Về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert : Luận văn Thạc sĩ. Toán học: 60 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

NGUYỄN QUANG TRUNG

VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI - 2014


1

Mục lục

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOÁN TỬ ĐA TRỊ TRONG
KHÔNG GIAN HILBERT

4

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Khái niệm không gian Hilbert . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Tính trực giao và hình chiếu . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Toán tử tuyến tính và phiếm hàm trên không gian
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Toán tử đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1

Một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi . . . . . . . 14

1.2.2

Toán tử đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 24
2.1

2.2

Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1

Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2

Toán tử đơn điệu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3

Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.4

Hàm Fitzpatrick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . 43

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


2

Lời nói đầu
Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực quan trọng của giải
tích hiện đại, nó có rất nhiều ứng dụng trong giải tích ứng dụng và nhiều
ngành toán học ứng dụng khác như bất đẳng thức biến phân, cân bằng,
tối ưu hóa,...
Nội dung của luận văn là trình bày các kiến thức cơ sở liên quan;
Các định nghĩa, tính chất và điều kiện để toán tử đơn điệu, đơn điệu cực
đại; Điều kiện để tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại là một toán tử
đơn điệu cực đại nhờ hàm Fitzpatrick.
Bố cục Luận văn gồm hai chương:

• Chương 1. Kiến thức cơ bản về toán tử đa trị trong không gian
Hilbert.

• Chương 2. Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert.
Nội dung chính của các chương là:
Chương I: Trình bày các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert.
Sau đó trình bày các kiến thức cơ bản về toán tử đa trị trong không gian
Hilbert, trong đó có trình bày một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi
phục vụ cho nghiên cứu về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert.
Chương II: Trình bày các khái niệm về toán tử đơn điệu, đơn điệu
tuần hoàn, đơn điệu cực đại và các tính chất của nó như: điều kiện đủ để
toán tử là đơn điệu, đơn điệu cực đại. Tiếp theo là trình bày tính cực đại
của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại.


3

Lời cảm ơn

Để hoàn thành Luận văn này, trước hết tác giả xin bày tỏ sự kính
trọng và biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Thầy đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc của học trò trong suốt quá trình
nghiên cứu và đã giúp đỡ tác giả hoàn thành hoàn thiện luận văn này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo Khoa
Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc
gia Hà Nội, các thầy giáo thuộc Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học
và Công nghệ Việt Nam đã tham gia giảng dạy nhiệt tình trong khóa học,
giúp tác giả tích lũy nhiều kiến thức quan trọng phục vụ cho bản luận văn
này. Tác giả xin cám ơn Seminar Toán của Viện toán học - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ đã nhận xét góp ý cho bản luận văn này.
Tác giả xin cám ơn tới cơ quan nơi tác giả công tác, gia đình và bạn
bè đã luôn động viên, ủng hộ giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập
và làm luận văn tốt nghiệp.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng và tích cực trong học tập, nghiên cứu
khoa học, song trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sai sót.
Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo,
cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Ngày 10 tháng 4 năm 2014


4

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOÁN
TỬ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG
GIAN HILBERT
Trong chương này chúng ta giới thiệu các kiến thức cơ bản về không

gian Hilbert và toán tử đa trị. Các khái niệm và kết quả ở đây được tham
khảo từ tài liệu [1, 2, 3, 4, 10].

1.1

Không gian Hilbert
Chúng ta ký hiệu H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng

.|. và chuẩn là . . Toán tử đồng nhất trên H là Id
1.1.1

Khái niệm không gian Hilbert

Một tập X mà các phần tử của nó là những đối tượng bất kỳ, được
gọi là một không gian vectơ, nếu:
a) Trên X chúng ta trang bị hai phép toán:

+ : X × X → X : (x, y) → x + y;
· : R × X → X : (α, x) → αx,
b) Hai phép toán đó thỏa mãn tám tiên đề sau:
i) x + y = y + x;
ii) (x + y) + z = x + (y + z) ;


5

iii) ∃ 0 ∈ X : x + 0 = x, ∀x ∈ X ;
iv) x ∈ X , ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0;
v) 1.x = x;
vi) α (βx) = (αβ) x, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X ;

vii) (α + β) x = αx + βx, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X ;
viii) α (x + y) = αx + αy, ∀α ∈ R; ∀x, y ∈ X .
Nếu trên tập X được trang bị một metric:

p : X × X → R+ : (x, y) → p (x, y) ,
thỏa mãn các tính chất sau:
i) p (x, y) > 0, ∀x = y;

p (x, y) = 0, x = y;

ii) p (x, y) = p (y, x) , ∀x, y;
iii) p (x, y) ≤ p (x, z) + p (y, z) , ∀x, y, z ∈ X ,
thì (X , p) được gọi là không gian metric.
Định nghĩa 1.1. Một không gian vectơ định chuẩn là một tập X vừa là
không gian vectơ, vừa là không gian metric. Khi đó X được trang bị một
chuẩn là x = p (x, 0) thỏa mãn các điều kiện:
i) x > 0 nếu x = 0; x = 0 nếu x = 0,
ii) αx = |α| x ,
iii) x + y ≤ x + y .
Định nghĩa 1.2. Một không gian tuyến tính thực X được gọi là không
gian tiền Hilbert nếu với mọi x, y ∈ X , xác định một số thực kí hiệu là

x| y gọi là tích vô hướng của x, y ∈ X thỏa mãn:
i) x|y = y|x .
ii) x + y|z = x|z + y|z .
iii) λx|y = λ x|y .
iv) x|x ≥ 0 với mọi x, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
v)

x|x = x 2 .

Nhận xét 1.1 Từ các tính chất i), ii), iii) và v) trong Định nghĩa 1.2 ta


6

suy ra:

x+y

2

+ x−y

2

=2

x

2

+ y

2

.

(1.1)

Công thức (1.1) được gọi là điều kiện bình hành.
Mệnh đề 1.1. Mọi không gian tiền Hilbert X là không gian tuyến tính
định chuẩn, với chuẩn xác định:

x =

x| x , ∀x ∈ X .

(1.2)

Chứng minh.
Với mọi số thực λ ta có:

0 ≤ x − λy|x − λy = x|x − 2λ x|y + λ2 y|y ,
cho nên tam thức bậc hai theo λ có biệt thức ∆ ≤ 0:

| x|y |2 − x|x . y|y ≤ 0,
hay

| x|y | ≤ x . y .

(1.3)

Từ đó

0 ≤ x + y|x + y = x|x + 2 x|y + y|y ≤
≤ x

2

+2 x . y + y

2

= ( x + y )2 .

Vậy

x+y ≤ x + y ,

(1.4)

nghĩa là bất đẳng thức tam giác được thỏa mãn. Mặt khác từ (1.2), (1.3)
và (1.4) ta suy ra ngay x > 0 nếu x = 0, x = 0 nếu x = 0 và λx =

|λ| . x . Do đó x đúng là một chuẩn.
Nhận xét 1.2 Qua chứng minh trên ta thấy rằng trong không gian tiền
Hilbert luôn có bất đẳng thức (1.3) gọi là bất đẳng thức Schwarz. Hơn
nữa, theo trên đẳng thức hình bình hành (1.1) luôn đúng. Vì:

x + y|x + y − x − y|x − y = 4 x|y
nên chúng ta có:

x| y =

1
( x + y| x + y − x − y| x − y ) .
4

(1.5)

7

Khi

xn − x → 0, yn − y → 0,
thì

x n + y n → x + y , x n − yn → x − y ,
nên theo (1.5) chúng ta cũng có xn |yn → x|y . Vậy x|y là một hàm
liên tục đối với x và y.
Định nghĩa 1.3. Cho X là một không gian định chuẩn. Dãy {xn } ⊂ X
được gọi là dãy cơ bản trong X nếu

lim

n,m→∞

xn − xm = 0.

Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là

xn − xm → 0 ⇒ ∃x0 ∈ X : xn → x0 ,
thì X được gọi là không gian đủ hoặc không gian Banach.
Định nghĩa 1.4. Không gian tiền Hilbert đủ được gọi là không gian
Hilbert.
Định nghĩa 1.5. Không gian Banach thỏa mãn điều kiện bình hành được
gọi là không gian Hilbert.
Bổ đề 1.1. (xem [10]) Cho x, y ∈ H. Khi đó chúng ta có kết quả sau:

i) x| y ≤ 0 ⇔ (λ ∈ R++ ) x ≤ x − λy ⇔ (λ ∈ [0, 1]) x ≤ x − λy .
ii) x⊥y ⇔ (λ ∈ R) x ≤ x − λy ⇔ (λ ∈ [−1, 1]) x ≤ x − λy .
Ví dụ 1.1. Cho (Ω, F, µ) là một không gian có độ đo, cho (H, .|. H ) là một
không gian Hilbert thực, và cho p ∈ [1; +∞). Ký hiệu Lp ((Ω, F, µ) ; H) là
không gian của các ánh xạ Boren đo được x : Ω → H sao cho

x (ω)

p
H µ (dω)

< +∞.

Ω

Khi đó

L2 ((Ω, F, µ) ; H)


8

là không gian Hilbert thực với tích vô hướng

(x, y) →

x (ω) |y (ω) H µ (dω).
Ω

Ví dụ 1.2. Không gian Rk là một không gian Hilbert với tích vô hướng

k

x| y =

i=1

ξi η i ,

và chuẩn được xác định bởi công thức

x =

k
i=1

ξi2 .

Ví dụ 1.3. Cho T ∈ R++ và cho (H, .|. H ) là không gian Hilbert thực.
t

Với mọi y ∈ L2 ([0, T ] ; H), hàm x : [0, T ] → H : t →

y (s) ds là khả
0

vi hầu khắp nơi trên [0, T ], với x (t) = y (t) hầu khắp nơi trên (0, T ).
Chúng ta nói rằng x : [0, T ] → H thuộc về W1,2 ([0, T ] ; H) nếu tồn tại

y ∈ L2 ([0, T ] ; H) sao cho
t

(∀t ∈ [0, T ]) x (t) = x (0) +

y (s) ds,
0

như một sự lựa chọn

W1,2 ([0, T ] ; H) = x ∈ L2 ([0, T ] ; H) x (t) ∈ L2 ([(0, T )] ; H) ,
với tích vô hướng trên không gian Hilbert thực là
T

(x, y) →

T

x (t)| y (t) H dt +
0

x (t)| y (t) H dt.
0

Ví dụ 1.4. Trong Ví dụ 1.1, cho T ∈ R++ , tập Ω = [0, T ] và cho µ là độ
đo Lebesgue. Khi đó chúng ta có không gian Hilbert

L2 ([0, T ] ; H)
với tích vô hướng
T

(x, y) →

x (t) |y (t) H dt.
0


9

Ví dụ 1.5. Trong Ví dụ 1.1, cho H = R. Khi đó chúng ta thu được không
gian Banach thực

Lp (Ω, F, µ) = Lp ((Ω, F, µ) ; R) ,
và với p = 2, không gian Hilbert thực L2 (Ω, F, µ) được trang bị tích vô
hướng

(x, y) →

x (ω) y (ω)µdω.
Ω

1.1.2

Tính trực giao và hình chiếu

Định nghĩa 1.6. Ta nói hai vectơ x, y của một không gian Hilbert H trực
giao với nhau, và ký hiệu x⊥y , nếu x|y = 0.
Ta nói một vectơ x trực giao với một tập C ⊂ H nếu x trực giao
với mọi phần tử của C . Tập tất cả các vectơ trực giao với C ⊂ H là một
không gian con đóng của H. Không gian con này được ký hiệu C ⊥ và gọi
là phần bù trực giao của C .
Nhận xét 1.3 Từ định nghĩa trên có thể suy ra một số tính chất đơn giản

sau:
i) Nếu x⊥y thì y⊥x. Ta có x⊥x khi và chỉ khi x = 0. Vectơ θ trực
giao với mọi vectơ x.
ii) Nếu x⊥y1 , y2 , ..., yk thì x⊥λ1 y1 + λ2 y2 + ... + λk yk .
iii) Nếu x⊥yk , yk → y (k → +∞) thì x⊥y.
Thật vậy, do tính liên tục của tích vô hướng nên chúng ta có:

x|y = lim

k→+∞

x, yk = 0.

iv) Nếu tập C trù mật trong H thì C ⊥ = {θ} .
Thật vậy, vì C trù mật trong H nên mọi x ∈ H đều là giới hạn của
một dãy xk ∈ C : x = lim xk . Vậy x⊥C kéo theo x⊥xk với mọi k và do
k→+∞

đó x⊥x ⇒ x = 0.
v) Nếu x⊥y thì x + y

2

= x

2

+ y 2.

10

vi) Nếu {xk } là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ xk đôi một trực
∞

xk hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số

giao) thì chuỗi
k=1

∞

xk

2

< ∞.

k=1

Thật vậy, cho
n

n

xk ,

sn =

xk 2 .

σn =
k=1

k=1

Với n > m theo Pythagore, ta có:

sn − sm
= xm+1

2

2

= xm+1 + xm+2 + ... + xn

+ xm+2

2

+ ... + xn

2

2

=

= σn − σm .

Do đó sn − sm → 0 khi và chỉ khi σn − σm → 0. Nhưng không gian
Hilbert là không gian đủ, cho nên điều này cũng có nghĩa là: sn có giới
hạn khi và chỉ khi σn có giới hạn.
Định lý 1.1. Cho C là một không gian con đóng của một không gian
Hilbert H. Bất kỳ phần tử x nào của H cũng có thể biểu diễn một cách
duy nhất dưới dạng

x = y + z với y ∈ C, z ∈ C ⊥ ,

(1.6)

trong đó y là phần tử của C gần x nhất, tức là x − y ≤ x − u với mọi

u ∈ C.
Chứng minh.
Trước hết, ta chứng minh sự tồn tại của (1.6), ta đặt:

d = inf x − u .
u∈C

Theo định nghĩa cận dưới đúng, tồn tại một dãy uk ∈ C sao cho

x − uk → d (k → ∞) .


11

Áp dụng đẳng thức bình hành cho x − uk và x − us , ta có

2x − (uk + us )

2

+ us − uk

2

= 2 x − uk

2

+ 2 x − us 2 .

Khi k, s → ∞ thì vế phải dần tới 4d2 , khi đó ta có:

uk + us
4 x−
2
vì

1
2

2

≥ 4d2 ,

(uk + us ) ∈ C . Vậy khi k, s → ∞ thì uk − us → 0, do đó uk dần

tới một giới hạn y nào đó. Ta có y ∈ C vì C đóng và

x − y = lim x − uk .
k→∞

Bây giờ ta đặt z = x − y và ta sẽ chứng minh z ∈ C ⊥ . Thật vậy, xét một
phần tử u bất kỳ của C . Với mọi số thực λ, ta có:

z − λu|z − λu = z

2

− 2λ z|u + λ2 u 2 .

Mà y + λu ∈ C , nên

z − λu|z − λu = z − λu
Mặt khác z

2

= x−y

2

2

= x − (y + λu)

2

≥ d2 .

= d2 , do đó với mọi số thực λ chúng ta đều có:

−2λ z|u + λ2 u

2

≥ d2 − d2 = 0,

điều này chỉ có thể xảy ra nếu z|u = 0, tức là z⊥u. Vậy z ∈ C ⊥ .
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh sự phân tích (1.6) là duy nhất. Thật vậy,
nếu có x = y + z = y + z với y, y ∈ C , z, z ∈ C ⊥ thì y − y = z − z ,
mà C ,C ⊥ đều là không gian con nên y − y ∈ C , z − z ∈ C ⊥ , tức là

z − z⊥z − z , do đó y − y = z − z = 0. Vậy sự phân tích ở (1.6) là duy
nhất.
1.1.3

Toán tử tuyến tính và phiếm hàm trên không gian Hilbert

Trước hết, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về toán tử
tuyến tính và phiếm hàm tuyến tính trên không gian vectơ định chuẩn.


12

Định nghĩa 1.7. Cho X và Y là các không gian định chuẩn thực. Một
ánh xạ T : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu T (λ1 x1 + λ2 x2 ) =

λ1 T (x1 ) + λ2 T (x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ X và mọi λ1 , λ2 ∈ R.
Toán tử T từ X vào Y được gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéo
theo T xn → T x0 .
Toán tử T từ X vào Y được gọi là giới nội nếu có một hằng số dương

K sao cho
(∀x ∈ X )

Tx ≤ K x .

(1.7)

Số K nhỏ nhất thỏa mãn (1.7) được gọi là chuẩn của toán tử T .
Định lý 1.2. (xem [2]) Ký hiệu L (X , Y) là tập hợp tất cả các toán tử
tuyến tính liên tục từ X vào Y và L (X ) = L (X , X ) . Khi đó L (X , Y)
là không gian định chuẩn và là không gian Banach khi Y là không gian
Banach.
Định lý 1.3. (xem [2]) Một toán tử tuyến tính T từ X vào Y là liên tục
khi và chỉ khi nó giới nội.
Định lý 1.4. (xem [2]) Nếu T toán tử từ X vào Y thì

T = sup
x=0

Tx
= sup T x .
x
x =1

Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian
Hilbert được xác định bởi định lý Riesz sau đây.
Định lý 1.5. (Riesz - Fréchet). Với mỗi vectơ u cố định thuộc một không
gian Hilbert H, hệ thức

f (x) = u| x

(1.8)

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) trên không gian H, với

f = u .

(1.9)

Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) nào trên một không
gian Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng


13

(1.8) trong đó u là một vectơ của H thỏa mãn (1.9).
Chứng minh.
Rõ ràng f (x) = u| x là một phiếm hàm tuyến tính và do

|f (x)| = | u| x | ≤ u . x

(1.10)

|f (u)| = | u| u | = u . u

(1.11)

nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.9). Do đó chúng ta đã chứng
minh được phần thứ nhất của định lý.
Để chứng minh phần ngược lại của định lý, ta xét một phiếm hàm
tuyến tính liên tục f (x) trên một không gian Hilbert H. Xét tập

C = {x ∈ H| f (x) = 0} .
Rõ ràng C là không gian con đóng của H.
Trước hết chúng ta xét trường hợp C ⊥ = {0} thì theo Định lý 1.1, chúng
ta có x = y + z, với y ∈ C, z ∈ C ⊥ , chúng ta thấy rằng z = 0, cho nên

f (x) = f (y) = 0 với mọi x ∈ H, do đó
f (x) = 0| x ,
nghĩa là ta có biểu diễn (1.8) với u = 0.
Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp C ⊥ = {0}, tức là tồn tại

x0 ∈ C ⊥ , x0 = 0.
Chúng ta có f (x0 ) = 0, nên vectơ u =

f (x0 )
2 .x0
x0

= 0. Với mọi x ∈ H, thì

chúng ta có

f (x) −

f (x)
.f (x0 ) = 0,
f (x0 )

do đó

y =x−

f (x)
.x0 ∈ C
f (x0 )

Mà x0 ∈ C ⊥ , vậy y| x0 = 0, tức là

x−

f (x)
.x0 x0
f (x0 )

= x| x0 −

f (x)
. x0
f (x0 )

2

= 0,

14

hay

f (x) =

f (x0 )
x0 x
x0 2

= u| x .

Vậy tồn tại f (x) thỏa mãn hệ thức (1.8). Cách biểu diễn đó là duy
nhất, vì nếu f (x) = u | x thì u − u | x = 0 với mọi x ∈ H, do đó

u − u | u − u = 0, nghĩa là u − u = 0 ⇔ u = u .
Cuối cùng, chúng ta có

|f (x)| = | u| x | ≤ u . x ,
và

|f (u)| = | u| u | = u . u .
Do đó

f = u .
Vậy chúng ta đã chứng minh xong định lý.
Cho T là toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H. Với
mỗi y ∈ H cố định, ta xét phiếm hàm f : H → R được xác định như sau:

f (x) = T x| y , ∀x ∈ H.
Dễ thấy f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục trong H nên theo Định lý 1.5
tồn tại duy nhất y ∗ ∈ H để

T x| y = x| y ∗ , ∀x ∈ H.
Định nghĩa 1.8. Nếu K là không gian Hilbert thực và T ∈ L (H, K) thì
tồn tại duy nhất toán tử liên hợp của T là T ∗ ∈ L (H, K) thỏa mãn

(∀x ∈ H) (∀y ∈ K) T x| y = x| T ∗ y .
1.2
1.2.1

Toán tử đa trị
Một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi

Trong phần này chúng ta nhắc lại các khái niệm cơ bản của tập lồi,
hàm lồi và các vấn đề liên quan để phục vụ cho việc nghiên cứu toán tử
đơn điệu.


15

Định nghĩa 1.9. Một tập con C của H được gọi là lồi nếu C chứa mọi
đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi

∀α ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ C ⇒ αx + (1 − α) y ∈ C.
Định nghĩa 1.10. Cho C ⊂ H. Bao lồi của C là giao của tất cả các tập
con lồi của H chứa C , ký hiệu là convC. Bao lồi đóng của C là tập con lồi
đóng nhỏ nhất của H chứa C , ký hiệu là convC.

Định nghĩa 1.11. Một tập C ⊂ H được gọi là nón nếu

∀α ∈ R++ , ∀x ∈ C ⇒ αx ∈ C.
Một nón được gọi là lồi nếu nó đồng thời cũng là một tập lồi, bao
nón lồi của C được ký hiệu là coneC.
Cho C ⊂ H, C = ∅. Khi đó giao của tất các các không gian con tuyến
tính của H chứa C là một không gian con tuyến tính nhỏ nhất của H chứa

C , ký hiệu là spanC . Không gian con đóng tuyến tính nhỏ nhất của H chứa
C , ký hiệu là spanC.
Cho C ⊂ H là một tập lồi, x ∈ C . Ký hiệu

NC (x) := {ω| ω| y − x ≤ 0 ∀y ∈ C} .
Khi đó NC là một nón lồi đóng và được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C
tại x.
Định nghĩa 1.12. Cho C là tập con lồi của H. Khi đó, điểm trong của

C ⊂ H có thể biểu diễn là
intC = {x ∈ C| (∃λ ∈ R++ ) B (0; λ) ⊂ C − x} .

(1.12)

lõi của tập C là

coreC = {x ∈ C| cone (C − x) = H} ;

(1.13)

điểm trong tương đối mạnh của C là

sriC = {x ∈ C| cone (C − x) = span (C − x)} ;

(1.14)


16

điểm trong tương đối của C là

riC = {x ∈ C| cone (C − x) = span (C − x)} ;

(1.15)

Định nghĩa 1.13. Cho C ⊂ H và f : C → [−∞; +∞]. Khi đó f được gọi
là hàm lồi nếu trên đồ thị của nó

epif = {(x, ξ) ∈ C × R| f (x) ≤ ξ}
là tập lồi trong H × R. Miền hữu dụng của nó là

domf := {x ∈ C| f (x) < +∞};
hàm f được gọi là chính thường nếu domf = ∅ và f (x) > −∞ ∀x.
Mệnh đề 1.2. (xem [3])f : H → [−∞; +∞]. Khi đó f được gọi là hàm
lồi khi và chỉ khi

(∀x ∈ domf ) (∀y ∈ domf ) (∀α ∈ (0, 1)) .
⇒ f (αx + (1 − α) y) ≤ αf (x) + (1 − α) f (y) .
Hàm chỉ và hàm mặt cầu được định nghĩa như sau là những hàm số
lồi.
Ví dụ 1.6. Hàm chỉ. Đặt

δC (x) :=

0
+∞

nếu x ∈ C,
nếu x ∈
/ C.

Ví dụ 1.7. Hàm mặt cầu. Cho S := {x ∈ Rn | x = 1} là một mặt cầu
và h : S → R+ là một hàm bất kỳ. Định nghĩa hàm f như sau:

0
f (x) := h (x)

+∞

nếu
nếu
nếu

x < 1,
x = 1,
x > 1.

Định nghĩa 1.14. Cho f và g : H → [−∞; +∞]. Tích chập (convolution)
của f và g là:

f g : H → (−∞, +∞] : x → inf (f (y) + g (x − y)) ,
y∈H

và nó nhận giá trị đúng tại điểm x ∈ H nếu

(f g) (x) = min (f (y) + g (x − y)) ,
y∈H

(1.16)


17

tức là

(∃y ∈ H) (f g) (x) = f (y) + g (x − y) ∈ (−∞, +∞] ;
f g là đúng nếu nó đúng tại mọi điểm của miền hữu dụng, trong trường
hợp này chúng ta ký hiệu f

g.

Định nghĩa 1.15. Cho f : H → [−∞; +∞] và x ∈ H. Khi đó f được
gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu mọi (xa )a∈A ⊂ H mà xa → x thì

f (x) ≤ limf (xa ) ,
hay

∀ξ ∈ (−∞, f (x))

(∃V = V (x))

f (V ) ⊂ (ξ, +∞) .

Tập hợp các hàm lồi, nửa liên tục dưới từ H → 2H được ký hiệu là Γ (H) .
Tập hợp các hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới từ H → (−∞, +∞]
được ký hiệu là Γ0 (H) .
Mệnh đề 1.3. (Xem [10]) Cho f, g ∈ Γ0 (H). Khi đó

int (domf − domg) = core (domf − domg) .

(1.17)

Định lý 1.6. (Hahn - Banach Sandwich, [5, 13]) Giả sử f và g là các
hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trên không gian Banach X sao
cho

f (x) ≥ g (x)
với mọi x trong X . Giả sử rằng:

0 ∈ core (dom (f ) − dom (g)) .
Khi đó có một hàm tuyến tính liên tục λ thỏa mãn:

f (x) − g (y) ≥ λ|x − y ,
với mọi x ∈ dom (f ) , y ∈ dom (−g) trong X .
Định nghĩa 1.16. Cho f : H → [−∞, +∞]. Hàm liên hợp của hàm f là

f ∗ : H → [−∞, +∞] : u → sup ( x| u − f (x)) .
x∈H

(1.18)

18

Mệnh đề 1.4. (Bất đẳng thức Fenchel-Young, xem [3, 10]). Cho f : H →

[−∞, +∞] là hàm chính thường. Khi đó
f (x) + f ∗ (u) ≥ x| u

(∀x ∈ H) (∀u ∈ H)

Bổ đề 1.2. (Xem [10]). Cho ϕ và ψ là các hàm ∈ Γ0 (H × K)

F : H × K → [−∞, +∞] : (x, y) → (ϕ (x, .) ψ (x, .)) ,
và giả sử rằng

0 ∈ sriQ1 (domϕ − domψ) ,
ở đây

Q1 : H × K → H : (x, y) → x.
Khi đó

F ∗ : H × K → [−∞, +∞] : (u, v) → (ϕ∗ (., v)

ψ ∗ (., v)) (u) .

Định nghĩa 1.17. Giả sử f là hàm lồi trên H. Phiếm hàm x∗ ∈ H∗ được
gọi là dưới đạo hàm (subgradient) của hàm f tại x ∈ H nếu

f (x) − f (x) ≥ x∗ | x − x , ∀x ∈ H.
Định nghĩa 1.18. Tập tất cả dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới
vi phân (subdifferential) của f tại x, ký hiệu là ∂f (x), tức là:

∂f (x) = {x∗ ∈ H∗ | f (x) − f (x) ≥ x∗ | x − x , ∀x ∈ H} .

(1.19)

Đối với dưới vi phân của tổng các hàm lồi, ta có định lý sau
Định lý 1.7. (Moreau - Rockafellar, xem [3]) Cho fi , i = 1, 2, .., m là các
hàm lồi chính thường trên H. Khi đó
m

m

∂fi (x) ⊆ ∂
i=1

fi (x)

, ∀x ∈ H.

fi (x)

, ∀x ∈ H.

i=1

Nếu ∩ri (domfi ) = ∅, thì
m

m

∂fi (x) = ∂
i=1

i=1


19

Ví dụ 1.8. Ta ký hiệu J là đạo hàm của hàm h (x) =

1
2

x

2

hay J còn

được gọi là ánh xạ đối ngẫu gán mỗi x ∈ H thành một phần tử duy nhất

J (x) ∈ H sao cho
1
J (x) := ∂ x 2 = x∗ ∈ H∗ : x 2 = x∗ 2 = x, x∗ .
2
Mệnh đề 1.5. (xem [5, 13]) Cho f là một hàm lồi đóng, và cho
1
fJ := f + . 2 .
2
Khi đó

1 2 ∗
1
∗
fJ = f + .
= f∗
. 2∗ ,
2
2
là liên tục hầu khắp nơi. Hơn nữa
v ∗ ∈ ∂f (v) + J (v) ⇔ fJ∗ (v ∗ ) + fJ (v) − v, v ∗ ≤ 0.
Ví dụ 1.9. Cho f = δC là hàm chỉ của một tập lồi C = ∅, C ⊂ H. Khi đó
với x0 ∈ C , ta có

∂δC x0 = x∗ | x∗ | x − x0 ≤ δC (x) .
Với x ∈
/ C , thì δC (x) = +∞, nên bất đẳng thức sau đây luôn đúng:

∂δC x0 = x∗ | x∗ | x − x0 ≤ 0 ∀x ∈ C = NC x0 .
Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng tại một điểm

x0 ∈ C chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0 .
Mệnh đề 1.6. Cho f là một hàm lồi, đóng, chính thường trên H. Khi đó
ta có đẳng thức Fenchel sau:

f ∗ (x∗ ) + f (x) = x∗ | x ⇔ x∗ ∈ ∂f (x) , x ∈ ∂f ∗ (x∗ ) .
Chứng minh. Theo định nghĩa hàm liên hợp, ta có

f ∗ (x∗ ) = sup { x∗ | x − f (x)} .
x

Điều này tương đương với

f ∗ (x∗ ) ≥ x∗ | y − f (y) ∀y.

(1.20)


20

Do đó

f ∗ (x∗ ) + f (x) = x∗ | x ,
khi và chỉ khi

x∗ | y − f (y) + f (x) ≤ x∗ | x

∀y,

tương đương với x∗ ∈ ∂f (x). Do f đóng, nên f ∗ ∗ = f , và do đó x ∈

∂f ∗ (x∗ ) .
1.2.2

Toán tử đa trị

Cho H, K là hai không gian Hilbert. Cho T : H → 2K là ánh xạ từ

H vào tập hợp gồm toàn bộ tập con của K (được ký hiệu là 2K ). Ta nói
T là ánh xạ đa trị từ H vào K. Như vậy với mỗi x ∈ H, T (x) là một tập
hợp con của tập K.

Ta sẽ thường sử dụng ký hiệu T : H → 2K để nói rằng T là ánh xạ
đa trị từ H vào K.
Nếu với mỗi x ∈ H tập T (x) chỉ gồm đúng một phần tử của K, thì
ta nói T là ánh xạ đơn trị từ H vào K.
Định nghĩa 1.19. Cho ánh xạ đa trị T : H → 2K . Khi đó đồ thị gra T ,
miền hữu dụng dom T , miền ảnh ran T tương ứng được xác định bởi các
công thức sau:

gra T = {(x, y) ∈ HxK : y ∈ T (x)} ,
dom T = {x ∈ H : T (x) = ∅} ,
ran T = {y ∈ K : ∃x ∈ H sao cho y ∈ T (x)} .
Ví dụ 1.9. Xét phương trình đa thức

xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... + an−1 x + an = 0,

(1.21)

trong đó n ∈ N, ai ∈ R, i = 1, n. Quy tắc cho tương ứng mỗi bộ (a1 , a2 , ..., an )

= a với tập nghiệm, ký hiệu T (a) của (1.21) là một ánh xạ đa trị
T : Rn → 2C . Theo định lý cơ bản của đại số T (a) = ∅ và |T (a)| ≤ n


21

với mọi a ∈ Rn . Nếu ta đồng nhất mỗi số phức x = u + vi ∈ C với cặp số
2

thực (u, v) ∈ R2 thì ta có thể viết T : Rn → 2R .
Trong Ví dụ 1.9 chúng ta có:

gra T = (a, x) ∈ Rn × C| xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... + an−1 x + an = 0 ,
dom T = Rn , ran T = C.
Ánh xạ ngược của ánh xạ đa trị T : H → 2K là T −1 : 2K → H được
xác định bởi công thức T −1 (y) = {x ∈ H| y ∈ T (x)} .
Nếu M ⊂ H là một tập con cho trước thì hạn chế của T trên M là ánh
xạ đa trị T|M : M → K được cho bởi

T|M (x) = T (x) ∀x ∈ M.
Định nghĩa 1.20. Cho T : H → 2K là ánh xạ đa trị, H và K là các không
gian Hilbert
i) Nếu graT là tập đóng trong không gian Hilbert tích H × K, thì T gọi là
ánh xạ đóng (ánh xạ có đồ thị đóng).
ii) Nếu graT là tập lồi trong không gian tích H × K, thì T được gọi là ánh
xạ đa trị lồi.
iii) Nếu T (x) là một tập đóng với mọi x ∈ H, thì T được gọi là ánh xạ có
giá trị đóng.
iv) Nếu T (x) là một tập lồi với mọi x ∈ H, thì T được gọi là ánh xạ có
giá trị lồi.
Ứng với mỗi hàm thực ϕ : H → 2R , ở đó
R = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}
là tập số thực mở rộng, ta có các ánh xạ đa trị sau đây:

epi ϕ : H → 2R , (epi ϕ) (x) = {µ ∈ R| µ ≥ ϕ (x)} ∀x ∈ H,
và

hypo ϕ : H → 2R , (hypo ϕ) (x) = {µ ∈ R| µ ≤ ϕ (x)} ∀x ∈ H.


22

Ví dụ 1.10. Cho C ⊂ H là một tập lồi và f : H → R ∪ {+∞} là một
hàm lồi. Giả sử ri (domf ) ∩ riC = ∅. Xét bài toán quy hoạch lồi

(P ) min {f (x)| x ∈ C} .
Khi đó điều kiện cần và đủ x là nghiệm của bài toán (P ) là

0 ∈ ∂f (x) + NC (x) ,
trong đó

NC (x) := {ω| ω| x − x ≤ 0 ∀ ∈ C} ,
là nón pháp tuyến ngoài của C tại x
Chứng minh. Gọi δC (.) là hàm chỉ của tập C . Khi đó x là điểm cực
tiểu của hàm f trên C khi và chỉ khi nó là cực tiểu của hàm h (x) :=

f (x) + δC (x) trên toàn không gian. Điều kiện cần và đủ để x là cực
tiểu của h trên H là 0 ∈ ∂h (x). Do ri (domf ) ∩ riC = ∅, theo Định lý
Moreau-Rockafelar ta có:

∂h (x) = ∂f (x) + ∂δC (x) .
Vì x ∈ C , nên ∂δC (x) = NC (x). Vậy 0 ∈ ∂f (x) + NC (x) .
Ví dụ 1.11. Cho H = R, C = [−1, 1] , ϕ (x) ≡ 0. Khi đó ánh xạ đa trị


∅
nếu x ∈
/ C,


(−∞, 0] nếu x = 1,

T (x) = ∂ϕ (x) + NC (x) = NC (x) =
{0}
nếu x ∈ (−1, 1) ,



[0, +∞) nếu x = 1.
có đồ thị là tập tô đậm trong Hình 1.1. Hiển nhiên graT không phải là
tập lồi.
Định nghĩa 1.21. Cho T : H → 2K là ánh xạ đa trị từ không gian Hilbert

H và không gian Hilbert K. T được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ dom T
nếu mọi tập mở V ⊂ K thỏa mãn T (x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x
sao cho

T (x) ⊂ V

∀x ∈ U.


23

Hình 1.1:

Nếu T là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc dom T , thì ta nói T là nửa
liên tục trên trong H.
Định nghĩa 1.22. T được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ dom T nếu mọi
tập mở V ⊂ K thỏa mãn T (x) ∩ V = ∅ tồn tại lân cận mở U của x sao
cho

T (x) ∩ V = ∅ ∀x ∈ U ∩ dom T.
Nếu T là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc dom T , thì ta nói T là nửa
liên tục dưới trong H.
Định nghĩa 1.23. Cho T : H → 2K là ánh xạ đa trị từ không gian Hilbert

H và không gian Hilbert K. Ta nói T là liên tục x ∈ dom T nếu đồng thời
T là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x ∈ dom T . Nếu T là liên
tục tại mọi điểm thuộc dom T , thì ta nói T là liên tục tại mọi điểm trong

H.


24

Chương 2

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG
KHÔNG GIAN HILBERT
Chương này đề cập đến các vấn đề quan trọng của toán tử đơn điệu
trong không gian Hilbert như các khái niệm về toán tử đơn điệu, đơn điệu
tuần hoàn, đơn điệu cực đại, các ví dụ về toán tử đơn điệu trong đó dưới
vi phân của hàm lồi chính thường là ví dụ điển hình cho toán tử đơn điệu
cực đại; điều kiện đủ để một toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại. Đặc biệt,
giới thiệu và chứng minh điều kiện đủ để tổng hai toán tử đơn điệu cực đại
là một toán tử đơn điệu cực đại nhờ một hàm do Fitzpatrick giới thiệu.
Các khái niệm và kết quả ở đây được tham khảo từ các tài liệu [3, 5, 6, 7,
8, 9, 10, 11, 12, 13, 14].

2.1
2.1.1

Toán tử đơn điệu
Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 2.1. Cho A : H → 2H . Ta nói A là đơn điệu nếu

(∀ (x, u) ∈ gra A) (∀ (y, v) ∈ gra A) x − y| u − v ≥ 0.
Một tập con của H × H là đơn điệu nếu nó là đồ thị của một toán tử đơn
điệu.
Trong Hình 2.1, đồ thị bên trái là đồ thị của toán tử đơn điệu, còn
đồ thị bên phải không phải là đồ thị của toán tử đơn điệu.