Dáng điệu nghiệm của hệ động lực tuyến tính và một vài ứng dụng: Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

THÂN THU PHƯƠNG

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
TUYẾN TÍNH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

THÂN THU PHƯƠNG

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
TUYẾN TÍNH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2015


Mục lục
1 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh của nửa nhóm liên tục
mạnh
1.1 Khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất sơ cấp
của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Một số tính chất sơ cấp của nửa nhóm liên tục mạnh . . .
1.2 Khái niệm về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh và các
tính chất của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Khái niệm về toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Các tính chất của toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Một vài biểu thức liên quan đến giải của toán tử sinh . . .
1.3 Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . .
1.4 Một số dạng đặc biệt của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . .
1.4.1 Nửa nhóm liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Nửa nhóm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Bài toán nhiễu của nửa nhóm liên tục mạnh
2.1 Khái niệm về họ các toán tử tiến hóa và một số tính chất nghiệm
của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . .
2.2 Phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu trên đường thẳng thực
và một số mô hình đơn loài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Mô hình quần thể tăng trưởng theo hàm mũ (Malthus, 1798)

2.2.2 Mô hình quần thể tăng trưởng Logistic (Verhulst, 1838) .
2.3 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra đơn giản . . . . . . . . . . . .
2.4 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra với loài mồi tăng trưởng Logistic
2.5 Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . .
2.6 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Nhiễu tuyến tính của phương trình tiến hoá và họ toán tử tiến
hóa liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

4
4
4
5
7
7
8
12
15
21
21
25
28
28
38
38
39

40
43
45
48
54
56
56
58


Mở Đầu
Lý thuyết hệ động lực được khởi xướng bởi nhà toán học Pháp Henri Poincare
cách đây hơn 1 thế kỷ. Ngày nay, nó đã được phát triển mạnh mẽ và đã trở thành
một lĩnh vực quan trọng trong toán học. Lý thuyết hệ động lực liên quan tới hầu
hết các ngành khoa học khác và được ứng dụng rộng rãi trong đời sống hằng
ngày. Để có thể có một khái niệm sơ lược nhất về hệ động lực ta sẽ bắt đầu
làm quen với định nghĩa sau. Ký hiệu R là đường thẳng thực, M là một không
gian Metric, giả sử S là tập mở trong M. Ta thường ký hiệu φ : R × S → M bởi
φ = φ(t, x) (hay φ = φt x ) khi đó ánh xạ φ là nhóm phụ thuộc một tham số tức
là:
(a) φt=0 : S → S là ánh xạ đồng nhất.
(b) φt .φs = φt+s , với mọi s, t ∈ R.
Như chúng ta đã biết hầu hết các vấn đề liên quan tới toán học trừu tượng
mà có thể ứng dụng trong các ngành khoa học tự nhiên đều đi đến nghiên cứu
tính chất của một hệ động lực nào đó hoặc tập nghiệm của các phương trình vi
phân thường và phương trình đạo hàm riêng. Bài toán mà chúng tôi sẽ đề cập
đến trong bản Luận văn "Dáng điệu nghiệm của hệ phương trình động lực tuyến
tính và một số ứng dụng" chủ yếu là tìm hiểu và trình bày lại một vài vấn đề
cơ bản của phương pháp hệ động lực tuyến tính và khả năng ứng dụng của nó
trong thực tế. Cụ thể hơn đó là phương pháp nửa nhóm bị nhiễu để nghiên cứu

các phương trình tiến hóa. Tuy nhiên đây là một lĩnh vực khá trừu tượng và đa
dạng vì vậy trong khuôn khổ của một bản luận văn thạc sĩ chúng tôi sẽ dành sự
quan tâm nhiều hơn cho việc xây dựng ví dụ minh họa cho phương pháp nửa
nhóm và một vài ứng dụng của lý thuyết nhiễu trong một số mô hình quần thể
sinh học quen thuộc.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương một trình bày định nghĩa, tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh
và một số định lý quan trọng về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh. Để
2


hoàn thành nội dung của chương này chúng tôi đã tham khảo tài liêu [1], [2],[6],
[7], [8], [9], [10], [12], [14].
Chương hai trình bày về bài toán nhiễu của nửa nhóm, định nghĩa và tính
chất của họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt và ứng dụng của bài toán
nhiễu trong các mô hình quần thể đa loài. Để hoàn thành nội dung của chương
này chúng tôi đã tham khảo tài liêu [11], [17], [18], [19], [23], [25], [26].
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đặng
Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã
dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc
hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những
điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn
tới phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ
tục học tập và bảo vệ luận văn.
Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những
sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời
gian qua.
Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinh

thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Thân Thu Phương

3


Chương 1

Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử
sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
1.1

Khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất
sơ cấp của nửa nhóm liên tục mạnh

1.1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Một họ (T (t))t≥0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên không
gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm ) nếu
nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1. T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s ≥ 0.
2. T (0) = I .
3. lim T (t)x = T (t0 )x với mọi x ∈ X, t ≥ 0.

t→t0

Ví dụ 1.1.
Xét nửa nhóm (T (t))t≥0 trong không gian C0 = C0 (R), xác định bởi
C0 (R) = {f ∈ C(R) : lim f (s) = 0}.
s→±∞

Với chuẩn ||f || = sup |f (s)|. Ta có (C0 , ||.||) là một không gian Banach.
s∈R

∀t ≥ 0, ta định nghĩa:
(Tl (t)f )(s) = f (t + s)

∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R.

(Tr (t))f (s) = f (s − t)

∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R.

Và

4


Khi đó (Tr (t))t≥0 và (Tl (t))t≥0 là các nửa nhóm liên tục mạnh trên C0 , được gọi
tương ứng là nửa nhóm dịch chuyển phải và trái của C0 .
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường
hợp nửa nhóm dịch chuyển phải được chứng minh tương tự.
• Ta chứng minh (Tl (t)) là một nửa nhóm.

Thật vậy: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0 , s ∈ R, ta có
(Tl (t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl (t)f )(h + s) = (Tl (t)Tl (h))f (s)

suy ra Tl (t + h) = Tl (t)Tl (h).
• Ta chứng minh (Tl (t))t≥0 liên tục mạnh. Thật vậy, ta cần chỉ ra rằng, ∀f ∈ C0

thì
lim ||Tl (t)f − f || = lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0.

t→0+

t→0+ s∈R

Vì f ∈ C0 suy ra f liên tục trên R và tồn tại các giới hạn lim f (s) = 0,
s→±∞

nên f liên tục đều trên R.
Do đó
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho: ∀s1 , s2 : |s1 − s2 | < δ

Khi đó

∀t : 0 ≤ t < δ, |t + s − s| < δ,

∀s ∈ R, ta có

|f (t + s) − f (s)| <

Suy ra

sup |f (t + s) − f (s)| ≤

suy ra : |f (s1 ) − f (s2 )| < .

∀s ∈ R.

∀t : 0 ≤ t < δ.

s∈R

Vậy theo định nghĩa giới hạn ta có
lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0.

t→0+ s∈R

Vậy (Tl (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.

1.1.2

Một số tính chất sơ cấp của nửa nhóm liên tục mạnh

Bổ đề 1.1. Giả sử X là một không gian Banach và F là một hàm từ một tập
compact K ⊂ R vào L(X). Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(a) F là toán tử tôpô liên tục mạnh; tức là, ánh xạ K t → F (t)x ∈ X là liên
5


tục ∀x ∈ X.
(b) F là bị chặn đều trên K, và ánh xạ K t → F (t)x ∈ X là liên tục ∀x ∈ D ⊂ X,
D trù mật trong X .

(c) F là liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên tập con compact của X ; tức là, ánh
xạ K × C (t, x) → F (t)x ∈ X là liên tục đều đối với tập compact C trong X .
Định lý 1.1. Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X. Khi
đó các tính chất sau là tương đương.
(a) (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
(b) lim+ T (t)x = x ∀x ∈ X.
t→0

(c) Có một số δ > 0, M ≥ 1 và một tập con trù mật D ⊂ X thỏa mãn
i. ||T (t)|| ≤ M ∀t ∈ [0, δ],
ii. lim+ T (t)x = x ∀x ∈ D.
t→0

Chứng minh.
+) Chứng minh (a) ⇒ (c.ii).
Vì (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach, nên
lim T (t)x = T (0)x = x

t→0+

∀x ∈ D (D trù mật trong X ).

+) Chứng minh (a) ⇒ (c.i).
Giả sử ngược lại, tức là tồn tại một dãy (δn )n∈N ⊂ R+ hội tụ đến 0 thỏa mãn
||T (δn )|| → ∞ khi n → ∞. Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn tại x ∈ X thỏa mãn
(||T (δn )x||)n∈N không bị chặn. Điều này mâu thuẫn với T (.)x liên tục tại t = 0
(do (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh).
+) Chứng minh (c) ⇒ (b).
Đặt K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} với mọi dãy bất kì (tn )n∈N ⊂ [0, ∞) hội tụ đến 0. Khi
đó K ⊂ [0, ∞) là compact, T (.)|K x là liên tục ∀x ∈ D.

Do đó áp dụng bổ đề 1.1 (b) ta được T (.)|K x liên tục ∀x ∈ X, tức là:
lim T (tn )x = x

n→∞

∀x ∈ X.

Vì (tn )n∈N được chọn tùy ý nên (b) được chứng minh.
+) Chứng minh (b) ⇒ (a).
Giả sử t0 > 0 và x ∈ X . Khi đó
lim ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 )||.|| lim ||T (h)x − x|| = 0,

h→0+

h→0+

suy ra (T (t))t≥0 liên tục phải. Nếu h < 0
||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x||
6


dẫn đến tính liên tục trái, trong đó ||T (t)|| bị chặn đều ∀t ∈ [0, t0 ]. Vậy (T (t))t≥0
là nửa nhóm liên tục mạnh.
Định lý 1.2. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Khi đó có một hằng
số w ∈ R và M ≥ 1 thỏa mãn:
||T (t)|| ≤ M ewt

∀t > 0.

(1.1)

Chứng minh. Chọn M ≥ 1 thỏa mãn ||T (s)|| ≤ M ∀0 ≤ s ≤ 1.
Với t ≥ 0 lấy t = s + n, ∀n ∈ N và 0 ≤ s < 1. Khi đó:
||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)||
≤ ||T (s)||.||T (1)||n
≤ M n+1 = M en ln M ≤ M ewt

với w = ln M và t ≥ 0.
Ví dụ 1.2. Theo đinh lý (1.2) ta luôn có ω < +∞ nhưng có thể ω0 = −∞. Chẳng
hạn: Trong không gian L1[0;1] , ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi:
T (t)f (s) =

f (t + s) nếu s + t ≤ 1

nếu s + t > 1

0

Ta có: T (t) = 0, ∀t > 1.
1
Với mọi t thỏa mãn 0 ≤ t ≤ 1, ||T (t)|| ≤ 1 do ||T (t)f || = || 0 T (t)f (s)ds|| ≤ ||f ||.
Suy ra ||T (t)|| ≤ 1 Với ω < 0 cố định, chọn M sao cho M ≤ e−ω . Khi đó:
||T (t)|| < 1 ≤ M.eω ≤ M.eωt ,

∀t ≥ 0.

Vậy ω0 = −∞.

1.2

Khái niệm về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
và các tính chất của nó

1.2.1

Khái niệm về toán tử sinh

Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết
ta chứng minh bổ đề sau:

7


Bổ đề 1.2. Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh và một phần tử x ∈ X.
Đối với quỹ đạo ánh xạ ξx : t → T (t)x, các tính chất sau là tương đương.
(a) ξx (.) là khả vi trên R+ .
(b) ξx (.) khả vi bên phải tại t = 0.
Định nghĩa 1.2. Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của một nửa nhóm liên tục
mạnh (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử
1
Ax = ξ˙x (0) = lim+ (T (h)x − x),
h→0 h

(1.2)

xác định với mọi x trong miền xác định của nó
D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+ }.

(1.3)

Theo bổ đề 1.2, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X
mà ξx (.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó
1
D(A) = {x ∈ X : lim+ (T (h)x − x) tồn tại}.
h→0 h

(1.4)

Miền D(A) là một không gian vector và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó là
(A, D(A)). Chúng ta thường chỉ viết A và coi miền xác định của nó là cho bởi
(1.4).
1.2.2

Các tính chất của toán tử sinh

Giả sử T (t)t≥0 là toán tử liên tục mạnh của toán tử sinh (A, D(A)), ta đặt:
t

1
y(t) =
t

t

1
ξx (s)ds =
t
0

T (s)xds,

∀x ∈ X,

t > 0.

0

Do lim+ T (t)x = x nên với mọi ε > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho với 0 < t < δ thì ta
t→0

có

ε
||T (t)x − x|| < .
2

Mặt khác theo định nghĩa tích phân xác định với mọi ε > 0 tồn tại một phân
hoạch của đoạn [0, t] sao cho:
t

n

T (s)xds −
0

T (αi )x∆si
i=1

ε
< t,

2

8

αi ∈ [si−1 , si ]

(i = 1, n).


Với 0 < t < δ ta có
t

1
t

t

1
T (s)xds − x ≤
t
0

1
T (s)xds −
t
0

ε
< +
2

n

i=1

n

T (αi )x∆si
i=1

1
+
t

n

T (αi )x∆si − x
i=1

1
||T (αi )x − x||∆si
t

< ε.

Vậy ta có:
t

1
lim y(t) = lim

+
+
t→0
t→0 t

T (s)xds = x.

(1.5)

0

Định lý 1.3. Cho toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ,
ta có các tính chất sau là đúng.
(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính.
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và
d
T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x
dt

∀t ≥ 0.

(1.6)

x ∈ X,

(1.7)

(iii) ∀t ≥ 0 và x ∈ X, ta có
t

T (s)xds ∈ D(A).
0

(iv) ∀t ≥ 0, ta có:
t

T (t)x − x = A

T (s)xds

nếu

0
t

=

T (s)Axds

nếu x ∈ D(A).

0

Chứng minh.
(i) ∀α, β ∈ R và x, y ∈ X, ta cất nghiệm của
nghiệm đủ tốt của phương trình (2.34) sau đây.
Định lý 2.5. Cho hàm f : [t0 , T ] × X → X liên tục theo t trên [t0 , T ] và liên tục
Lipschitz đều (với hằng số L) trên X. Khi đó, nếu −A là toán tử sinh của C0 −
nửa nhóm (T (t))t≥0 trong không gian Banach X, thì với mỗi u0 ∈ X, bài toán với
giá trị ban đầu (2.34) có duy nhất một nghiệm đủ tốt u ∈ C([t0 , T ] : X).

Chứng minh. Trước hết chúng ta nhắc lại rằng (T (t))t≥0 là liên tục mạnh nên
tồn tại M0 > 0 sao cho
||T (t)|| ≤ M0 ewt ,

w>0

với mỗi u0 ∈ X.
Đồng thời f : [t0 , T ] × X → X thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều trên X nên
tồn tại L > 0 sao cho với mọi u, v ∈ X ta có
||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ L||u − v||.
48


Với mỗi u0 ∈ X ta xét ánh xạ F : C([t0 , T ] : X) → C([t0 , T ] : X), được xác định
bởi
t

(F u)(t) = T (t − t0 )u0 +

T (t − s)f (s, u(s))ds,

t0 ≤ t ≤ T.

(2.36)

t0

Xét hiệu
t

(F u)(t) − (F v)(t) = T (t − t0 )(u0 − v0 ) +

T (t − s)[f (s, u(s)) − f (s, v(s))]ds.
t0

Ta có
t

||(F u)(t) − (F v)(t)|| ≤ M0 e

w(t−t0 )

M0 ew(t−s) L||u(s) − v(s)||ds

||u0 − v0 || +
t0

t

≤

M L||u(s) − v(s)||ds
t0

trong đó M = M0 ewT . Do đó
||(F u)(t) − (F v)(t)|| ≤ M L(t − t0 )||u − v||∞ ,

(2.37)

Tiếp tục bằng phương pháp truy hồi ta có

||(F n u)(t) − (F n v)(t)|| ≤

nên
||F n u − F n v|| ≤

(M L(t − t0 ))n
||u − v||∞ ,
n!

(M LT )n
||u − v||∞ .
n!

(2.38)

(M LT )n
< 1. Bằng cách sử dụng nguyên lý ánh xạ co trong
n!
không gian Banach ta suy ra F có điểm bất động duy nhất u trong không gian

Với n đủ lớn ta có

C([t0 , T ] : X). Điểm bất động này là nghiệm của phương trình tích phân (2.35).

Do đó bài toán với giá trị ban đầu (2.34) tồn tại nghiệm duy nhất u trong không
gian C([t0 , T ] : X). Định lý được chứng minh.
Từ định lý được chứng minh ta có thể xác định một ánh xạ u0 → u từ X
vào C([t0 , T ] : X). Một trong những tính chất của ánh xạ này là tính liên tục
Lipschitz. Khái niệm về tính liên tục Lipschitz được cho bởi định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 2.3. Ánh xạ f : X → C([t0 , T ], X) được xác định bởi

f : x → f (t, x)

được gọi là ánh xạ liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số M1 dương sao cho với
mọi x, y ∈ X ta có
||f (t, x) − f (t, y)||∞ ≤ M1 ||x − y||.
49


Từ định lý 2.5 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.4. Ánh xạ u0 → u được xác định theo định lý 2.5 là liên tục Lipschitz
từ X vào C([t0 , T ] : X).
Chứng minh. Cho u(t) và v(t) là các nghiệm đủ tốt của (2.34) trên [t0 , T ] thỏa
mãn các điều kiện u(t0 ) = u0 , v(t0 ) = v0 . Khi đó
t

||u(t) − v(t)|| ≤ ||T (t − t0 )u0 − (T − t0 )v0 || +

||T (t − s)(f (s, u(s)) − f (s, v(s)))ds
t0

t

≤ M ||u0 − v0 || + M L

||u(s) − v(s)||ds.
t0

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có
||u(t) − v(t)|| ≤ M eM L(T −t0 ) ||u0 − v0 ||,

do đó
||u − v||∞ ≤ M eM L(T −t0 ) ||u0 − v0 ||,

từ đó ta có thể suy ra tính liên tục Lipschitz ánh xạ u0 → u.
Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự như trong định lý 2.5 chúng ta
nhận được các hệ quả sau.
Định lý 2.6. Cho f là liên tục Lipschitz địa phương theo u, đều theo t trên mỗi
đoạn bị chặn bất kỳ, giả sử −A là toán tử sinh của C0 − nửa nhóm (T (t)) trên X.
Khi đó với mỗi u0 ∈ X tồn tại một tmax sao cho bài toán với giá trị ban đầu

 du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t ≥ 0
dt
(2.39)
u(0)
=u
0

là có nghiệm đủ tốt u trên [0, tmax ]. Tuy nhiên, nếu tmax < ∞ thì
lim ||u(t)|| = ∞.

t→t−
max

Chứng minh. Trước tiên chúng ta thấy rằng với mỗi t0 ≥ 0, u0 ∈ X, từ các giả
thiết của định lý 2.6 bài toán với giá trị ban đầu (2.34) của chúng ta có nghiệm
đủ tốt duy nhất u trên đoạn J = [t0 , t1 ] mà độ dài của J bị chặn bởi
δ(t0 , ||u0 ||) = min 1,

||u0 ||
,

K(t0 )L(K(t0 ), t0 + 1) + N (t0 )

ở đây L(c, t ) là hằng số Lipschitz địa phương của f được xác định bởi:
||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ L(c, t )||u − v||
50

(2.40)


sao cho ||u|| < c, ||v|| < c và t ∈ [0, t ] thì ta có:
M (t0 ) =

max {||T (t)||}, N (t0 ) =

0≤t≤t0 +1

max {||f (t, 0)||} và K(t0 ) = 2||u0 ||M (t0 ).

0≤t≤t0 +1

Thật vậy, xét ánh xạ F : [t0 , T ] × X → X được cho bởi
t

(F u)(t) = T (t − t0 )u0 +

T (t − s)f (s, u(s))ds,

t0 ≤ t ≤ T.

(2.41)

t0

Đặt t1 = t0 + δ(t0 , ||u0 ||) với δ(t0 , ||u0 ||) cho bởi (2.40). Ánh xạ F xác định bởi
(2.36) là ánh xạ từ hình cầu bán kính K(t0 ) và tâm tại 0 của C([t0 , t1 ] : X) vào
chính nó. Điều này có thể suy ra từ đánh giá sau đây.
t

||(F u)(t)|| ≤ M (t0 )||u0 || +

||T − s||(||f (s, u(s)) − f (s, 0)|| + ||f (s, 0)||)ds
t0

≤ M (t0 )||u0 || + M (t0 )K(t0 )L(K(t0 ), t0 + 1)(t − t0 ) + M (t0 )N (t0 )(t − t0 )
≤ M (t0 ){||u0 || + K(t0 )L(K(t0 ), t0 + 1)(t − t0 ) + N (t0 )(t − t0 )}.

Từ cách xác định δ(t0 , ||u0 ||) và t1 ta có
||(F u)(t)|| ≤ 2M (t0 )||u0 || = K(t0 ).

Trong hình cầu này, F thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều với hằng số L =
L(K(t0 ), t0 + 1) và như trong chứng minh định lý 2.5, nó nhất thiết phải có một
điểm bất động u trong hình cầu. Điểm bất động này là nghiệm của (2.34) trên
đoạn [t0 , t1 ].
Từ đây chúng ta có thể thấy rằng nếu u là nghiệm đủ tốt của (2.39) xác
định trên đoạn [0, τ ] thì có thể mở rộng khoảng xác định của nó trên khoảng
[0, τ + δ] với δ > 0, bằng cách xác định trên [τ, τ + δ], nghiệm u(t) = w(t), với w(t)
là nghiệm của phương trình tích phân
t

w(t) = T (t − τ )u(τ ) +

T (t − s)f (s, w(s))ds,

τ ≤ t ≤ t + δ,

(2.42)

τ

ở đây cần chú ý rằng δ chỉ phụ thuộc vào ||u(τ )||, K(τ ) và N (τ ).
Giả sử [0, tmax ] là khoảng cực đại mà trên đó nghiệm đủ tốt của phương
trình (2.39) là tồn tại. Nếu tmax < ∞ thì lim ||u(t)|| = ∞ vì nếu ngược lại thì
t→tmax

tn →

t−
max

ta có ||u(tn )|| ≤ c với mọi n. Điều này kéo theo các kết quả sau đây, với
mỗi tn đủ gần tmax , u được định nghĩa trên [0, tn ] và có thể mở rộng tới [0, tn + δ]
ở đây δ > 0 và độc lập với n. Khi đó u có thể mở rộng vượt qua khỏi tmax mâu
thuẫn với định nghĩa của tmax . Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm đủ
tốt địa phương u của phương trình (2.39), chúng ta chú ý rằng nếu v là nghiệm
đủ tốt của (2.39) thì trên mỗi đoạn đóng [0, t0 ] cả hai nghiệm u, v là tồn tại và
51


chúng đồng nhất với nhau, để chỉ ra điều này ta có sử dụng lý luận tương tự
như trong chứng minh của định lý 2.5. Hơn thế nữa, cả u và v đều có cùng một

tmax vì vậy u ≡ v trên [0, tmax ]. Định lý được chứng minh.
Nói chung, nếu hàm f chỉ thỏa mãn các định lý 2.5 và định lý 2.6 thì nghiệm
đủ tốt của (2.34) không phải là nghiệm cổ điển hoặc nghiệm mạnh của (2.34).
Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ tốt của (2.34) cũng là nghiệm cổ điển.
Định lý 2.7. Giả sử −A là toán tử sinh của C0 - nửa nhóm (T (t)) trên X. Khi
đó nếu f : [t0 , T ] × X → X là khả vi liên tục từ [t0 , T ] × X vào X thì nghiệm đủ
tốt của (2.34) với u0 ∈ D(A) là nghiệm cổ điển của bài toán với giá trị ban đầu.
Chứng minh. Trước tiên chúng ta chú ý rằng từ tính khả vi liên tục của hàm
f : [t0 , T ] × X → X kéo theo f là liên tục theo t và liên tục Lipschitz theo u đều
đối với t trên đoạn [t0 , T ]. Từ định lý 2.5 ta suy ra bài toán với giá trị ban đầu
(2.34) có nghiệm đủ tốt duy nhất u trên đoạn [t0 , T ].
Tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng nghiệm đủ tốt u là khả vi liên tục trên [t0 , T ].
∂
f (s, u) và
∂u

Thật vậy, vì f : [t0 , T ] × X → X nên ta có thể lấy B(s) =
t

T (t − s)

g(t) = T (t − t0 )f (t0 , u(t0 )) − AT (t − t0 )u0 +
t0

∂
f (s, u(s))ds.
∂s

(2.43)

Từ giả thiết của định lý 2.7 ta suy ra g ∈ C([t0 , T ] : X) và hàm h(t, u) = B(t)u
là hàm liên tục theo t từ [t0 , T ] vào X. Hơn thế nữa do hàm s → B(s) là liên
tục từ [t0 , T ] vào B(X) nên h(t, u) là liên tục Lipschitz đều theo u. Giả sử w là
nghiệm của phương trình tích phân
t

T (t − s)B(s)w(s)ds.

w(t) = g(t) +

(2.44)

t0

Theo chứng minh của định lý 2.5 thì phương trình (2.44) có nghiệm duy nhất
w ∈ C([t0 , T ] : X). Mặt khác từ giả thiết về tính khả vi liên tục của hàm f :
[t0 , T ] × X → X ta có
f (s, u(s + h)) − f (s, u(s)) = B(s)(u(s + h) − u(s)) + ω1 (s, h)

(2.45)

∂
f (s, u(s + h))h + ω2 (s, h),
∂s

(2.46)

và
f (s, u(s + h)) − f (s, u(s)) =

ở đây h−1 ||ωi (s, h)|| → 0 với h → 0 đều trên [t0 , T ] với i = 1, 2.
Ký hiệu ωh (t) = h−1 (u(t + h) − u(t)) − w(t) thì từ định nghĩa của u, (2.44),
52


(2.45) và (2.46) ta có
wh (t) = [h−1 (T (t + h − t0 )u0 − T (t − t0 )u0 ) + AT (t − t0 )u0 ]
t

1
+
h

T (t − s)(ω1 (s, h) + ω2 (s, h))ds
t0
t

T (t − s)

+
t0

+

1
h

∂
∂
f (s, u(s + h)) − f (s, u(s)) ds

∂s
∂s

(2.47)

t0 +h

T (t + h − s)f (s, u(s))ds − T (t − t0 )f (t0 , u(t0 ))
t0

t

T (t − s)B(s)wh (s)ds.

+
t0

Chúng ta có thể chỉ ra rằng chuẩn của mỗi một trong bốn số hạng đầu tiên của
vế phải của (2.47) dần đến 0 khi h → 0. Từ đó ta có
t

||wh (s)||ds

||wh (t)|| ≤ ε(h) + M

(2.48)

t0

ở đây M = max{||T (t − s)||||B(s)|| : t0 ≤ s ≤ T } và ε(h) → h khi h → 0. Bằng cách

sử dụng bất đẳng thức Gronwall từ (2.48) ta suy ra ||wh (t)|| ≤ ε(h)e(T −t0 )M và
do đó ||wh (t)|| → 0 khi h → 0. Điều này kéo theo u(t) là khả vi trên đoạn [t0 , T ]
và đạo hàm của nó là w(t). Do w ∈ C([t0 , T ] : X) nên u khả vi liên tục trên [t0 , T ].
Cuối cùng ta sẽ chỉ ra rằng u là nghiệm cổ điển của 2.34, ở đây ta chú ý rằng từ
tính khả vi liên tục của u và các giả thiết về tính khả vi của f thì kéo theo hàm
s → f (s, u(s)) là khả vi liên tục trên [t0 , T ]. Chúng ta cần nhắc lại một kết quả
đã được trình bày trong bổ đề 4.2.5 (tr. 107, [21]): nếu hàm s → f (s) là khả vi
t
liên tục trên đoạn [t0 , T ] thì v(t) = T (t − t0 )u0 + t0 T (t − s)f (s)ds là có nghiệm cổ
điển duy nhất. từ đó ta suy ra rằng
t

T (t − s)f (s, u(s))ds

v(t) = T (t − t0 )u0 +

(2.49)

t0

là nghiệm cổ điển của bài toán với giá trị ban đầu

 dv(t) + Av(t) = f (t, u(t))
dt
v(t )
=u
0

(2.50)

0

Tuy nhiên, theo định nghĩa, u là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.50) và từ
tính duy nhất của nghiệm đủ tốt của (2.50) ta chỉ ra rằng u = v trên [t0 , T ]. Như
vậy, u là một nghiệm cổ điển của bài toán với giá trị ban đầu (2.34). Định lý
được chứng minh.
53


2.7

Nhiễu tuyến tính của phương trình tiến hoá và họ toán
tử tiến hóa liên tục mạnh

Trước hết ta nhắc lại rằng khái niệm về họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh
được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.4. Một họ hai tham số của toán tử tuyến tính bị chặn U (t, s),
0 ≤ s ≤ t ≤ T, trên X được gọi là một họ tiến hóa liên tục mạnh nếu thỏa mãn
hai điều kiện sau:
(i) U (s, s) = I, U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T.
(ii) Ánh xạ (t, s) → U (t, s) là liên tục mạnh với 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh sinh bởi (A, D(A)) và B(.) ∈
C(J, Ls (X)) với J = [0, T ], ta xét họ các toán tử tiến hoá U (t, s) : X → X xác
định bởi :
t

u(t) = T (t − s)x +

T (t − ξ)B(ξ)u(ξ)dξ

(2.51)

s

trong đó x ∈ X, (t, s) ∈ ∆J bất kỳ.
Định lý sau đây cho ta các điều kiện đủ để phương trình (2.51) xác định một
họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh (U (t, s))t≥s≥0 .
Định lý 2.8. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh và B(.) ∈ C(J, Ls (X)).
Khi đó họ toán tử tiến hóa xác định bởi (2.51) là một họ toán tử tiến hóa tuyến
tính liên tục mạnh trong không gian Banach X.
Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh rằng phương trình tiến hóa (2.51) luôn
luôn có nghiệm duy nhất U (t) và nghiệm này là bị chặn.
Do T (t)t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh nên tồn tại M0 ≥ 1 và ω > 0 sao cho:
||T (t − s)|| ≤ M0 .eω(t−s)

Do đó
sup

T (t − s) ≤ M0 .eω(t−s) = M1 < +∞

0≤s≤t≤T

Theo giả thiết B(.) ∈ C(J, Ls (X) nên với mỗi t ∈ [0, T ] ta có:
B(t)x ≤ K < +∞, với mọi x ∈ X
Nhờ mệnh đề A2 (xem tài liệu [17], trang 512) ta suy ra:
sup B(t) ≤ M1 < +∞
J

54

Từ đó suy ra:
sup T (t − s)B(t) ≤ M1 .M2 = M3 < +∞
J

Áp dụng định lý 2.5 ta suy ra nghiệm của (2.51) là tồn tại duy nhất tương
ứng với (t, s) ∈ ∆J bất kỳ. Với mỗi (t, s) ∈ ∆J ta xét ánh xạ
U (t, s) : x → u(t)

Từ tính chất duy nhất nghiệm và biểu thức (2.51) ta suy ra U (t, s) : X → X là
một ánh xạ tuyến tính đồng thời ta cũng dễ dàng kiểm tra được rằng với mọi
(t, s) ∈ ∆J ta luôn có:
U (t, t) = I,

U (t, τ ) = U (t, s).U (s, τ )

Mặt khác từ (2.51) ta có
t

U (t, s) ≤ M1 +

M1 .M2 .||U (τ, s)||.dτ
s

Sử dụng bổ đề Gronwall- Belmal ta có
U (t) ≤ M1 .eM1 .M2 .(t−s) ≤ M1 .eM3 .T < +∞

Từ các kết quả nhận được ta suy ra U (t, s) ∈ L(X) với mọi (t, s) ∈ ∆J .
Bây giờ trong L(X) ta xét phương trình
t

U (t, s)x = T (t − s)x +

T (t − τ )B(τ )U (t, τ )dτ

(2.52)

s

Lý luận tương tự như đối với phương trình (2.51) ta suy ra phương trình toán
tử (2.52) có nghiệm duy nhất, hơn nữa ta có
t

U (t, s) ≤ M1 +

M3 . U (t, τ ) dτ
s

Sử dụng bổ đề Gronwall- Belmal ta có:
t

dτ

M3 .

U (t, s) ≤ M1 .e

s

≤ M1 .eM3 .T < +∞

Hay
sup

U (t, s) = M4 < +∞

(t,s)∈∆J

55


Xét phương trình
t+h

T (t − τ )B(τ )U (t, τ )dτ

U (t + h, t)x = I +
t

Ta có
U (t + h, t) − I ≤ M1 M2 M4 |h|

Như vậy ta có
lim U (t + h, t) − I = 0,

h→0

với

h>0

với

l>0

Tương tự ta chứng minh được
lim ||U (s, s − l) − I|| = 0,

l→0

Sử dụng các đánh giá (a), (b), (c) trong chứng minh của định lý 2.3 ta suy ra với
mỗi x ∈ X và (t, s) ∈ ∆J sao cho với h > 0 thỏa mãn điều kiện s ≤ s+h ≤ t ≤ t+h
ta có:
lim

h→0
l→0

U (t + h, s + l)x − U (t, s)x = 0

Bằng lý luận tương tự như trên với 0 ≤ s − l ≤ s ≤ t − h ≤ t ≤ 0 ta có:
lim ||U (t − h, s − l)x − U (t, s)x|| = 0

h→0

Từ đó ta có thể suy ra tính liên tục mạnh của U (t, s) : X → X.
Định lý được chứng minh.
Do J ⊂ R+ là tập đóng bất kỳ nên ta có thể suy ra hệ quả sau:
Hệ quả 2.5. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trong X và B(.) ∈
C(R+ , Ls (X)). Khi đó họ toán tử tiến hóa xác định bởi (2.51) là một họ toán tử

tiến hóa tuyến tính liên tục mạnh trong không gian Banach X.

2.8
2.8.1

Một số ví dụ minh họa
Giới thiệu bài toán

Các ví dụ ở trong phần này nhằm mục đích để chỉ ra khả năng áp dụng
phương pháp nửa nhóm và các mô hình ứng dụng có liên quan tới phương trình
đạo hàm riêng và phương trình vi phân hàm, để có thể tìm thấy những ứng
dụng thực sự của các phương pháp này vào các bài toán thực tế chúng ta có thể
tham khảo ở các tài liệu [2], [3], [4], [9], [10], [13], [14], [16], [18], [21], [24]. Trước
hết chúng tôi xin tóm tắt lược đồ của phương pháp nửa nhóm vào phương trình
56


đạo hàm riêng như sau.
Xét phương trình vi phân dạng
∂v
= A(D)v,
∂t

(2.53)

trong đó v là một hàm vector v = (v1 , . . . , vm ) phụ thuộc vào t và x,
Aα Dα ,

A(D) =
|α|≤r

α = (α1 , α2 , . . . , αn ) là một đa chỉ số, |α| = α1 + α2 + · · · + αn , Dα = D1α1 . . . Dnαn ,
i∂
(k = 1, 2, . . . , n), x = (x1 , . . . , xn ) là một điểm trong không gian Rn và
Dk =
∂xk
hệ số Aα là một ma trận hằng cấp m × m. Số r được gọi là cấp của hệ.

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (2.53), v = v(t, x), thỏa mãn điều kiện
v(0, x) = φ(x),

(2.54)

được gọi là bài toán Cauchy, trong đó hàm vector φ(x) được cho trong toàn bộ
không gian Rn .
Nếu ta sử dụng biến đổi Fourier theo biến x với cả hai vế của (2.53), và biểu
∼
diễn ảnh của hàm v(t, s) bởi v(t, p), chúng ta sẽ nhận được hệ phương trình vi
phân thường
∼

dv
∼
= A(p) v,
dt

(2.55)

trong đó A(p) là một ma trận với các phần tử là các đa thức của p = (p1 , . . . , pn ).
Đối với hệ phương trình (2.55) chúng ta xét bài toán Cauchy tìm nghiệm với

điều kiện
∼
∼
v(0, p) = φ(p),
(2.56)
∼

trong đó φ(p) là biến đổi Fourier của φ. Trong một số trường hợp chúng ta có
thể giải bài toán với giá trị ban đầu (2.53), (2.54) bằng phương pháp nửa nhóm.
Thông thường để mở rộng phạm vi áp dụng cho các mô hình thực tế cùng với
phương trình đạo hàm riêng (2.53) chúng ta có thể xét phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính có nhiễu dạng
∂v
= A(D)v + g(t, v).
∂t

(2.57)

Nhờ áp dụng phương pháp nửa nhóm (chính xác hơn phương pháp họ các toán
tử tiến hóa) chúng ta có thể đưa việc nghiên cứu nghiệm của phương trình (2.57)
về bài toán nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân dạng (2.34)
đã được xét trong mục 2.6, 2.7. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ để minh họa, các
ví dụ này có thể tham khảo ở các tài liệu [17], [18], [19], [22].
57


2.8.2

Các ví dụ

Ví dụ 2.2. Xét bài toán Cauchy

 ∂u(x, t) + ∂u(x, t) = 0,
∂t
∂x
u(x, 0) = f (x)

t ≥ 0, x ∈ R+ ,

(2.58)

trong không gian X = L2 (R+ ). Chúng ta sẽ chỉ ra rằng phương trình (2.58) có
thể viết dưới dạng trừu tượng
t ≥ 0, u(0) = f,

u (t) = Au(t),

ở đây A = −

d
với miền xác định
dx
D(A) = {u ∈ L2 (R+ )|u ∈ L2 (R+ )}.

Trước hết ta sẽ chứng minh rằng (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên
tục mạnh bằng cách chứng minh rằng nó thỏa mãn các điều kiện của định lý
1.8. Để tìm giải thức của toán tử A, chúng ta giải phương trình
(λI − A)g = λg + g = f,

g ∈ D(A),

(2.59)

giả thiết rằng f ∈ X. Khi λ > 0 khi đó nghiệm là
x

e−λ(x−s) f (s)ds,

g(x) = R(λ, A)f (x) =

x ∈ R+ .

0

Ta có

x

e−λ(x−s) ||f ||ds,

||R(λ, A)f || ≤

∀f ∈ X.

0

Suy ra

x

e−λ(x−s) ds =

||R(λ, A)|| ≤
0

1
1
(1 − e−λx ) < .
λ
λ

Chú ý rằng A là đóng và trù mật ([18]) nên (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa
nhóm liên tục mạnh. Bây giờ trong không gian X = L2 (R+ ) chúng ta xét nửa
nhóm (T (t))t≥0 được xác định bởi

f (x − t)
x≥t
(T (t)f )(x) =

0 ≤ x ≤ t.

0

Ta sẽ chứng minh (T (t))t≥0 thỏa mãn định nghĩa của nửa nhóm liên tục mạnh
1.1. Dễ dàng thấy rằng các điều kiện 1. và 2. của các định nghĩa của nửa nhóm
liên tục mạnh được thỏa mãn. Tiếp theo ta có
p

||T (t)f ||Lp =

|f (t + s)| ds

1
p

R+

p

≤

|f (u)| du
R+

58

1
p

= ||f ||Lp .


Do vậy ||T (t)|| ≤ 1 với mọi t ∈ R+ . Giả sử f là hàm liên tục có giá compact. Khi
đó f là hàm liên tục đều. Do vậy, ta có
lim ||T (t)f − f ||∞ = lim+ sup |f (t + s) − f (s)| = 0,

t→0+

t→0 s∈R+

Mặt khác do ||T (t)f − f ||Lp ≤ C||T (t)f − f ||∞ → 0. Suy ra lim+ ||T (t)f − f ||Lp = 0.
t→0
p
L (R+ )

Do tập các hàm liên tục có giá compact trù mật trong
nên theo định lý
1.1, ta suy ra nửa nhóm (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh. Dựa trên cơ sở
của định nghĩa toán tử sinh 1.1 ta có thể chỉ ra (A, D(A)) là toán tử sinh của
nửa nhóm (T (t))t≥0 .
Do nghiệm đủ tốt của bài toán Cauchy

 u (t) = Au(t), t ≥ 0,
(2.60)
 u(0) = f.
là duy nhất và có thể biểu diễn dưới dạng
t

T (t − τ )f (x)dτ

u(t) = f (x) + A
0

nên nó thỏa mãn phương trình (2.58). Ta có u(x, t) = (T (t)f )(x) là nghiệm đủ
tốt duy nhất của bài toán đang xét.
Ví dụ 2.3. Trong không gian X = C 1 [0, 1]. Xét bài toán
∂u(x, t) ∂u(x, t)
+
= α(t)u(x, t),
∂t

∂x

với điều kiện

t ≥ 0, x ∈ R+ ,

(2.61)


 u(0, t) = 0.
 u(x, 0) = f (x)

ở đây α : R+ → R là hàm liên tục và bị chặn.
Trong không gian X = C 1 [0, 1] ta xét toán tử
Af = −f

với miền xác định
D(A) = {f ∈ X|f (0) = 0}
A là toán tử đóng. Thật vậy giả sử fn → f , Afn = −fn → g , theo định lý về

lấy đạo hàm của dãy hàm ta có f ∈ C 1 [0, 1], f ∈ D(A) và Af = g . Suy ra A
đóng. Do R(λ, A) = (λI − A)−1 là giải thức của A nên với mọi f ∈ C[0, 1] từ hệ
59


thức (λI − A)(λI − A)−1 f = f , ta suy ra u(t) = R(λ, A)f (t) và u(t) là nghiệm của
phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 λu + u = f , u(0) = 0 (do u ∈ D(A)).
Nghiệm này có thể viết dưới dạng
t

e−λ(t−s) f (s)ds,

u(t) = R(λ, A)f (t) =

t ∈ [0, 1],

f ∈ C[0, 1].

0

Với mọi λ > 0, ta có:
t

e−λ(t−s) ||f ||ds,

||R(λ, A)f || ≤

∀f ∈ C[0, 1].

0

Suy ra:
t

e−λ(t−s) ds =

||R(λ, A)|| ≤

1 −λ(t−s)
e

λ

t

=
0

1
1
(1 − e−λt ) <
λ
λ

0

Do vậy, ta có:
||x|| = ||R(λ, A)(λI − A)x|| ≤ ||R(λ, A)||||(λI − A)x|| ≤

1
||(λI − A)x||.
λ

hay
||(λI − A)x|| ≥ λ||x||,

∀λ > 0

nên A là tán xạ.
Lấy X0 = D(A) = {f ∈ C[0, 1] : f (0) = 0}, và lấy hạn chế của A| của A trên X0
sao cho

A| f = −f ,
D(A| ) = {f ∈ C 1 [0, 1] : f (0) = f (0) = 0}.

Sử dụng kết quả của định lý 1.8 ta suy ra toán tử này là toán tử sinh của nửa
nhóm liên tục mạnh trong X0 . Bây giờ trong không gian Banach X0 ta xét nửa
nhóm (Tl (t))t≥0 được định nghĩa bởi

f (s − t)
với t ≤ s
Tl (t)f (s) =

với t > s.

0

Tương tự như trong ví dụ 2.2 chúng ta có thể chỉ ra được rằng (Tl (t))t≥0 là
nửa nhóm liên tục mạnh sinh bởi (A| , D(A| )) trong không gian X0 và u(x, t) =

60


(Tl (t)f )(x) ta có thể kiểm tra thấy rằng u(x, t) là nghiệm đủ tốt của bài toán







∂u(x, t) ∂u(x, t)

+
= 0,
∂t
∂x
u(0, t) = 0

t ≥ 0, x ∈ [0, 1]




 u(x, 0) = f (x).
Tiếp theo ta xét phương trình vi phân
dy
= A| y + Bα (t)y,
dt
y(0) = f (y) t ≥ 0.

y∈X

(2.62)

trong đó (A| , D(A| )) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (Tl (t))t≥0 và
Bα (t) = α(t).I, trong đó I : X → X là toán tử đồng nhất. Từ giả thiết của α(t)
ta suy ra Bα ∈ Cu (R+ , Ls (X)) (tr. 30 - 31, [18]). Cùng với phương trình vi phân
(2.62) ta xét họ toán tử tiến hóa U (t, s) : X → X được xác định bởi phương trình
Volterra
t

y(t) = Tl (t − s)x +

Tl (t − ξ)Bα (ξ)y(ξ)dξ.

(2.63)

s

Từ các hệ quả 2.5 ta có thể chỉ ra rằng U (t, s)t≥s≥0 là một họ toán tử tiến hóa
liên tục mạnh và nghiệm đủ tốt duy nhất của phương trình (2.62) có dạng
y(t) = U (t, 0)f (x).

Đây cũng là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng (2.61).

61


Kết luận
Luận văn đã trình bày một cách chi tiết về bài toán nhiễu của nửa nhóm. Nội
dung chính của luận văn bao gồm:
1. Tìm hiểu và trình bày lại nội dung của lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh
và toán tử sinh của nó trong không gian Banach.
2. Trình bày lại một số định lý về nhiễu của nửa nhóm và các tính chất liên
quan đến họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh.
3. Trình bày ví dụ ứng dụng cho phương trình đạo hàm riêng và một vài mô
hình các quần thể sinh học.
Đóng góp chính của luận văn là trình bày một cách chi tiết hơn các chứng
minh trong một số định lý về phương pháp nhiễu của nửa nhóm liên tục
mạnh và xây dựng các vi dụ minh họa.

62