Giải bài tập hình 9

Chơng I: Hệ thức lợng trong tam giác vuông
Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
+ Bài 3:

222
7
1
5
11
+=
x
=> x
2
=
22
22
75
75
+
=
Lại có:
y
2
= 5
2
+ 7
2
(AD pitago trong vuông => y
2
= 60 => y = 2
15

+ Bài 4:
Ta có : 2
2
= 1.x
=> x
2
= 2
2
= 4
y
2
= x
2
+ 2
2
+ Bài 8:
b) Tam giác ABC vuông tại A có AH là
trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.
2
2
BC
AH BH HC
x
= = =
=
2 2 2 2 2 2
2 2 2 8
8 2 2
y x y
y

= + = + =
= =
c)
Ta có
2
2
12
12 16. 9
16
x x= = =

2 2
12 9 225 15y y= + = =
+ Bài 9:
a)

DIL
cân tại D
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
1
y
y
x
2
x
A
C
B
H
y

x
12
16



DI DL=



DAI DCL
=
(ch-góc nhọn)



ả
ả
1 3
;AD DC D D= =


(ABCD là h/vuông) cùng phụ
ả
2
D
b) Ta có:

2 2 2 2 2
1 1 1 1 1

DI DK DL DK DC
+ = + =
(hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông DKL)
Mà DC có độ dài không đổi
2
1
DC

không đổi

2 2
1 1
DI DK
+
không đổi.
Tỉ số lợng giác của góc nhọn
+ Bài 13:
Vẽ XÔY = 60
0
, lấy 1 đt làm đơn vị.
- Trên tia oy lấy điểm M sao cho
OM = 2.
- Vẽ cung tròn (M, 3) N ol tại N, góc ONM =
+ Bài 14:
Tg =
AC
AB


cos

sin
=
BC
AB
BC
AB
=
AB
AC
=> tg =


cos
sin
+ Bài 15:
Sin C = CosB = 0,8
Ta có Sin
2
C + Cos
2
C = 1 => Cos
2
C = 1 - 0,8
2
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
2
I
3
2
1

K
L
D
A
C
B
Cos
2
C = 0,36
TgC =
C
C
cos
sin
=
6,0
8,0
= 4/3
CotgC =
C
C
sin
cos
= 3/4
+ Bài 16:
- Xét sin 60
0
Sin 60
0
=

8
x
=
2
3
=> x =
2
38
= 4
3
Bảng lợng giác
+ Bài 22:
b) Cos 25
0
> Cos 63
0
15
c. Tg 73
0
20 > tg 45
0
d. Cotg 20 > Cotg 37
0
40
+ Bài 23:
a. C1:
Cos 14
0
= Sin 76
0

Cos 87
0
= Sin 3
0
=> Sin 3
0
< Sin 47
0
< Sin 76
0
< Sin 78
0
C2: Dùng MT (BS) tính TSLG
b. C1:
Cotg 25
0
= tg 65
0
Cotg 38
0
= tg 52
0
=> tg 52
0
< tg 62
0
< tg 65
0
< tg 73
0

=> Cotg 38
0
< tg 62
0
< cotg 25
0
< tg 73
0
+ Bài 25:
a. So sánh tg 25
0
và Sin 25
0
c. Tg 45
0
và Cos45
0
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
3
Tg 25
0
=
0
0
25cos
25sin
Có Cos 25
0
< 1 => tg 25

0
> Sin 25
0

C2: Tg 25
0
0,4663
Sin 25
0
0,4226
=> Tg 25
0
> Sin 25
0
Tg 45
0
= 1
Cos 45
0
=
2
2
1>
2
2
=> tg 45
0
> Cos 45
0
d. Cotg 60

0
và Sin 30
0
Cotg 60
0
=
3
1
=
3
3

Sin 30
0
= 1/2
=> Cotg 60
0
> Sin 30
0
Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
+Bài 28 :
Ta có
'0
1560
7
4
=

tg
+Bài 29 :

Có
'0
3738
320
250
cos
=

+ Bài 30:
S thuyền đi đợc trong 5 phút là:
BC= 2.
2
1
=
)(
6
1
km
167 (m)
ABC vuông tại A
biết BC và C nên
AC = BC.sin70
0
= 157( m)
+ Bài 30:
Vẽ BKAC
Dễ thấy K nằm
ngoài đoạn AC .
KBA = 22
0

BK = BCsin30
0
=11.0,5 =5,5
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
4
cm
BK
AB 932,5
22cos
0
==
a) AN = AB.sin38
0
= 3,652 cm
b)
cm
AN
AC 304,7
30sin
0
==
+ Bài 31:
a)Độ dài AB
Xét vuông ABC ( B = 90
0
)
Ta có AB = AC sin54
0

6,472(cm)

b)Số đo ADC
Vẽ AHDC (H CD)
vuông ACH có
AH = AC.sin74
0
7,690(cm)
8010,0
6,9
690,7
sin
=
AD
AH
D
Suy ra ADC 53
0
Ôn tập chơng I
+ Bài 35:
Tỉ số của hai cạnh góc vuông trong tam giác vuông là tg của góc nhọn này hoặc cotg
của góc nhọn kia nên ta có tg =19/28 0,6786 nên 34
0
10
'
. Do đó góc nhọn kia
là 90
0
- 55
0
50
'

+ Bài 36:
Hình 46 SGK, cạnh lớn nhất trong hai cạnh còn lại là cạnh đối diện với góc 45
0
vì
hình chiếu của nó lớn hơn (21>20).
Do đó độ dài của nó là : =29 cm
Hình 47 SGK, cạnh lớn nhất trong hai cạnh còn lại là cạnh kề với góc 45
0
vì hình
chiếu của nó lớn hơn (21>20) .
Do đó độ dài của nó là : (hoặc
0
45cos
21
) 29,7 cm
+ Bài 37:
a)

ABC vuông :
Có AB
2
+ AC
2
= 6
2
+ 4,5
2
= 56,25 = 7.5
2
=BC

2
Nên ABC vuông tại A .
Suy ra tgB =0,75
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
5
Do đó B 37
0
;C 53
0

-Đờng cao AH
C
1
: Từ AH.BC=AB.AC =>AH =3.6 cm
C
2
: Từ
222
111
ACABAH
+=
=>AH =3.6
C
3
:
Từ
6018,0
6
37sinsin
0

===
AH
AB
AH
B
Suy ra AH 6.0,6018 3.6 109 3.6 (cm)
b) Vị trí của M
Để S
MBC
= S
ABC
nên M phải cách BC một khoảng bằng AH = 3,6 cm . Do đó M phải
nằm trên hai đờng thẳng song song với BC ,cách BC một khoảng bằng 3,6cm
+ Bài 38: (Hình 48 SGK)
Có IB = IK.tg65
0
380.2,1445 814,9 m
IA = IK.tg50
0
380.1,1918 452,9 m
Vậy khoảng cách giữa hai chiếc thuyền là:
AB = IB - IA = 814,9 - 452,9 = 362 m
+ Bài 39:
Trong vuông ACE có

CE
AE
=
0
50cos

00
50cos
20
50cos
==
AE
CE
CE 31,11(m)
Trong vuông EDF có

DE
FD
=
0
50sin
00
50sin
5
50sin
==
FD
DE
DE 6,53(m)
Vậy khoảng cách giữa hai cọc CD là
31,31 - 6,53 = 24,6(m)
+ Bài 41:
Ta có tg21
0
48

'
= 0,4
= 2/5 = tgy
Nên y 21
0
48'
do đó x = 90
0
- y 68
0
12'
Vậy x - y 68
0
12' - 21
0
48'
= 46
0
24'
+ Bài 83(SBT)
Có AH.BC = BK.AC = 2S
ABC
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
6
5.BC = 6.AC
ACBC
5
6
=
Mà

AC
BC
HC
5
3
2
==
Xét vuông AHC có
AC
2
- HC
2
= AH
2
( pitago)
25,65
5
4
5
25
16
5
5
3
22
2
2
2
==
=

=







ACAC
AC
ACAC
5,7
4
25
5
6
5
6
=ì==
ACBC
+ Bài 97( SBT)
a) Trong vuông ABC
AB = BC . sin 30
0
= 10 . 0,5 = 5(cm)
AC = BC . cos 30
0
)(35
2
3

.10 cm
==
b)Xét tứ giác AMBN có
M = N = MBN = 90
0
AMBN là hình chữ nhật OM= ON (t/c HCN)
OMB = B
2
= B
1
MN //BC ( vì có 2 góc SLT bằng nhau và MN = AB t/cHCN))
Chơng II: Đờng Tròn
Sự xác định đờng tròn - Tính chất đối xứng của đờng tròn
+ Bài 1:
- Gọi I là giao điểm hai đờng chéo hình chữ nhật .
Ta có IA = IB =IC = ID (Tính chất hình chữ nhật )
Do dó A,B,C,D nằm trên đờng tròn (I)
AC AB BC
2 2 2
= +
5,613
1316925144512
22222
==
==+==
RAC
ACAC
+ Bài 4(tr 100):
ROAOA
<==+=

2211
222
Do đó A nằm trong đờng tròn .
OB OB R
2 2 2
2 1 5 5
= + = = >
Nên B nằm ngoài đờng tròn .
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
7
OC
OC R
2 2 2
2 2 2 2 4
2
= + = + =
= =
( ) ( )
Vì vậy điểm C thuộc đờng tròn
+ Bài 8( Tr 101):
Cách dựng :
Vì (O) đi qua điểm B và C nên ta có :
OB = OC O thuộc đờng trung trực d của BC .
Lại có O thuộc tia Ay( gt )
Vậy O là giao của d và Ay .
Do đó ta vẽ đợc đờng tròn tâm O đi qua BC và
có tâm nằm trên Ay .
-Chứng minh : O thuộc trung trực BC
nên OB = OC . Do đó B,C nằm trên (O)
Đờng kính và dây của đờng tròn

+ Bài 21(sbt)
Kẻ OM CD ; OM
I
Ax= N
MC = MD (1)( đl quan hệ đờng kính và dây cung)
Xét AKB có OA = OB (gt)
ON//KB (cùng CD)AN = NK
Xét AHK có AN = NK ( cmt)
MN//AH ( cùng CD)MH= MK (2)
Từ (1) và (2) ta có
MC - MH = MD - MK
Hay CH = DK
Bài tập thêm:
+ Bài 1:
? Hãy xác định khoảng cách từ O tới AB và AC?
? Tính khoảng cách đó?
a)Tính khoảng cách từ mỗi dây đến tâm O ?
Kẻ OH AB = H AH = AB
(đl đờng kính dây)
OK AC = K AK = KC ( đl đờng kính dây)
Xét tứ giác AHKO có
Â= H = K= Ô = 90
0
AHOK là hình chữ nhật
AH = OK = AB: 2= 10 : 2 =5
OH = AK = AC :2
b)Theo c/m câu a ta có
AH = HB
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
8

x
y
O
C
B
A
H
A B
C
K
O
Tứ giác AHOKlà hình chữ nhật KÔH = 90
0
và KO = AH KO = HB CKO =
OHB
Vì K = H = 90
0
; KO = HO
OC = OB = R HÔB +B= 90
0
Mà C + KÔC = 90
0
( 2 góc phụ nhau)KÔC + HÔB = 90
0
Có KÔH = 90
0
KÔC + KÔH +HÔB = 180
0
Hay CÔB = 180
0

3 điểm C; O; B thẳng hàng
BÔC = 180
0
BC là đờng kính của (O)
Xét ABC (Â = 90
0
)
Theo định lí pi ta go có
BC
2
= AC
2
+ AB
2
= 24
2
+ 10
2
= 676
676
=
BC
+ Bài 2:
Cho (O;R) đờng kính AB, M OA ;
dây CD OA tại M. Lấy E AB sao cho
ME = MA.
a)Tứ giác ACED là hình gì?
b) c/m I (O

; EB/2)

b)Gọi I là giao của BC và DE.
Chứng minh I (O

; đờng kính EB)?
Xét ACB có OA = OB = R
CO là đờng trung tuyến AB mà CO = OA = OB = AB/2
ACB vuông tại C ACCB
Mà DI//IC ( cạnh đối hình thoi) DI CB = I hay EIB = 90
0
Có O

là trung điểm của EB
O

I là trung tuyến EB IO

=EB/2 IO

= EO

= O

B
I (O

; EB/2)
c)Ta có CD = 2CM
Trong vuông ACB có

3

52
2
3
5
9
5
3
5
3
2
2
R
CMCD
RR
CM
RR
MBAMCM
==
==
ì=ì=
S
ABCD
= (AB.CD) : 2
3
52
3
522
.
2
1

2
RRR
=
ì
=
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
+ Bài 13 :
H ,K là trungđiểm AB ,CD .
Các

OHE OKE,
vuông
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
9
E
I
O'
O
M
B
D
A
C
AB = CD nên
OH = OK , OE chung

OHE OKE
=

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Dấu hiệu nhận biét tiếp tuyến
+ Bài 21 :
1/Cách dựng
- Từ A dựng tia Ax

d
- Dựng tia Iy

AB
( I là trung điểm AB)
- Giao điểm Ax và Iy là tâm O cần tìm .
-Vẽ (O; OA) ta đợc đờng tròn cần dựng
2/ Chứng minh :
- OA

d ;A

(O). Nên d là tiếp tuyến của đờng (O).
-OA = OB ( O

đờng trung trực AB) . Do đó A,B thuộc (O)
+ Bài 22:
Phân tích :
Giả sử ta đã dựng đợc (O ; R) thoả mãn điều kiện đề bài . Vậy ta có : d là tiếp tuyến
của (O) tại A OA d Lại có : A , B (O) O trung trực d của AB .
Cách dựng :
- Dựng trung trực d của AB .
- Dựng đờng thẳng dd tại A
O là giao của d và d
- Dựng đờng tròn tâm O

bán kính OA ta có đờng
tròn cần dựng .
Chứng minh :
Theo cách dựng ta có : d d OA d = A
lại có O d là trung trực của AB OA = OB = R
B (O ; R)
Vậy đờng tròn tâm O ở trên là đờng tròn cần dựng .
Biện luận :
Vì d và d chỉ cắt nhau tại 1 điểm O là duy nhất
(O ; R ) là duy nhất . bài toán có một nghiệm hình .
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
10
A
O
B
d''
d
d'
+ Bài 24:
Chứng minh
a) Có OC AB

M
MA = MB
AMC = BMC
( vì MA = MB ; CM chung )
AC = CB
Xét ACO và BCO có :
CO chung ; AC = BC ; OA = OB
ACO = BCO

ã
ã
0
CAO CBO 90= =

Vậy OB CB CB là tiếp tuyến của (O) tại B .
b) Có AB = 24 cm MA = MB = 12 cm .
Xét CBO có (
ã
0
CBO 90=
) . áp dụng hệ thức lợng ta có :
OB
2
= MO . CO (1)
lại có : MOB vuông tại M MO
2
= OB
2
- MB
2

MO
2
= 15
2
- 12
2

= 225 -144

= 81 MO = 9 cm (2)
Thay (2) vào (1) ta có :
15
2
= 9. CO CO =
225
25
9
=
Vậy CO = 25 ( cm )
+ Bài 25:
a) Xét tứ giác ABOC có :
OA BC ( gt ) MA = MB
( T/c của đờng kính và dây )
lại có : MO = MA ( gt )
Tứ giác ABOC là hình thoi
( Vì hai đờng chéo vuông góc với nhau
tại trung điểm mỗi đờng )
b)OB
2
= OH.OE
OE =
OB
OH
R
R
R
2 2
2
2

= =
.
áp dụng địnhlý Py ta go ta có BE
2
= OE
2


- OB
2

= (2R)
2
-R
2

= 4R
2
-R
2
=3R
2

Vậy BE =
R 3
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
+ Bài 30:
Chứng minh :
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
11

C

M

B

O

A


y

x

O

M

C

D

B

A

a) Theo gt có : CA , CM là
tiếp tuyến của (O)

CA = CM và CO là phân
giác của
ã
ACM
và
ã
ã
ã
MOA AOC COM=đ
(1)
Tơng tự ta cũng có DB , DM là tiếp tuyến
của (O) nên DB = DM và DO là phân giác
của góc
ã
ã
BDM;MOD

ã
ã
BOD MOD=đ
(2)
Từ (1) và (2)
ã
ã
ã
ã
0
COA BOD MOC MOD 90+ = + =
Vậy
ã

0
COD 90=
( đcpcm)
b) Theo ( cmt) ta có :
CD = CM MD = AC + BD ( vì CM = CA ; DB = DM )
Vậy CD = AC + BD ( đcpcm)
c) Xét vuông COD có OM CD
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong vuông ta có :
OM
2
= CM . MD
OM
2
= AC . BD ( vì CM = AC và DB = DM )
AC . BD = R
2
( không đổi )
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong vuông ta có :
OM
2
= CM . MD
OM
2
= AC . BD ( vì CM = AC và DB = DM )
AC . BD = R
2
( không đổi )
+ Bài 31:
a) Xét hệ thức
AB + AC - BC

= ( AD + BD ) + ( AF + AC )- ( BE + EC ) (1)
Vì AB , AC , BC là tiếp tuyến của (O)
tại D , E , F theo tính chất của hai tiếp
tuyến cắt nhau ta có :
AD = AE ; BD = BE ; CE = CF ( 2)
Thay (2) vào (1) ta có :
AB + AC - BC = AD + BE + AD + CE - BE - CE = 2AD
Vậy 2AD = AB + AC - BC ( đ cpcm)
b) Tơng tự nh trên ta có thể suy ra các hệ thức nh sau :
2 BE = BC + AB - AC
2 BD = BC + AB - AC
2 CE = BC + AC - AB
2 CF = BC + AC - AB
Vị trí tơng đối của hai đờng tròn
+ Bài 37 :
Chứng minh :
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
12

O
A
D
F
E
C
B
O
H
DC
B

A
Cách 1 :
Ta có : COD cân ( vì OC = OD = r)

ã
ã
OCD ODC=

ã ã
ACO BDO=
Xét OAC và OBD có :
OC = OD = r ; OA = OB = R và
ã ã
ACO BDO=
OAC = OBD( cgc)
AC = BD ( đcpcm )
Cách 2 :
Kẻ OH AB HC = HD ; HA = HB ( tính chất đờng kính và dây )
HA - HC = HB - HD AC = BD ( đcpcm
+ Bài 38 :
a) Tâm của các đờng tròncó bán kính 1 cm
tiếp xúc ngoài với đờng tròn ( O ; 3 cm )
nằmtrên đờng tròn ( O ; 4 cm

b)Tâm của các đờng tròn có bán kính 1 cm
tiếp xúc trongvới đờng tròn ( O ; 3 cm )
nằm trên đờng tròn
( O ; 2 cm )
+ Bài 39 :
Chứng minh :

Theo (gt) ta có :
IB , IA là tiếp tuyến
của (O) IB = IA
IC , IA là tiếp tuyến
của (O) IC = IA
Xét BAC có IA là trung tuyến và
IA = IB = IC BAC vuông tại B ( tính chất đờng trung tuyến trong vuông )
BÂC = 90
0
.
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
13
A
O'O
O'
AO

A

I

C

B

O'

O

b) Theo ( cmt) ta có : IO là phân giác của góc BOA và IO là phân giác của góc

COA .
Mà
ã ã
0
BOA COA 180+ =
( vì tứ giác OBCO có 2 góc vuông )

ã
' 0
OIO 90=
c) Xét OIO có
(
ã
' 0
CIO 90=
) và IA OO
theo hệ thức lợng trong vuông ta có :
IA
2
= OA . OA = 9 . 4 = 36 IA = 6 ( cm )
Lại có BC = 2 IA = 2. 6 = 12 (cm)
Ôn tập chơng II
+Bài 41:
Chứng minh :
a) BEH có
à
0
E 90=
(gt)
IB = IH I là tâm đờng

tròn ngoại tiếp BEH .
Tơng tự KH = KC K là
tâm đờng tròn ngoại tiếp HFC .
+ Ta có : IO = OB - IB (I) tiếp xúc trong
với (O) ( theo hệ thức liên hệ về các vị trí tơng đối của hai đờng tròn )
+ Ta có : OK = OC - KC (K) tiếp xúc trong với (O) ( hệ thức liên hệ về vị trí tơng
đối của hai đờng tròn )
+ Ta có : IK = IH + KH (I) tiếp xúc ngoài (K) ( theo hệ thức tiếp xúc ngoài ) .
b) Theo (gt) ta có :

à
0
E F 90= =
$
(1)
ABC nội tiếp trong (O) có BC là đờng kính . Lại có
OA = OB = OC Â = 90
0
( 2)
Từ (1) và (2) tứ giác AEHF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông .
c) Theo (gt) ta có HAB vuông tại H , mà HE AB tại E (gt) Theo hệ thức giữa
cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có :
AH
2
= AB . AE (3)
Lại có AHC vuông tại H , có HF là đờng cao theo hệ thức liên hệ giữa cạnh và
đờng cao trong tam giác vuông ta có :
AH
2
= AC . AF (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra :
AB . AE = AC . AF ( đcpcm)
d) Gọi G là giao điểm của EF và AH . Theo ( cmt) ta có AEHF là hình chữ nhật
GA = GH = GE = GF ( t/c hcn ) GHF cân tại G
ã
ã
GFH GHF=
(5)
Lại có KHF cân tại K
ã
ã
KFH KHF=
(6)
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
14

I

K

O

A

D

H

C

B