Các đại lượng đo lường rủi ro trong toán tài chính : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 15

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

TRẦN THU TRANG

CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO LƯỜNG RỦI RO
TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

TRẦN THU TRANG

CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO LƯỜNG RỦI RO
TRONG TOÁN TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số:
60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN HÙNG THAO

Hà Nội – 2011


Mục lục
Lời cảm ơn

i

Lời nói đầu

ii

1 Các kiến thức mở đầu
1.1 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục . . . . . .
1.2 Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . .
1.2.1 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Hệ số tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Độ nhọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . .
1.3 Các mô hình phi tuyến ARCH, GARCH . . . . . . . . .
1.3.1 Mô hình tự hồi quy với phương sai có điều kiện
khác nhau: ARCH(p) . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Mô hình tổng quát tự hồi quy với phương sai có
điều kiện khác nhau: GARCH(p, q) . . . . . . . .
1.4 Phân vị thống kê (quantiles) . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
1
1
2
4
4
5
5
6
6
7
7

2 Các độ đo rủi ro tài chính
2.1 Độ đo rủi ro VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Giá trị rủi ro VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
12
13

v

8
9
9

2.1.3

2.2

2.3
2.4

Xác định giá trị thua lỗ lớn nhất của phương án
đầu tư với độ tin cậy cho trước . . . . . . . . . .
2.1.4 Một số phương pháp tính VaR . . . . . . . . . . .
2.1.4.1 Phương pháp RiskMetrics . . . . . . . .
2.1.4.2 Phương pháp toán kinh tế . . . . . . . .
2.1.5 Một số hạn chế của VaR . . . . . . . . . . . . . .
Độ đo rủi ro liên kết (Coherent risk measures) . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa độ đo rủi ro liên kết . . . . . . . . . .
2.2.2 Biểu diễn độ đo rủi ro liên kết . . . . . . . . . . .
Xây dựng độ đo rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Độ đo rủi ro thua lỗ trung bình (Expected shortfall measure)

14
17
17
25
26
27
27
30
31

35

3 Định mức rủi ro
3.1 Giới thiệu hệ thống định mức rủi ro . . . . . . . . . . . .
3.2 Lựa chọn các tham số định lượng trong phân tích VaR .
3.2.1 VaR được sử dụng để xác lập vốn an toàn rủi ro .
3.2.2 Hệ số điều chỉnh k trong hiệp định Basel sử dụng
trong mô hình định mức rủi ro . . . . . . . . . . .

38
38
39
40

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44

vi

41


Lời nói đầu
Quản lý rủi ro tài chính có vị trí trung tâm trong quản trị tài chính
hiện đại. Tuy vậy, lĩnh vực này chỉ mới thực sự phát triển từ thập kỷ

90 trở lại đây nhờ sự phát triển vượt bậc của công nghệ - kỹ thuật cho
phép phát triển và hoàn thiện một loạt các hệ thống và phương pháp
đánh giá rủi ro. Cùng với xu thế toàn cầu hóa, cơ hội đầu tư được mở
rộng song rủi ro và thách thức đi kèm cũng không nhỏ. Đã có không ít
vụ đổ bể tài chính của các ngân hàng, các tập đoàn kinh tế lớn diễn ra
tại nhiều quốc gia trên thế giới từ các nước có nền kinh tế phát triển
như Mỹ, Nhật, Anh, Đức... đến các nước đang phát triển như Thái Lan,
Malaysia, Hàn Quốc. Thực trạng này đã khiến các nhà hoạch định chính
sách quốc gia và các tổ chức tài chính quan tâm đặc biệt đến quản lý
rủi ro. Trong quản lý rủi ro tài chính hiện đại nếu chỉ đơn thuần dựa
vào các chính sách định tính thì chưa đủ, mà quan trọng hơn là phải
hình thành và phát triển một hệ thống các phương pháp khoa học nhằm
lượng hóa mức độ rủi ro và tổn thất tài chính có thể xảy ra trong những
điều kiện nhất định của thị trường và của nền kinh tế để từ đó đưa ra
các giải pháp quản lý rủi ro hữu hiệu.
Hai công cụ được biết rộng rãi nhất dùng để hình thức hóa rủi ro thị
trường là các tham số phòng hộ Hy Lạp, đo lường độ nhạy của các tài
sản đối với sự dịch chuyển của thị trường, và Value-at-Risk (VaR). Mặc
dù Leavens không giới thiệu mô hình VaR một cách chính thức, nhưng
có thể được coi là người tiên phong nghiên cứu VaR. Đó là do Leavens
đã công khai đầu tiên và có nghiên cứu toàn diện nhất về lợi ích của sự
đa dạng danh mục đầu tư vào năm 1945. Markowitz (1952) và sau đó
Roy (1952) kế tiếp Leavens công khai cùng độ đo VaR một cách độc lập.
William Sharpe đề xuất mô hình Capital Asset Pricing Model vào năm
1963. Ba năm sau, ủy ban do JP Morgan tổ chức nghiên cứu về các phái
ii


sinh dùng VaR đầu tiên trong một báo cáo được phát hành năm 1993.
Tháng 10 năm 1994 JP Morgan đề xuất một hệ thống mới gọi là Risk

Metrics. Đó là một hệ thống máy tính độc lập cung cấp các độ đo rủi ro
cho 400 công cụ tài chính. Hơn nữa năm 1996 ủy ban Basle tán thành
dùng giới hạn của độ đo VaR để tính yêu cầu vốn ngân hàng, VaR trở
thành độ đo rủi ro tài chính được dùng rộng rãi nhất.
VaR là lượng tổn thất lớn nhất có thể được quan sát với mức độ tin
cậy đã cho trong một khoảng thời gian xác định. Ví dụ, nói VaR của một
vị thế với độ tin cậy 95% là 1000 nghĩa là trong 95 của 100 ngày ta có thể
đối mặt với tổn thất thấp hơn 1000. Về cơ bản VaR là sự ước lượng phân
vị của một phân phối xác suất nhất định. Đáng tiếc là định nghĩa của
VaR không cổ vũ cho sự đa dạng danh mục đầu tư. Nghĩa là rủi ro gắn
với danh mục đầu tư hỗn hợp có thể cao hơn tổng các số VaR của từng
danh mục riêng lẻ. Sự mâu thuẫn đó của VaR thúc đẩy các nhà nghiên
cứu xây dựng các độ đo rủi ro khác. Một số đề xuất các biến đổi và mở
rộng VaR trong khi số khác đề nghị cách lựa chọn khác để tính rủi ro tài
chính. Kênh nghiên cứu thứ nhất được bắt đầu bởi Artzner, Deldean,
Eber, và Heath vào năm 1997 với bài báo tựa đề “Thinking Coherently”.
Đóng góp chủ yếu của các nhà nghiên cứu này là “Độ đo rủi ro liên kết”
(Coherent Risk Measures) vào năm 1999. Những bài báo này giới thiệu
các điều kiện nhất quán phải được thỏa mãn bởi một độ đo rủi ro. Vì
VaR không là độ đo rủi ro liên kết theo hoàn cảnh đang xét, các độ đo
rủi ro mới được xây dựng thỏa mãn các điều kiện nhất quán này và dễ
dàng tính toán giống VaR . Ví dụ, Conditional Value at Risk (CVaR)
bởi Uryasev và Rockafeller năm 1999 và Expected Shortfall (ES) Acerbi
et. al. năm 2000. Cả hai độ đo này làm việc với α phần trăm trường hợp
tồi tệ nhất và lấy kỳ vọng của các tổn thất tồi tệ nhất này.
Luận văn này nhằm hệ thống lại lý thuyết về độ đo rủi ro tài chính
và đưa ra các ví dụ cụ thể để minh họa. Chúng tôi cũng cố gắng đưa
ra một hệ thống ví dụ tuy không quá phức tạp, nhưng cũng đảm bảo
cho mục đích minh họa và làm cho các kết quả lý thuyết trừu tượng trở
nên dễ hiểu hơn. Với các công việc đó, bản luận văn được chia thành 3

chương:
Chương 1: trình bày một số kiến thức cơ bản của xác suất thống
kê dùng trong khóa luận.
Chương 2: là chương quan trọng nhất của luận văn. Phần đầu của
iii


chương này chúng tôi trình bày lại độ đo rủi ro VaR, giới thiệu một
số phương pháp tính VaR, đưa ra hạn chế của VaR. Phần còn lại của
chương này, chúng tôi trình bày độ đo rủi ro liên kết và biểu diễn nó,
cách xây dựng một độ đo rủi ro liên kết, là độ đo thua lỗ trung bình
(Expected shortfall). Nội dung chính của chương này là chứng minh chi
tiết tính chất cộng tính dưới của độ đo Expected shortfall.
Chương 3 dành để trình bày về xác định giá trị rủi ro trong thực
tế và mức xếp hạng đánh giá mức độ rủi ro của một công ty.

iv


Chương 1

Các kiến thức mở đầu
1.1
1.1.1

Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
Biến ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, A, P ) là không gian xác suất cơ bản và (R, B) là không
gian đo được với R là tập số thực, B là σ - đại số borel trên R.

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi ánh xạ đo được X : Ω −→ R (tức là X −1 (B) ⊂
A)) là biến ngẫu nhiên.

1.1.2

Hàm phân phối xác suất

Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó độ đo ảnh XP được gọi là
phân phối (hay chính xác hơn, phân phối xác suất) của X. Ta ký hiệu
PX = XP , như vậy
PX (B) = P (X −1 (B))
là xác suất trên không gian đo được (R, B).
Định nghĩa 1.1.2. Nếu X là biến ngẫu nhiên thì ta gọi
FX (x) = P {ω : X(ω) < x}
là hàm phân phối xác suất của X.
1


Mệnh đề 1.1.3. Nếu X là biến ngẫu nhiên, thì hàm phân phối của nó:
FX (x) = P {ω : X(ω) < x}
có các tính chất sau:
1) Không giảm: FX (x1 ) ≤ FX (x2 ) với x1 ≤ x2 .
2) Liên tục bên trái: FX (x) = FX (x − 0).
3) Nhận giá trị 0 tại −∞ và 1 tại +∞.
F (−∞) = limx→−∞ F (x) = 0, F (+∞) = limx→+∞ F (x) = 1.
Ngược lại, nếu cho trước hàm F (x) có ba tính chất trên thì tồn tại ít
nhất một không gian xác suất cơ bản (Ω, A, P ) và một biến ngẫu nhiên
X sao cho F là hàm phân phối của nó FX = F .

1.1.3

Phân phối rời rạc và phân phối liên tục

Định nghĩa 1.1.4. Ta nói biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc (hay
biến ngẫu nhiên rời rạc) nếu hàm phân phối F của nó là hàm bước nhảy.
Giả sử {xk } là tập hợp tất cả các điểm gián đoạn của F và {pk } là
các bước nhảy tương ứng: pk = F (xk + 0) − F (xk ). Khi đó, ta có:
pk = Pξ {xk } = P {ω : ξ(ω) = xk }.
Bảng sau đây được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu
nhiên ξ:
ξ
x1 x2 · · ·
=
,
P
p1 p2 · · ·
trong đó xk , k = 1, 2, ... là các giá trị có thể của ξ (hay là điểm tập trung
khối lượng của ξ) và pk , k = 1, 2, ... là xác suất để ξ lấy giá trị xk (hay là
khối lượng của Fξ đặt tại xk ). Rõ ràng, pk , k = 1, 2, ... có các tính chất
sau:
pk > 0,

pk = 1,

(1.1)

pk .

(1.2)

k

Fξ (x) =
xk
2


Ngược lại, nếu cho trước xk là dãy bất kỳ và {pk } là dãy có tính chất
(1.1) thì vế phải của (1.2) xác định hàm phân phối và do đó, tồn tại đại
lượng ngẫu nhiên ξ tập trung tại các điểm {xk } với khối lượng tương
ứng {pk }
Định nghĩa 1.1.5. Nói rằng X có phân phối liên tục, nếu phân phối
PX của nó tuyệt đối liên tục đối với độ đo Lebesgue của đường thẳng.
Vậy, nếu X có phân phối liên tục (hay tuyệt đối liên tục), thì có đạo
hàm Radon - Nikodym.
dPX (x)
dx

pX (x) =

pX (x) được gọi là mật độ phân phối của X. Nó có các tính chất sau:
+∞

pX (x) ≥ 0,

pX (x)dx = 1.

(1.3)

pX (u)du.

(1.4)

−∞
x

FX (x) =
−∞

Ngược lại, nếu cho trước hàm số p(x) có tính chất (1.3) thì vế phải
(1.4) xác định một hàm phân phối và do đó tồn tại một biến ngẫu nhiên
nhận p(x) làm hàm mật độ phân phối của nó. Vì vậy, hàm số có tính
chất (1.3) được gọi là hàm mật độ (xác suất). Đặc biệt, nếu hàm mật độ
có dạng:
1
x2
p(x) = √ exp{− }
2
2π
thì ta gọi hàm phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng là phân phối
(đại lượng ngẫu nhiên) Gauss tiêu chuẩn. Ta sẽ dùng ký hiệu N (0, 1) để
chỉ phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) Gauss tiêu chuẩn. Nếu ξ = σγ +m,
trong đó σ > 0, m ∈ R, thì ta nói ξ có phân phối Gauss hay chuẩn với
tham số (m, σ 2 ). Rõ ràng, mật độ của ξ = σγ + m có dạng
1 x−m 2
1
) },
p(x) = √ exp{− (
2

σ
σ 2π
với ξ như thế, ta sẽ dùng ký hiệu N (m, σ 2 ) để chỉ hàm phân phối của
nó.
3


Mệnh đề 1.1.6. Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối liên tục
F (x). Khi đó hàm phân phối của Y = F (X) là phân phối đều trên (0, 1).

1.2

Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu
nhiên

1.2.1

Moment

Định nghĩa 1.2.1. Nói rằng, X có moment cấp (hay bậc) p > 0, nếu
|X|p ∈ L1 (P ), tức là Ω |X(ω)|p dP (ω) < ∞.
Ký hiệu Lp (P ) là tập hợp gồm tất cả các đại lượng ngẫu nhiên có
moment cấp p.
Định nghĩa 1.2.2. Nếu X ∈ L1 , thì ta gọi số
EX =

X(ω)dP
Ω

là kỳ vọng (hay giá trị trung bình) của X.

Tính chất:
a) E1Ω = 1, E(aX1 + bX2 ) = aEX1 + bEX2 .
b) X, Y ∈ L1 và X ≤ Y, EX ≤ EY .
Cách tính:
a) Nếu X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối FX , thì
+∞

EX =

xdFX (x).
−∞

b) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, thì
EX =

xk pk
k

trong đó {xk } là các điểm tập trung của X với khối lượng {pk } tương
ứng.
4


c) X là biến ngẫu nhiên liên tục, thì
+∞

EX =

xpX (x)dx
−∞

pX (x) là hàm mật độ phân phối của X.

1.2.2

Phương sai

Định nghĩa 1.2.3. Giả sử X ∈ L2 . Khi đó, đại lượng
DX = E[X − EX]2
hữu hạn và được gọi là phương sai của biến ngẫu nhiên X, còn σX =
√
DX được gọi là độ lệch tiêu chuẩn của X.
Mệnh đề 1.2.4. a) Nếu X có hàm phân phối FX , thì
+∞

+∞
2

DX =

(x−EX) dFX (x) =
−∞

+∞
2

xdFX (x))2 .

x dFX (x)−(
−∞

−∞

b) X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì DX =

(xk − EX)2 pk .

c) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:
+∞

(x − EX)2 pX (x)dx.

DX =
−∞

1.2.3

Hiệp phương sai

Định nghĩa 1.2.5. Hiệp phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên X và
Y là một số xác định bởi công thức:
cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY )
với EX = µ và EY = λ.
1. Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì:
xi yj pij − µλ

cov(X, Y ) =
i

với pij = P (X = xi , Y = yi ).

5

j


2. Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục và f (x, y) là hàm
mật độ đồng thời của (X, Y ) thì
+∞

+∞

xyf (x, y)dxdy − µλ.

cov(X, Y ) =
−∞

−∞

3. Nếu X, Y độc lập thì cov(X, Y ) = 0 nhưng ngược lại thì chưa chắc
đúng.

1.2.4

Hệ số tương quan

Định nghĩa 1.2.6. Hệ số tương quan của X, Y , ký hiệu bởi ρ(X, Y )
được định nghĩa bởi công thức:
ρ(X, Y ) =

cov(X, Y )

.
ρX ρY

Ý nghĩa của hệ số tương quan: Hệ số tương quan đo mức độ phụ
thuộc tuyến tính giữa X và Y . Nếu |ρ(X, Y )| càng gần 1 thì mối quan
hệ tuyến tính càng chặt, càng gần 0 thì sự phụ thuộc tuyến tính càng ít,
hay càng “lỏng lẻo”. Nếu ρ(X, Y ) = 0 thì X, Y không tương quan. Tính
chất của hệ số tương quan:
i) Ta luôn có:
−1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1.
ii) Nếu X, Y độc lập thì ρ(X, Y ) = 0. Nếu Y phụ thuộc tuyến tính vào
X, tức là Y = aX + b thì ρ(X, Y ) = ±1.

1.2.5

Độ nhọn

Định nghĩa 1.2.7. Độ nhọn là một đại lượng thống kê mô tả đo mức
độ tập trung của phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên, cụ thể
là mức độ tập trung của các quan sát quanh trung tâm của phân phối
trong mối quan hệ với hai đuôi, được định nghĩa bởi
γ2 =

µ4
− 3,
σ4
6


trong đó µ là moment trung tâm bậc 4, còn σ là độ lệch chuẩn. Tỷ lệ

µ4
được gọi là moment chuẩn hóa bậc 4.
σ4

1.2.6

Bất đẳng thức Chebyshev

Mệnh đề 1.2.8. Giả sử ξ ∈ L0 và g : R −→ R+ là hàm Borel không
âm và không giảm trên [0, ∞). Khi đó nếu g(ξ) > 0, thì
P {ω : ξ(ω) ≥ ε} ≤

Eg(ξ)
.
g(ε)

Đó là bất đẳng thức Chebyshev.
Chứng minh. Đặt A = {ω : ξ(ω) ≥ ε}, ta có
Eg(ξ) ≥ Eg(ξ)1A ≥ g(ε)E1A = g(ε)P (A).
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.2.9.
P {ω : |ξ(ω) − Eξ| ≥ ε} ≤

P {ω : |ξ(ω)| ≥ ε} ≤

E|ξ|p
,
εp

Dξ

,
ε2

∀ε > 0

∀p > 0 ∀ε > 0

(1.5)

(1.6)

Người ta thường gọi (1.5) là bất đẳng thức Chebyshev, còn (1.6) là
bất đẳng thức Markov. Đó là những bất đẳng thức quan trọng của lý
thuyết xác suất. Mặc dù chứng minh của chúng hoàn toàn đơn giản,
nhưng nó có ý nghĩa toán học sâu sắc. Chẳng hạn, (1.5) cho ta thấy:
nếu biết phương sai của ξ thì ta sẽ biết với xác suất bằng bao nhiêu để
ξ rơi vào lân cận ε của giá trị trung bình, tức là cho ta biết mức độ tập
trung (phân tán) của ξ quanh Eξ.

1.3

Các mô hình phi tuyến ARCH, GARCH

Nhiều tính toán trong toán học tài chính có thể dựa vào sự phỏng
đoán rằng một giá cả đã chiết khấu là một mac-tin-gan, làm cho khái
7


niệm mac-tin-gan trở thành một khái niệm trung tâm để phân tích giá
cả; các giá cả này được xem như các dãy ngẫu nhiên hoặc các quá trình

ngẫu nhiên với những phân phối đặc biệt nào đó. Tuy nhiên, các phân
phối có tính chất mac-tin-gan là không đủ dùng để tính toán cụ thể.
Người ta cần biết những cấu trúc tinh vi hơn về những phân phối đó.
Do đó cần phải nghiên cứu các loại mô hình xác suất và thống kê khác
nhau tỉ mỉ hơn để tìm ra những mô hình phù hợp với các phân phối thực
nghiệm xây dựng trên cơ sở các số liệu thống kê. Trong phân tích tài
chính, nếu ký hiệu một loại giá cả thay đổi hằng ngày là Sn , để thuận
tiện cho việc phân tích các yếu tố ngẫu nhiên của các chỉ số, người ta
hay xét các đại lượng
hn = ln

Sn
, n = 1, 2, ...
Sn−1

Ta hiểu rằng hn = lnSn − lnSn−1 được xem là “lợi nhuận” hay “lợi nhuận
lôgarit”. Giả thiết thường được ưa chuộng nhất là giả thiết cho rằng
(h1 , ..., hn ) tuân theo luật phân phối chuẩn. Thế nhưng, tiếc thay, theo
sự phân tích thống kê các chuỗi thời gian tài chính, giả thiết đó nhiều
khi không phù hợp thực tế diễn biến của các giá cả tài chính.

1.3.1

Mô hình tự hồi quy với phương sai có điều
kiện khác nhau: ARCH(p)

Ta giả thiết dãy ε = (εn ) là nguồn ngẫu nhiên duy nhất:
Fn = σ(ε1 , ..., εn ).
Bây giờ ta đặt:
µn = E(hn |Fn−1 ) = 0

và

p

σn2

=

E(h2n |Fn−1 )

αi h2n−i

= α0 +
i=1

trong đó α0 > 0, αi ≥ 0, i = 1, ..., p, F0 = {∅, Ω} và h1−p , ..., h0 là những
hằng số ban đầu đã cho. Trong mô hình này, các phương sai σn2 không
phải là bằng nhau (hằng số) mà là một hàm của h2n−1 , ..., h2n−p . Mô hình
8


này do R.F.Eagle đưa ra vào năm 1982, đã chứng tỏ khá thành công
trong việc giải thích nhiều tính chất đặc biệt của chuỗi thời gian tài
chính, chẳng hạn như tính chất tập kết 1 đối với các giá trị của hn .

1.3.2

Mô hình tổng quát tự hồi quy với phương sai
có điều kiện khác nhau: GARCH(p, q)

Sự thành công của mô hình ARCH ứng dụng trong kinh tế tài chính
và kỹ thuật làm cho người ta quan tâm mở rộng, cải tiến mạnh mẽ mô
hình này. Năm 1986, T. Bollerslev đã đưa ra mô hình ARCH-tổng quát
như sau. Như trước đây, đặt
µn = E(hn |Fn−1 ) = 0
nhưng bây giờ
q

p

σn2

=

E(h2n |Fn−1 )

αi h2n−i

= α0 +
i=1

2
βj σn−j

+

(1.7)

j=1

trong đó α0 > 0, αi , βj ≥ 0 và các giá trị ban đầu là
2
(h1−p , · · · , h0 ), (σ1−q
, · · · , σ02 )

mà ta có thể đặt bằng các hằng số để cho đơn giản. Trong mô hình
GARCH(p, q) ta đặt
hn = σn εn
trong đó (ε1 , ε2 , · · · ) là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân
phối chuẩn N (0, 1) và các σn2 thỏa mãn hệ thức (1.7).

1.4

Phân vị thống kê (quantiles)

Định nghĩa 1.4.1. Cho X là một biến ngẫu nhiên và α ∈ [0, 1]
1

cluster property

9


1. q được gọi là một phân vị mức α nếu
P [X < q] ≤ α ≤ P [X ≤ q].
2. α-phân vị cao (higher α-quantile) của X là
x(α) = q α (X) = inf{x ∈ R|P [X ≤ x] > α}.
3. α-phân vị thấp (lower α-quantile) của X là
x(α) = qα (X) = inf{x ∈ R|P [X ≤ x] ≥ α}.
Chú ý rằng x(α) = sup{x ∈ R|P [X ≤ x] ≤ α}. Từ {x ∈ R|P [X ≤

x] ≥ α} ⊇ {x ∈ R|P [X ≤ x] > α} ta suy ra x(α) ≤ x(α) . Hơn nữa ta
cũng có
x(α) = x(α) nếu và chỉ nếu X liên tục
và trong trường hợp x(α) < x(α)

{x ∈ R|α = P [X ≤ x]} =



[x(α) , x(α) ), P [X = x(α) ] > 0

[x(α) , x(α) ],

10

P [X = x(α) ] = 0.


Chương 2

Các độ đo rủi ro tài
chính
2.1

Độ đo rủi ro VaR

Dưới góc độ hoạt động kinh doanh và đầu tư tài chính, rủi ro được
định nghĩa một cách đơn giản và trực tiếp nhất là sự thay đổi không
lường trước được về giá trị tài sản và khoản nợ. Rủi ro được phân thành
các loại:

1. Rủi ro trong kinh doanh: thường do chính doanh nghiệp chủ động
tạo ra. Ví dụ như doanh nghiệp sản xuất sản phẩm mới nhưng lại
không đáp ứng được thị hiếu khách hàng và gây ra thua lỗ.
2. Rủi ro ngoài kinh doanh: nằm ngoài dự tính và kiểm soát của doanh
nghiệp. Ví dụ như doanh nghiệp phải thay đổi căn bản hoặc chuyển
hướng hoàn toàn sang lĩnh vực kinh doanh khác do sự thay đổi về
thể chế chính trị hoặc chính sách kinh tế.
3. Rủi ro tài chính: là rủi ro dẫn đến các tổn thất do thị trường tài
chính mang lại như rủi ro về lãi suất, tỷ giá, rủi ro về biến động giá
các loại chứng khoán, rủi ro tín dụng, rủi ro thanh khoản. Rủi ro về
tài chính là có thể kiểm soát được.
11


Trong rủi ro tài chính, xét theo quan điểm đầu tư chứng khoán, rủi
ro trong đầu tư chứng khoán là khả năng xảy ra những kết quả đầu tư
ngoài dự kiến, cụ thể hơn là những khả năng làm cho mức sinh lời thực
tế nhận được trong tương lai khác với mức dự kiến ban đầu. Theo quan
điểm đó thì rủi ro chính là khả năng biến động của mức sinh lời. Vì
vậy, khả năng biến động mức sinh lời càng rộng thì chứng tỏ khoản đầu
tư càng nhiều rủi ro. Phương sai và độ lệch chuẩn là những hệ số được
dùng để đo lường mức biến động của mức sinh lời hay chính là rủi ro
của khoản đầu tư.

2.1.1

Giá trị rủi ro VaR

Lý luận đằng sau khái niệm của VaR là như sau: cố định ngưỡng xác
suất α (chẳng hạn 1%) và định nghĩa một vị trí chấp nhận được khi và

chỉ khi xác suất đi đến phá sản là nhỏ hơn α. Vấn đề chủ yếu của VaR
là nó không phân biệt giữa sự phá sản 1 triệu và 100 triệu Euro. Tuy
thế, VaR được dùng rộng rãi nhất để quản lý rủi ro và để nghiên cứu
các tính chất của nó ta cần định nghĩa chính xác hơn.
Định nghĩa 2.1.1. Cho trước một vị trí X và một số α ∈ [0, 1] ta định
nghĩa
V aRα (X) := −qα (X)
và ta gọi X là VaR - chấp nhận được nếu V aRα (X) ≤ 0 hay, qα ≥ 0.
Ta có thể coi VaR là lượng vốn bổ sung mà một công ty cần để giảm
xác suất đi đến phá sản về α. VaR âm nghĩa là công ty có thể hoàn lại
tiền cho cổ đông của nó hay có thể thay đổi các hoạt động của nó, ví dụ
nó có thể chấp nhận nhiều rủi ro hơn.
Chú ý 2.1.2. VaR có các tính chất sau:
1. X ≥ 0 ⇒ V aRα (X) ≤ 0.
2. X ≥ Y ⇒ V aRα (X) ≤ V aRα (Y ).
3. V aRα (λX) = λV aRα (X), với mọi λ ≥ 0.
4. V aRα (X + k) = V aRα (X) − k, với mọi k ∈ R.
12


Nói riêng, ta có V aRα (X + V aRα (X)) = 0. VaR cũng có tính chất
đẹp đó là được định nghĩa trên toàn bộ không gian L0 . Do đó về nguyên
tắc nó có thể được tính trên bất kỳ biến ngẫu nhiên nào.

2.1.2

Mô hình

Mô hình dưới đây dùng để xác định giá trị thua lỗ lớn nhất của một
phương án đầu tư gồm n chứng khoán với độ tin cậy cho trước. Xét một

phương án đầu tư gồm n chứng khoán. Gọi Xi , ci lần lượt là lợi suất,
trọng số của chứng khoán thứ i trong phương án đầu tư này. Khi đó, lợi
suất R của toàn bộ phương án là:
n

R=

c i Xi .
i=1

Chứng minh. Gọi xi là giá trị hiện tại, Yi là giá trị tương lai, εi là số cổ
phiếu của chứng khoán thứ i trong phương án đầu tư. Khi đó, lợi suất
của chứng khoán thứ i là
Xi =

Yi − xi
.
xi

Giá trị hiện tại của phương án đầu tư là
n

Q0 =

εi x i .
i=1

Giá trị tương lai của phương án đầu tư là
n

Q=

εi Y i .
i=1

Trọng số của chứng khoán thứ i trong phương án đầu tư là
ci =

εi xi
.
Q0

Từ đó ta có lợi suất của toàn bộ phương án đầu tư là
13


n
εi (Yi − xi )
Q − Q0
= i=1
R=
Q0
Q0
n
εi xi (Yi − xi )
=
Q0
xi
i=1
n

=

ci Xi .
i=1

Trung bình và phương sai của R được cho bởi:
n

E(R) =

n

ci E(Xi ) =
i=1

ci µi

(2.1)

i=1

n

n

ci cj σij

D(R) =

(2.2)

i=1 j=1

trong đó µi là giá trị trung bình của Xi , còn σij là hiệp phương sai giữa
Xi và Xj .

2.1.3

Xác định giá trị thua lỗ lớn nhất của phương
án đầu tư với độ tin cậy cho trước

Giá trị thua lỗ lớn nhất này gọi là giá trị rủi ro, hay là VaR. Giá trị
VaR được xác định bởi zα sao cho:
P (Q0 − Q ≤ zα ) = α
hay
P (Q − Q0 ≥ −zα ) = α.
Ta có Q − Q0 = Q0 R nên đẳng thức trên tương đương với:
P (Q0 R ≤ −zα ) = 1 − α.

14


Hình 2.1: Hàm mật độ của Q − Q0 và giá trị VaR.
Ta giả thiết: (X1 , X2 , · · · , Xn ) tuân theo luật phân phối chuẩn n
chiều. Khi đó, lợi suất R cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng và phương
sai xác định bởi (2.1) và (2.2). Ký hiệu µ = E(R) và σ 2 = D(R) ta có
R ∼ N (µ, σ 2 ).
Suy ra
R−µ

∼ N (0, 1).
σ
Từ phương trình P (Q0 R ≤ −zα ) = 1 − α suy ra
zα
P (R ≤ − ) = 1 − α.
Q0
zα
Đặt rα = −
ta có P (R ≤ rα ) = 1 − α. Khi đó
Q0
P(
Nếu đặt L(x) =

R−µ
rα − µ
≤
) = 1 − α.
σ
σ

∞ 1 − y2
√ e 2 dy
x
2π

thì từ (2.3) suy ra

1 − α = L(−

rα − µ

).
σ

Đặt xα là một số sao cho
L(xα ) = 1 − α.
15

(2.3)


Như vậy ta được
zα = Q0 (xα σ − µ).

(2.4)

Chú ý 2.1.3. Vì phạm vi thời gian rủi ro mà ta xem xét là ngắn (thường
là 1 ngày hoặc một tuần) cho nên trong quản lý rủi ro thị trường, người
ta thường đặt lợi suất trung bình µ = 0.
Trong trường hợp đó, giá trị của V aR với độ tin cậy (1 − α)100%
được cho bởi xα .σ.Q0 .
Ví dụ 2.1.4 (Minh họa cách tính VaR). Cho Xi (i = 1, 2, · · · ) là lợi suất
hàng năm của chứng khoán i và giả sử rằng (X1 , X2 ) tuân theo luật
chuẩn 2 chiều với các trung bình là:
µ1 = 0, 1 µ2 = 0, 15
và các phương sai cho bởi:
σ1 = 0, 12 σ2 = 0, 18
và hệ số tương quan là ρ = −0, 4. Hãy tính 5% VaR cho 5 ngày của
phương án đầu tư: R = 0, 4X1 + 0, 6X2 trong đó giá thị trường của
phương án này là 1 triệu đô la.
Lời giải: Lợi suất trung bình của toàn bộ phương án đầu tư trong 5

ngày là:
5
5
µ=
ER =
365
365

2

ci µi =
i=1

Từ công thức: ρ(X1 , X2 ) =

5
(0, 4 · 0, 1 + 0, 6 · 0, 15) = 0, 00178.
365

σ12
ta có hiệp phương sai của hai chứng
σ1 σ2

khoán X1 , X2 là σ12
σ12 = ρ · σ1 · σ2 = −0, 00864.
Phương sai của phương án đầu tư là:
2

2

2

σ = D(R) =

ci cj σ
i=1 j=1

= c21 + 2c1 c2 σ12 + c22 = 0, 51585
16


σ = 0, 7182. Thay vào công thức (2.4) ta được:
V aR = Q0 (xα σ − µ) = 1 · (1, 645 · 0, 7182 − 0, 00178) = 1, 1796.
Điều đó có nghĩa là, với xác suất 5% xảy ra rủi ro, thì giá trị thua lỗ lớn
nhất có thể có của phương án đầu tư là 1, 1796 triệu đô la.

2.1.4

Một số phương pháp tính VaR

Hiện nay, có nhiều phương pháp ước tính VaR, phổ biến như là:
phương pháp phân tích quá khứ (Historical method), phương pháp mô
phỏng Monte Carlo (Monte Carlo Approach), phương pháp RiskMetrics,
... Trong khuôn khổ của khóa luận này, tác giả chỉ đề cập đến phương
pháp được dùng khá rộng rãi:
1. Phương pháp RiskMetrics.
2. Phương pháp toán kinh tế.
2.1.4.1

Phương pháp RiskMetrics

Phương pháp này được J.P Morgan phát triển từ phương pháp luận
RiskMetrics.
Năm 1995, Long và More đã đưa ra mô hình này vào thực nghiệm.
Mô hình: Trong mô hình RiskMetrics, giả định rằng lợi suất hàng
ngày liên tiếp của danh mục đầu tư tuân theo luật phân phối chuẩn có
điều kiện.
1. Lợi suất hàng ngày ký hiệu là rt
rt = ln

St
, (t = 1, 2, · · · ).
St−1

với St là giá cả tại thời điểm t, nó thay đổi hàng ngày. Theo giả thiết
của mô hình thì:
rt ∼ N (µt , σt2 ),
với µt và σt2 lần lượt là trung bình có điều kiện và phương sai có điều
kiện của rt .
17


2. Phương pháp giả định rằng: µt và σt2 có thể khai triển theo thời gian
bằng mô hình sau:
µt = 0
rt = σt εt
2
2
σt2 = λ · σt−1
+ (1 − λ)rt−1

(0 < λ < 1).

(2.5)

Cách xây dựng mô hình và cách ước lượng tham số λ cho
mô hình
1. Vì lợi suất các ngày liên tiếp của một phương án đầu tư là rất nhỏ
nên ta có thể coi trung bình của chúng bằng 0. Tức là
µt = 0, (t = 1, 2, · · · ).
2. Giả thiết của mô hình: rt ∼ N (µt , σt2 ) nên nếu đặt
εt =

rt − µt
, (σt = 0)
σt

thì εt có phân phối chuẩn tắc: εt ∼ N (0, 1). Như vậy ε = (εn ) là dãy
biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn N (0, 1). Ta có thể biểu
diễn r = (rt ), t ≥ 1 ở trên dưới dạng sau:
rt = σt εt + µt = σt εt .
3. Ước lượng cho độ lệch chuẩn σt
Sử dụng mô hình trung bình trượt có trọng số mũ EWMA 1 . Mô
hình
EW M A =

1

1
λ

2
2
r
+
rt−1
t
2
T
2
T
1 + λ + λ + ··· + λ
1 + λ + λ + ··· + λ
T
λ
2
+ ··· +
rt−T
.
2
T
1 + λ + λ + ··· + λ

Exponentially Weighted Moving Average model

18