Đề thi tỉnh Bắc Giang

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
a. Tính:
13
1
13
1
+


b. Giải phơng trình: x
2
+ 2x - 3 = 0
Bài 2: (2 điểm)
Hai tổ cùng làm một công việc. Nếu làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ I
làm trong 5 giờ, tổ II làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì
mỗi tôr cần bao lâu để hoànn thành công việc đó.
Bài 3: (2 điểm)
Cho phơng trình: x
2
- 2(m+1)x + m - 4 = 0 (1)
a. Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi m.
b. Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu.
c. Giá trị x
1
, x
2
là nghiệm của (1).
Chứng minh rằng: A = (1-x

2
)x
1
+ (1-x
1
)x
2
khôg phụ thuộc vào m.
Bài 4: (1 điểm)
Chứng minh rằng số 99999 + 111111
3
không thể biểu diễn đợc dới dạng (A+B
3
)
2
trong đó A, B là các số nguyên ?
Bài 5: (3 điểm)
Cho đờng tròn tâm O bán kinh R, đờng thẳng d cắt (O) tại A và B.
C thuộc d ở ngoài (O). Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB tại D.
CP cắt (O) tại điểm thứ hai là I. AB cắt IQ tại K.
a. Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp.
b. Chứng minh CI.CP = CK.CD
c. Các điểm A, B, C cố định. Đờng tròn tâm O thay đổi nhng vẫn luôn đi qua A và B.
Chứng minh rằng IQ luôn đi qua điểm cố định.
---------------------------
Đáp án toán: Tuyển sinh vào lớp 10 PTTH
Bài 1: (2 điểm)
a.
13
1

13
1
+


=
2
2
2
2
13
13
13
13




+
(0,5 đ)
=
13
1313

++
(0,5 đ)
=
1
2
2

=
(0,25 đ)
b. Tính đợc ' = 4 (0,25 đ)
2'
=
(0,25 đ)
Tính đợc: x
1
= 1 ; x
2
= -3 (0,5 đ)
Bài 2: (2 điểm)
- Gọi Tổ I làm một mình xong công việc hết x giờ (x>15)
Tổ II là y giờ (y>15) (0,25 đ)
1 giờ tổ I làm đợc
x
1
(công việc), tổ II làm đợc
y
1
(công việc), Cả hai tổ làm đợc
15
1
(công viêc).
Ta có phơng trình (1):
x
1
+
y
1

=
15
1
(0,5 đ)
5 giờ tổ I làm đợc
x
5
(công việc) ; 3 giờ tổ II làm đợc
y
3
(công việc)
Ta có phơng trình (2):
x
5
+
y
3
=
100
30
(0,25 đ)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phơng trình:







=+

=+
100
3035
15
111
yx
yx
(0,25 đ)
Giải hệ phơng trình đợc: x = 20; y = 60 (0,5 đ)
Nhận định kết quả trả lời:
Tổ I làm một mình xong công việc hết 20 giờ, tổ II hết 60 giờ (0,25 đ)
Bài 3: (2 điểm)
a. Tính ' =
0
4
19
2
1
2
>+






+
m
với m. Chứng tỏ (1) có 2 nghiệm với m
(0,5 đ)

b. (1) có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 m-4<0 m<4 (0,5 đ)
c.



=
+=+
4
)1(2
21
21
mxx
mxx
(theo hệ thức Viét) (0,25 đ)
A = x
1
- x
2
x
1
+ x
2
- x
1
x
2
= (x
1
+ x
2

) - 2x
1
x
2
(0,25 đ)
= 2(m + 1) - 2(m - 4) = 2m + 2 - 2m + 8 = 10 (0,25 đ)
Điều đó chứng tỏ A không phụ thuộc vào m. (0,25 đ)
Bài 4: (1 điểm)
Giả sử 99999 + 111111
3
viết đợc dới dạng (A + B
3
)
2
.
Từ đó suy ra: 111111 = 2AB (0,5 đ)
Vô lí (vì 2AB là số chẵn còn 111111 là số lẻ).
Điều giả sử trên là không đúng.
Vậy 99999 + 111111
3
không viết đợc dới dậng (A+B
3
)
2
(0,5 đ)
Bài 5: (3 điểm)


a. = = 90
0

đpcm (1 đ)
b. Tam giác vuông CIK đồng dạng tam giác vuông CDP (có 1 góc C chung) (0,5 đ)
CP
CK
CD
CI
=
(0,25 đ) CI.CP = CK.CD (0,25 đ)
c. Ta cần chứng minh điểm K cố định.
Thật vậy:
Từ CI.CP = CK.CD
CD
CPCI
CK
.
=
(0,25 đ)
Mặt khác: CIB đồng dạng CAP (g.g) (0,25 đ)

CD
CACB
CK
CP
CB
CA
CI .
==
mà C, A, B, D cố định

CD

CACB
CK
.
=
không đổi K cố định (0,5 đ)
Chú ý: Giải bằng cách khác ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.
PDK PIK
C
I
O
A
Q
P
D
d
B