Thiết lập công thức truy hồi

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 122

Vấn đề 12: THIẾT LẬP CÔNG THỨC TRUY HỒI

1. Nhận xét:
Trong những trường hợp hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào tham số n (n Ỵ N), khi đó
người ta thường ký hiệu I
n
để chỉ tích phân phải tính.
1. Hoặc là đòi hỏi thiết lập một công thức truy hồi, tức là công thức biểu diễn
I
n
theo các I
n+K
, ở đây 1 £ K £ n.
2. Hoặc là chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
3. Hoặc sau khi có công thức truy hồi đòi hỏi tính một giá trò
0
n
I cụ thể nào
đó.

2. Một số dạng thường gặp:
Dạng 1:
/2
n
n
0
Isinx.dx(nN)
p

=Ỵ
ò

· Đặt:
n1n2
usinxdu(n1)).sinx.dx
--
=Þ=-
dvsinx.dxvcosx.=Þ=-

-p
-
é
Þ=-+--
ë
n1/2
n012n
Isinx.cosx](n1).(II)

Dạng 2:
/2
n
n
0
Icosx.dx(nN)
p
=Ỵ
ò

· Đặt:

n1n2
ucosxdu(n1).cosx.dx
--
=Þ=--
dvcosx.dxvsinx.=Þ=

n1/2
n0n2n
Icosx.sinx](n1).(II)
-p
-
é
Þ=+--
ë


Dạng 3:
/4
n
n
0
Itgx.dx.
p
=
ò

· Phân tích:
+
ỉư
==-=+-

ç÷
èø
n2n2nn2
2
1
tgxtgx.tgxtgx.1tgx(1tgx1)
cosx

Suy ra:
n2n
1
II
n1
+
+=
+
(không dùng tích phân từng phần)

Dạng 4:
/2/2
nn
nn
00
Ix.cosx.dxvàJx.sinx.dx.
pp
==
òò

· Đặt:
nn1

uxdun.x.dx.
-
=Þ=
dvcosx.dxvsinx=Þ=

2
nn
InJ1(1)
2
p
ỉư
Þ=--
ç÷
èø

· Tương tự:
nn1
J0nI(2)
-
=+
· Từ (1) và (2)
n
nn2
In(n1)I.
2
-
p
ỉư
Þ+-=
ç÷

èø


Trần Só Tùng Tích phân
Trang 123
Dạng 5:
1
nx
n
0
Ix.e.dx=
ò

· Đặt:
nn1
uxdunx.dx
-
=Þ=

xx
dve.dxve.=Þ=

nx1
n0n1
I[x.e]nI
-
=-

Dạng 6:
11

n
nx
nn
x
00
x
IdxhayIx.e.dx
e
-
==
òò

· Đặt:
nn1
uxdunx.dx
-
=Þ=

xx
dve.dxve.
--
=Þ=-

xx1
n0n1
I[x.e]nI
-
-
Þ=-+

Dạng 7:
e
n*
n
1
Ilnx.dx(nZ)=Ỵ
ò

· Đặt:
nn1
1
ulnxdun.lnx,dx
x
-
=Þ=
dvdxvx.=Þ=

ne
n1n1nn1
I[x.lnx]n.IIenI.
--
Þ=-Û=-

BÀI TẬP
Bài 42. Cho
n
n
Isinx.dx=
ò
và

n
n
Jcosx.dx=
ò
, với nN,n2.Ỵ³
Chứng minh các công thức truy hồi sau:

n1
nn2
1n1
Isinx.cosxI.
nn
-
-
-
=-+
n1
nn2
1n1
Jsinx.cosxJ.
nn
-
-
-
=+
Áp dụng ta tính I
3
và J
4
.

ĐS: ·
2
3
12
Isinx.cosxcosxC.
33
=--+
·
3
4
133
Jsinx.cosxxsin2xC.
4816
=+++
Bài 43. Cho
n
n
Ix.sinx.dx=
ò
và
n
n
Jx.cosx.dx=
ò
, với nN,n2.Ỵ³
Chứng minh rằng:

nn1
nn2.
Ix.cosxnx.sinxn(n1).I

-
-
=-=--

nn1
nn2
Jx.sinxn.x.cosxn(n1).J.
-
-
=+--
Áp dụng ta tính I
2
và J
2
.
ĐS: ·
2
2
Ixcosx2x.sinx2cosxC.=--+++
·
2
4
Jxsinx2xcosx2sinxC.=+-+
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 124
Bài 44. Cho
nx
n
Ix.e.dx,nN,n1.=Ỵ³
ò

Chứng minh rằng:
nx
nn1
Ix.en.I.
-
=-
Áp dụng tính I
5
.
ĐS:
x5432
5
Ie(x5x20x60x120x120)C.=-+-+-+
Bài 45. Cho
/2
n
n
0
Isinx.dx,(nN)
p
=Ỵ
ò

a/ Thiết lập công thức liên hệ giữa I
n
và I
n+2
.
b/ Tính I

n
.
c/ Chứng minh rằng hàm số f:
NR®
với
nn1
f(n)(n1)I.I.
+
=+
d/ Suy ra
/4
n
n
0
Jcosx.dx.
p
=
ò

ĐS: b/
(n1)(n3)(n5)...1
.,nchẵn
n(n2)(n4)...22
I(n)
(n1)(n3)(n5)...2
,n lẻ
n(n2)(n4)...3
---p
ì
ï

--
ï
=
í
---
ï
ï
--
ỵ

c/
01
f(n)f(0)I.I.
2
p
=== d/
nn
JI.=
Bài 46. Đặt;
/4
n
n
0
Itgx.dx,(nN)
p
=Ỵ
ò

Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n

và I
n+2
.
ĐS:
nn2
1
II.
n1
+
+=
+

Bài 47. Cho
1
n
*
n
0
x
Idx,(nN)
1x
=Ỵ
-
ò

Chứng minh rằng:
nn1
(2n1)I2n.I22.
-
++=

Bài 48. Cho
1
nx
*
n
x
0
e
Idx,(nN)
1e
-
-
=Ỵ
-
ò

a/ Tính I
1
.
b/ Tìm hệ thức giữa I
n
và I
n–1
.
ĐS: a/
1
2e
Iln;
1e
=

+
b/
n1
1n)
nI
1
I(e1)
1n
-
-
+
=-
-




Trần Só Tùng Tích phân
Trang 125
Vấn đề 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

· Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a ; b]

Dạng 1: Nếu f(x)0,x[a;b]³"Ỵ thì :
b
a
f(x)0³
ò

dấu “=” xảy ra khi f(x)0,x[a;b]="Ỵ

Dạng 2: Để chứng minh:
bb
aa
f(x).dxg(x).dx£
òò
.
§ ta cần chứng minh: f(x)g(x),x[a;b]£"Ỵ
§ dấu “=” xảy ra khi f(x)g(x),x[a;b]="Ỵ
§ rồi lấy tích phân 2 vế.

Dạng 3: Để chứng minh:
b
a
f(x).dxB£
ò
(B là hằng số).
§ ta tìm một hàm số g(x) thỏa các điều kiện:
b
a
f(x)g(x),x[a;b]
g(x).dxB
£"Ỵ
ì
ï
í
=
ï
ỵ
ò

Dạng 4: Để chứng minh:
b
a
Af(x).dxB££
ò
.
§ ta tìm 2 hàm số h(x) và g(x) thỏa điều kiện:

bb
aa
h(x)f(x)g(x),x[a;b]
h(x).dxA,g(x).dxB
££"Ỵ
ì
ï
í
==
ï
ỵ
òò

§ Hoặc ta chứng minh: mf(x)M,££ với mminf(x),Mmaxf(x)==
sao cho:
bb
aa
m.dxm(ba)A,M.dxM(ba)B.=-==-=
òò

Dạng 5:
bb
aa
f(x).dx|f(x)|dx£
òò
.
dấu “=” xảy ra khi f(x)0,x[a;b]³"Ỵ
§ BĐT (5) được suy ra từ BĐT dạng 2 với nhận xét sau: x[a;b]"Ỵ , ta luôn có:
|f(x)|f(x)|f(x)|-££

bbb
aaa
|f(x)|dxf(x).d(x)|f(x)|dxÛ-££
òòò
(lấy tích phân 2 vế)

bb
aa
f(x).dx|f(x)|.dx.Û£
òò

Ghi chú:
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 126
1. Thực chất chứng minh bất đẳng thức tích phân chính là chứng minh:
f(x)g(x),x[a;b].£"Ỵ Nếu dấu “=” xảy ra trong bất đẳng thức f(x)g(x)£ chỉ tại
một số hữu hạn điểm x[a;b]Ỵ thì ta có thể bỏ dấu “=” trong bất đẳng thức tích phân.
2. Do BĐT là một dạng toán phức tạp, nên mỗi dạng trên có nhiều kỹ thuật giải, vì vậy
trong phần bài tập này, không đi theo từng dạng trên mà đi theo từng kỹ thuật giải.

Kỹ thuật 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương hoặc chặn trên, chặn dưới

BÀI TẬP
Bài 49. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
1
19
3
3 6
0
1x.dx1
20
202
1x
<<
+
ò
b/
1
23
0
dx2
.
68
4xx
pp
<<
--
ò

c/
1/2
2
2
0
1dx1
.
50(32cosx)
2(33)
<<
+
+
ò
d/
200
100
cosx.dx1
x200
p
p
<
p
ò

Bài 50. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
2
/2
sinx

0
e.
e.dx
22
p
pp
<<
ò
b/
2
1
x
0
1
1e.dx1.
e
-
-££
ò

c/
3
x
2
1
e.sinx
0dx
x112e
-
p

<<
+
ò

Bài 51. Cho
t
4
0
tgx
I(t)dx,
cos2x
=
ò
với 0t.
4
p
<< Chứng minh rằng:
3
2
(tgt3tgt)
3
tg(t)e
4
+
p
+>
Bài 52. Đặt:
2
t
1

lnx
J(t)dx,
x
ỉư
=
ç÷
èø
ò
với t > 1.
Tính J(t) theo t, từ đó suy ra: J(t) < 2,
t1.">


Kỹ thuật 2: Dùng bất đẳng thức Côsi hay Bu Nhia Cốp Ski

BÀI TẬP
Bài 53. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
/2
0
27
sinx(23sinx)(74sinx)dx
2
p
p
+-<
ò

b/
/3

/4
2
cosx(57cosx6cosx)dx.
3
p
p
p
+-<
ò

c/
e
1
lnx(93lnx2lnx)dx8(e1)--£-
ò

Bài 54. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
/3
2222
0
(8cosxsinx8sinxcosx)dx2
p
+++£p
ò