..
Lặp song song giả Runge-Kutta-Nystrom hai bớc

..
Lặp song song Runge-Kutta-Nystrom với dự báo kiểu Adams.
..
Lặp song Runge-Kutta-Nystrom

..
Lặp song song đối xứng Runge-Kutta-Nystrom

ix


PITRKN

..
Parallel Iterated Two step Runge-Kutta-Nystro m

PTRKN

..
Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystro m

RK

Runge-Kutta

..
LÆp song song hai b−íc Runge-Kutta-Nystrom

..
Gi¶ Runge-Kutta-Nystrom hai b−íc.
Runge-Kutta

RKN

..
Runge-Kutta-Nystro m

SRKN

..
Symmetric Runge-Kutta-Nystro m

TRKN

..
Two Step Runge-Kutta-Nystro m

..
Runge-Kutta-Nystrom

..
Runge-Kutta-Nystrom ®èi xøng.
..
Runge-Kutta-Nystrom hai b−íc

x

Những kí hiệu trong luận án
Ngoài những kí hiệu thông thờng của giải tích và đại số, trong luận
án này chúng tôi còn dùng một số kí hiệu sau:
1. Tích trực tiếp của hai ma trận.
Giả sử A là ma trận p ì q chiều, B là ma trận bất kì khi đó



a11 B a12 B . . . a1q B

A B = [aij B] = a.21. .B a.22. .B .. .. .. a.2q. B
. .
ap1 B ap2 B . . . apq B

2. Luỹ thừa của một véc tơ . Giả sử c = (c1 , c2 , . . . , cs )T , khi đó

ck = (ck1 , ck2 , . . . , cks )T .
d
3. Toán tử exp( dx
).

d
d
d2
dn
+
.
.
.
+ ...

)=1+
+
dx
dx 2!dx2
n!dxn
Khi đó khai triển Taylor hàm y(t) tại lân cận điểm t0 sẽ là:
exp(

d
y(t0 + h) = exp(h )y(t0 ) =
dt


n=0

1 n dn y(t0 )
h
.
n!
dxn

4. Kí hiệu véc tơ e. Véc tơ e luôn hiểu có tất cả các thành phần bằng 1.
5. Giả sử f (x, y) là hàm thực của hai biến thực x và y , nếu thay

x và y tơng ứng bởi hai véc tơ v = (v1 , v2 , . . . , vs )T và w =
(w1 , w2 , . . . , ws )T , ta đợc véc tơ hàm với s thành phần:
f (v, w) = [f (v1 , w1 ), f (v2 , w2 ), . . . , f (vs , ws )]T .
Nếu x R, còn y thay bởi w = (w1 , w2 , . . . , ws )T ta có
f (x, w) = [f (x, w1 ), f (x, w2 ), . . . , f (x, ws )]T .
xi

Mở đầu

Hầu hết các hiện tợng tự nhiên và kĩ thuật đều đợc mô tả bởi hệ
phơng trình vi phân. Các hệ phơng trình vi phân thuộc loại này thờng
không cho nghiệm đúng dới dạng giải tích. Vì vậy, vấn đề giải gần đúng
hệ phơng trình vi phân đã đợc quan tâm từ lâu. Một trong những hớng
giải gần đúng đó là giải số. Nhng khoa học và công nghệ ngày càng phát
triển, dẫn đến kích thớc các bài toán ngày càng lớn, yêu cầu ngày một
cao về độ chính xác, hơn nữa lại phải cho kết quả trong thời gian thực (real
time problems) chẳng hạn nh bài toán dự báo thời tiết hay bài toán điều
khiển các chuyến bay. Cần thực hiện khối lợng tính toán khổng lồ, với
độ chính xác cao trong khoảng thời gian hạn chế. Các máy tính thế hệ cũ
không thể đáp ứng đợc những yêu cầu này. Trớc nhu cầu bức xúc đó,
một chủng loại máy tính mới đã ra đời, đó là máy tính có tốc độ cao với
nhiều bộ xử lí đồng thời làm việc đó là siêu máy tính ( còn gọi là máy tính
song song, máy tính véc tơ ). Sự ra đời của siêu máy tính mở đờng cho
một hớng phát triển mới của giải tích số nói chung và giải số hệ phơng
trình vi phân nói riêng.
Vì các phơng pháp số trớc đây đợc xây dựng và nghiên cứu nhằm khai
thác loại máy tính truyền thống, chỉ có một bộ xử lý, các phơng pháp đó
còn đợc gọi là các phơng pháp tuần tự. Nếu chỉ sử dụng các phơng
pháp tuần tự sẽ không khai thác một cách có hiệu quả các siêu máy tính.
Việc xây dựng và nghiên cứu các phơng pháp mới nhằm khai thác tốt các
siêu máy tính đã trở thành nhu cầu cấp thiết của toán học tính toán nói
1


chung và giải số các hệ phơng trình vi phân nói riêng. Cho đến nay, việc

xây dựng các thuật toán mới để giải số các bài toán giá trị đầu trên máy
tính song song đã trở thành một hớng nghiên cứu quan trọng. Có ba cách
tiếp cận chính, đó là:
1. Song song hoá trên từng bài toán.
2. Song song hoá trên các bớc lấy tích phân.
3. Song song hoá thuật toán.
Trong ba cách tiếp cận trên, cách tiếp cận thứ ba đợc quan tâm nhất
vì thuật toán đợc xây dựng độc lập với bài toán. Luận án của chúng tôi
cũng không ra ngoài sự quan tâm chung đó.
..
Luận án: Một số phơng pháp song song dạng Runge-Kutta-Nystrom
giải bài toán không cơng của chúng tôi nghiên cứu và phát triển một số
phơng pháp song song để giải bài toán Cauchy cho một lớp hệ phơng
trình vi phân cấp 2 có dạng sau đây:

y (t) = f (t, y(t)),

y(t0 ) = y0 ,

y (t0 ) = y0 ,

t0

y, f RN .

t

T,

(1)

ở đây, cũng nh trong toàn bộ luận án, hàm vế phải f (t, y(t)) luôn giả
thiết liên tục theo biến t và Lipschitz theo biến y, hơn nữa, nghiệm duy
nhất của bài toán (1) đợc giả thiết đủ trơn.
Đây là lớp phơng trình quan trọng trong Vật lí, Cơ học, Thiên văn học...vì
nó mô tả mối quan hệ theo định luật Newton thứ hai.
Một biện pháp truyền thống để giải bài toán (1) là chuyển đổi nó về
hệ phơng trình vi phân cấp 1 với số chiều gấp đôi, sau đó áp dụng các
phơng pháp của hệ phơng trình vi phân cấp 1. Một trong những lớp
phơng pháp truyền thống phổ biến giải hệ phơng trình vi phân cấp 1 là
phơng pháp Runge-Kutta (RK) có lợc đồ nh sau (xem [6]):

Un = e un + h(A IN )F(tn e + hc, Un ),

un+1 = un + h(bT IN )F(tn e + hc, Un ).

(2)

với A, c, b là ma trận và các véc tơ tạo thành bộ tham số của phơng pháp.
Phơng pháp RK (1.1) thờng đợc biểu diễn ngắn gọn dới dạng bảng
Butcher nh sau:
2


A
bT

c

Cách giải nh trên gọi là cách giải gián tiếp. Một cách giải khác là

không đa hệ phơng trình cấp 2 về hệ phơng trình cấp 1, mà giải trực
tiếp nó (còn gọi là phơng pháp trực tiếp). Nhiều nhà toán học đã quan
tâm và xây dựng đợc nhiều phơng pháp số hữu hiệu để giải trực tiếp bài
toán (1) nhờ khả năng khai thác dạng đặc biệt của nó là hàm vế phải không
phụ thuộc đạo hàm cấp một y . Một lớp phơng pháp thành công hơn
..
cả là các phơng pháp Runge-Kutta-Nystrom (RKN). Phơng pháp RKN
..
đầu tiên đợc Nystrom đề xuất vào năm 1925. Về sau một số nhà toán
..
học khác nh Hairer, Fehlberg, Graf... tiếp tục hớng nghiên cứu này của
..
Nystrom và đã xây dựng đợc các phơng pháp RKN hiển (explicit RKN
- ERKN) với cấp chính xác cao hơn (xem[24, 25, 26, 27, 28]).
Tuy đã đợc nghiên cứu và phát triển sớm nhng các phơng pháp
song song dạng RK đã đợc xây dựng mới chỉ dừng ở mức áp dụng cho
hệ phơng trình vi phân cấp 1. Việc giải các bài toán hệ phơng trình vi
phân cấp cao nói chung và cấp 2 nói riêng vẫn phải giải gián tiếp thông
qua việc chuyển đổi về hệ phơng trình vi phân cấp 1. Chỉ tới năm 1993
các phơng pháp song song giải trực tiếp hệ phơng trình vi phân cấp 2
dạng (1) mới đợc N.H. Cong, P.J. van der Houwen, B.P. Sommeijer bắt
đầu nghiên cứu và xây dựng trên cơ sở của phơng pháp RKN ẩn (Implicit
RKN - IRKN) gọi là các phơng pháp song song dạng RKN.
Luận án gồm phần mở đầu và 4 chơng nội dung.
Chơng 1, trình bày một số nét cơ bản về các phơng pháp RKN và
thống kê lại một số lớp phơng pháp song song dạng RKN điển hình đã
đợc xây dựng.
Chơng 2, nghiên cứu một lớp phơng pháp song song với công thức
dự báo hai bớc kiểu Adams (PIRKNA). Kết quả của chơng này công bố
trong [3].

3


Chơng 3, một lớp phơng pháp lặp song song cải tiến giả RKN hai
bớc (IPIPTRKN) đợc xây dựng có các đặc trng tốt về tính ổn định và
tốc độ hội tụ nhng chỉ cần máy tính có ít bộ xử lí. Các kết quả của chơng
này đợc công bố trong bài báo [22].
Chơng 4, nghiên cứu một lớp phơng pháp song song với công thức
đầu ra liên tục (CIPIRKN). Phơng pháp áp dụng tốt trong trờng hợp cần
nhận đợc giá trị của nghiệm tại nhiều điểm khác nhau. Các kết quả của
chơng này công bố trong [23].
Nội dung cơ bản của luận án đã đợc báo cáo tại Bộ môn Toán học Tính
toán, khoa Toán-Cơ-Tin học, trờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn to lớn và sâu sắc tới hai ngời thầy là
GS TSKH Nguyễn Hữu Công và GS TSKH Phạm Kỳ Anh đã tận tình chỉ
bảo, hớng dẫn tôi nghiên cứu để hoàn thành luận án.
Tôi xin cám ơn GS TS Nguyễn Hữu D, TS Vũ Hoàng Linh, TS Nguyễn
Thị Hồng Minh cùng các thành viên trong Seminar bộ môn toán học tính
toán đã đọc, nghe trình bày và đóng góp nhiều ý kiến quý báu giúp cho
luận án đợc hoàn thiện.
Tác giả xin chân thành cám ơn Khoa Toán Cơ-Tin học-Trờng Đại học
Khoa học Tự nhiên; Trờng Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh; Khoa
Khoa học Tự nhiên-Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi hoàn
thành nhiệm vụ.

4


Chơng 1

tổng quan về các phơng pháp song song

Trong chơng này trớc hết chúng tôi trình bày phơng pháp
..
Runge-Kutta-Nystrom (RKN) giải trực tiếp bài toán (1) và sau đó
chọn lọc một số phơng pháp song song dạng RKN điển hình đã
đợc xây dựng. Chúng tôi u tiên cho việc trình bày các phơng
pháp song song mà luận án có liên quan.
1.1 Các phơng pháp RKN

Để giải trực tiếp bài toán (1), ta xét một phơng pháp có nhiều u điểm
giống phơng pháp RK, đó là phơng pháp RKN s-nấc sau đây:
s
2

Un,i = un + hci un + h

aij f (tn + cj h, Un,j ),

i = 1, . . . , s,

j=1
s

un+1 = un + hun + h2

bj f (tn + cj h, Un,j ),

(1.1)

j=1
s

un+1 = un + h

dj f (tn + cj h, Un,j ).
j=1

Hay dới dạng ma trận véc tơ tơng đơng

Un = e un + hc u n + h2 (A IN )F(tn e + hc, Un ),

un+1 = un + hu n + h2 (bT IN )F(tn e + hc, Un ),

u n+1 = u n + h(dT IN )F(tn e + hc, Un ),
5

(1.2)


trong đó: Un = (UT n,1 , . . . , UT n,s )T ; F(tn e + hc, Un ) = [(f(tn +
c1 h, Un,1 ), . . . , (f(tn + cs h, Un,s )]T đều là các véc tơ sN chiều, Un
đợc gọi là véc tơ nấc. b, c, d, e là các véc tơ s-chiều, IN là ma trận
đơn vị N ì N .
Khi N = 1, tức là hệ phơng trình vi phân chỉ có một phơng trình, thì
phơng pháp (1.2) có dạng đơn giản hơn sau đây:

Un = un e + hun c + h2 Af (tn e + hc, Un ),

(1.3a)

un+1 = un + hun + h2 bT f (tn e + hc, Un ),

(1.3b)

un+1 = un + hdT f(tn e + hc, Un ),

(1.3c)

ở đây, kí kiệu un , un là giá trị gần đúng của lời giải và đạo hàm cấp 1 tại
điểm tn . Nếu ma trận hệ số A có dạng tam giác dới chặt, tức là các phần
tử thuộc đờng chéo chính và phía trên đờng chéo chính bằng không, thì
phơng pháp (1.1), ( hoặc (1.2), (1.3)) đợc gọi là phơng pháp RKN hiển
(Explicit RKN - ERKN). Trong trờng hợp ngợc lại, chúng đợc gọi là
phơng pháp RKN ẩn (Implicit RKN - IRKN).
Để đơn giản cho trình bày, trong luận án này, tuỳ từng trờng hợp cụ thể,
bài toán IVPs (1) có thể là bài toán vô hớng (N = 1) hoặc hệ phơng
trình (N > 1). Chú ý rằng, việc xét bài toán nào không ảnh hởng tới tính
tổng quát của phơng pháp.
1.1.1 Cấp chính xác của phơng pháp RKN

Để hiểu một cách thống nhất thế nào là cấp chính xác của một phơng
pháp RKN chúng ta sử dụng các định nghĩa sau (có thể xem trong [33]):
Định nghĩa 1.1.1 Nếu y(t) là nghiệm chính xác địa phơng của (1), thoả
mãn điều kiện y(tn ) = un , y (tn ) = un và
||y(tn+1 ) un+1 || = O(hp1 +1 ),

||y (tn+1 ) un+1 || = O(hp2 +1 ),
thì phơng pháp RKN (1.1) đợc gọi là phơng pháp có cấp chính xác

(order) p với p = min(p1 , p2 ).
6


Định nghĩa 1.1.2 Với giả thiết nh trên, nếu

||Un (tn+1 ) un e hun c h2 Af (tn e + hc, Un (tn+1 ))|| = O(hp3 +1 ),
ở đây Un (tn+1 ) = [y(tn + c1 h), . . . , y(tn + cs h)]T ,

thì phơng pháp RKN (1.1) đợc gọi là có cấp chính xác nấc (stage order)
bằng r với r = min(p, p3 ).

Cấp chính xác nấc của các phơng pháp IRKN có vai trò rất quan trọng
khi chúng ta giải các bài toán cơng. Các phơng pháp IRKN dạng trùng
khớp (collocation) là các phơng pháp có cấp chính xác nấc cao (mục 1.2).
1.1.2 Tính ổn định của các phơng pháp RKN

Cũng nh các phơng pháp số khác, tính chất ổn định của các phơng
pháp RKN là một trong những đặc trng quan trọng của một phơng pháp
số. Ngời ta nghiên cứu sự ổn định (tuyến tính) của phơng pháp RKN
(1.1) bằng cách áp dụng nó vào việc giải phơng trình thử vô hớng tuyến
tính y (t) = y(t), trong đó biến đổi trên phổ của ma trận Jacobi f /y.
áp dụng phơng pháp (1.3) vào phơng trình thử, ta nhận đợc hệ thức
truy hồi sau:

un+1
un
hun+1 = M (z) hun ,
M(z) =

1 + zbT [I zA]1 e 1 + zbT [I zA]1 c
.
zdT [I zA]1 e
1 + zdT [I zA]1 c

ở đây z = h2 , với < 0. Chú ý là ma trận I zA luôn khả nghịch
với |z| đủ nhỏ. Sự ổn định của phơng pháp RKN (1.3) đợc đặc trng
bởi ma trận khuếch đại M(z). Hàm ổn định R(z) của phơng pháp RKN
đợc xác định bằng bán kính phổ của ma trận khuếch đại M(z), tức là:

R(z) = (M (z)).

7


Định nghĩa 1.1.3 Phơng pháp RKN đợc gọi là ổn định tuyệt đối (A-ổn
định) nếu R(z)

1 với mọi z < 0, ổn định tuyệt đối mạnh (A-ổn định
mạnh) nếu có thêm điều kiện R() < 1, L-ổn định nếu ổn định tuyệt
đối và có thêm điều kiện R() = 0, P-ổn định nếu hai giá trị riêng
của ma trận khuếch đại không phải là số thực và có modul bằng 1 với
mọi z < 0.

Giá trị dơng lớn nhất để cho R(z) 1 với mọi z nằm trong khoảng
(, 0) đợc gọi là biên ổn định của phơng pháp. Nh vậy phơng pháp
RKN ổn định tuyệt đối tơng đơng với = .
1.2 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp

Sau đây chúng ta nghiên cứu cách xây dựng các phơng pháp IRKN

dạng trùng khớp. Cần phân biệt hai lớp phơng pháp IRKN dạng trùng
khớp, đó là lớp phơng pháp IRKN dạng trùng khớp gián tiếp (indirect
IRKN collocation type) và lớp phơng pháp IRKN dạng trùng khớp trực
tiếp (direct IRKN collocation type) mà chúng đợc gọi tắt tơng ứng là các
phơng pháp IRKN gián tiếp và phơng pháp IRKN trực tiếp.
1.2.1 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp gián tiếp

Phơng pháp IRKN gián tiếp đợc xây dựng bằng cách áp dụng một
phơng pháp IRK dạng trùng khớp vào bài toán (1) đã đợc chuyển thành
bài toán tơng đơng của hệ phơng trình vi phân cấp 1 (xem [32, 1]):

y = u(t), u (t) = f(t, y(t)), y(t0 ) = y0 , u(t0 ) = u0 = y0 .
Bảng Butcher của phơng pháp IRKN trùng khớp gián tiếp:

c

(A)2
bT .A
bT
8


Các kết quả nghiên cứu cho thấy, nếu phơng pháp IRK gốc có cấp
chính xác p với k quan hệ ẩn thì phơng pháp IRKN dạng trùng khớp gián
tiếp cũng có cấp chính xác p và cũng với k quan hệ ẩn. Bây giờ ta giả
sử rằng phơng pháp IRK gốc là phơng pháp dạng trùng khớp dựa trên s
điểm mốc phân biệt (s nấc), khi đó:

A = (aij ) = (j (ci )), d = (di ) = j (1)
x

j (x) =

s

Lj ()d, Lj (x) =
i=1,i=j

0

x ci
, j = 1, ...s
cj ci

(1.5)

ở đây Lj (x) là đa thức Lagrange với s điểm mốc ci , i = 1, . . . , s, kết quả
chính về vấn đề này thể hiện ở định lí sau:
Định lí 1.2.1 Phơng pháp IRKN dạng trùng khớp gián tiếp xác định
bởi (1.5) có cấp chính xác toàn cục p = r = s với mọi véc tơ trùng khớp c
có các thành phần phân biệt. Có thể có p = s + q nếu điều kiện trực giao
sau đây đợc thoả mãn
x

Pj (1) = 0, Pj (x) =

s

j1
i=1

0

( ci )d, j = 1...q

(1.6)

1.2.2 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp trực tiếp

Phơng pháp IRKN trùng khớp trực tiếp đợc xây dựng một cách trực
tiếp cho hệ phơng trình vi phân cấp hai chứ không chuyển về hệ phơng
trình cấp một. Việc xác định bộ hệ số của phơng pháp IRKN trực tiếp
theo kĩ thuật trùng khớp (collocation techniques) đợc nghiên cứu một cách
đầy đủ trong [33] (xem thêm [1]).
Các kết luận đợc rút ra từ các kết quả nghiên cứu và so sánh hai
phơng pháp IRKN gián tiếp và IRKN trực tiếp nh sau:
- Tính chất hội tụ trong các phơng pháp IRKN gián tiếp và trực tiếp
đều rất tốt, chúng ta có thể nhận đợc siêu hội tụ (super convergence) tức
là sự hội tụ nhanh hơn bình thờng trong cả hai phơng pháp này (xem [1]).
9


- Phơng pháp IRKN trực tiếp có cấp chính xác nấc (stage order) cao
hơn cấp chính xác nấc của phơng pháp IRKN gián tiếp có cùng cấp chính
xác.
- Tính chất ổn định của các phơng pháp IRKN trực tiếp kém hơn so
với các phơng pháp IRKN gián tiếp.
Để khắc phục nhợc điểm thiếu ổn định của phơng pháp IRKN trực

tiếp, các tác giả của [33] cũng đã đa ra một số giải pháp nh kĩ thuật ổn
định hoá (stabilizing) để chuyển các phơng pháp IRKN trực tiếp ổn định
có điều kiện thành phơng pháp ổn định tuyệt đối. Một giải pháp khác nữa
là kĩ thuật xây dựng các phơng pháp IRKN đa hợp (Composite IRKN) ổn
định tuyệt đối mạnh (xem cụ thể trong [33, 1]). Với các kĩ thuật này chúng
ta có thể xây dựng đợc các phơng pháp IRKN trực tiếp ổn định tốt và
có cấp chính xác nấc cao - một tính chất rất cần thiết khi giải các bài toán
cơng (stiff problems).
1.2.3 Xác định hệ số của phơng pháp RKN

Phơng pháp RKN hoàn toàn đợc xác định bởi ma trận A và các véc tơ
b, c, d. Trong mục này ta biểu diễn A, b, d qua c. Giả sử (1.3a) có cấp
chính xác p, thay vào (1.3a) giá trị chính xác tơng ứng, ta tính đợc ma
trận và véc tơ hệ số:
Tính ma trận A

||y(etn + ch) ey(tn ) hcy (tn ) h2 Ay (etn + ch)|| = O(hp+1 ).
Khai triển Taylor các hàm y(etn + ch), y (etn + ch) tại lân cận điểm tn ,
ta có:
p
ck hk
y(etn + ch) =
y (k) (tn )
+ O(hp+1 ).
k!
k=0
p

2

ck2 hk
Ay (tn )
+ O(hp+1 ).
(k 2)!
(k)

h y (etn + ch) =
k=2

10


p

⇒

||

k=2

ck
ck−2
−A
y (k) (tn )|| = O(hp+1 ).
k!
(k − 2)!

¸p dông ®iÒu kiÖn cÊp chÝnh x¸c, ta cã

ck

ck−2
−A
= 0,
k!
(k − 2)!

k = 1, ..., p − 1.

ck+1
Hay lµ:
− Ack−1 = 0, k = 1, ..., p − 1.
(k + 1)k
c2
cs+1
−
, R = e, c, ..., cs−1 , víi p=s+1.
§Æt P =
(k + 1)k (s + 1)s
⇒ P − AQ = O, ⇒ A = P R−1 .
TÝnh c¸c vÐc t¬ b, d

VÐc t¬ b còng ®−îc tÝnh theo ®iÒu kiÖn cÊp chÝnh x¸c
||y(tn+1 ) − yn+1 || = O(hp+1 ). Tõ (1.3b), ta cã

||y(tn+1 − y(tn ) − hy (tn ) − h2 bT y (etn + ch)|| = O(hp+1 ).

Khai triÓn Taylor
p

y(tn + h) =

k=0
p

⇒

||

k=2

hk
y (tn) + O(hp+1 ),
k!
(k)

k−2
1
T c
−b
y (k) (tn )|| = O(hp+1 ).
k!
(k − 2)!

¸p dông ®iÒu kiÖn cÊp chÝnh x¸c, dÉn tíi

1
bT ck−2
1
−
= 0, ⇒
− bT ck−2 = 0, k = 2, ..., p,

k! (k − 2)!
k(k − 1)
1
1
víi p = s + 1, ®Æt g =
, ...,
,
1.2
s(s + 1)
⇒ b = gR−1 .
T−¬ng tù, ta còng tÝnh ®−îc vÐc t¬ d:

1
1
d = kR−1 , víi k = 1, , ..., .
2
s
11


1.3 Các phơng pháp PIRKN

Một trong các phơng pháp song song dạng RKN đầu tiên đợc xây
dựng trên cơ sở phép lặp hiển kiểu dự báo-hiệu chỉnh (explicit PC iterations)
với công việc tính toán khi thực hiện phép lặp có thể đợc tiến hành song
song trên các bộ xử lí khác nhau của một siêu máy tính. Do đó mà các
phơng pháp này có tên là các phơng pháp lặp song song dạng RKN
(Parallel Iterated RKN methods) và viết tắt là PIRKN (xem [7]).
Xuất phát từ phơng pháp IRKN (1.3), lợc đồ của một phơng pháp
PIRKN đợc xây dựng có dạng nh sau:

Yn(0) = eyn + hcyn ,

(1.7a)

Yn(j) = eyn + hcyn + h2 Af (tn e + hc, Yn(j1) ),

(1.7b)

j = 1, . . . , m,
yn+1 = yn + hyn + h2 bT f (tn e + hc, Yn(m) ),

(1.7c)

yn+1 = yn + hdT f (tn e + hc, Yn(m) ).

(1.7d)

Về cấu trúc thì phơng pháp PIRKN là một phơng pháp dự báo-hiệu
chỉnh với cặp dự báo (1.7a) và hiệu chỉnh (1.7b). Dễ thấy rằng phơng pháp
PIRKN (1.7) chính là một phơng pháp ERKN thực sự với bảng Butcher
có dạng nh sau:

0(j = 0)
c(j = 1)
c(j = 2)
.
.
.
c(j = m)

O
A
O

O
A

O
.

O O O
0T 0T 0T
0T 0T 0T

.
.

...
...
...

.
.
.
O A O
0T 0T bT
0T 0T dT

trong đó 0 là véc tơ s chiều với các thành phần bằng 0, O là ma trận s ì s

chiều cũng với các phần tử bằng 0
Khối lợng chính khi giải lợc đồ trên là tính toán véc tơ hàm vế
(j)
(j)
(j)
phải f (tn e + hc, Yn ) = [f (tn + hc1 , Yn,1 ), . . . , f (tn + hcs , Yn,s )] với
12


j = 1, . . . , m. Để ý thấy rằng tại mỗi bớc s thành phần trên có thể tính
toán song song trên s bộ xử lí của một siêu máy tính, khi đó, thời gian tính
toán cần thiết của phơng pháp PIRKN tơng đơng với m + 1 lần tính
toán hàm vế phải f trên máy tính truyền thống có một bộ xử lí. Chúng
ta gọi lợc đồ (1.7) là phơng pháp PIRKN s quá trình.
1.3.1 Cấp chính xác của các phơng pháp PIRKN

Để ý rằng phơng pháp dự báo (1.7a) có cấp chính xác bằng 1, tức là
(0)
Un Yn = O(h2 ) ta có các đánh giá sai số lặp sau đây:

||Un Yn(m) || = O(h2m+2 ),
un+1 yn+1 = O(h2m+4 ),

un+1 yn+1 = O(h2m+3 ).

(1.8a)
(1.8b)
(1.8c)

với Un , un+1 , un+1 đợc tính toán bằng phơng pháp hiệu chỉnh (1.3).

Nếu phơng pháp hiệu chỉnh có cấp chính xác p thì ta có các đánh giá sau
về sai số của phơng pháp PIRKN (1.7)

y(tn+1 ) yn+1 = y(tn+1 ) un+1 + un+1 yn+1
= O(hp+1 ) + O(h2m+4 ),

y (tn+1 ) yn+1 = y (tn+1 ) un+1 + un+1 yn+1
= O(hp+1 ) + O(h2m+3 ).

(1.9a)
(1.9b)

Từ các đánh giá sai số lặp (iteration error) ở trên của phơng pháp
PIRKN ta có Định lí sau về cấp chính xác của phơng pháp PIRKN
(xem [7]):
Định lí 1.3.1 [1, Định lí 2.1] Giả sử phơng pháp hiệu chỉnh (1.3) có cấp
chính xác p. Khi đó trên một máy tính song song s bộ xử lí, phơng
pháp PIRKN, (1.7) là một phơng pháp ERKN có cấp chính xác p =

min{p, 2m + 2} với m + 1 lần tính toán hàm vế phải ở mỗi bớc.
Từ Định lí 1.3.1 ta thấy cấp chính xác p của phơng pháp PIRKN (1.7)
không thể nào vợt quá cấp chính xác p của phơng pháp hiệu chỉnh (1.3).
13


Phơng pháp PIRKN tối u (có cấp chính xác cực đại p = p) với m =
(p 1)/2 ( . là hàm lấy phần nguyên) sẽ có số lần tính toán hàm vế
phải là m + 1 = (p 1)/2 + 1 = (p + 1)/2 .
Hệ quả 1.3.1 Phơng pháp PIRKN (1.7) tối u với cấp chính xác bằng p
chỉ cần (p + 1)/2 lần tính toán hàm vế phải ở mỗi bớc.

Từ hệ quả trên ta thấy với cùng cấp chính xác, phơng pháp PIRKN
rẻ hơn xấp xỉ 2 lần so với phơng pháp của Hairer (xem [31]) và phơng
pháp song song gián tiếp PIRK (Parallel-Iterated RK method) (xem [34])
là hai phơng pháp tốt nhất đã có.
1.3.2 Sự hội tụ của các phơng pháp PIRKN

Trong công nghệ tính toán hiện đại, số lần lặp m trong (1.7b) đợc
chọn theo một chiến lợc đánh giá sai số nào đó chứ không chọn một cách
cố định theo cấp chính xác của phơng pháp. Trong phần này ta tìm hiểu
tính chất hội tụ của các phơng pháp PIRKN. Việc nghiên cứu sự hội tụ của
phơng pháp PIRKN dựa trên cơ sở của phơng trình thử y (t) = y(t),
trong đó biến đổi trên phổ của ma trận Jacobi f /y. Đối với phơng
trình thử này phơng trình sai số lặp có dạng sau:

Yn(j) Un = zA[Yn(j1) Un ],

z := h2 ,

j = 1, . . . , m.

Điều kiện hội tụ của quá trình lặp (1.7b) là (zA) < 1 hay điều kiện
đối với bớc lặp h là:

|z| < 1/(A),

hay h2 <

1
.

(A)(f /y)

(1.10)

Nh vậy trong quan hệ với phơng trình thử, tốc độ hội tụ của phơng
pháp (1.7) đợc xác định theo bán kính phổ (A) của ma trận A của phơng
pháp hiệu chỉnh IRKN tơng ứng. Ta gọi 1/(A) là biên hội tụ của phơng
pháp. Qua kết quả nghiên cứu cho thấy các phơng pháp PIRKN trực tiếp
có biên hội tụ lớn hơn ( tức nhân tử hội tụ nhỏ hơn, dẫn tới hội tụ nhanh
14


hơn) các phơng pháp PIRKN gián tiếp cùng cấp chính xác p. Đây là một
trong những điểm u việt của phơng pháp IRKN trực tiếp.
1.3.3 Tính ổn định của các phơng pháp PIRKN

Tính chất ổn định của phơng pháp PIRKN cũng đợc nghiên cứu trên
cơ sở áp dụng vào phơng trình thử y (t) = y(t), trong đó nh thờng
lệ, biến đổi trên phổ của ma trận Jacobi f /y. Đối với bài toán thử khi
áp dụng phơng pháp PIRKN (1.7) ta thu đợc định lí sau:
Định lí 1.3.2 Nghiệm xấp xỉ của bài toán (1) đối với phơng trình thử
đợc tính bằng phơng pháp (1.7) thoả mãn hệ thức truy hồi sau đây

yn+1
yn
hyn+1 = Mm (z) hyn ,
Mm (z) =

(1.11)

1 + zbT [I zA]1 [I (zA)m+1 ]e 1 + zbT [I zA]1 [I (zA)m+1 ]c .
zdT [I zA]1 [I (zA)m+1 ]e
1 + zdT [I zA]1 [I (zA)m+1 ]c

Chứng minh. áp dụng phơng pháp PIRKN (1.7) vào phơng trình thử

ta có:

Yn(m) = eyn + hcyn + zAYnm1
(0)
= (I + zA + (zA)2 + ... + (zA)m1 )(yn e + hcyn ) + (zA)m Ym
= (I zA)1 )[I (zA)m+1 ]yn e + (I zA)1 [I (zA)m+1 ]chyn (1.12a)
yn+1 = yn + hyn + zbT Yn(m) =
{1 + zbT (I zA)1 [I (zA)m+1 e}yn +
{1 + zbT (I zA)1 [I (zA)m+1 ]c}hyn (1.12b)
hyn+1 = hyn + zdT Yn(m)
= zdT (I zA)1 [I (zA)m+1 e]yn +

{1 + zdT (I zA)1 [I (zA)m+1 ]c}hyn . (1.12c)

Kết hợp các đẳng thức (1.12a), (1.12b), (1.12c) ta đợc hệ thức truy
hồi (1.7) và định lí đợc chứng minh.

15


Tính chất ổn định của phơng pháp PIRKN đợc xác định bởi bán kính
phổ của ma trận khuếch đại Mm (z), tức là:

R(z) = (Mm (z)).

Với m hữu hạn, ta kí hiệu biên ổn định của phơng pháp PIRKN là
(m) thì khoảng ổn định của phơng pháp PIRKN đợc xác định bởi:

(m), 0 = z : Mm (z)

1, z

0 .

Hệ quả 1.3.2 Giả sử (corr) là biên ổn định của phơng pháp hiệu chỉnh
IRKN. 1/(A), () là biên hội tụ và biên ổn định tiệm cận của phơng
pháp PIRKN. Khi đó nếu corr 1/(A) thì () 1/(A). Nếu

corr < 1/(A), thì () = corr .

Chứng minh. Từ hệ thức (1.11) ta thấy nếu điều kiện hội tụ (1.10) đợc
thoả mãn, thì khi m tiến tới ma trận khuếch đại Mm (z) của phơng pháp
PIRKN tiến tới ma trận khuếch đại của phơng pháp hiệu chỉnh IRKN là
M (z) và ta có

(1/(A), 0) ((), 0) (corr , 0)
và hệ quả đợc chứng minh.
Kết quả tính toán trong [8] cho thấy các phơng pháp PIRKN gián tiếp
thờng có miền ổn định rộng hơn miền ổn định của phơng pháp PIRKN
trực tiếp. Nhng nhìn chung miền ổn định của cả hai phơng pháp đều đủ
lớn để giải các bài toán không cơng. Vấn đề chỉ còn ở chỗ lựa chọn số
lần lặp m hợp lí để nhận đợc phơng pháp với miền ổn định đủ tốt. Trong
[8] cũng đa ra các phơng án lựa chọn giá trị tốt của m.
1.3.4

So sánh sai số của của các phơng pháp PIRKN

Từ kết quả ở mục 1.3.1 ta thấy PIRKN trực tiếp và PIRKN gián tiếp
có cùng cấp chính xác. Ta cũng thấy sai số chặt cụt của mỗi phơng pháp
PIRKN phụ thuộc vào sai số của phơng pháp hiệu chỉnh và sai số lặp.
16


Để hiểu thêm về sai số chặt cụt của các phơng pháp PIRKN gián tiếp và
trực tiếp, chúng ta nghiên cứu nó trên cơ sở phơng trình thử vô hớng
y (t) = y(t).
Định lí 1.3.3 Giả sử wn = (un , hun )T , vn = (yn , hy n )T là nghiệm xấp xỉ
của phơng trình thử đợc tính bằng phơng pháp IRKN và phơng pháp
PIRKN. Khi đó ta có sai số lặp địa phơng xác định bởi hiệu wn+1 vn+1
đợc tính theo công thức sau:

wn+1 vn+1 = Em (z)vn
ở đây

Em (z) =

zbT [I zA]1 (zA)m+1 e zbT [I zA]1 (zA)m+1 c
.
zdT [I zA]1 (zA)m+1 e zdT [I zA]1 (zA)m+1 c

1.4 Các phơng pháp IPIRKN

Tính hiệu quả của các phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh phụ thuộc khá
nhiều vào độ chính xác của các phơng pháp dự báo, vì nếu có sự dự báo
chính xác cao thì số lần hiệu chỉnh ít đi. Bằng cách thay thế phơng pháp

dự báo một bớc (1.7a) trong phơng pháp PIRKN (1.7) bằng phơng pháp
dự báo hai bớc sau đây:
(m)

Yn(0) = wyn + V Yn1

(1.13)

trong đó V là ma trận cấp s ì s, w là vectơ s chiều. Ma trận và vectơ
tham số này đợc xác định theo điều kiện cấp chính xác của công thức dự
báo (xem [1, trang 26]). Bằng cách sử dụng phơng pháp dự báo (1.13)
vào phơng pháp PIRKN (1.7) ta đợc phơng pháp mới với lợc đồ
{(1.13),(1.7b),(1.7c)}. So với các phơng pháp PIRKN tính hiệu quả
của phơng pháp này đợc nâng cao, chính vì vậy mà chúng đợc gọi
là các phơng pháp PIRKN cải tiến (Improved PIRKN methods- IPIRKN)
(xem [1]).
17


Trong [1] đã chỉ ra rằng, hai phơng pháp PIRKN và IPIRKN có tính
ổn định và tính hội tụ nói chung là nh nhau, nhng phơng pháp IPIRKN
tốt hơn PIRKN ở điểm sau đây: PIRKN đạt tối u với cấp chính xác p cần
[ p+1
2 ] lần tính toán hàm vế phải ở mỗi bớc. Trong khi đó, cũng với cấp
chính xác p, IPIRKN với dự báo cấp q chỉ cần [ pq+2
2 ] lần tính toán hàm
vế phải.
1.4.1 Cấp chính xác của phơng pháp IPIRKN

Giả sử phơng pháp dự báo (1.13) có cấp chính xác q (tức là ||U

Yn || = O(hq+1 )), và phơng pháp hiệu chỉnh có cấp chính xác p. Khi
đó ta có các đánh giá sai số lặp tơng tự nh (2.3) sau đây:
(0)

||Un Yn(m) || = O(h2m+q+1 )

(1.14a)

||un+1 yn+1 || = O(h2m+q+3 )

(1.14b)

||y(tn+1 ) yn+1 || = O(hp+1 ) + O(h2m+q+3 )

(1.14d)

||u n+1 y n+1 || = O(h2m+q+2 )

||y (tn+1 ) yn+1 || = O(hp+1 ) + O(h2m+q+2 ).

(1.14c)
(1.14e)

Trong các hệ thức trên, Un , un+1 , u n+1 đợc xác định bằng phơng
pháp IRKN. Vậy từ (1.14) ta nhận đợc định lí
Định lí 1.4.1 Giả sử phơng pháp hiệu chỉnh (1.3) có cấp chính xác p,
phơng pháp dự báo có cấp chính xác q . Khi đó trên một máy tính có s bộ
xử lí, phơng pháp IPIRKN là một phơng pháp hiển dạng RKN có cấp
chính xác p = min(p, 2m + q + 1) với m + 1 lần tính toán hàm vế phải
ở mỗi bớc

Từ định lí 1.4.1 ta thấy cũng nh đối với các phơng pháp PIRKN, cấp
chính xác của phơng pháp IPIRKN không thể nào vợt quá cấp chính xác
p của phơng pháp hiệu chỉnh IRKN (1.3). Nếu ta chọn m = pq
thì đây
2
là giá trị nhỏ nhất để phơng pháp IPIRKN có cấp chính xác cực đại đúng
bằng cấp chính xác của phơng pháp hiệu chỉnh IRKN. Chúng tôi cũng gọi
18