Ánh xạ đơn điệu suy rộng và ứng dụng : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

ĐỨC MINH THIÊM

ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

ĐỨC MINH THIÊM

ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội – 2016


Mục lục
Một số kí hiệu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Không gian Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Hàm lồi suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Ánh xạ đơn điệu suy rộng
2.1

2.2

17

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1

Ánh xạ đơn điệu và đơn điệu chặt . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Ánh xạ giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.3

Ánh xạ giả đơn điệu chặt

. . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.4

Ánh xạ tựa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.5

Ánh xạ đơn điệu mạnh và giả đơn điệu mạnh . . .

23

Các đặc trưng của ánh xạ đơn điệu suy rộng . . . . . . . .

26

2.2.1

Ánh xạ đơn điệu suy rộng 1−chiều . . . . . . . . .

26

2.2.2

Mối liên hệ giữa ánh xạ tựa đơn điệu và ánh xạ giả
đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.3

Ánh xạ đơn điệu suy rộng khả vi . . . . . . . . . .

30

2.2.4

Ánh xạ đơn điệu suy rộng affin . . . . . . . . . . .

34

3 Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân giả đơn
điệu

40
1


3.1

Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.2

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Tài liệu tham khảo

52

2


Bảng kí hiệu
R

đường thẳng thực

Rn

không gian Euclide n - chiều

R = R ∪ {−∞, +∞}

tập số thực suy rộng

f :X→R

ánh xạ đi từ X vào R

int A

phần trong của A

A

bao đóng của A

dom(f )

miền hữu hiệu của f

epi(f )

trên đồ thị của f

ϕ (x)

đạo hàm của ϕ tại x

∇f (x)

gradient của f tại x

ϕ (x)

đạo hàm bậc hai của ϕ tại x

∇2 f (x)

ma trận Hessian của f tại x
tích vô hướng trong Rn

., .
||.||

chuẩn trong không gian Rn

|x|

trị tuyệt đối của số x

af f (A)

bao lồi affin của A

coA

bao lồi của A

(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)}

đoạn thẳng mở nối x và y

[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]}

đoạn thẳng đóng nối x và y

L(f, α) = {x ∈ X | f (x)

tập mức dưới

α}


Mở đầu
Ánh xạ đơn điệu là một khái niệm suy rộng rất tự nhiên của hàm số
đơn điệu. Khái niệm này ngay sau khi ra đời đã được quan tâm nghiên cứu
do tính phổ dụng của loại toán tử này trong nhiều lĩnh vực khác nhau,
đặc biệt trong Giải tích phi tuyến. Tính đơn điệu sau đó được mở rộng ra
tính đơn điệu suy rộng như giả đơn điệu, tựa đơn điệu, v.v...
Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản
về ánh xạ đơn điệu suy rộng và một vài ứng dụng vào nghiên cứu sự tồn
tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân.
Luận văn được trình bày gồm 3 chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Tác giả trình bày các kiến thức cơ bản
về tập lồi, hàm lồi và các hàm lồi suy rộng. Các kiến thức cơ bản được sử
dụng để nghiên cứu các vấn đề trong chương 2.
Chương 2: Ánh xạ đơn điệu suy rộng. Nội dung chính của chương này
tập trung trình bày các định nghĩa về ánh xạ đơn điệu và đơn điệu chặt,
ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ giả đơn điệu chặt, ánh xạ tựa đơn điệu, ánh
xạ đơn điệu mạnh và giả đơn điệu mạnh. Đồng thời nêu các đặc trưng của
ánh xạ đơn điệu suy rộng như là ánh xạ đơn điệu suy rộng 1− chiều, mối
liên hệ giữa ánh xạ tựa đơn điệu và ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ đơn điệu
suy rộng khả vi, và ánh xạ đơn điệu suy rộng affin.
Chương 3: Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân giả đơn
điệu. Ở đây luận văn trình bày một vài ứng dụng vào nghiên cứu sự tồn
tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân.
Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới

4


PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm đã hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành
luận văn này. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các
thầy phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu
cho tác giả. Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ
– Tin học, khoa Sau đại học và các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện
thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian tác giả học tập tại trường. Cuối
cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã quan tâm,
động viên và chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn của mình.

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015
Tác giả luận văn

Đức Minh Thiêm

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số nội dung về tập lồi, hàm lồi và hàm lồi
suy rộng, bao hàm hàm tựa lồi và của hàm giả lồi. Những nội dung trình
bày trong chương này chủ yếu chọn trong tài liệu [2].

1.1

Không gian Euclide

Tập hợp
Rn := {x = (x1 , ..., xn )T : x1 , ..., xn ∈ R}
với hai phép toán
(x1 , ..., xn )T + (y1 , ..., yn )T := (x1 + y1 , ..., xn + yn )T
λ(x1 , ..., xn )T := (λx1 , ..., λxn )T ,

λ∈R

lập thành một không gian véc tơ Euclide n−chiều.
Nếu x = (x1 , ..., xn )T ∈ Rn thì xi gọi là thành phần hoặc tọa độ thứ i
của x. Véc tơ không của không gian này gọi là gốc của Rn và được kí hiệu
đơn giản là 0, vậy 0 = (0, ..., 0)T .
Trong Rn ta định nghĩa tích vô hướng chính tắc ., . như sau: với
x = (x1 , ..., xn )T , y = (y1 , ..., yn )T ∈ Rn ,
n

x, y =

xi yi .
i=1

6


Đôi khi ta còn ký hiệu là xT y. Khi đó với mọi x = (x1 , ..., xn )T ∈ Rn ta
định nghĩa
n

x :=

(xi )2

x, x =
i=1

và gọi là chuẩn Euclide của véc tơ x.

1.2

Tập lồi

Định nghĩa 1.1. Tập X ⊂ Rn được gọi là lồi, nếu
∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ X.
Mệnh đề 1.2. Cho Xα ⊂ Rn (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số
bất kì. Khi đó X =

Xα cũng lồi.
α∈I

Mệnh đề 1.3. Cho các tập Xi ⊂ Rn lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, ..., m). Khi đó
λ1 X1 + ... + λm Xm cũng là tập lồi.
Mệnh đề 1.4. Cho các tập Xi ⊂ Rni lồi, (i = 1, 2, . . . , m). Khi đó tích
Đề các X1 × ... × Xm là tập lồi trong Rn1 × ... × Rnm .
Định nghĩa 1.5. Cho X ⊂ Rn . Giao của tất cả các tập lồi chứa X được
gọi là bao lồi (convex hull) của tập X, kí hiệu là coX.
Định nghĩa 1.6. Giả sử X ⊂ Rn . Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa
X được gọi là bao lồi đóng của tập X và kí hiệu là coX.

Mệnh đề 1.7. Cho X ⊂ Rn lồi. Khi đó,
i) Phần trong intX và bao đóng X của X là các tập lồi;
ii) Nếu x1 ∈ intX, x2 ∈ X, thì
{λx1 + (1 − λ)x2 : 0 < x1 ≤ 1} ⊂ intX.

7


1.3

Hàm lồi

Định nghĩa 1.8. Cho hàm f : X → R, trong đó X ⊂ Rn , R = R ∪
{−∞, +∞}, các tập
epi(f ) = {(x, α) ∈ X × R| f (x) ≤ α} ,
dom(f ) = {x ∈ X| f (x) < +∞}
được gọi lần lượt là trên đồ thị và miền hữu hiệu của f .
Định nghĩa 1.9. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi, f : X → R.
Hàm f được gọi là lồi trên X nếu trên đồ thị epi(f ) của nó là một tập
lồi trong Rn × R.
Nếu dom f = ∅ và −∞ < f (x) với mọi x ∈ X ta nói hàm f là chính
thường.
Hàm f được gọi là lõm trên X nếu −f là hàm lồi trên X.
Định lý 1.10. Giả sử f1 , ..., fm là các hàm lồi chính thường trên X. Khi
đó, tổng f1 + ... + fm là một hàm lồi.
Ta nhắc lại một số đặc trưng và tính chất của hàm lồi một biến khả vi.
Định lý 1.11. Cho ϕ : (a, b) → R.
i) Nếu ϕ khả vi trên (a, b) thì ϕ lồi trên (a, b) khi và chỉ khi ϕ không
giảm trên (a, b).
ii) Nếu ϕ có đạo hàm bậc hai trên (a, b) thì ϕ lồi trên (a, b) khi và chỉ

khi ϕ (t)

0 với mọi t ∈ (a, b).

iii) Nếu ϕ lồi trên [a, b] thì ϕ liên tục trên (a, b).
Định lý 1.12. Cho X là tập lồi trong không gian Rn và f : X → R. Khi
đó, các điều kiện sau là tương đương:
a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ X.
b) f (λx + (1 − λ) y)

λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ > 1, ∀x, y ∈ X sao cho
λx + (1 − λ) y ∈ X.

8


c) f (λx + (1 − λ) y)

λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ < 0, ∀x, y ∈ X sao cho
λx + (1 − λ) y ∈ X.

d)(Bất đẳng thức Jensen) Với bất kì x1 , . . . , xm ∈ X, i = 1, . . . , m và với
m

bất kì λi ∈ [0, 1], i = 1, . . . , m,

λi = 1 bất đẳng thức sau đúng:
i=1

f (λ1 x1 + ... + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + ... + λm f (xm ) .

e) Với mọi x ∈ X, với mọi y ∈ Rn , hàm ϕx,y (t) = f (x + ty) là hàm lồi
trên đoạn Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ X}.
f) Với mọi x, y ∈ X, hàm ψx,y (λ) = f (λx + (1 − λ)y) lồi trên đoạn [0, 1].
g) Trên đồ thị của f là tập lồi trong Rn+1 .
Định lý 1.13. Giả sử X ⊂ Rn là một tập lồi mở, f : X → R. Khi đó, f
lồi trên X khi và chỉ khi với mọi x0 ∈ X, tồn tại x∗ ∈ Rn sao cho
f (x) − f (x0 )

x∗ (x − x0 ),

x ∈ X.

Định lý 1.14. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi và f : X → R. Khi đó, nếu f
lồi trên X thì, với mọi α ∈ R tập mức dưới của f
L(f, α) = {x ∈ X | f (x) ≤ α}
là tập lồi.
Định lý 1.15. Cho X ⊂ Rn là một tập mở và f : X → R khả vi trên X.
Khi đó các khẳng định sau tương đương:
a) f lồi trên X
b) Với mọi x ∈ X và với mọi y ∈ Rn hàm
ϕx,y (t) = y, ∇f (x + ty) ,
biến t, không giảm trên đoạn Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ X}.
c) Với mọi x, y ∈ X, hàm
ψx,y (λ) = x − y, ∇f (λx + (1 − λ)y) ,
biến λ, không giảm trên đoạn [0, 1] .
9


d) Với mọi x, y ∈ X, f (x) − f (y)

(x − y), ∇f (y) .

e) Với mọi x, y ∈ X, f (x) − f (y)

(x − y), ∇f (x) .

f) Với mọi x, y ∈ X, (x − y), [∇f (x) − ∇f (y)]

0.

Định lý 1.16. Cho f : X → R là hàm số khả vi liên tục hai lần trên
tập lồi mở X ⊂ Rn . Khi đó, f lồi trên X khi và chỉ khi ma trận Hessian
∇2 f (x) nửa xác định dương với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.17. Cho X là tập lồi trong không gian Rn , f : X → R. Ta
nói f lồi chặt trên X nếu
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀λ ∈ (0, 1), f orallx, y ∈ X, x = y
Định lý 1.18. Cho X là tập lồi trong không gian Rn và f : X → R. Khi
đó, các điều kiện sau là tương đương:
a) f lồi chặt trên X
b) Với mọi x ∈ X, với mọi y ∈ Rn , hàm ϕx,y (t) = f (x + ty) là hàm lồi
chặt trên đoạn Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ X}.
f) Với mọi x, y ∈ X, hàm ψx,y (λ) = f (λx + (1 − λ)y) lồi trên đoạn [0, 1] .
Định lý 1.19. Cho X ⊂ Rn là một tập mở và f : X → R khả vi trên X.
Khi đó các khẳng định sau tương đương:
a) f lồi chặt trên X
b) Với mọi x, y ∈ X, x = y, f (x) − f (y) > (x − y), ∇f (y) .
e) Với mọi x, y ∈ X, x = y, f (x) − f (y) < (x − y), ∇f (x) .
f) Với mọi x, y ∈ X, (x − y), [∇f (x) − ∇f (y)] > 0.
Định lý 1.20. Cho f : X → R là hàm số khả vi liên tục hai lần trên tập lồi
mở X ⊂ Rn . Khi đó, nếu ma trận Hessian ∇2 f (x) xác định dương với mọi

x ∈ X, nghĩa là với mọi x ∈ X, y, ∇2 f (x)y > 0 với mọi y ∈ Rn , y = 0,
thì f lồi chặt trên X.
Điều kiện nêu trên chỉ đủ chứ không cần để f lồi chặt. Ví dụ như,
f (x) = x4 lồi chặt trên R, nhưng ∇2 f (x) = 12x2 không xác định dương
trên R, vì ∇2 f (0) = 0.
10


Định nghĩa 1.21. Hàm f : X → R xác định trên tập lồi X ⊂ Rn được
gọi là hàm affin trên X nếu có vừa lồi vừa lõm trên X, nghĩa là
f (λx + (1 − λ) y) = λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ X.
Định lý 1.22. Hàm f : Rn → R là hàm aphin khi và chỉ khi tồn tại
c ∈ Rn và số α ∈ R sao cho f (x) = c, x + α.
Định lý 1.23. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên Rn . Khi đó các khẳng
định sau là tương đương:
i) f bị chặn trong một lân cận của x ;
ii) f liên tục tại x ;
iii) int(epif ) = ∅ ;
iv) int(domf ) = ∅ và f liên tục trên int(domf ).
Đồng thời, int(epif) = {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ int(domf ), f (x) < µ} .

1.4

Hàm lồi suy rộng

Định nghĩa 1.24. Cho X ⊂ Rn là tập lồi. Hàm f : X → R gọi là hàm
tựa lồi nếu
f (λx + (1 − λ)y)

max{f (x), f (y)},

∀x, y ∈ X,

∀λ ∈ [0, 1].

Nhận xét 1.25. Một định nghĩa tương đương của hàm tựa lồi f : X → R,
trong đó X ⊂ Rn là một tập lồi, là:
x, y ∈ X,

f (x)

f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y)

f (y),

∀λ ∈ [0, 1]

Nhận xét 1.26. Mọi hàm lồi f : X → R đều là hàm tựa lồi.Thật vậy,
giả sử f lồi. Khi đó
f (λx + (1 − λ)y)

λf (x) + (1 − λ)f (y)
max{f (x), f (y)},

∀x, y ∈ X,

∀λ ∈ [0, 1].

Ví dụ sau chứng tỏ rằng, điều ngược lại trong nhận xét trên không
đúng.

Ví dụ . Lấy X = {(x, y) ∈ R2 | x, y
11

0}, f : X → R; f (x, y) = −xy.


Định lý 1.27. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi và f : X → R. Khi đó, các
điều kiện sau đây là tương đương:
a) f là hàm tựa lồi trên X, nghĩa là
f (λx + (1 − λ)y)

max{f (x), f (y)},

∀x, y ∈ X,

∀λ ∈ [0, 1].

b) Với mọi x ∈ X và với mọi y ∈ Rn hàm số gx,y (t) = f (x + ty) là tựa lồi
trên đoạn Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ X}.
c) Với mọi x, y ∈ X hàm hx,y (λ) = f (λx + (1 − λ)y) là tựa lồi trên đoạn
[0, 1].
d)Với mọi α ∈ R tập mức dưới
L(f, α) = {x ∈ X | f (x)

α}

là lồi (có thể rỗng).
e) Với mọi α ∈ R, tập mức dưới chặt
SL(f, α) = {x ∈ X | f (x) < α}
là tập lồi .

Định lý 1.28. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi mở, f : X → R là một hàm
khả vi trên X. Khi đó, f tựa lồi trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X,

f (x)

f (y) ⇒ (x − y), ∇f (y)

0.

Định lý 1.29. a) Cho f : X → R là một hàm liên tục trên tập lồi X ⊂ Rn .
Khi đó f tựa lồi trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X,

f (x) < f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y)

f (y),

∀λ ∈ [0, 1]

b) Cho f : X → R là một hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn . Khi đó f
tựa lồi trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X,

f (x) < f (y) =⇒ (x − y), ∇f (y)

0.

Định lý 1.30. Cho f : X → R là một hàm hai lần khả vi liên tục trên
tập lồi mở X ⊂ Rn . Điều kiện cần để f tựa lồi trên X là:

y ∈ Rn , x ∈ X, y∇f (x) = 0 =⇒ y, ∇2 f (x)y
12

0.


Lưu ý rằng, các điều kiện nêu trong định lý trên không đủ để f tựa lồi.
Với hàm f : R → R; f (x) = x4 , các điều kiện nêu trong định lý trên đều
thỏa mãn, nhưng f không tựa lồi trên R.
Định lý 1.31. Cho f : X → R là một hàm hai lần khả vi liên tục trên
tập lồi mở X ⊂ Rn . Giả sử rằng, ∇f (x) = 0 với mọi x ∈ X. Nếu
y ∈ Rn , x ∈ X, y∇f (x) = 0 =⇒ y, ∇2 f (x)y

0

thì f tựa lồi trên X.
Định lý 1.32. Cho f : X → R là một hàm hai lần khả vi liên tục trên
tập lồi mở X ⊂ Rn . Khi đó, nếu
y ∈ Rn , y = 0, x ∈ X, y∇f (x) = 0 =⇒ y, ∇2 f (x)y > 0
thì f tựa lồi trên X.
Định nghĩa 1.33. Ta nói hàm f : X → R là tựa tuyến tính trên tập lồi
X ⊂ Rn nếu f và −f đều là tựa lồi trên X, nghĩa là với bất kì x, y ∈ X,
λ ∈ (0, 1) ta có
min{f (x), f (y)} ≤ f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)}.
Dễ dàng thấy rằng, f : X → R là tựa tuyến tính trên tập lồi X ⊂ Rn
khi và chỉ khi các tập mức dưới L(f, α) và các tập mức trên U (f, α) :=
{x ∈ X | f (x)

α} lồi với mọi α ∈ R. Từ đây suy ra rằng, nếu f tựa lồi

trên X thì các tập mức
Y (f, α) = {x ∈ X | f (x) = α}
lồi với mọi α ∈ R. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Xét f : [0, 3] →
R;




1,


f (x) = 3,



2,

nếu 1 ≤ x ≤ 2
nếu 2 < x ≤ 3
nếu 3 < x ≤ 4

Ta có Y (f, α) = ∅ với α = 1, 2, 3 và Y (f, 1) = [1, 2], Y (f, 2) = (3, 4],
Y (f, 3) = (2, 3]. Như vậy, Y (f, α) lồi với mọi α ∈ R, nhưng f không tựa
lồi và do đó f không tựa tuyến tính. Lưu ý rằng f không liên tục.
13


Định lý 1.34. Nếu các tập mức Y (f, α) = {x ∈ X | f (x) = α} lồi với
mọi α ∈ R và f liên tục trên tập lồi X ⊂ Rn thì f tựa tuyến tính trên X
Khi f khả vi, ta có

Định lý 1.35. Cho f khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn . Khi đó, f tựa tuyến
tính trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X, f (x) = f (y) =⇒ (x − y), ∇f (y) = 0.
Định nghĩa 1.36. Hàm f : X → R xác định trên tập lồi X ⊂ Rn được
gọi là tựa lồi chặt trên X nếu với x, y ∈ X, x = y, λ ∈ (0, 1) tùy ý:
f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x) f (y)}.
Định lý 1.37. Cho f khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn . Khi đó, f tựa lồi
chặt trên X khi và chỉ khi
x ∈ X, y ∈ Rn , y = 0, y, ∇f (x) = 0 =⇒ gx,y (t) = f (x + ty),
xác định với t

0, không đạt cực đại địa phương tại t = 0.

Ta có f tựa lồi trên R, nhưng với x = −1/2, y = 1/2, λ = 1/10 ta có
f (x) < f (y) và f (λx + (1 − λ)y) = f (y).
Định nghĩa 1.38. Cho f : X → R là hàm khả vi trên tập mở X ⊂ Rn .
Ta nói f giả lồi trên X nếu
x, y ∈ X,

(x − y), ∇f (y)

0 =⇒ f (x)

f (y),

hoặc, một cách tương đương
x, y ∈ X, f (x) < f (y) =⇒ (x − y), ∇f (y) < 0.
Hàm f gọi là giả lõm nếu −f giả lồi.
Ví dụ . Hàm f : R → R, f (x) = x3 − x giả lồi trên R, nhưng không lồi.
Lưu ý rằng, định nghĩa hàm giả lồi trong trường hợp tổng quát như

sau (và tương đương với định nghĩa trên trong trường hợp hàm khả vi).
14


Định nghĩa 1.39. Ta nói hàm f : X → R là giả lồi trên tập lồi X ⊂ Rn
nếu ta có: với x, y ∈ X, λ ∈ (0, 1)
f (x) < f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y) − λ(1 − λ)β(x, y),
trong đó β(x, y) là một số dương phụ thuộc vào x và y.
Định lý 1.40. Cho f : X → R là hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn .
Khi đó, f giả lồi trên X khi và chỉ khi
x ∈ X, y = 0, y, ∇f (x) = 0 =⇒ g(t) = f (x + ty),
xác định với t

0, đạt cực tiểu địa phương tại t = 0.

Định lý 1.41. Cho f : X → R là hàm khả vi liên tục hai lần trên tập lồi
mở X ⊂ Rn . Khi đó, f giả lồi trên X khi và chỉ khi với mọi x ∈ X:
i) ∇f (x) = 0 =⇒ y, ∇2 f (x)y

0, và

ii) nếu như ∇f (x) = 0 thì f có cực tiểu địa phương tại x.
Định nghĩa 1.42. Cho f : X → R xác định trên tập lồi mở X ⊂ Rn .
Nếu f và −f đều giả lồi thì ta nói f là hàm giả tuyến tính.
Định lý 1.43. Cho f : X → R, trong đó X ⊂ Rn là một tập lồi mở. Khi
đó các mệnh đề sau tương đương:
i) f là giả tuyến tính ii) Với tùy ý x, y ∈ X, (x − y), ∇f (y) = 0 khi
và chỉ khi f (x) = f (y)
Định nghĩa 1.44. Cho f : X → R là hàm khả vi trên tập mở X ⊂ Rn .
Ta nói f giả lồi chặt trên X nếu

x, y ∈ X, x = y f (x)

f (y) =⇒ (x − y), ∇f (y) < 0 ,

hoặc, một cách tương đương
x, y ∈ X, x = y (x − y), ∇f (y)

0 =⇒ f (x) > f (y).

Dễ thấy tính giả lồi chặt suy ra tính giả lồi.

15


Định lý 1.45. Cho f : X → R là hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn .
Khi đó f giả lồi chặt trên X khi và chỉ khi
x ∈ X y = 0, y, ∇f (x) = 0 =⇒ g(t) = f (x + ty),
xác định với t

0, đạt cực tiểu địa phương chặt tại t = 0.

Định lý 1.46. Cho f : X → R là hàm khả vi liên tục hai lần trên tập lồi
mở X ⊂ Rn . Khi đó, f giả lồi chặt trên X khi và chỉ khi
x ∈ X y = 0, y, ∇f (x) = 0 =⇒

hoặc y, ∇2 f (x)y > 0 hoặc y, ∇2 f (x)y = 0

và g(t) = f (x + ty), xác định với t

0, đạt cực tiểu địa phương chặt tại

t = 0.

Kết luận
Chương này đã trình bày khái niệm tập lồi, hàm lồi và hàm lồi suy
rộng. Những kiến thức này sẽ dùng đến trong các chương sau.

16


Chương 2

Ánh xạ đơn điệu suy rộng
Chương này trình bày tập trung về ánh xạ đơn điệu suy rộng, bao gồm:
ánh xạ đơn điệu, ánh xạ đơn điệu chặt, ánh xạ đơn điệu mạnh, ánh xạ giả
đơn điệu, và ánh xạ tựa đơn điệu.

2.1
2.1.1

Các định nghĩa
Ánh xạ đơn điệu và đơn điệu chặt

Khái niệm của một ánh xạ đơn điệu F từ Rn vào Rn là suy rộng tự
nhiên của một hàm thực một biến đơn điệu tăng. Cho S là một tập con
của Rn và F là ánh xạ từ S vào Rn .
Định nghĩa 2.1. F là ánh xạ đơn điệu trên S nếu với mọi cặp điểm phân
biệt x, y ∈ S, ta có
(y − x)T (F (y) − F (x)) ≥ 0

(2.1)

Định nghĩa 2.2. F là ánh xạ đơn điệu chặt trên S nếu với mọi cặp điểm
phân biệt x, y ∈ S, ta có
(y − x)T (F (y) − F (x)) > 0

(2.2)

Tính lồi của một hàm và tính đơn điệu của gradient của nó là tương
đương.
17


Cho f là một hàm khả vi trên một tập lồi , mở S ⊂ Rn . Khi đó ta có
mệnh đề sau đây [3].
Mệnh đề 2.3. Hàm f là lồi trên S khi và chỉ khi ∇f là đơn điệu trên S.
Mệnh đề 2.4. Hàm f là lồi chặt trên S khi và chỉ khi ∇f là đơn điệu
chặt trên S.
Bây giờ ta sẽ nghiên cứu sự suy rộng khác nhau của các ánh xạ đơn
điệu. Trong trường hợp ánh xạ là một gradient của một hàm, như thế các
khái niệm về tính đơn điệu suy rộng có thể liên quan đến một số tính chất
lồi suy rộng của hàm dưới nó.
2.1.2

Ánh xạ giả đơn điệu

Theo [1], ta có
Định nghĩa 2.5. Một ánh xạ F là giả đơn điệu trên một tập S ⊂ Rn nếu
với mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S , ta có
(y − x)T F (x) ≥ 0 ⇒ (y − x)T F (y) ≥ 0

(2.3)

Từ (2.1) và (2.3) có thể thấy được rằng hiển nhiên một ánh xạ đơn
điệu là giả đơn điệu. Điều ngược lại là không đúng. Thật vậy, cho ví dụ
F (x) =

1
, S = {x ∈ Rn , x ≥ 0}
1+x

(2.4)

Nhắc lại rằng,
Một hàm khả vi f trên một tập mở S ⊂ Rn là giả lồi trên S nếu với
mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S , ta có
(y − x)T ∇f (x) ≥ 0 ⇒ f (y) ≥ f (x)

(2.5)

Mệnh đề sau là kết quả trong [4].
Mệnh đề 2.6. Cho f khả vi trên tập một tập lồi mở S ⊂ Rn . Khi đó, f
là giả lồi trên S khi và chỉ khi ∇f là giả đơn điệu trên S.

18


Trước khi ta giới thiệu một số tính đơn điệu suy rộng khác, ta thấy
rằng, trong (2.3) cả hai bất đẳng thức có thể được thay bởi hai bất đẳng
thức chặt.

Mệnh đề 2.7. Một ánh xạ F là giả đơn điệu trên S khi và chỉ khi mọi
cặp điểm phân biệt x, y ∈ S, ta có
(y − x)T F (x) > 0 ⇒ (y − x)T F (y) > 0

(2.6)

Chứng minh. Theo (2.3), tính giả đơn điệu của F tương đương với
(y − x)T F (y) < 0 ⇒ (y − x)T F (x) < 0

(2.7)

(x − y)T F (y) > 0 ⇒ (x − y)T F (x) > 0

(2.8)

Vì vậy

Theo Mệnh đề 2.7, thay thế cả hai bất đẳng thức trong (2.3) bởi các
bất đẳng thức chặt như trong (2.6) sẽ không đưa tới một kiểu ánh xạ đơn
điệu suy rộng khác. Trong hai mục dưới đây, ta thay thế một trong hai
bất đẳng thức bởi một bất đẳng thức chặt, và bằng cách này sẽ tạo ra hai
kiểu ánh xạ đơn điệu suy rộng khác. Vì thế, chúng được đặc trưng bởi hai
kiểu hàm lồi suy rộng đã biết.
2.1.3

Ánh xạ giả đơn điệu chặt

Định nghĩa 2.8. Một ánh xạ F là giả đơn điệu chặt trên tập S ⊂ Rn
nếu với mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S, ta có
(y − x)T F (x) ≥ 0 ⇒ (y − x)T F (y) > 0.

(2.9)

Từ (2.3) và (2.9), có thể thấy được rằng hiển nhiên một ánh xạ giả đơn
điệu chặt là giả đơn điệu. Nhưng điều ngược lại là không đúng. Thật vậy,
cho ví dụ
F (x) =

0,

x≤0

x,

x>0

19

(2.10)


Hơn nữa, từ (2.2) và (2.9) ta thấy mọi ánh xạ đơn điệu chặt là giả đơn
điệu chặt. Điều ngược lại là không đúng, ta có thể thấy qua ví dụ trong
(2.4). Bây giờ ta chứng minh tính tương đương của Mệnh đề 2.6 cho hàm
giả lồi chặt. Ta nhắc lại:
Một hàm khả vi f trên một tập mở S ⊂ Rn là giả lồi chặt trên S nếu với
mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S, ta có
(y − x)T ∇f (x) ≥ 0 ⇒ f (y) > f (x)

(2.11)

Khi đó, ta có thể chứng minh mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.9. Cho f khả vi trên một tập lồi mở S ⊂ Rn . Khi đó, f là
giả lồi chặt trên S khi và chỉ khi ∇f là giả đơn điệu chặt trên S.
Chứng minh. Giả sử rằng f là giả lồi chặt trên S. Lấy x, y ∈ S, xkhácy
sao cho:
(y − x)T ∇f (x) ≥ 0

(2.12)

(y − x)T ∇f (y) > 0

(2.13)

(y − x)T ∇f (y) ≤ 0

(2.14)

Ta cần chỉ ra rằng

Giả sử ngược lại

Từ (2.12) và tính giả lồi chặt của f suy ra
f (y) > f (x)

(2.15)

Mặt khác, (2.14) có thể viết như sau:
(x − y)T ∇f (y) ≥ 0

(2.16)

Từ tính giả lồi chặt của f suy ra rằng f (x) > f (y) mâu thuẫn với (2.15).
Ngược lại, giả sử rằng ∇f là giả đơn điệu chặt trên S. Lấy x, y ∈ S, x = y
sao cho
(y − x)T ∇f (x) ≥ 0

(2.17)

Ta cần chỉ ra rằng f (y) > f (x). Giả sử ngược lại rằng
f (y) ≤ f (x)
20

(2.18)


Từ định lí giá trị trung bình, ta có
f (y) − f (x) = (y − x)T ∇f (x)

(2.19)

x = λx + 1 − λ y

(2.20)

Trong đó

với một vài giá trị 0 < λ < 1. Bây giờ từ (2.18), (2.19), (2.20) ta có
(x − x)T ∇f (x) ≥ 0

(2.21)

Từ ∇f là giả đơn điệu chặt, ta kết luận rằng:
(x − x)T ∇f (x) > 0

(2.22)

(x − y)T ∇f (x) > 0

(2.23)

Bởi vì (2.20) suy ra:

điều này mâu thuẫn với (2.23).
2.1.4

Ánh xạ tựa đơn điệu

Trong Định nghĩa 2.5, Mệnh đề 2.7, và Định nghĩa 2.8, vẫn còn một
trường hợp ta chưa xét đó là bất đẳng thức đầu tiên trong (2.3) là một
bất đẳng thức chặt.
Định nghĩa 2.10. Một ánh xạ F là tựa đơn điệu trên một tập S ⊂ Rn
nếu với mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S, ta có
(y − x)T F (x) > 0 ⇒ (y − x)T F (y) ≥ 0

(2.24)

Mọi ánh xạ giả đơn điệu là tựa đơn điệu. Điều ngược lại là không đúng.
Thật vậy, cho ví dụ
F (x) = x2 , S = R

(2.25)

Tính từ “ tựa đơn điêụ ” gợi ý mối liên hệ đến các hàm tựa lồi, những
hàm thực sự tồn tại. Ta nhắc lại định nghĩa sau :
Một hàm f là tựa lồi trên một tập S ⊂ Rn nếu với mọi x, y ∈ S, λ ∈ [0, 1],
ta có
f (y) ≤ f (x) ⇒ f (λx + (1 − λ) y) ≤ f (x)
21

(2.26)


Với các hàm khả vi ta có:
Một hàm khả vi f là tựa lồi trên một tập lồi , mở S ⊂ Rn khi và chỉ
khi với mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ S, ta có
f (y) ≤ f (x) ⇒ (y − x)T ∇f (x) ≤ 0

(2.27)

Mệnh đề 2.11. Cho f là một hàm khả vi trên một tập lồi , mở S ⊂ Rn .
Khi đó f là tựa lồi trên S khi và chỉ khi ∇f là tựa đơn điệu trên S.
Chứng minh. Giả sử rằng f là tựa lồi. Lấy hai điểm phân biệt x, y ∈ S
sao cho:
(y − x)T ∇f (x) > 0

(2.28)

f (y) ≤ f (x)

(2.29)

Bất đẳng thức
không thể xảy ra, vì từ đó theo (2.27) ta có (y − x)T ∇f (x) ≤ 0 điều này
mâu thuẫn với (2.28). Vì thế ta có:
f (y) > f (x)

(2.30)

Theo (2.27), f (x) < f (y) suy ra (x − y)T ∇f (y) ≤ 0 hay
(y − x)T ∇f (y) ≥ 0

(2.31)

Từ đó ta thấy rằng (2.28) suy ra (2.31) nên ∇f là tựa đơn điệu. Ngược
lại, giả sử rằng ∇f là tựa đơn điệu nhưng f không tựa lồi. Khi đó, tồn
tạix, y ∈ S sao cho:
f (x) ≤ f (y)

(2.32)

và λ ∈ (0; 1) sao cho với x = x + λ(y − x) ta có
f (x) > f (x) ≥ f (y)

(2.33)

Theo định lí giá trị trung bình suy ra tồn tại x và x∗ sao cho:
f (x) − f (y) = (x − y)T ∇f (x)
22

(2.34)


và
f (x) − f (x) = (x − x)T ∇f (x∗ )

(2.35)

trong đó
x = x + λ(y − x), x∗ = x + λ∗ (y − x), 0 < λ∗ < λ < λ < 1

(2.36)

Khi đó, (2.33) suy ra
(x − y)T ∇f (x) > 0

(2.37)

(x − x)T ∇f (x∗ ) > 0

(2.38)

(x∗ − x)T ∇f (x) > 0

(2.39)

(x − x∗ )T ∇f (x∗ ) > 0

(2.40)

(x∗ − x)T ∇f (x∗ ) < 0

(2.41)

Từ (2.36) dẫn đến:

Từ (2.40) thu được:

điều này cùng với (2.39) mâu thuẫn với tính tựa đơn điệu của ∇f . Do đó,
(2.33) không đúng với bất kỳ cặp x, y ∈ S, tức là f là tựa lồi trên S.
Ta đề cập rằng cũng có những khái niệm của hàm tựa lồi nửa chặt và
tựa lồi chặt ([4]). Nhưng dường như rất khó để nhận dạng những hàm này
với sự trợ giúp của gradient. Vì vậy, không có sự cố gắng nào được tạo ra
ở đây để giới thiệu những ánh xạ tương ứng. Thay vào đó, ta đưa tới một
lớp con của các ánh xạ giả đơn điệu chặt.
2.1.5

Ánh xạ đơn điệu mạnh và giả đơn điệu mạnh

Trong [4], các hàm lồi mạnh đã được giới thiệu. Trong trường hợp khả
vi, chúng được đặc trưng như sau:
Định nghĩa 2.12. Một hàm khả vi f là lồi mạnh trên một tập lồi mở
S ⊂ Rn nếu tồn tại α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ S,
f (y) − f (x) ≥ (y − x)T ∇f (x) + α y − x

23

2

(2.42)